Trigonometría

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SEMANA 16

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS

1. En un triángulo ABC, si: A = 60°;

b 4 7; c 6 7 .

Halle el lado “a”

A) 7 B) 10 C) 13 D) 14 E) 20

RESOLUCIÓN De la ley de cosenos:

2 2 2a b c 2bc cosA

2 2

2 0a 4 7 6 7 2 4 7 6 7 cos60

2a 196

a 14

RPTA.: D

2. Los lados de un triángulo son

proporcionales a los números 3;5

y 7. Siendo “ ” la medida de su

menor ángulo interno; halle

"sec " .

A) 13

7 B)

13

6 C)

7

13

D) 13

14 E)

14

13

RESOLUCIÓN

1

sec ?cos

Ley de cosenos:

2 2 23 5 7 2 5 7 cos

13

cos14

14

sec13

RPTA.: D

3. En un triángulo ABC, la expresión:

b sen B C

Wc b cosA

es equivalente a:

A) tg B B) ctg B C) 1 D) 2 E) 1/2

RESOLUCIÓN

* ABC A B C 180 B C 180 A

* Ley de proyecciones: c a cosB b cosA c b cosA a cosB

b sen 180 A b senA

Wa cosB a cosB

2RsenB senA

W tgB2RsenA cosB

RPTA.: A

4. En un triángulo ABC, se conoce

que: B = 45°; b = 2 y 6c .

Indicar la medida del ángulo C.

A) sólo 30° B) sólo 45º C) sólo 60° D) 30° ó 150°

E) 60° ó 120°

RESOLUCIÓN

2 6

sen45 senC

3

senC2

C = 60º ó 120º

RPTA.: E

53

menor ángulo

7

A C

B

6

45º

2

Trigonometría

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5. En un triángulo ABC, se conoce que: A = 120°, b = 7 cm y

c = 8 cm. Halle la longitud del lado a.

A) 13 m B) 130 m C) 1,3 m D) 0,13 m

E) 0,013 m

RESOLUCIÓN

2 2 2a 7 8 2 7 8 cos 120

a 13cm 0,13m

RPTA.: D

6. En un triángulo ABC de lados AB=c; AC = b; BC =a Determine:

M ab senC ctgA ctgB

A) 2c B) 2b C) 2a

D) 2a

2 E)

2c

2

RESOLUCIÓN M ab senC ctgA ctgB

sen A BM ab senC

senA senB

,

a = 2Rsen A b = 2Rsen B

c = 2Rsen C sen C

2sen A B

M 4R senA senB senCsenA senB

2 2M 2RsenC c

RPTA.: A

7. Halle la medida del ángulo B de un triangulo ABC cuyos lados a, b,

y c cumplen la relación:

b a c c a b 3ac

A) 30° B) 45° C) 60° D) 120° E) 150°

RESOLUCIÓN

b a c b a c 3ac

22b a c 3ac

2 2 2 2a c 2accosB a 2ac c 2ac

1

cosB2

B 120

RPTA.: D

8. En un triangulo ABC de lados BC = a, AC = b, AB = c Se

cumple: (a+b+c)(a+ b - c)= 7ab

3

Calcule: M = 3sen 2C senC

A) 36

35 B)

6

35

C) 35 D) 2 35

E) 18

RESOLUCIÓN

2 27ab 7ab

a b c a b c a b c3 3

2 2 2 ab 1a b c cosC

3 6

2ab cosC

Luego:

2M 3 2senC cosC senC 6 sen C cosC

2

35 1 35M 6

6 6 36

RPTA.: A

120º

a

B

8

C A7

35

1

6

c

Ley de senos

Trigonometría

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9. Siendo P el semiperimetro de un triangulo ABC, indicar el

equivalente reducido de:

(b+c)cosA + (a+c) cosB + (a+b)cosC

A) p B) 2 p C) p

2

D) p

4 E) 4p

RESOLUCIÓN E bcosA ccosA acosB ccosB

acosC bcosC

Si: c bcosA acosB

E a b c

E = 2 p

RPTA.: B

10. En un triangulo ABC, reduce:

(bcosC a)tgB

EbsenC

A) 1 B) -1 C) -2

D) 2 E) -2

1

RESOLUCIÓN

bcosC bcosC ccosB tgBE

bsenC

ccosB senB

EbsenD cosB

E = -1 RPTA.: B

11. En un triangulo ABC se cumple:

sen A B cos B C

c a

Luego su ángulo “A” mide:

A) 120° B) 127° C) 143°

D) 135° E) 150°

RESOLUCIÓN * ABC: A B C 180

A B 180 C

B C 180 A

Condición:

sen A B cos B C

c a

sen 180 C cos 180 A

c a

senC cosA

2RsenC 2RsenA

1 ctgA

1 ctgA A 135º

RPTA.: D

12. En un triángulo uno de sus lados mide 20 cm y los ángulos internos

adyacentes con él miden 16° y 37°. Halle su perímetro.

A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm D) 44 cm E) 50 cm

RESOLUCIÓN

Aplicando “Ley de senos”

x 20 y

sen37 sen 180 53 sen16

sen 53º

x 2 y

3 4 7

5 20 25

Perímetro x y 20 42cm

RPTA.: C

13. En un triángulo ABC, simplifique

la expresión: E b cosB c cos C

A) b cos (B-C) B) a cos (B-C)

C) c cos (B-C) D) a sen (B-C) E) b sen (B-C)

x 15cmy = 7cm

x y

20 cm.

