trigonometria sem 2
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11SAN MARCOS REGULAR 2015 – III TRIGONOMETRÍA TEMA 2
SOIII2T2
TRIGONOMETRÍATEMA 2
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
DESARROLLO DEL TEMA
I. INTRODUCCIÓN Sabemos que todo triángulo tiene seis elementos básicos,
tres lados y tres ángulos.
Además otros elementos auxiliares como alturas, medianas, bisectrices, etc.
Resolver un triángulo consiste fundamentalmente en hallar los elementos básicos de este, para lo cual debemos conocer por lo menos tres de sus elementos (necesariamente uno de ellos no angular).
II. TRES CASOS
1.er Caso Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo
agudo.
q
ay
x
Para “x”xa
= Cosq → x = aCosq
Para “y”ya
= Senq → y = aSenq
2.do Caso Conociendo un ángulo agudo y longitud de su cateto
opuesto.
q
ya
x
Para “x”xa
= Cotq → x = aCotq
Para “y”ya
= Cscq → y = aCscq
3.er Caso Conociendo un ángulo agudo y la longitud de su cateto
adyacente.
q
yx
a
Para “x”xa
= Tanq → x = aTanq
Para “y”ya
= Secq → y = aSecq
III. ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR
q
a
b
S S = a.b2
Senq
Ejemplo:Calcule el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm, AC = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37°.Resolución:
5
37°6
S = 12
. 5 . 6 Sen37°
S = 12
. 5 . 6 JKL
35
NOP
S = 9 u2
IV. LEY DE PROYECCIONES En todo triángulo ABC; se cumple:
c a
bA
B
C
aCosB + bCosA = c
bCosC + cCosB = a
aCosC + cCosA = b
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
22 SAN MARCOS REGULAR 2015 – IIITRIGONOMETRÍATEMA 2
Problema 1De la figura S1 y S2: áreas. Calcular S1
S2
.
S1
S2
A) Senq B) Cosq C) Sec2qD) Csc2q E) Sen2q
Resolución:Sabemos
ab
S
q
S = ab2
Senq
Asignamos variables en la figura:
S1
S2
a
b
n
Aplicando fórmula:
S1
S2 =
an3
Senq
bn3
Senq = a
b
De la figura: S1
S2 = Sec2q
Respuesta: Sec2q
Problema 2
De la figura AC = DE = a
a
q
A E B
C
D
DC = b. Halla b/a.A) (Sena – Cosq)B) (Csca – Secq)C) (Tga – Ctgq)D) (Csca – Cosq)E) (Cosq – Csca)
Análisis del problema:
Se sabe:
q
mmSenq
mCosqResolución:
a
q
A
a
a
E B
C
D
b
aCosq
aSena
En el triángulo ABC,BCa = Cosq → BC = aCosq
En el triángulo EBD,BDa = Senq → BD = aSenq
aSena = aCosq + b → a(Sena – Cosq) = b
→ Sena – Cosq = ba
Respuesta: (Sena – Cosq)
Problema 3
Dado un triángulo ABC y siendo "p" el semi-perímetro determinar qué repre-senta la siguiente expresión:K = (a+b)CosC + (a+c)CosB + (b+c)CosAA) 2p B) p C) p + aD) p – a E) p + b
Resolución:De acuerdo con la ley de proyecciones, se sabe:Dado el triángulo ABC:aCosB + bCosA = caCosC + cCosA = bbCosC + cCosB = a
PlanteamientoAplicando la propiedad distributiva:K = aCosC + bCosC + aCosB + cCosB +
bCosA + cCosA
Análisis de los datos
Agrupando convencionalmente:
K = (aCosC + cCosA) + (bCosC+cCosB) + 14444244443 14444244443 b a (aCosB+bCosA) 14444244443 c K = a + b + c p: perímetro
Respuesta: 2p
PROBLEMAS RESUELTOS
Prueba:Trazando una altura y aplicando uno de los casos mencionados anteriormente llegamos a:
AA
cCosA aCosC
B
C
c a
C
b
Se concluye:cCosA + aCosC = b
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
33SAN MARCOS REGULAR 2015 – III TRIGONOMETRÍA TEMA 2
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación de 37°, nos acercamos en línea recta 5m el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es 45°. Calcule la altura del muro.A) 10 m B) 12 m C) 13 mD) 15 m E) 16 m
2. En base a los datos de la figura indique (x) en terminos de (a) y (b) y (m).
m
b
ax
A) m(tana+tanb) B) m(cota+cotb) C) m(tana+cotb) D) m(cota+tanb) E) mcota+tanb
3. Calcule el área de la región sombreada
73
8
q
A) 772
senq B) 28senq
C) 212
senq D) 332
senq
E) 27senq
4. De la figura mostrada determine (x) en términos de (q) y (m)
45°
qm
2x
A) m(cotq+1)–1 B) m(tanq+1)–1
C) m(cotq–1)–1 D) m(tanq–1)–1
E) m(1–cotq)–1
5. Del gráfico mostrado P, Q, R son puntos de tangencia. Calcule e l área de la región sombreada.
rP
Q
R
q
A) r2(1+senq) B) r2(1+cosq)C) r2(1+senq) D) r2(1+cosq)E) r2(1+cotq)
PROFUNDIZACIÓN
6. Si AC=12; BC=5;CD=6
Calcule K= 133tanq+12cscq
E
DC
BAq
A) 29 B) 30 C) 31D) 32 E) 33
7. Desde un muro de 4m de altura, observa una casa de la siguiente manera. La parte superior con un ángulo de 37 y la base del mismo con una depresión angular de 45°. Calcule la altura de la casa.A) 6 m B) 5 m C) 7 mD) 8 m E) 9 m
8. Del gráfico se sabe: 3AB = 5AD, calcule Cosy Cscx
y CB
A
D
x–y
A) 35
B) 65
C) 53
D) 73
E) 85
9. Indique (x) en términos de (m), (a) y (q).
a
qa
x
A) a(1+cotq cota)senq B) a(1–tanq tana)senq C) a(1–cotq cotq)cosq D) a(1+tana tanq)secq E) a(1+tana tanq)cscq
SISTEMATIZACIÓN
10. Del gráfico AB=CD=3 BD=1 Calcule K=5 10 senq
q
D CB
A
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
11. Desde un punto en tierra se ubica lo alto de un edificio con un ángulo de elevación (a), nos acercamos en línea recta una distancia (d) y el nuevo ángulo de elevación es (b). Calcule la altura del edificio.A) d(tana +tanb)–1
B) d(tana –tanb)–1
C) d(cota –cotb)–1
D) d(cotb –cota)–1
E) d(sena +senb)–1
12. Si el área de la región sombreada es 0,5 seca secb. Calcule cos (a+b)
a
bb
a
A) 1ab
B) 2ab
C) 3ab
D) ab E) ab2