trigonometría y ejercicios

8/16/2019 Trigonometría y Ejercicios

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La Matemática y la Arquitectura: Trigonometría

Introducción:

El origen de la trigonometría se asocia a la necesidad de dar respuesta a ciertos interrogantes y

requerimientos como por ejemplo:¿es posible construir un triángulo con ciertas características

predeterminadas?, conocidos ciertos elementos del triángulo ¿cómo determinar los restantes?.Es po

ello que los antiguos babilonios y los egipcios iniciaron el camino de este estudio para dar respuesta a estas y

a muchas otras preguntas.

Según Vitrubio1 en su obra De Architectura2 la Arquitectura descansa en tres principios: la Belleza

(Venustas), la Firmeza (Firmitas) y la Utilidad (Utilitas) que es la base del uso y/o función de la

arquitectura.

La arquitectura puede definirse, entonces, como el equilibrio entre estos tres elementos, sin

sobrepasar ninguno a los otros. No tendría sentido tratar de entender un trabajo de arquitectura sin

aceptar la importancia de estos tres aspectos fundamentales.

Es así como el proyecto de una obra de Arquitectura, pone al arquitecto frente a un problema de diseño que

requiere de él una solución integral que contemple:

• Dominio del diseño funcional

• Manejo fluido de la tecnología

• El desarrollo de criterios estético-perceptuales con el único gran objetivo de lograr una adecuada

resolución integral de los espacios prefigurados

La Matemática como ciencia básica, aparece así como herramienta y recurso fundamental para dar respuesta

a diversos problemas que trae aparejado el diseño.

¿Qué particular relación tiene la arquitectura con esta rama fascinante de la matemática, como lo es la

trigonometría? Porqué para los arquitectos, el manejo de la trigonometría es la llave que permiteresolver la mayoría de las situaciones formales, funcionales y tecnológicas que implica el desarrollo

de una obra de arquitectura?

Atendiendo a lo expresado por Vitrubio analicemos sus tres principios fundamentales referidos a la

obra de arquitectura:

Forma: (Venustas)

Desde siempre la belleza de las formas estuvo ligada con el manejo de la geometría ordenadora tanto en e

plano como en el espacio. El trabajo con planos triangulares permite la generación de volúmenes armónicos

con heterogénea morfología.

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Pirámide del Museo de Louvre - Arq.Pei

En los ejemplos mostrados a continuación

puede observarse cómo la sencillez

del triángulo permite definir objetos arquitectónicos de

gran belleza y funcionalidad.

La trigonometría es la rama de la Matemática que permite resolver estos polígonos revelando, a través de

cálculos, el valor de sus lados y de sus ángulos. Esta posibilidad se extiende a la resolución de cualquier

polígono ya que es posible descomponer cualquier figura poligonal cerrada en figuras triangulares.

Función: (Utilitas)

La resolución de plantas triangulares originadas ya sea por las características propias del terreno o por la

decisión del diseñador de crear una unidad funcional-morfológica se realiza utilizando la trigonometría. Ello

permite satisfacer la necesidad de conocer con precisión perímetros y superficies que llevará a realizar una

correcta elaboración del cómputo y presupuesto de materiales que demandará la materialización del proyecto

En los ejemplos mostrados a continuación pueden observarse las obras arquitectónicas que difieren en

función en variados e importantes aspectos pero que comparten un concepto de forma: el triángulo.

Torre Hearst –Norman Foster

Jorge Sánchez de las PeñasCasa Triangular

(Planta tipo y perspectiva del conjunto)


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Tecnología :

Es quizá en el terreno de la concreción de la obra o materialidad de la misma donde se aprecia el uso del

triángulo como la figura estáticamente estable e Indeformable por excelencia. A partir de este concepto

elemental desde el punto de vista estructural, es posible generar tramas y estructuras triangulares en el plano

y el espacio de singular belleza. Otra vez la trigonometría, con el manejo del triángulo ,hace su aporte

permitiendo el cálculo estructural y el cómputo de material requerido para

la construcción segura de dicha estructura (Cálculo y cuantificación).

Los ejemplos que se adjuntan, muestran desde una unidad Triangular

espacial básica y también una estructura radial circular resuelta con

triángulos para rigidizar y estabilizar la misma, hasta el magnifico

edificio del Estudio del Arquitecto Foster & Partners

para Swiss Reinsurance Company.

La Trigonometría además permitirá resolver situaciones que exigen herramientas matemáticas para resolver

entre otras las siguientes situaciones:

• Determinar la altura de un edifico bajo un determinado

ángulo de mira.

• Definir la pendiente de cubiertas.


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• Definir la pendiente de rampas.

• Determinar proyecciones de sombras de aleros y galerías.

• Determinar la posición de un objeto con respecto a otro y a su vez con

el observador, estableciendo además distancias y ángulos relativos

entre sí y con el plano de sustentación o apoyo.

