trigonometria elemental iv bimestre

Captulo Pg.

I. Funciones trigonomtricas reales de variable real II .......................................................... 129

II. Funciones trigonomtricas inversas I ............................................................................... 141

III. Funciones trigonomtricas inversas II .............................................................................. 151

IV. Miscelnea sobre funciones trigonomtricas ..................................................................... 165

V. Ecuaciones trigonomtricas ............................................................................................. 169

VI. Resolucin de tringulos oblicungulos ............................................................................. 183

VII. Lmites trigonomtricos .................................................................................................. 193

VIII. Derivadas trigonomtricas .............................................................................................. 205

PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA

NDICE


Funciones trigonomtricasreales de variable real II

Captulo I

Determinacin del periodo principalSabemos que las funciones trigonomtricas son

peridicas (sen, cos, sec, csc: 2 ; tan, cot: ); sin embargoeste periodo es susceptible de ser modificado cuando sobrela funcin se efecte algn tipo de operacin o sobre lavariable. Aqu vamos a dar un criterio de anlisis del periodode una funcin:

Se define:

++==

R

}0{Zn

RC

}0{RB

}0{RA

C)0Bx(T.F.A)x(fy n

Donde su periodo es T; el cual slo va a depender de"n" y "B"; mediante el siguiente criterio:

nF.T. PAR IMPAR

sen; cos;sec; csc

tan; cot

T = piB

T =

T =

2Bpi

piB

A : Indica "estiramiento" o "encogimiento" vertical de lagrfica bsica.

C : Indica "desplazamiento" vertical de la grfica bsica.: Indica "desplazamiento" horizontal de la grfica

bsica.B : Indica "estiramiento" o "encogimiento" horizontal de

la grfica bsica (esto significa el periodo)

Por ejemplo:

y = f(x) = 2sen4x + 1 T =42pi

T =2pi

y = f(x) = 4cos25x - 1 T =5pi

y = f(x) = 3sen3(4x +2pi

) T =42pi

T =2pi

y = f(x) = 4tan7(5x -8pi

) + 3 T =5pi

y = f(x) = 2sen46x

+ 1 T =61pi

T = 6

Ahora bien, si la funcin a analizar no tiene lascaractersticas de la mostrada en la frmula, se deberusar la definicin matemtica de funcin peridica; es decir;dada: y = f(x), x, x + T, x - T Df. Se debe cumplir:f(x + T) = f(x); T : periodo principal de la funcin.

Por ejemplo, seale el periodo de:

y = f(x) = sen(cos2x), decimos: f(x + 1)

sen(cos2(x + 1)) = sen(cos2x)

sen(cos(2x + 2T)) = sen(cos2x)

2

Luego: 2T = 2 T =

1. Seale verdadero (V) o falso (F) en:

I. En la funcin: y = senx, posee un mximo.

II. En la funcin: y = senx, es decreciente.

III. En la funcin: y = senx, es creciente.

a) VVF b) FVV c) VVVd) VFV e) FVF

Resolucin:* Graficando la funcin: y = senx

diremos:

x

y

3pi2pi

pi2

pi2

-1

1

0

I. verdadera: mx. = 1

II. Verdadera:

III. Verdadera:

Problemas resueltos

Aplicacin:Seale verdadero (V) o falso (F) en:

I. En la funcin: y = cosx, es decreciente.

II. En la funcin: y = cosx, posee un mximo.

III. En la funcin: y = cosx, es creciente y

decreciente.

Rpta.: VFV

2. Seale si las funciones: y = f(x) = senx.cos2x; y = g(x) = tan3xcosx2sen|x|son pares (P) o impares (I).

a) P, P b) P, I c) I, Id) I, P e) No se puede precisar

Resolucin:

Recuerde que: f(x) = f(x) : par y f(-x) = -f(x) : impar

i. f(x) = senx.cos2x f(-x) = sen(-x) cos(-2x)

f(-x) =)x(fx2cos.senx

)x(f

=

f : es imparii. g(x) = tan3x.cosx2sen|x|

g(-x) = tan(-3x)cos(-x)2 sen|-x|

g(-x) =)x(g|x|senxcos.x3tan

)x(g

2=

g : impar I, I

Aplicacin:

Seale si son pares o impares:y = f(x) = senx3

y = g(x) = tanx2 + cosx

Rpta.: I, P

3. Grafique en [0; 2pi], la funcin: y = tanx.cosx

a) x

y

b) x

y

c) x

y

d) x

e) x

y

Resolucin:* En la funcin:

y = tanx.cosx y =xcos

senx.cosx

recuerde que:cosx 0 x 90 y 270

x 2pi

;23pi

quedara:

x

y1

-1

2pipi2

32pi

0

y = senx; x 2pi

;23pi

Aplicacin:Grafique en , la funcin: y = f(x) = cotx.senx

4. Grafique en [0; 2pi], la funcin: y = f(x) = sen2x.secx + senx

a) x

y3

-3b) x

y3

-3

c) x

y3

-3d) x

y2

-2

e) x

y2

-2

Resolucin:

* En la funcin:

y = sen2x.secx + senx y = sen2xxcos

1 + senx

Note que:

cosx 0 x 2pi

;23pi

Reduciendo:

y = 2senx.cosx .1

cosx + senx

sen2x = 2senx.cosx

y = 2senx + senx y = 3senx

Note que esta funcin triplica los valores del senx;lo que se va a reflejar en la grfica como un estiramientode la curva: y = senx. As:

x

y

0-1

-3

1

3

pi2

3pi2

2pi

Aplicacin:Grafique en , la funcin:

y = h(x) = sen2x.cscx + 2cosx

5. Acerca de la funcin: y = f(x) = 2senx + |senx|se afirma:

I. Su valor mximo es 3.II. Su valor mnimo es -1.III. Su periodo es 2pi.

Cules son verdaderas?

