Triseccion de un angulo

a traves de la Espiral de Arquımedes

Nicolas Melgarejo Sabelle

10 de febrero de 2011

Espiral de Arquımedes

El metodo de triseccion de Arquımedes es conocido y se describe a con-tinuacion:

1 Dado unangulo cualquiera se traza desde el vertice O del angulo laespiral de Arquımedes, de tal manera que esta corte en un punto P auno de los rayos que componen dicho angulo.

2 Encontrar el punto R, tal que OR sea la tercera parte de OP .

3 Trazar una circunferencia de radio OR con centro O y encontrar elpunto de interseccion S entre la espiral y dicha circunferencia.

4 Trazar recta que pase por O y S. Esta sera la trisectrız del anguloinicial.

A traves de la espiral de Arqımedes es posible trisectar un angulo, lademostracion de esta afirmacion no es posible realizarla con los postuladosde Euclides, por lo que cada paso sera interpretado con geometrıa analıtica.

Los pasos a seguir para la demostracion son los siguientes:

PASO 0 Encontrar la ecuacion en coordenadas cartesianas de la espiral de Ar-quımedes

PASO 1 Encontrar la primera interseccion P , entre la recta L1 que, junto a laabscisa, determina un angulo α y la curva auxiliar.

PASO 2 Buscar punto R del segmento OP tal que d(O,P ) = 3d(O,R)

1

PASO 3 Generar una circunferencia de radio d(O,R) y centro en el origen yencontrar el punto de interseccion S con la espiral.

PASO 4 Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por O y S. Calcular lapendiente de la recta y compararla con la pendiente de la recta L1

PASO 0

La espiral de Arquımedes, llamemosla ϕ, representa el desplazamientode un objeto que se aleja del origen a velocidad constante, al mismo tiempoque gira con velocidad angular constante. Puede ser descrita en coordenadaspolares como:

r = aθ (1)

donde θ es el angulo que va barriendo y a un numero real. Aplicando a (1)la transformacion de coordenadas polares a cartesianas:

r =√x2 + y2

x = r cos θ

y = r sen θ

θ = arc tg(yx

)Se tiene que: √

x2 + y2 = a arc tg(yx

)Para aplicar el metodo de triseccion solo interesa el primer cuadrante,

por lo que θ ∈ [0, π/2]. Al elevar al cuadrado la expresion anterior:

x2 + y2 = a2 arc tg2(yx

)(2)

Por otro lado tenemos la recta L1 que pasa por el origen y forma unangulo de α con la horizontal, por lo que:

L1 : y = m1x , con m1 = tan(α) (3)

PASO 1

Encontremos el punto P , la interseccion entre ϕ y L1 reemplazando (3)en (2):

2

x2 + (m1x)2 = a2 arc tg2(m1x

x

)x2 +m2

1x2 = a2 arc tg2(m1)

x2 =a2 arc tg2(m1)

(1 +m21)

xp = x =a arc tg(m1)√

1 +m21

(4)

Encontramos ahora yp reemplazando (4) en (3) y obtenemos ası el puntode interseccion P :

yp = m1xp =m1a arc tg(m1)√

1 +m21

P = (xp, yp) (5)

PASO 2

Ahora busquemos el punto R, tal que d(O,P ) = 3d(O,R) que obviamen-te es:

R =

(1

3xp,

1

3yp

)Reemplazando se tiene:

R =

(a arc tg(m1)

3√

1 +m21

,am1 arc tg(m1)

3√

1 +m21

)(6)

Calculamos ahora la distancia d(O,R):

d(O,R) =

√a2 arc tg 2(m1)

9[1 +m21]

+a2m2

1 arc tg2(m1)

9[1 +m21]

=

√a2 arc tg2(m1)[1 +m2

1]

9[1 +m21]

d(O,R) =a arc tg(m1)

3

PASO 3

3

Generamos ahora la circunferencia R⊗ de centro (0, 0) y radio d(O,R)

y2 + x2 = r2

y2 + x2 =a2 arc tg2(m1)

9

(7)

despejamos y

y =

√a2 arc tg2(m1)

9− x2

Encontremos el punto de interseccion S de R⊗ con ϕ, aprovechandola igualdad entre las ecuaciones (2) y (7) y reemplazando en (2) el valordespejado de y:

a2 arc tg2(m1)

9= a2 arc tg2

√

a2 arc tg2(m1)9 − x2

x

1

3arc tg(m1) = arc tg

√

a2 arc tg2(m1)9 − x2

x

Como m1 = tan(α)

1

3α = arc tg

√

a2α2

9 − x2

x

= arc tg

(√(a2α2

32− x2

)1

x2

)

= arc tg

(√(a α3x

)2− 1

)(8)

Aplicamos tangente sobre (8)

1

3α =

√(aα3x

)2− 1

/()2

tan2

(1

3α

)+ 1 =

(a α3x

)2Despejamos xS

4

xS = x =a α

3√

tan2(13α)

+ 1(9)

Encontramos yS reemplazando (9) en (7)

yS =

√(a α3

)2− a2 α2

32(tan2

(13α)

+ 1)

=a α

3

√1− 1

tan2(13α)

+ 1

=a α

3

√tan2

(13α)

tan2(13α)

+ 1

yS =a α

3tan

(1

3α

)√1

tan2(13α)

+ 1

(10)

PASO 4

Teniendo ya xS y yS , podemos calcular la pendiente de la recta que pasapor R y (0, 0) y forma un angulo β con la horizontal.

tanβ =yRxR

=

aα3 tan

(13α)√

1tan2( 1

3α)+1

aα

3√

tan2( 13α)+1

= tan

(1

3α

)√tan2

(13α)

+ 1

tan2(13α)

+ 1

= tan

(1

3α

)(11)

Luego se tiene que:

m2 = tanβ = tan

(1

3α

)Por lo tanto:

β =1

3α

Con esto queda demostrado, usando geometrıa analıtica, que el metodopara trisectar es correcto.

5