Trigonometría

Página 1

SEMANA 11

ÁNGULO DOBLE

1. Si: 1

sen x cosx 5

Halle: H sen 2x

A) 1

5 B)

2

5 C)

3

5

D) 4

5 E)

5

8

RESOLUCIÒN

2

2 1senx cosx

5

11+sen2x

5

4

sen2x5

RPTA.: D

2. Si: 1

tg3

Halle: “cos2”

A) 1

5 B)

2

5 C)

3

5

D) 4

5 E)

5

12

RESOLUCIÒN

1

tg3

2

2

1 tgcos2

1 tg

2

2

1 1 81 13 9 9cos2

1 101 11 9 93

4

cos25

RPTA.: D

3. Si: 3 3 1senxcos x sen xcosx

8

Halle: 2H sen 4x 1

A) 1

4 B)

5

4 C)

5

8

D) 3

4 E)

2

5

RESOLUCIÒN

3 3 1senxcos x sen xcosx

8

2 2 1senxcosx cos x sen x

8

12senxcosxcos2x .2

8

12sen2xcos2x 2

4

1sen4x

2

2E sen 4x 1

1E 1

4

5E

4

RPTA.: B

4. Calcule: M cos12 cos24 cos48 cos96

A) 0,125 B) 0,625

C) -0,125 D) -0,625 E) -0,0625

RESOLUCIÒN

Como: sen2a

cosa2sena

sen24º sen48º sen96º sen192ºM

2sen12º 2sen24º 2sen48 2sen96º

sen 180º 12º sen12º1 1 1M

8 sen12º 8 sen12º 8

M 0,125

RPTA.: C

Trigonometría

Página 2

5. Si: 6

H 16sen cos cos2 cos4

A) 1 B) 2 C) 1

2

D) 3 E) 3

2

RESOLUCIÒN

H 2 2 2 2 sen cos cos 2 cos4

H 2 2 2 sen2 cos2 cos 4

H 2 2 sen4 cos 4

H 2 sen8

H 2sen8

H 2 sen 8 30º 2sen240º

3

H 2 sen60º 22

H 3

RPTA.: D

6. Reducir:1 cos4 sen4

A1 cos4 sen4

A) tg B) 2tg C) tg2

D) ctg2 E) 2ctg 2

RESOLUCIÒN

1 cos4 sen4

A1 cos4 sen4

2

2

2cos 2 2sen2 cos2A

2sen 2 2sen2 cos2

2cos2 cos2 sen2

2sen2 sen2 cos2

cos2

Asen2

A ctg2

RPTA.: D

7. Reducir

G tg10 2tg20 4ctg40

A) tg 50º B) ctg 10º C) tg 20º D) ctg 20º E) 1

RESOLUCIÒN

G tg10º 2tg20º 2 2ctg40º

G tg10º 2tg20º 2 ctg20º tg20º

G tg10º 2tg20º 2ctg20º 2tg20º

G tg10º 2tg20º

G tg10º ctg10º tg10º

G ctg10º

RPTA.: B

8. Reducir:

cos2 sen4H

1 cos2 1 cos4

A) tg B) tg2 C) ctg

D) 1 E) 2tg

RESOLUCIÒN

cos2 sen4E

1 cos2 1 cos4

2 2

cos2 2sen2 cos2E

2cos 2cos 2

2

sen2 2sen cosE

2cos 2cos cos

E tg

RPTA.: A

9. Halle “x”

A) 17

15 B)

8

15 C)

1

15

D) 4

15 E)

5

18

1

4

x

Trigonometría

Página 3

RESOLUCIÒN

2

2tgtg2

1 tg

2

12

4tg2

11

4

182tg2 tg2

15 15

16

8 x 1 32

x 115 4 15

17

x15

RPTA.: A

10. Si : 3tg a b tg b , halle tg 2b

A) ctg a B) 4 tg a C) 2 tg a

D) 2 ctg a E) tg a

RESOLUCIÒN

3tga tgbtg b

1 tgatgb

4 2tga 1 tg b tgb(tg b 1)

2 2 2tga 1 tg b 1 tg b tgb(tg b 1)

2

tgbtga

1 tg b

2tga tg2b

RPTA.: C

11. Siendo: 2tan2x 8cos x cot x

Halle: M 2sen4x 1

A) 1

2 B) 1 C)

3

2

D) 2 E) -1

RESOLUCIÒN

2tan2x cot x 8cos x

2 2cos 2x xsen2x cosx

8cos x 8cos xcos2x senx cos2x senx

1 4 2senx cosx cos2x

1

1 sen 4 x=

2

luego: M= 1

2 1 22

RPTA.: D

12. Si: 94

tg

Halle E = 2ctg

A) - 9

40 B)

5

18 C)

1

40

D) 11

40 E)

1

25

RESOLUCIÒN

tg tgx 94

x x4 4

M ctg2 ctg 2 x4

M ctg 2x tg2x2

1

4

x

Trigonometría

Página 4

2 2

2 92tgx 18M

1 tg x 1 811 9

18

M80

9

M40

RPTA.: A

13. Si x8 4

; además :