En verdad, este listado no se agota aquí, sino que, desde la Trigonometría estudiaremos la resolución denumerosas temáticas propias de la Arquitectura durante el cursado de nuestra asignatura.


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Aplicación – Ejercitación

Según Vitrubio «la arquitectura es una ciencia que surge de muchas otras ciencias, y adornada con

muy variado aprendizaje; por la ayuda de que un juicio se forma de esos trabajos que son el resultado

de otras artes. La práctica y la teoría son sus padres. La práctica es la contemplación frecuente y

continuada del modo de ejecutar algún trabajo dado, o de la operación mera de las manos, para la

conversión de la materia de la mejor forma y de la manera más acabada. La teoría es el resultado de

ese razonamiento que demuestra y explica que el material forjado ha sido convertido para resultar

como el fin propuesto. Porque el arquitecto meramente práctico no es capaz de asignar las razonessuficientes para las formas que él adopta; y el arquitecto de teoría falla también, agarrando la sombra

en vez de la substancia. El que es teórico así como también práctico, por lo tanto construyó

doblemente; capaz no sólo de probar la conveniencia de su diseño, sino igualmente de llevarlo en

ejecución ».

Si atendemos a los conceptos del propio Vitrubio, nuestra tarea ahora es pasar a la práctica luego de haber

incorporado con entendimiento la teoría. Te invitamos entonces a

resolver las siguientes situaciones problemáticas:

1) Conocidas ciertas medidas de la de la Pirámide de Ghiza enEgipto, ¿podrías determinar cuál es la pendiente de la cara de la

misma con respecto al plano de piso, expresada en %? Rta:127%

Datos:

• Altura actual = 146,65 m• Longitud de los lados de la base: 230,47 m

• Recuerda que la base de la pirámide es cuadrada.

2) El ya tradicional árbol de Navidad de la Plaza España de la ciudad de Córdoba, brilla cada nocheprevia a dicha celebración. El árbol tiene una altura de 65 metros y es el más alto de Argentina. Tiene30 m de ancho en su base. Esta temporada se encenderá con 360 líneas lumínicas multicolores, 120

tensores de acero y 500 bolas lumínicas multicolor de tecnología Led y bajísimo consumo. Edespliegue de luces está coordinado por un sistema computarizado de encendido y efectos lumínicosde un software digital.

La estructura del árbol tiene forma de cono recto circular.Si se efectúa un corte vertical es posible observar un triangulocomo el graficado.Se desea saber:

a) Qué cantidad de cable (en m) se necesitará para el montajeeléctrico de este árbol?.Rta: 24015 mb) A 45 m del suelo, se coloca sobre el eje del árbol, una

estructura circular menor que sirve para el tensado y accesoal mismo. ¿Cuál es el perímetro de esa estructura circular?Rta: 29,00 mc)¿Cuál es el área ocupada por el árbol para su implantación

en la Plaza España?(base del mismo)Rta:706,85 m


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3 ) El magnífico edifico diseñado por el Arq. Pei posee las siguientes características:

Cliente: Bank of China Hong Kong

Arquitecto: Pei Cobb Freed & Partners

Uso principal: Oficinas

Superficie: 135.000 m²

Plantas: 75ó: 367,4 metros

Estructura: Mixta, hormigón y acero

a) Determina cuál es la superficie en planta

que ocupa este edificio.Rta:7921 m²

b) Se sabe que el plano inclinado indicado

tiene una una inclinación equivalente a 7

pisos de altura de la torre.¿Cuál es la

superficie en m² de vidrio que se empleo para

cubrirla?Rta:907,81 m²

Gráfico sin escala

Plantas de arquitectura nivel inferior (abajo)

y a partir del piso 25(arriba)

4) El edificio del Arquitecto Foster & Partners para Swiss

Reinsurance Compañía posee una altura total de 180 m y 40 pisos.Es la

estructura la que difiere de la de la mayoría de los edificios altos, que usan

el centro para la estabilidad lateral. Aquí la estructura está compuesta de

un núcleo central rodeado por una grilla de elementos de acero

interconectados en diagonal. El sistema portante de la torre está

asegurado por esta armadura exterior de acero cuya pieza fundamental

está formada por dos potentes V invertidas, que tienen la altura de

dos niveles. Son 18 piezas las que componen cada anillo de la

estructura que, completa, tiene 19 anillos superpuestos.

Gráfico sin escala


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a) Determina las dimensiones de las V que constituyen en su conjunto un rombo (lados). Rta: 5.03 m

b) Cual es la longitud total de las barras que componen esta estructura de doble V, si lo que se

pretende es realizar un cómputo métrico de esta pieza y del total de las mismas.

Rta: Cada rombo insume 20.12 m lineales de acero y el total 6881,04 m.

c) Investiga acerca de las características ecológicas de este edificio que Foster diseñó especialmente

para que fuera sustentable. Te invitamos, antes que nada, a buscar el significado del concepto de

sustentabilidad aplicado al campo de la arquitectura.

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