a) Slo I b) I y III c) I y IId) Slo III e) Todas

Resolucin:En este caso, recuerde:

|x| =

+ es inyectiva

En < - ; + > no es inyectiva

yx

y = x2 1

y

x- pi pi2

32pi 5

2pipipi

22pi

-1

En < - ; 0 ] es inyectiva

En [ 0 ; + > es inyectiva

En < - ; + > no es inyectiva

En es inyectiva

En es inyectiva

En es inyectiva

pi2

pi2

;

pi2

3pi2

;

3pi2

; 5pi2

Cuando una funcin: y = f(x) es inyectiva en todo su dominioy deseamos obtener su inversa; cambiamos: y x; x y;por ejemplo as:

y = f(x) = 3x + 2 : es inyectiva en todo su dominio.

y

x

Luego: y = 3x + 2

x = 3y + 2 x - 2 = 3yx - 2

3= y

y = f* = es la inversa de: y = f(x)(x)x - 2

3

Cuando revisamos las funciones trigonomtricas,podemos notar que todas ellas son peridicas y enconsecuencia no son inyectivas; por lo que es necesarioredefinirlas restringiendo su dominio a un intervalo dondes sea inyectiva, sin alterar su rango.

y

x

1

pi2

pi2

0 32pi

32pi

2pipi

-1

y

x2pipipi2

pi2

y

x

y = x

f

f*

y

x

y = x

f*

f

Observacin: Para graficar la inversa de una fun-cin "F", se refleja la curva de "F" respecto ala recta y = x; de manera simtrica. Por ejemplo:

Definicin de las funciones trigonomtricas inversasI. F.T. seno inverso o arco seno:

Partimos de: y = f(x) = senx

tomamos: Df:

pipi

2;

2

Rf : [-1 ; 1]

Hallamos su inversa:

y = senx

x = seny y = f*(x) = Arcsenx

Cumplindose adems:

D*f = Rf : [-1; 1]

R*f = Df :

pipi

2;

2

Verificndose que: Arcsen(-x) = -Arcsenx

x32pi 5

2pipi 2pipi

232pi pi

2

y

1

-1

pi

y

x1-1

pi2

pi2

II. F.T. coseno inverso o arco coseno:

Partimos de: y = f(x) = cosxtomamos: Df : [0; ]

Rf : [-1; 1]

Hallamos su inversa:y = cosx

x = cosy y = f*(x) = Arccosx

Cumplindose adems:

D*f = Rf : [-1; 1]R*f = Df : [0; ]

Verificndose que:Arccos(-x) = -Arccosx +

x52pi2pipi

2

y

1

-1

- pi pi2

pi 32pi 3pi

y

x

pi

1-1

III. F.T. tangente inverso o arco tangente:

Partimos de: y = f(x) = tanx

tomamos: Df : 2;

2pipi

Rf = Hallamos su inversa:y = tanx

x = tany y = f*(x) = Arctanx

Cumplindose adems:

D*f = Rf :

R*f = Df : 2;

2pipi

Verificndose que:Arctan(-x) = -Arctanx

Los problemas que vamos a ver a continuacin, tienenque ver con la obtencin del dominio, rango y grfico defunciones; y para anlisis adicionales.

32pi

y

x2pipipi

2pi2

52pi

y

x

pi2

pi2

1. Seale el dominio de la funcin:y = f(x) = 2Arcsen(2x - 1) + pi

a) [0; 1] b) [-1; 1] c) [0; 2]

d)

21

;21

e) [-1; 2]

Resolucin:

Recuerde que si: = Arcsena ; para que tenga sentido:-1 a 1 ya que: a = sen y -1 sen 1 (C.T.)

Luego en la funcin: y = f(x) = 2Arcsen a

)1x2( + ;

-1 a 1-1 2x - 1 10 2x 2 (sumando 1)0 x 1 (dividiendo entre 2)

Df : [0; 1]

Aplicacin:Seale el dominio de la funcin:

y = f(x) = 2Arcsen(x + 3) + 2pi

Rpta.: [-4; -2]

2. Seale el dominio de la funcin:

y = f(x) = 2Arccos(x - 3) + 3pi

a) [1; 2] b) [-1; 1] c) [-1; 2]d) [2; 3] e) [2; 4]

Resolucin:

Recuerde que si: = Arccosa; para que tenga sentido:-1 a 1; ya que : a = cos y : -1 cos 1 (C.T.)Luego en la funcin:

y = f(x) = 2Arccos 3)3x(

a

pi+ ; -1 a 1

-1 x - 3 12 x 4 (sumando 3) Df : [2; 4]


y = f(x) = 3Arccos(3x - 2) + 4pi

Rpta.:

1;31


y = f(x) = Arcsen 43x

pi+

a) [2; 3] b) [2; 4] c) [3; 4]d) [0; 3] e) [1; 3]

Resolucin:

Recuerde que: 0a ; para todo: a 0

En el problema: y = f(x) = Arcsen ;3xa 0 a 1

)3sumando(4x3)cuadradoalelevando(13x0

13x0

Df : [3; 4]


y = f(x) = 2arcsen 61x

pi++

Rpta.: [-1; 0)


y = f(x) = 2Arccos ( ) 222x pi+a) [1; 5] b) [3; 7] c) [4; 11]d) [3; 11] e) [6; 11]

Resolucin:Tenemos en la funcin:

)2sumando(11x3)cuadradoalelevando(92x1

)2sumando(32x1

122x1

Df : [3; 11]


y = f(x) = 31

Arccos ( ) pi++ 31xRpta.: [3; 15]


y = f(x) = Arctan 314x3x2

pi+ +

Problemas resueltos

a) b) c) d) e)

Resolucin:

En la funcin:

y = f(x) = Arctan 314x3x2

pi+ +

x2 - 3x - 4 0(x - 4) (x + 1) 0 (factorizando)

Por puntos crticos:

+ - +-1 4 +

x

-

D : < - ; - 1] [4 ; + >f


y = f(x) = 2Arctan

+

13x1x

Rpta.:

c) 34

;32 pipi

d) pipi

;32

e) 34

;3

pipi

Resolucin:

Partimos de:

2xtanArc

2pi

Resolucin:

Recuerde que: a IR : a2 0

En el problema: y = 2Arcsenx2 0 x2 1

Luego: 0 Arcsenx22pi

0 y

2Arcsenx2 pi (multiplicando por 2)

Rf : [0 ; ]

Aplicacin:

Seale el rango de la funcin: y = f(x) = 3Arcsenx2 +

2pi

Rpta.:

pi

pi2;

2

12.Seale el rango de la funcin:

y = f(x) = 2Arcsen 621

x2pi

+

+

a)

pipi35

;2 b)

pipi

32

;2 c)

pipi

;2

d)

pipi

34

; e)

pipi65

;2

Resolucin:

En la funcin: y = f(x) = 2Arcsen 621

x2pi

+

+

Recuerde que: x2 0 y que: -1 x2 +21

1 .... (1)

pero:21

21

x2 + ........ (2)

Luego, de (1) y (2): 121

x21 2 +

2)

21

x(Arcsen6

2 pi+pi

pi+pi )21

x(Arcsen23

2 (multiplicando por 2)

65

6)

21

x(Arcsen22

y

2 pipi++pi

(sumando 6pi

)

Rf :

pipi65

;2

Aplicacin:Seale el rango de la funcin:

y = f(x) = 2Arcsen(2x2 +

23

) + 6pi

Rpta.:

pipi67

;65

13.Grafique: y = f(x) = 2Arcsen 22x pi

+

a) b)

32pi

pi2

y

x-2 2

32pi

pi2

y

x-2 2

c) d)

32pi

pi2

y

x1/21/2

32pi

y

x1/2pi2

1/2

e)

32pi

pi2

y

x1-1

Resolucin:

En la funcin: y = f(x) = 2Arcsen 22x pi

+

Hallamos el dominio:

2x212x

1

Hallamos el rango:22

xArcsen2

2pipi

pipi2x

Arcsen2

23

y22

322

xArcsen2

2y

pipipipi+pi

Ubicamos en el plano cartesiano:

y

x2-2

32pi

pi2

Aplicacin:

Grafique: y = f(x) = 3Arcsen 23x pi

+

y

x3-3

2pi

pi

14.Grafique a la funcin: y = f(x) = Arcsenx + 2Arccosx

a) b)

y

x

y

x

c) d)

y

x

y

x

e)

y

x

Resolucin:En la funcin:

y = f(x) = Arcsenx + 2Arccosx

y = f(x) = xcosArcxcosArcArcsenx

2

++

pi

y = f(x) = 2pi

+ Arccosx

Hallamos el dominio: -1 x 1

Hallamos el rango: 0 Arccosx

23

y22

3xcosArc

22y

pipipi+pipi

llevndolo al plano cartesiano:

y

x

pi2

32pi

-1 1

Aplicacin:

Grafique la funcin: y = f(x) = 2Arcsenx + 3Arccosx

y

x

15.Cuntos valores de "x" cumplen: x - Arccosx = 0

a) ninguno b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Resolucin:

De la igualdad: x = Arccosxhacemos: y = x ; y = ArccosxGraficamos las dos funciones:

y

x

y = Arccosx

y = x

Note que slo hay un punto de corte; esto significa quelas dos funciones son iguales: x = Arccosx, en un solovalor de x; por lo tanto podemos afirmar que slo unvalor de "x" verifica la igualdad.

Aplicacin:

Cuntos valores de "x", cumplen: cosx = Arcsenx?

Rpta.: 1

Bloque I


y = f(x) = 2Arcsen 41

2x pi

+

a) [0; 2] b) [-2; 2] c) [0; 4]d) [1; 4] e) [-2; 4]


y = f(x) = 31

Arccos(2x + 3) - 5pi

a) [-2; -1] b) [-2; 0] c) [-1; 1]d) [-1; 2] e) [0; 2]


y = f(x) = 3Arctan ( ) 513x pi++a) IR b) IR+ c) d) e) [3; + >


y = f(x) = 41

Arcsen(x2 - 3) + 6pi

a) [- 2 ; 2]

b) [-2; - 2 ] [ 2 ; 2]

c) [-2; - 2 ] [ 2 ; 4]d) [-4; -2] [2; 4]e) [-4; 4]


y = 2Arccos ( )21

21x +

a) [1; 10] b) [-1;1] c) [2; 10]d) [3; 10] e) [2; 9]

6. Seale el rango de la funcin:

y = f(x) = 2Arcsenx + 3pi

a)

pipi

3;

3 b)

pipi

34

;32

c)

pipi

32

;3 d)

pipi

65

;6

e)

pipi

32

;32

7. Seale el rango de la funcin: y = f(x) = 3Arccosx -

a) [0; 2pi] b) [- pi; pi] c) [- pi; 3pi]d) [- pi; 2pi] e) [- pi; 4pi]

Problemas para la clase

8. Seale el rango de la funcin: y = f(x) = 4Arctanx + pi

a) b) c)

d) e)


y = f(x) = Arcsenx2 + 6

pi

a)

pi

pi;

6 b)

pipi32

;6 c)

pipi

65

;6

d)

pipi34

;3 e)

pipi

35

;6


y = f(x) = 2Arccos 3x

pi+

a)

pi

pi;

6 b)

pipi32

;6 c)

pipi

32

;3

d)

pi

pi;

3 e)

pipi34

;3

11.Seale el rango de la funcin:y = f(x) = 3Arcsenx + 4Arccosx

a)

pipi25

;2 b)

pipi

25

;23

c)

pipi23

;2

d)

pipi

25

; e)

pi

pi2;

