trigonometria no triângulo retângulo
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Trigonometria no Triângulo Retângulo
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Contexto historico
Surgimento da Trigonomia
Qual ferramenta utilizada na Trigonometria?
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Relacionando lados e ângulos A trigonometria tem sua origem, portanto, na
necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo.
a hipotenusa BC = a
A
B
C
a
b
c o cateto AC = b o cateto AB = c
A = 90º B + C = 90º
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Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
c a2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺hipotenusa =sen ⍺ = c
a
cateto adjacente a ⍺hipotenusa =cos ⍺ = b
a
Razões trigonométricas
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Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
c a2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺ =tg ⍺ = cbcateto adjacente a ⍺
os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺.
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Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B.
12 16
A
BC
Teorema de Pitágoras
BC2 = AB2 + AC2
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144x2 = 400x = 20
20
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Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a Bhipotenusa
sen B = = 1220
= 35
= 0,6
cateto adjac. a Bhipotenusa
cos B = = 1620
= 45
= 0,8
12 16
A
BC20
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Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a Bcateto adjac. a B
tg B = = 1216
= 34
= 0,75
12 16
A
BC20
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Exemplos
Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
5 cm16
6 cmx
y
tg y = 65
= 1,2 ⇒ y ≈ 50º
x + y = 90º
⇒ x ≈ 40º
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Outras razões trigonométricas
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Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺hipotenusa =cosec ⍺ = a
c
cateto adjacente a ⍺hipotenusa
=sec ⍺ = ab
= 1sen ⍺
= 1cos ⍺
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Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺ =cotg ⍺ = bc
cateto adjacente a ⍺= 1
tg ⍺
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Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares
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Ângulos complementares
A
B
C
5
4
3
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ = 34
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ = 35 cos ⍺ = 4
5
tg = 43sen = 4
5 cos = 35
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Ângulos complementares
A
B
C
a
b
c
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ = 1tg
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ = cos cos ⍺ = sen
sec ⍺ = cosec cosec ⍺ = sec cotg ⍺ = tg
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1 cm
2 cmt
Exemplo
No triângulo retângulo da figura, temos:
I. sen t = ½ II. sec t = √52
III. tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III
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Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
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Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
1tg
½ cos
½ sen
60º 45º 30º
√2/2
√2/2
√3/2
√3/2
√3/3 √3
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Exemplos
A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.
x16
y30º
sen 30º = x12
12 cm
⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm
cos 30º = y12
⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm
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Exemplos
Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z.
30ºAB
C
D
xy
z 2 cm60º
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Identidades trigonométricas
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Identidades trigonométricas
Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para:
Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido.
Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
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Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
b2 + c2 = a2 (: a2)
b2
a2+ c2
a2= a2
a2
ba
+ ca = 1
2 2
sen ⍺
+ cos ⍺ = 12 2 ⇒ sen2 x + cos2 x = 1
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b/ac/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
sen ⍺cos ⍺
= = ba
. ac
= bc
= tg ⍺
tg x = sen xcos x
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c/ab/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
cos ⍺sen ⍺
= = ca
. ab
= cb
= cotg ⍺
cotg x = cos xsen x
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Identidades trigonométricas - Resumo
1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental
2) tg x = sen xcos x
3) cotg x = cos xsen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)= 1tg x
4) sec x = 1cos x
5) cosec x = 1sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)
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Exemplos
Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x.
sec x = 1cos x
⇒ sec2 x = 1cos2 x
⇒ sec2 x = sen2 x + cos2 xcos2 x
⇒ sec2 x = sen2 xcos2 x
+ cos2 xcos2 x
⇒ sec2 x = tg2 x + 1
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Exemplos
Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x.
cosec x = 1sen x
⇒ cosec2 x = 1sen2 x
⇒ cosec2 x = sen2 x + cos2 xsen2 x
⇒ cosec2 x = sen2 xsen2 x
+ cos2 xsen2 x
⇒ sec2 x = 1 + cotg2 x
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Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sen2 x + cos2 x
⇒ 35
+2
cos2 x = 1
⇒ 925
+ cos2 x = 1
⇒ 925–cos2 x = 1 = 25 – 9
25⇒ cos x =
= 1625
± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
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Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
tg x = sen xcos x
=
3545
= 34
cotg x = 1tg x
= 134
= 43
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Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sec x = 1cos x
= 145
= 54
cosec x = 1sen x
= 135
= 53
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Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
E1 =sen xcos x + cos x
sen x –1
cos x1
sen x.
E1 =sen2 x
sen x . cos x+ cos2 x – 1 = sen x . cos x
1 – 1 = 0
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cos xsen x
1cos x
1sen2 x
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E2 =cotg x . sec x
cosec2 x =.
=
1sen x
1sen2 x
E2 =1
sen x. sen2 x
1= sen x
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Ângulos e arcos na circunferência
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O
Circunferência
AB
C
DE
Pr
r
r
rr
r
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Elementos
B
A
BAO O
Corda AB Diâmetro AB
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Elementos
A
B
Arco AB
Arco BA
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Arcos e ângulos
A ≡ B A ≡ B
arco completo arco nulo
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Arcos e ângulos
AB
Arco de meia volta
O
Arco AB
Arco BA
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Arco e ângulo central
A
B
O
C
D
E F
m(AB) = ⍺ m(CD) = m(EF) =
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120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o 270o 280o 290o300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
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130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o 270o 280o 290o300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
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70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o 270o 280o 290o300o
310o
320o
330o
340o
350o
1o
1º = 360 1
O grau como unidade de medida
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Exemplos Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a
circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes.
A
B
O
C
D
E F
AB = 360º6
= 60º
CE = 2 . 60º = 120º
⍺ = 60º e = 120º
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Exemplos A circunferência da figura tem 12 m de raio.
Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente.
A
BO 2 m
12 m
Arco(em graus)
2 m
⍺ = 360 . 2
24
Arco(em metros)
360º 24 m⍺
= 30º C = 2rC = 2..12C = 24
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O radiano como unidade de medida
A
R
O R
RB
Comprimento do arco (AB) = R
⇓m(AB) = 1 radiano
⇓ = m(AB) = 1 rad
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Exemplo
A
R
O R
1,5RBComprimento do arco (AB) = 1,5 R
⇓m(AB) = 1,5 rad
⇓ = m(AB) = 1,5 rad
= m(AB) = comprimentoR
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Arco completo
=comprimento
R
=2RR
RA ≡ B
O
= 2 rad
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9 cm
Exemplos
B
10,8 cm
A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB.
O
A =
comprimentoR
= 10,8 cm9 cm = 1,2 rad
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4 cm
Exemplos
B
30º
O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.
O
Aângulo
x
x = 2 .4.30360
comprimento
360º 2 R30º
2 3= ≈ 2, 1 cm
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R
Exemplos
B
40 cm
Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência.
O
A
R
= comprimentoR
5 = 40 cmR
5R = 40
⇒ R = 8 cm
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Arcos especiais
00oArco nulo
/290ºArco de ¼ de volta
180ºArco de meia-volta
2360ºArco completo
Medida em radianos
Medida em graus
Represen-tação
O
O
O
O
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Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a rad
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25
Exemplos
Transformar 72º em radianos.
180º rad
72º x
x = 72 . 180
= rad
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5.180
Exemplos
Exprimir rad em graus.
rad equivale a 180º.
x = 4
=
5
4
225º5.4
=