Trigonometría

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SEMANA 15

ECUACIONES

TRIGONOMÉTRICAS

1. Halle la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la

ecuación: 2

sen 5x 10º2

A) 111º B) 133º C) 122º

D) 132º E) 123º

RESOLUCIÓN

P

2 2sen 5x 10º V arcsen 45º

2 2

n

5x 10º 180º n 1 45º

n

x 36º n 1 9º 2º;n

Si: n = -1 x = - 43º

n = 0 x = 11º

n = 1 x = 29º

n = 2 x = 83º

11º 29º 83º 123º

RPTA.: E

2. Indique el número de soluciones

positivas y menores a una vuelta de la ecuación:secx cosx senx

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

* 0º < x < 360º

*1

secx cosx senx cosx senxcosx

2 21 cos x senxcosx sen x senx cosx

2sen x senx cosx 0 senx senx cosx 0

i) senx 0 x 0º,180º,360º,...

ii) senx

senx cosx 0 senx cosx 1cosx

tg x= 1 x = 45º, 225º, … Son “3” soluciones: 180;45º;225º

RPTA.: C

3. Resolver y dar la suma de

soluciones de la ecuación:

cos2x senx 0; x 0º;360º

A) 450º B) 630º C) 540º

D) 360º E) 300º

RESOLUCIÓN

cos2x senx 0;x 0º;360º

21 2sen x senx 0

20 2sen x senx 1

2 sen x 1

sen x -1

0 2senx 1 senx 1

IIIC: x = 210º i) IVC: x = 330º

ii) sen x = 1 x = 90º

90º 210º 330º 630º

RPTA.: B

4. Halle la suma de las soluciones de

la ecuación: ctg x – csc 2x = 1

Para ángulos positivos menores de 360º

A) 360º B) 630º C) 450º D) 660º E) 810º

RESOLUCIÓN

cosx 1

1senx 2senxcosx

22cos x 1 2senxcosx

tg 2x =1

de donde: k

x2 8

Se pide: Soluc 630º

RPTA.: B

1senx

2

Trigonometría

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5. Al resolver la ecuación:

tg2xcosx 3senx

donde: 0 x 360º , la suma de

todas sus soluciones es:

A) 1260º B) 990º C) 650º

D) 720º E) 570º

RESOLUCIÓN

tg2x 3tgx

2

2tgx3tgx

1 tg x

donde: tg x = 0

x = 0; 180º; 360º

Pero: 22 = 3 -3tg x

2 1tg x

3

x = 30º; 150º; 210º; 330º

Se pide: Soluc = 1 260º

RPTA.: A

6. Halle los valores de “x” en el

primer cuadrante que verifican la ecuación:

cos4x -3 cos3x+3cos2x -1=0

A) 15º y 75º B) 45º y 30º C) 30º y 60º D) 15º y 30º

E) 18º y 60º

RESOLUCIÓN

- 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x

2-3cos 3x=1- 2cos 2x 1 3cos2x

2-3cos 3x=2-3cos2x-2cos 2x

-3cosx 2cos2x-1 2 cos2x 1 2cos2x

de donde: x = 30º y 60º

RPTA.: C

7. Resolver la ecuación:

sen 2x = cos x e indicar sus

soluciones para x 0º;360º

A) 30º;90º;150º;270º

B) 30º;90º

C) 60º;90º;120º;270º

D) 60º;90º

E) 30º;60º

RESOLUCIÓN

sen2x cosx;x 0º,360º

2senx cosx cosx

2senx cosx cosx 0

cosx 2senx 1 0

i) cos x = 0 x = 90º ; 270º;…

ii) 1

senx x 30;150º;...2

.

conjunto solución =

30º;90º;150º;270º

RPTA.: A

8. Siendo tg2x tgx sen3x secx ;

x 0; Indique la suma de las

soluciones.