2

12.Seale el rango de la funcin:y = f(x) = 2Arcsenx - 5Arccosx

a) [-2pi; 4pi] b) [- pi; 6pi] c) [- 3pi; 2pi]d) [-6pi; pi] e) [- 3pi; 2pi]

13.Grafique: y = f(x) = 2Arcsen 42x pi

+

a) b)

y

x

54pi

34pi

-2 2

y

x

54pi

34pi-2 2

c) d)

y

x

5pi4

34pi

-1 1

y

x

5pi4

-1 134pi-

e)

y

x

5pi4

34pi1/21

2

14. G r a f i q u e l a f u n c i n : y = f (x) = 3Arccos(2x - 1) -

a) b)

y

x1

2pi

pi

0

-

y

x1

2pi

pi

0

c) d)

y

x-1

pi

0

2piy

x

pi

0

- 2pi

e)

y

x-1 1

15.Cuntos valores de "x" cumplen la igualdad: 2Arcsenx + x2 = 1


Bloque II


y = h(x) = 3Arcsen 41

3x pi

+

a) [-2; 0] b) [-6; 0] c) [-6; 6]d) [-1; 1] e) [-3; 3]


y = h(x) = 21

Arccos(4x - 3) +

a) [1; 2] b) [21

; 2] c) [21

; 1]

d) [41

; 2] e) [ 31

; 1]


y = h(x) = 2Arctan ( ) 411x pi++a) [1; + > b) [-1; + > c) [2; + >d) [0; + > e) [-2; + >

4. Seale el dominio de la funcin:y = h (x) = Arcsen(x

2 - 2) +

a) [1; 3]

b) [- 3 ; -1] [1; 3 ]c) [-3; -1] [1; 3]

d) [- 3 ; - 2 ] [ 2 ; 3 ]

e) [- 2 ; -1] [1; 2 ]


y = h(x) = 3Arccos ( ) 312x pi+a) [1; 3] b) [1; 4] c) [2; 4]d) [2; 6] e) [4; 6]


y = h(x) = 3Arcsenx - 2pi

a) [- ; 2 ] b) [- ; ] c) [-2 ; ]

d) [-2 ; 2 ] e) [-2pi

;23pi

]


y = h(x) = 2Arccosx - 2pi

a)

pipi

23

;2 b)

pipi

25

;2

c) [- ; 2 ] d)

pipi

2;

2

e)

pipi

2;

23


y = h(x) = 2Arctanx - 2pi

a) b)

c) d)

e)

9. Seale el rango de la funcin: y = h(x) = 2Arccosx2 +

a) [0; 2 ] b) [0; ] c) [ ; 3 ]d) [ ; 2 ] e) [ ; 4 ]


y = h(x) = 3Arcsen 2x

pi+

a)

pi

pi;

2 b)

pi

pi2;

2 c) [ ; 2 ]

d)

pipi25

;2 e)

pipi

3;2

11.Seale el rango de la funcin:y = h(x) = 2Arcsenx + 4Arccosx

a)

pipi23

;2 b)

pipi

25

;2 c) [pi; 2pi]

d) [pi; 3pi] e)

12.Seale el rango de la funcin:y = h(x) = Arcsenx - Arccosx

a)

pi

pi ;

23

b)

pipi

2;

23

c)

pipi

23

;2 d)

pipi

;2

e) [ ; 2 ]

13.Grafique la funcin:

y = h(x) = 3Arcsen 23x pi

+

a) b)

y

x3

2pi

-3

-pi

y

x3

2pi

-3

-pi

c) d)

y

x13

2pi

-pi

13

y

x13

2pi

-pi

13

e)

y

x

2pi

-pi

1-1

14.Seale la grfica de la funcin:

y = h(x) = 2Arccos 21

2x pi

+

a) b)

y

x

52pi

40

y

x

52pi

40

pi2

c) d)

y

x

52pi

40

pi2

y

x

52pi

pi2

e)

y

x

52pi

pi2

4

15.Cuntos valores de "x" verifican la igualdad:

41

Arccosx = x2


Bloque III


y = f(x) = 2Arcsen 2x

+ 3Arccos(2x - 3)

a) [-2; 2] b) [-1; 2] c) [0; 2]d) [-1; 1] e) [1; 2]


y = h(x) = 3Arcsen 3x

- 2Arccos

1

2x

a) [-3; 3] b) [-3; 4] c) [-3; 0]d) [0; 3] e) [0; 4]


y = f(x) = 2Arcsen pi+

x2x

a) b) [1; +> c) [2; +>d) e) [4; +>


y = h(x) = 31

Arccos21x

1x pi

+

a) < 1 ; + > b) [2; + > c) d)

14.Cuntos valores de "x" cumplen:Arccos(cosx) = cosx; en



y = f(x) = xcosArcArcsenx

a) [0; + > b) [-1; + > c) [-21

;+ >

d) [- 31

; + > e) [-2; + >


Miscelnea sobre funcionestrigonomtricas

Captulo IV


Bloque I


y = f(x) = 1x2cossenx

a) IR - {2

n; n ZZ }

b) IR - {npi ; n ZZ }

c) IR - {(2n + 1)2

; n ZZ }

d) IR - {2npi ; n ZZ }

e) R - {(4n + 1)2

;n ZZ }


y = f(x) = 1x3senx3cos

a) IR - {3n

; n ZZ }

b) IR - {6

n; n ZZ }

c) IR - {(2n + 1)6

;n ZZ }

d) IR - {(2n + 1)3

; n ZZ }

e) IR - {(4n + 1)6

; n ZZ }


y = f(x) = senx + 3 cosx + 1

a) [-2; 2] b) [-1;3] c) [-3;1]d) [-3;3] e) [-1;1]

4. Seale el rango de la funcin:y = f(x) = senxcosxcos2x

a) [-1; 1] b) [-21

;21

] c) [-41

;41

]

d) [-4

3;