16º 37º

180º-53º

Trigonometría

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RESOLUCIÓN E 2RsenB cosB 2RsenC cosC

E Rsen2B Rsen2C

E R 2sen B C cos B C

E acos B C

RPTA.: B

14. Halle “x” en la figura:

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN

Aplicando ”Ley de cosenos”

2 2 2x 3 5 2 3 5 cos120

x = 7 RPTA.: B

15. En un triángulo ABC reduce:

2 2 2 2M a b c cosA b a c cosB

2 2c a b cosC

A) 3 B) a + b + c

C) 3 (a + b + c) D) abc E) 3abc

RESOLUCIÓN

2 2 2 2M acosA b c bcosB a c

2 2ccosC a b

2 2 2M ab cosA ac cosA a bcosB 2 2 2bc cosB a ccosC b ccosC

M ab b cosA a cosB ac c cosA a cosC

“c” “b”

bc c cosB b cosC

“a”

M 3abc

RPTA.:E

16. En un triángulo ABC, simplifique la

expresión:

2 2a B b AE cos cos

2 2 2 2

Siendo p el semiperimetro de dicho triángulo

A) p B) 2p C) p

2

D) p/4 E) 4p

RESOLUCIÓN

2 2B A4E a 2cos b 2cos

2 2

4E a 1 cosB b 1 cosA

4E a acosB b bcosA

4 E a b c

P

E2

RPTA.: C

17. En un triángulo ABC, determine el valor de x para que verifique la

siguiente expresión:

B C B C 2cxtg tg

2 2 b c

A) A

tg2

B) A

4tg2

C) A

ctg2

D) A

2tg2

E) A

2ctg2

x

35

x = ?

35

120º

60º

60º 60º

5

Trigonometría

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RESOLUCIÓN

Si:

B Ctg

b c 2

B Cb ctg

2

B C B Ctg tg

2c 2 2

B Cb ctg

2

como:

A B C B C A90º tg ctg

2 2 2 2

A

x ctg2

RPTA.: C

18. En un triángulo ABC, BC = a,

AC = b, AB = c Simplifique:

2 2 2M a cos 2A 2C b cos 2B 2C b

A) 2a

2 B)

2b

2

C) 2a D) 2b

E) 22a

RESOLUCIÓN Como: 2A 2B 2C 360

cos 2A 2C cos2B cos 2B 2C cos2A

2 2 2M a cos2B b cos2A b

2 2M a cos2B b 1 cos2A

21 2sen B 22sen A

Ley de senos:

a 2RsenA b 2RsenB 2 2 2 2 2 2M a 2a sen B 2b sen A a

RPTA.: C

19. En un triángulo ABC (AB = c, AC = b, BC = a), si

b = 3a, m ACB = 60°, calcule el

valor de: M 5tgA ctgA

A) 3

3 B) 3 C)

5 3

3

D) 2 3 E) 8 3

3

RESOLUCIÓN Si: C = 60 A+B = 120°, b = 3a

Ley de tangente:

B A B Atg tg

b a 2a2 2

B Ab a 4a tg60tg

2

B A 3 B A

tg tg 32 2 2

3 3

3B A B A 32 2tgA tg

3 52 2 51

2 2

Luego:

3 5 8 8 3M 5

5 33 3

RPTA.: E

20. En un triángulo ABC, si:

A + B = 72° A - B =36°

Halle: a b

Wa b

A) 5 B) 5

5 C)1

D) 5 E) 1

5

RESOLUCIÓN En triángulo ABC, de la Ley de tangentes:

Trigonometría

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A Btg

a b 2W ?

A Ba btg

2

72 sen36tgtg362 cos36W

sen1836 tg18tg

cos182

2sen36 cos18 sen54 sen18

W2cos36 sen18 sen54 sen18

5 1 5 1

4 4cos36 sen18W 5

cos36 sen18 5 1 5 1

4 4

RPTA.: A

21. En un triángulo ABC, BC = a,

AB = c, AB = c si

4 2 2 2 4 2 2 4c 2 a b c a a b b 0

Halle la medida del ángulo agudo C.

A) 90° B) 60° C) 45° D) 30° E) 15°

RESOLUCIÓN

4 2 2 2 4 2 2 4c 2 a b c a a b b 0

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2a c 2b c 2a b a b

222222 bacba

2 2 2 2 2 2 2 22abcosc a b 4a b cos c a b

2 1cos c

4

1

cos C C 602

(Agudo)

RPTA.: B

22. En un triángulo ABC (BC = a; AC = b, AB = c) inscrito en una circunferencia de radio R, se

cumplem C= 45º, además

2 2 2a b 2 2R

Calcule: M tg2A 3tg2B

A) -1 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2

RESOLUCIÓN

2 2 2a b 2 2R …………………………*

Ley de senos: a 2RsenA ,

b 2RsenB

En (*) 2 2 2 24R sen A sen B 2 2R

2

sen A B sen A B2

,

Pero: C = 45° (1)A B 135

2

sen135: sen A B sen A B 12

2

2

(2) A B 90

(1) + (2): 2A = 225° (1)-(2)

= 2B = 45° Luego:

M tg 225 3tg45 1 3(1) 2

RPTA.: B