TRIGONOMETRÍA

ETIMOLOGÍA

Trigonometría viene de

Tri-gonos = tres ángulos = triángulo

y de metros = medir

Es decir, significa medida de ángulos

DEFINICIÓN

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

MEDIDAS DE ÁNGULOS:

•SISTEMA SEXAGESIMAL

•SISTEMA CENTESIMAL

•RADIANES

•SISTEMA SEXAGESIMAL

La circunferencia se divide en 360 partes iguales.

Cada una de ellas es un grado sexagesimal.

Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

En la calculadora aparece con la denominación DEG

Notación:

30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’

RADIANES

R

RUn radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia

Una circunferencia mide 2 radios y como cada radio da lugar a un radián:

360º equivalen a 2 radianes

¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián?

360º ___________ 2 rad x = 360º/2 = 57,29º

xº ___________ 1 rad

SISTEMA CENTESIMAL

0º

400º

100º

200º

300º

Cada cuadrante se divide en 100 partes.

En la calculadora aparece con la denominación GRA.

Actualmente apenas se utiliza.

0

0

De la misma manera, los siguientes ángulos son equivalentes :

180º ________ rad

90º ________ /2 rad

30º ________ /6 rad

60º ______ 2/6 =/3 rad

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En un triángulo rectángulo definimos las siguientes razones trigonométricas del ángulo agudo

x

yh

αcosαsen

xy

contiguocatetoopuestocateto

αtg

hx

hipotenusacontiguocateto

αcos

hy

hipotenusaopuestocateto

αsen

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Así mismo definimos las razones trigonométricas recíprocas:

x

yh

yh

αsen1

αcosec

xh

αcos1

αsec

yx

αtg1

αcotg

Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo

Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que:

y y' y''

x x' x''

'x''y'

x'y'

xy

αtg

Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen.

Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos.

De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad.

De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos:

R = 1

αseny1y

αsen

Circunferencia goniométrica

αcosx1x

αcos

y'αtg1y'

αtgThalesaplicandoxy

αtg

Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad:

sen2cos2 = 1

IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS

Como consecuencia de la primera igualdad se cumple:

-1 ≤ sen ≤ 1

-1 ≤ cos ≤ 1

Dividiendo ambos miembros entre sen2a:

1 + cotg2a = cosec2 a

Y dividiendo entre cos2a:

tg2a + 1 = sec2a

RAZONES DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES DEL 1er CUADRANTE

•ÁNGULO DE 60ºConsideremos un triángulo equilátero de lado la unidad.

Calculamos su altura h aplicando Pitágoras:

23

43

41

121

1h2

2

Hallamos las razones del ángulo de 60º en el triángulo rectángulo de la izquierda:

2

1

1

1/260ºcos

2

3h

1

h60ºsen

31/2

23

1/2

h60ºtg

•ÁNGULO DE 30ºConsideramos el mismo triángulo rectángulo que para el ángulo de 60º ya que su complementario es el de 30º:

60ºcos21

121

30ºsen

60ºctg31

2321

30ºtg

60ºsen23

h1h

30ºcos

•ÁNGULO DE 45ºConsideramos un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa la unidad

Aplicando Pitágoras:

22

21

x

2

222

2x 1

x x 1

22

x1x

45ºcos45ºsen

1xx

45ºtg

Las razones del ángulo de 45º serán:

R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

sen

cos

sen

sen

sen

sen

1

Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto

sen 90º = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0

cos 90º = 0

Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,

sen 0º = 0

cos 0º = 1radio=1

1

P(x,y)

O X

Y

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º

Ángulo coseno seno tangente

0º 1 0 0

90º 0 1 ∞

180º - 1 0 0

270º 0 -1 ∞

(1,0)

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

X

Y

O 1a

A

sen

cos

sen

cos

sen

cos

sen

cos

b

B

g

C

d

D

-1 0 1

El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1

1sen1

1cos1 -1

-1

1

++_ _

SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO

__ +

+

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

X

Y

O 1

A

a tg

cotg

tg

cotg

tg

cotg

tg

cotg

g

C

d

D

B

b

La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .

tg

gcot

+_

+ _

TANGENTE Y COTANGENTE

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE

a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

º

º -

sen = cos ( 90º - )

cos = sen ( 90º - )

tg = ctg ( 90º - )

º

º -

sen (180º - ) = sen

tg (180º - ) = - tg

cos (180º - ) = - cos

b1) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

b) ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE

GEOGEBRA

HTML

b2) ÁNGULOS y /2 +

sen ( /2 + ) = cos

cos ( /2 + ) = - sen

tg ( /2 + ) = - cotg

c) ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE

c1) y 180º +

sen (180º + ) = - sen

cos (180º + ) = - cos

tg (180º + ) = tg

c2) y 270 -

sen (270º-) = - cos

cos (270º-) = - sen a

tg (270º-a) = cotg a

d) ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE

d1) y 270 +

d2) y 360 – o

sen (270 + ) = - cos

cos (270 + ) = sen

tg (270 + ) = - ctg

sen (360º - ) = - sen

cos (360º - ) = cos

tg (360º - ) = - tg

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1.1. FUNCIÓN SENOFUNCIÓN SENO

2.2. FUNCIÓN COSENOFUNCIÓN COSENO

3.3. FUNCIÓN TANGENTE FUNCIÓN TANGENTE

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

7

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

0

a

sen a2

2

2

2

2

2

2

22

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

3

2

30 1 0 01

6

4

3

2

3

26

5 6

73

4

2

33

53

11 24

34

54

70

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

2

3

4

6

23

114

73

53

24

36

5 6

74

53

4

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

02

3

a

COS a2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

12

3

2

3

2

3

2

3 01 0 11

6

4

3

2

3

26

5 6

73

4

2

33

53

11 24

34

54

70

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

3

3

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

3

3

3

3

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = sen xy = cos x

y = tg x