4

3] e) [-

81

;81

]

5. Seale el rango de la funcin:y = f (x) = senx(senx + cosx)

a) [-1;2] b) [1- 2 ; 1 + 2 ]

c) [2

21 ;

221

] d) [4

21 ;

421

]

e) [2

12 ;

2

12 ]


y = f(x) = arcsen

5

1x3

a) [-31

; 1] b) [-31

;2] c) [-34

;1]

d) [-3

4;2] e) [-

3

2;2]


y = f(x) = xarccosarcsenx

a) [-1 ; 1] b) c) [-1 ; 1] - {0} d) [-1 ; 1>e) [-1 ; 1> - {0}

8. Calcular:

P = sen(2arctan21

) . cos(2arctan31

)

a) 0,24 b) 0,32 c) 0,48d) 0,64 e) 0,72

9. Reducir:

)x1

x(arctansen

1)arcsenx2cos(Q

2

a) x b) - x c) 2xd) - 2x e) - 2x2

10.Cuntas races presenta la ecuacin: 3cosx - x2 = 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) ninguna

Bloque II


y = f(x) = 1x4senx2cos

a) IR - {(4n + 1)2

; n ZZ }

b) IR - {(2n + 1)4

; n ZZ }

c) IR - {(4n + 1)4

; n ZZ }

d) IR - {(4n + 1)8

; n ZZ }

e) IR - {(2n + 1)8

; n ZZ }


y = f(x) = 1x5cosx3sen

a) IR - {5n

; n ZZ }

b) IR - {5

n2 ; n ZZ }

c) IR - {(2n + 1)5

; n ZZ }

d) IR - {10n

; n ZZ }

e) IR - {(2n + 1)10

; n ZZ }


y = f(x) = 3(senx + 1) + 7 cosx

a) [-3;3] b) [-4;4] c) [-1;7]d) [-7;1] e) [-3;7]

4. Seale el rango de la funcin:y = f(x) = senxcosxcos2xcos4x

a) [-1;1] b) [-2

1;2

1] c) [-

4

1;4

1]

d) [-8

1,8

1] e) [-

16

1;16

1]

5. Seale el rango de la funcin:y = f(x) = cosx(cosx - 2senx)

a) [2

51 ;

2

51 ]

b) [2

15 ;

2

15 ]

c) [1 - 5 ; 1 + 5 ]

d) [ 5 - 1; 5 + 1]

e) [4

51 ;

4

51 ]


y = f(x) = 2arcsen

5

1x2+

3

a) [-2;3] b) [-3;2] c) [-1;2]d) [-2;2] e) [-3;3]


y = f(x) = arcsenxxarccos

a) [-1;1] b) c) [-1;1] - {0}d) [-1;1> e) - {0}

8. Calcular:

P = 5tan(3arctan2) +11

1

a) 1 b) 2 c) 3

d)11

9e)

11

6

9. Reducir:

1;0x;)xcos(arccos2

)xsec(arctan)arcsenx2(senQ

a) 1 b) 1 - x2 c) 2x1

d) 4x1 e) 2x1

10.Cuntas races tiene la ecuacin:4x2 + arccosx = 2

a) ninguna b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Bloque III

1. Seale el perodo principal de:y = f(x) = 2sen

43x - 1

a)3

b)

3

2c) 3pi

d) 2pi e) pi

2. Seale el periodo principal de la funcin:y = f(x) = 2cos

54x - 1

a) 2pi b) pi c)2

d)4

e) 4pi

3. Seale el perodo principal de:y = f(x) = sen(|sen4x|)

a) pi b)2

c)

4

d) 2pi e) 4pi

4. Seale el perodo principal de:y = f(x) = cos(|tan3x|)

a) pi b)3

c)

6

d)2

e)

3

2

5. Del grfico, calcular:C = cot + cot ; si OPQR es un cuadrado.

y

y = arccosx

P Q

RO x

a) 1 b) 2 c) pi - 1d) pi - 2 e) pi + 1


Ecuaciones trigonomtricas

Captulo V

Definicin

Son aquellas ecuaciones, donde la incgnita est afectadade operadores trigonomtricos, como toda igualdadcondicional se verificar para ciertos valores de la variable(incgnita) presente; denominndose a estos valoressoluciones de la Ecuacin Trigonomtrica. Por ejemplo:

senx + cosx = 1 s es E.T.tanx + sec2x = 3 s es E.T.3x + tanx = 2 no es E.T.

Qu es resolver una ecuacin trigonomtrica?

Resolver una ecuacin trigonomtrica significa encontrartodos los valores que toma la incgnita; que verifican laecuacin convirtindola en una igualdad absoluta. Pero,debido al carcter peridico de las Funciones Trigo-nomtricas; no slo se encontrarn una o dos soluciones,sino que generalmente existir una cantidad ilimitada desoluciones, motivo por el cual se hace necesario el uso defrmulas que permitan encontrar el conjunto global desoluciones de la Ecuacin Trigonomtrica, llamada SolucinGeneral de la Ecuacin Trigonomtrica.Por ejemplo, si tuviramos que resolver una ecuacinsencilla como:

......;150;30x21

senx ==

estas son slo dos soluciones; pero si quisiramos encontrarsoluciones adicionales, tan slo tendramos que sumarle orestarle mltiplos de 360, de la siguiente manera, a los yaindicados.

Esto es:

x = 30; 150; 390; 510; 750; 870; ........

+360 +360

+360 +360

tambin:

x = ......; -570; -330; -210; 30; 150

-360-360

-360

es decir:

x = ...; -570; -330; -210; 30; 150; 390; 510;750; ...

stas seran slo algunas soluciones particulares de laEcuacin Trigonomtrica, y en lo sucesivo tendremos queaplicar este criterio para determinarlas. (La explicacin espor que los ngulos a obtener son coterminales con losprimeros)

Cmo resolver una ecuacin trigonomtrica?