A) 2

B) C)

3

2

D) 2 E) 5

2

RESOLUCIÓN

tg2x tgx sen3x secx,x 0;

3

x ,x , ,2 4 4

sen 3x sen3x

;cosx 0cos2x cosx cosx

i) sen 3x = 0k

x3

k=1 x=

3

2

k=2 x= 3

k=3 x=

ii) cos 2x = 1 2x = 2 x =

(ya se considero)

Suma = 2

RPTA.: D

Trigonometría

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9. Resolver:

2 2 2 2cos x cos 2x cos 3x cos 4x

Indique el número de soluciones

en el intervalo de 0;

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN

2 2 2 22cos x 2cos 2x 2cos 3x 2cos 4x

cos2x cos4x cos6x cos8x

2cos3x cos x 2cos7x cos x

i) cos x = 0 x2

ii) cos3x cos7x 0 2sen5x sen2x 0

a) sen 2x = 0k

x2

k = 0x = 0

k = 1x = 2

k= 2 x =

b) sen 5x = 0 k

x5

k = 1 x

5

k= 2 2

x5

k = 33

x5

k = 44

x5

Hay 7 soluciones

RPTA.: C

10. Resolver: senx cosx tgx secx

La solución de la ecuación es: (K es un número entero)

A) k4

B) k

6

C) k12

D) k

18

E) k4

RESOLUCIÓN

senx 1

senx cosxcosx cosx

3 2cos x senx 1 cos x

3tg x 1 tgx 1

x = k +4

RPTA.: E

11. Determine la suma de soluciones

de la ecuación:

senx 3 cosx 1 ;x 0;2

A) 2

3

B)

3

5

C)

5

3

D) 3

2

E)

6

RESOLUCIÓN

senx 3cosx 1

1 3cosx senx

1 3 1

cosx senx2 2 2

1

cos30º cosx sen30º senx2

1

cos x 30º2

i) x 30º 60º x 30º6

ii) 3

x 30º 300º x 270º2

3 5

6 2 3

RPTA.: C

1

2

1

2

60º

300º

C.T.

Trigonometría

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12. Halle uno de los valores de x que

satisfacen la ecuación

cos5x 3sen5x 2cosx 0

(K es un número entero)

A) K

2 12

B) K

3 12

C) K

4 12

D) K

2 18

E) K

2 12

RESOLUCIÓN

cosx 3sen5x 2cosx

cos 5x cosx3

de donde:

1

kx

2 12

2

kx

3 18

RPTA.: A

13. Resolver e indicar la suma de las 2 primeras soluciones positivas

de la ecuación:

2 2cos 5x sen x cos4x

A) 5

12

B)

5

24

C)

7

24

D) 7

12

E)

11

24

RESOLUCIÓN

2 2cos 5x sen x cos4x 0

cos 5x x cos 5x x cos4x 0

cos6x cos4x cos4x 0

cos4x cos6x 1 0

i) cos4x 0 4x 90º x 22º30'

ii) cos6x 1 6x 360º x 60º

11

22º30' 60º8 3 24

RPTA.: E

14. Al resolver la ecuación:

1 tgx 1 sen2x 1 tgx 1 cos2x

La suma de las soluciones comprendidos entre 0 y 180º

será: A) 360º B) 240º C) 245º

D) 315º E) 325º

RESOLUCIÓN

2

2 2

2tgx 1 tg x1 tgx 1 1 tgx 1

1 tg x 1 tg x

2

2

2 2

1 tgx 2tg x1 tgx 1 tgx

1 tg x 1 tg x

de donde: 1x k4

2x k6

Se pide: Soluc. 315º

RPTA.: D

15. Al resolver la ecuación: 2sen 2x =cos x tgx cscx

Calcule la diferencia entre las menores soluciones positivas.

A) 2

3

B)

6

C)

12

D) 2

15

E)

3

4

RESOLUCIÓN

2 ksen2x cos x tgx cscx,x

2

2 senx 12senx cosx cos x

cosx senx ; senx 0

cosx 0

Trigonometría

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x6

5

x6

Diferencia = 2

3

RPTA.: A

16. Determinar todas las soluciones

de la ecuación:

1 tgx 3 ctgx

1 tgx 3 ctgx

k

A) k4

B) K

6

C) K12

D) K

18

E) K4

RESOLUCIÓN

2 6

2tgx 2ctgx

ctgx 3tgx 2ctg x 3

x k6

RPTA.: B

17. Al resolver la ecuación:

sen x 135º cos x 135º cos x 135º

El mayor ángulo negativo x es:

A) 15º B) – 75º C) 45º

D) 87º E) – 39º

RESOLUCIÓN

sen x 135 cos x 135 cos x 135

sen x 135 2senx sen135

2 2 2

senx cosx 2senx2 2 2

tg x = - 1

x = - 45º

RPTA.: C

18. Resolver la ecuación:

23 1 cosx sen x;n

A) {2 n } B) { n } C) n2

D) 4 n E) n4

RESOLUCIÓN

23 1 cosx sen x 23 3cosx 1 cos x

2cos x 3cosx 2 0

cos x - 2

cos x - 1 i) cosx 2 0 cosx 2 x

¡Incompatible!

ii) cos x -1 = 0cos x =1

x 2 n ; "n"

RPTA.: A

19. Indique la solución general de la

ecuación:

4 4 5sen x cos x ;"n"

8

A) x 2 n6

B) x n2 3

C) x 2 n3

D) x n2 6

E) x n6

1senx

2

Trigonometría

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RESOLUCIÓN

4 4 5sen x cos x

8

3 cos4x 5

4 8

1

cos4x2

P

1V arccos 120

2

4x 360 n 120

x 90 n 30

x n2 6

; "n"

RPTA.: D

20. Resolver la siguiente ecuación

trigonométrica

2 2 3cos 5x sen 3x cos2x, k

2

A) 2K 12

B) 2K 14

C) 2K 13

D) 2K 15

E) 2K 18

RESOLUCIÓN

2 2 3cos 5x sen 3x cos2x

2

3cos8x cos2x cos2x

2

i) cos2x 0 2x 2k 1 x 2k 1 ,k Z2 2

ii) 3

cos8x x2

x 2k 1 ,k4

RPTA.: B

21. Resolver la ecuación

trigonométrica: 2 20,5cos x 3senx cosx 0,5sen x 0, k

A) k

2 6

B) k

3

C) k

2 3

D)

k

2 12

E) k6

RESOLUCIÓN

2 2cos x sen x 3 2senx cosx 0

3

3 sen2x cos2x tg2x3

k

2x k x ,k6 2 12

RPTA.: D

22. Resolver la ecuación

trigonométrica

x

3cosx 7 4cos2

Indique la suma de las soluciones

en el intervalo de 0;6

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

RESOLUCIÓN

2x x x3cosx 7 4cos 6cos 4cos 10 0

2 2 2

2 x3 2cos 1

2

2 x x x x3cos 2cos 5 0 3cos 5 cos 1 0

2 2 2 2

x3cos

2 - 5 0

xcos

2 + 1

xcos 1

2

Trigonometría

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Luego: x

2k 12

x 2 2k 1 k 0 x 2

k 1 x 6

Suma = 8

RPTA.: D

23. Dado el sistema:

x y2

cosx 3 2 cosy

Indique una solución general de y

k

A) k24

B) k12

C) k10

D) k6

E) k3

RESOLUCIÓN

Como:x y cosx cos y seny2 2

Luego en: cosx 3 2 cosy , se tiene:

tgy 2 3 y k ,k12

RPTA.: B

24. Dado el sistema:

6

senx seny2

2

cosx cosy2

Halle: “x” y “y”, si 0 x ;

0 y

A) 7

x ;y12 12

B) 7

x ;y10 10

C) 3

x ;y4 2

D) 2

x ;y3 4

E) 3

x ;y8 8

RESOLUCIÓN

Como:

a)6 x y x y

senx seny 2sen cos2 2 2

=6

2………………………………….……(1)

Como:

b)2 x y x y

cosx cosy 2cos cos2 2 2

=2

2……………………………………..(2)

(1) (2)

x y 2tg 3 x y

2 3

………

También:

2

a : 2 2 3sen x sen y 2senx seny

2 ……(3)

2 2 2 1

b : cos x cos y 2cosx cosy2

.….(4)

(3) + (4):

2 2cos x y 2 cos x y 0 x y2

…

: 7 7

2x x6 12

: 2y y6 12

RPTA.: A