3

4cos xxsen

Halle: xsen4

A) 56 2

243 B)

17 2

243 C)

13 2

243

D) 16 2

243 E)

56 2

243

RESOLUCIÒN

4

senx cosx3

Elevando al :

7

sen2x9

2x4 2

Se pide: sen4x 2sen2xcos2x

56 2

sen4x81

RPTA.: B

14. Si 3

14cos x

E = xxx 4cos12cos1cos41 2

A) 1

3 B)

1

6 C)

1

9

D) 1

12 E)

1

18

RESOLUCIÒN

2 2M 1 4cos x 1 cos2x 2cos 2x

2 2 2M 1 4cos x 2sen x 2cos 2x

2 2M 1 4sen 2xcos 2x

2M 1 sen 4x

2M cos 4x

21 1

M M3 9

RPTA.: C

15. Hallar el máximo valor de:

E = 2

2 26 sen xcos x 2 senx cosx

A) 9

4 B)

13

4 C)

25

4

D) 19

4 E)

15

4

RESOLUCIÒN 2 2E 6 sen xcos x 2(1 2senxcosx) 2 2E 4 sen xcos x 4senxcosx

2

E 2 senxcosx

Pero: 1 1

senxcosx2 2

29 25

senxcosx 24 4

Se pide MÁX

25E

4

RPTA.: C

16. M = 1 3

sen10º cos10º

A) 3

2 B)

1

4 C) -2

2x

4 2

7

9

Trigonometría

Página 5

D) 1

2 E) 4

RESOLUCIÒN

1 32 cos10º sen10º

2 2M

sen10ºcos10º

2 cos10ºcos60º sen60ºsen10ºM 2.

2.sen10ºcos10º

4 cos60 10º 4sen20º

Msen20º sen20º

M= 4 RPTA.: E

17. Si 2 3cos 2x cos 2x cos2x 1

Halle:

E = 2 3tgx tg x tg x

Si x 0;4

A) 4 B) 5 C) 2

D) 1 E) 3

RESOLUCIÒN

Del dato:

2cos 2x 1 cos2x 1 cos2x

2 2 2cos 2x 2cos x 2sen x

cos2x cosx senx

cos2x tgx

2

2

1 tg xtgx

1 tg x

2 31 tgx tg x tg x

1= E RPTA.: D

18. Reducir G =

22

4 6

4tg 1 tg

2sec sec

A) sen4 B) sen2

C) cos2 D) cos4

E) 2sen 4

RESOLUCIÒN

2 2

4 2

4tg 1 tg 1 tgG

sec 2 sec

2 2

22 2

4tg 1 tg 1 tgG

1 tg 2 1 tg

2 2

2 2 2

4tg 1 tg 1 tgG

1 tg 1 tg 1 tg

G 2 sen2 cos2

G sen4

RPTA.: A

19. Simplifique

2atgx bctgx actgx btgx 4abctg 2x

A) 2 2a b B) 2 2a b

C) 2

a b D) 2

a b

E) 2

2 2a b

RESOLUCIÒN

2 2 2 2 2E a abtg x abctg x b 4abctg 2x

2 2 2 2 2E a b ab tg x ctg x 4ctg 2x

Pero: ctgx tgx 2ctg2x

Elevando al :

2̈ 2 2ctg x tg x 4ctg 2x 2

2 2E a b ab(2)

2

E a b

RPTA.: C

20. Reducir la suma de los “n” primeros términos de:

M = 2 2 2sec xtan2x sec 2x tan4x sec 4x

2tan8x sec 8x tan16 x ........

A) ntan2 x

Trigonometría

Página 6

B) n2 tan2 x tanx

C) n xtan2 x tan

2

D) n2 tan2 x tanx

E) n x2 tan2 x tan

2

RESOLUCIÒN

M=2 2 2sec .x tan2x sec 2x.tan4x sec 4x.

2tan8x sec 8x.tan16x .......

Como:

2sec a tan2a 2 tan2a tana

2sec x tg2x 2 tg2x tgx

2sec 2x tg4x 2 tg4x tg2x

2sec 4x tg8x 2 tg8x tg4x

. .

.

2 n n n 1sec nx tg2 x 2 tg2 x tg2 x

nM 2 tg2 x tgx

RPTA.: B