I. Ecuaciones Trigonomtricas Elementales (E.T.E.):

R.T.(x) = n

Para este tipo de ecuaciones se encuentrangeneralmente dos primeras soluciones; y se les vaagregando o restando mltiplos de 360; como en elapunte anterior.

Por ejemplo:

22

senx = x = 45; 135; 405; 495; 765; ......

+360 +360

+360 +360

x = ....; -585; -315; -225; 45; 135

-360

-360-360

Pero la pregunta evidente es, cmo determino las dosprimeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio:

I.1. Si la E.T.E. es:

R.T.(x) = n; n > 0

Normalmente habr una solucin para x IC, aguda;si esta es "", entonces la otra solucin dependerdel cuadrante en el que se ubique; esto es:Si la solucin aguda es: x = y si hubiera otra en el:

IIC sera: x = 180 - IIIC sera: x = 180 + IVC sera: x = 360 -

Por ejemplo:

i. tanx = 3 x = 60Como la tanx es positiva, la otra solucindebera ser del IIIC, es decir:

x = 180 + 60 x = 240

luego: x = 60; 240; ..... aqu le agregamos orestamos mltiplos de 360.

ii.21

xcos = x = 60

Como el cosx es positivo; la otra solucindebera ser del IVC, es decir:

x = 360 - 60 x = 300luego:

x = 60; 300; 420; 660; .......

+360

+360

iii. cotx = 3 x = 30La otra solucin debe ser del IIIC (ya que cotxes positivo), es decir:

x = 180 + 30 x = 210

luego:

x = 30; 210; 390; 570; .......

+360

+360

I.2. Si la E.T.E. es:

R.T.(x) = n; n < 0

En este caso; resuelva, a modo de ayuda; la ecuacinR.T.(x) = |n| y calcule la solucin aguda de dichaecuacin. Con esa solucin se calculan las verdaderascon la misma idea anterior, slo que ahora la R.T.(x)es negativa. Por ejemplo:

i.23

-senx =

Resolvemos:

60x23

senx ==

Pero como el "senx" es negativo, las dos primerassoluciones deberan ser del IIIC y IVC, luego:

IIIC: x = 180 + 60 x = 240IVC: x = 360 - 60 x = 300

luego:

x = 240; 300; 600; 660; .......

+360

+360

ii.22

-xcos =

Resolvemos:

45x22

xcos ==

Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC,tendramos:

IIC: x = 180 - 45 x = 135IIIC: x = 180 + 45 x = 225

luego: x = 135; 225; 495; 585; ......

+360

+360

iii.33

-xtan = ;

resolvemos: 30x33

xtan ==

Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC,tendramos:

IIC: x = 180 - 30 x = 150IVC: x = 360 - 30 x = 330

luego: x = 150; 330; 510; 690; .......

* Observacin:

Cuando el valor de la R.T.(x) corresponde al de unngulo cuadrantal; se debe recordar el cuadro:

sen

cos

tan

cot

sec

csc

0

1

0

N

1

N

0;360

1

0

N

0

N

1

90

0

-1

0

N

-1

N

180

-1

0

N

0

N

-1

270

Por ejemplo:

* senx = 1 x = 90(note que entre 0 y 360, no hay otro)

x = 90; 450; 810; .......

+360 +360

* cosx = 1 x = 0; 360; 720; .......

* senx = 0 x = 0; 180; 360; 540; .......

+360

* cotx = 0 x = 90; 270; 450; .........

+360

* cosx = -1 x = 180; 540; .........

+360

II. Ecuaciones trigonomtricas no elementales

Las ecuaciones trigonomtricas no elementales sonaquellas que operan diferentes razones trigonomtricasde la incgnita o de variables que involucran a dichaincgnita. En estos casos, la idea es simplificar laecuacin aplicando toda la teora del curso yadesarrollado (identidades de una misma variable, de lasuma y/o diferencia de variables, de la variable doble,mitad, triple; as como transformaciones trigonomtricasy la teora de funciones trigonomtricas inversas);reducindola a la forma Elemental o quizs de la forma:

R.T.(Bx + ) = n

para aplicar lo ya expuesto en la resolucin de una E.T.Elemental. Por ejemplo; resolver e indicar algunassoluciones de:

i. tan2x (1 - sen2x)cscx =21

Por identidades trigonomtricas, reducimos:

21

senx1

.xcos.xcos

xsen 22

2=

quedara: ;21

senx = note que: cosx 0 senx 0

luego: x = 30; 150; 390; .......180 - 30

ii. sen3x.cos2x - sen2x.cos3x = 1Reconozca el desarrollo:

sen( - ) = sen.cos - sen.cosluego:

1)x2-x3(senx3cos.x2sen-x2cos.x3sen ==

senx = 1 x = 90; 450; ........

iii.23

)15-x3(sen =

En este caso no hay nada que reducir, pues laecuacin tiene la forma Elemental, as que se resuelvede manera similar; pero tenga en cuenta como sedespeja la incgnita:

3x - 15 = 60; 120; 420; 480; ...

+360

+360

3x = 60 + 15; 120 + 15; 420 + 15; 480 + 15; ...

3x = 75; 135; 435; 495; ...

;...3

495;

3435

;3

135;

375

x =

x = 25; 45; 145; 165; ...

iv.22

)10-x5cos( =

5x - 10 = 45; 315; 405; 675; ...

+360

+360

5x = 55; 325; 415; 685; ...x = 11; 65; 83; 137; ...

v.83

x2cos.xcos.senx =

Tenemos que reducir la expresin, pero recuerdeque:

sen2 = 2sen.cos

tenemos:

2.83

x2cos.xcos.senx.2 = (multiplicando 2)

43

x2cos.x2sen = (otra vez 2)

2.43

x2cos.x2sen2 = 23

x4sen =

luego:4x = 60; 120; 420; 480; .....x = 15; 30; 105; 120; ......

* Observacin:

Las consideraciones algebraicas acerca de la resolucinde ecuaciones, que tienen que ver con el perdersoluciones o agregar soluciones; se mantienen, as quedebemos tener cuidado con la simplificacin de trminosque contienen a la incgnita.

vi. 1 + sen2x = senx + cosx

En este caso recuerde que:(senx + cosx)2 = 1 + sen2x

luego la ecuacin, quedara as:(senx + cosx)2 = senx + cosx

cancelando: (senx + cosx)

1xcossenx =+ 2 (senx. 45cos

2

1+ cosx.

45sen

2

1) = 1

2 ( xcos.45sen45cos.senx + ) = 1

2 sen(x + 45) = 1

22

2

1)45x(sen ==+

luego:

x + 45 = 45; 135; 405; 495; ...

+360

+360

x = 0; 90; 360; 450; ...

pero! para no perder soluciones, el factor canceladose debe igualar a cero (0), esto es:

senx + cosx = 0senx = - cosx

xcossenx

= -1 tanx = -1 (x II C IV C)

recuerde que primero resuelva:tanx = 1 x = 45

luego las soluciones seran:x = 180 - 45; 360 - 45

x = 135; 315; .....

vii. senx + cos2x = 1

En este ejemplo, homogenizamos la variable, estoes, colocamos la expresin en trminos de una mismavariable (x), para ello recuerde que:

cos2 = 1 - 2sen2luego; quedara as:

1x2cossenx =+ senx + 1 - 2sen2x = 1

reduciendo:senx = 2sen2x

cancelando:

1 = 2senx 21

senx =

x = 30; 150; 390; ...

pero! como cancelamos "senx", lo igualamos a cero(0) para no perder soluciones, esto es:

senx = 0 x = 0; 180; 360; ...

Obtencin de la solucin general

Generalmente vamos a tener que resolver ecuacionestrigonomtricas no elementales; as que la idea central esreducir la ecuacin dada y llevarla a la forma elemental;para ello es bueno recordar:

1. Es preferible una sola variable a diferentes variables

2. Es preferible una R.T. a diferentes R.T.

3. Cancelar trminos que involucran a la incgnita ennumeradores de miembros diferentes, implica igualarloa cero para no perder soluciones.

4. Si hay varios senos y/o cosenos de mltiplos muy grandesde la variable; hay una posibilidad de aplicartransformaciones trigonomtricas para reducirla.

5. Si el valor de la R.T. encontrada no es notable, se aplicala notacin de F.T. inversas.

Ahora, para la determinacin de la solucin general; seaplicarn las siguientes frmulas:

senx = a

cosx = a

tanx = a

g

g

g

x = 180n + (-1) x

x = 360n

x = 180n +

ng p

g p

g p

x

x

Encontramos Hacemos Donde

x = arcsena

x = arccosa

x = arctana

p

p

p

n Z

n Z

n Z

donde:

xp valor principalxg es la incgnita o una variable que contiene a la

incgnita, de donde se la despeja

Tambin se emplean las mismas frmulas en radianes:

senx = a

cosx = a

tanx = a

g

g

g

x = n + (-1) x

x = 2n

x = n +

pi ng p

g p

g p

pi

pi

x

x

x = arcsena

x = arccosa

x = arctana

p

p

p

Encontramos Hacemos Donde

n Z

Z

Z

n

n

Por ejemplo, resolver y dar la solucin general de:

i.21

x2sen =

tenemos:

3021

arcsenxp == (en sexagesimales)

xg = 2x

xg = 180.n + (-1)n xp 2x = 180.n + (-1)

n30

x = 90.n + (-1)n15

si queremos algunas soluciones, le damos valoresenteros a "n".

n = 0

n = 1

n = 2

n = -3

x = 0 + 15 = 15

x = 90 - 15 = 75

x = 180 + 15 = 195

x = -270 - 15 = -285

todos estosvalores sonsoluciones dela ecuacin

ii. cos3x = 1

tenemos:xp = arccos1 = 0

xg = 3x

luego:xg = 360.n xp 3x = 360.n 0

x = 120.n

en radianes:xp = arccos1 = 0

xg = 3x

luego:xg = 2npi xp 3x = 2npi

3n2

xpi

=

Observacin: Normalmente se trabaja en radianes.

iii. tan5x = 1tenemos:

xp = arctan1 = 4pi

xg = 5x

luego:

xg = npi + xp 5x = npi + 4pi

205n

xpi

+pi

=

iv.22

-x3sen =

tenemos:

4-

22

arcsen-)22

-(arcsenxppi

===

xg = 3x

luego: xg = npi + (-1)nxp 3x = npi - (-1)

n4pi

12)1-(-

3n

x npipi

=

v. sen2x = senxEn este caso habra que reducir la ecuacin, para ellorecuerda que:

sen2 = 2sen.cosen la expresin:

sen2x = senx2senx.cosx = senx

cancelando "senx" queda:2cosx = 1

21

xcos = ;32

1arccosxp

pi==

xg = x

3n2x

pipi=

pero el factor cancelado se iguala a cero, esto es:senx = 0; xp = arcsen0 = 0

xg = x

x = npi + (-1)n xp x = npi

luego la solucin general es:

}Zn,n{}Zn;3

n2{x pipi

pi=

vi. sen5x = senxaplicamos transformaciones trigonomtricas de estamanera:

0senx-x5sen = ;recuerde:

)2

cos()2-

(sen2sen-sen+

=2sen2x.cos3x = 0 sen2x.cos3x = 0

en este caso, cada factor se iguala a 0; as:

sen2x = 0; xp = arcsen0 = 0 xg = 2x2x = npi + (-1)n xp 2x = npi

2n

xpi

=

cos3x = 0; xp = arccos0 = 2

xg = 3x

3x = 2npi xp 3x = 2npi 2pi

63n2

xpi

pi

=

luego la solucin general es:

}Zn;63

n2{}Zn;

2n

{x pi

+pi

pi

=

1. Resolver: (senx + cosx)2 = 1 + cosxindicando la suma de las tres primeras solucionespositivas.

a) 180 b) 270 c) 360d) 450 e) 720

Resolucin:Del dato:

2)xcossenx( + = 1 + cosx1 + 2senx.cosx = 1 + cosx

quedara:2senx.cosx = cosx

reduciendo:

2senx = 1 senx =21

x = 30; 150; ...

Pero:cosx = 0 (factor cancelado, se iguala a cero)

x = 90; 270; ...Las tres primeras soluciones seran:

30; 90; 150 = 270

Aplicacin:

Seale la suma de las tres primeras soluciones positivasde:

(senx - cosx)2 = 1 - senx

Rpta.: = 540

2. Seale la suma de las tres primeras soluciones positivasde la ecuacin:

2secx.cscx + 3tanx = 2cotx + 5 3

a) 360 b) 540 c) 270d) 720 e) 450

Resolucin:En la condicin:

2secx.cscx + 3tanx = 2cotx + 5 3Primero recuerde:

secx.cscx = tanx + cotxLuego, tenemos:

2(tanx + cotx) + 3tanx = 2 cotx + 5 32tanx + 2cotx + 3tanx = 2cotx + 5 3

5tanx = 5 3 tanx = 3x = 60; 240; 420

= 720

Aplicacin:

Seale la suma de las tres primeras soluciones positivasde la ecuacin:

3tanx + 2secx.cscx = 5tanx + 2

Rpta.: = 675

3. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x ; indicando la suma de susdos primeras soluciones positivas.

a) 180 b) 120 c) 200d) 240 e) 360

Resolucin:Como la variable es la misma, vamos a colocar todo entrminos de una sola razn trigonomtrica, as:

1 + cosx = 2sen2x 1 + cosx = 2(1 - cos2x)factorizando:

1 + cosx = 2(1 + cosx) (1 - cosx)cancelando "1 + cosx", quedara:

1 = 2(1 - cosx)1 = 2 - 2cosx 2cosx = 1

21

xcos = x = 60; 300

pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para noperder soluciones:

1 + cosx = 0cosx = -1 x = 180

las dos primeras soluciones positivas son: 60 y 180 suma = 240

Aplicacin:

Sume las tres primeras soluciones positivas de:2cos2x - 1 = senx

Rpta.: 450

4. Resolver: sec2x = 3 tanx + 1 ; indicando el nmerode soluciones positivas menores que una vuelta

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Resolucin:Recuerde que: sec2 = 1 + tan2En la ecuacin:

1xtan3xsec2 += 1 + tan2x = 3 tanx + 1quedara:

tan2x = 3 tanxcancelando "tanx", queda:

tanx = 3 x = 60; 240; 420; 600; ...pero el factor cancelado:

tanx = 0 x = 0; 180; 360; 540; ...pero piden soluciones positivas y menores que unavuelta, las cuales son:

x = 60; 180; 240 Rpta.: 3


Aplicacin:

Seale el nmero de soluciones positivas y menoresque una vuelta, de la ecuacin:

tan2x = secx + 1

Rpta.: 3

5. Resolver:

3-xcsc

1-

xsec1

-xcot

1-

xtan1

-xcos

1-

xsen1

222222=

indicando el nmero de soluciones positivas y menoresque una vuelta.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Resolucin:Transformando la ecuacin; recuerde que:

xcotxtan

1;xsec

xcos1

;xcscsenx

1===

senxxcsc

1;xcos

xsec1

;xtanxcot

1===

luego quedara:csc2x - sec2x - cot2x - tan2x - cos2x - sen2x = -3

agrupando:

3-)xsenxcos(-)xtanx(sec-xcot-xcsc1

2222

1

22=++

-(sec2x + tan2x) = -3 sec2x + tan2x = 3

recuerde que:sec2 = 1 + tan2

luego:1 + tan2x + tan2x = 3 2tan2x = 2tan2x = 1 tanx = 1 tanx = -1

si:tanx = 1 x = 45; 225

tanx = -1 x = 135; 315 hay 4 soluciones

Aplicacin:

Seale el nmero de soluciones positivas y menoresque una vuelta de la ecuacin:

4sen4x - 5sen2x + 1 = 0

Rpta.: 6

6. Resolver: senx - 3 cosx = 1 ; indicando el menorvalor positivo que cumple.

a) 30 b) 60 c) 90d) 135 e) 180

Resolucin:En el dato: senx - 3 cosx = 1

senx.

60cos21

- cosx.

60sen23

=21

tendramos:

21

xcos.sen60-60cos.senx =

sen(x - 60) =21

Luego:x - 60 = 30; 150

x = 90; 210 xmenor = 90

Aplicacin:

Seale el menor valor positivo de x que verifica laecuacin: 3senx + 4cosx = 5

Rpta.: x = 37

7. Seale el menor valor positivo de x que cumple:

2 2 sen(x + 45) + senx = 23xcos4 +

a) 30 b) 15 c) 60d) 150 e) 45

Resolucin:

En el dato: 2 2 sen(x + 45) + senx = 23xcos4 +

2 2 (senx.cos45 + sen45.cosx) + senx = 24

cosx +23

2 2 (senx.2

1 +

2

1cosx) + senx = 2cosx +

23

2(senx + cosx) + senx = 2cosx +23

3senx + 2cosx = 2cosx + 23

3senx =23

senx =21

x = 30

Aplicacin:Seale el menor valor positivo de x que cumple:

2sen(x + 30) = cosx +23

tanx

Rpta.: 60

8. Hallar el menor valor positivo de x que cumple:

33

xcosx5cossenxx5sen

=

+

+

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

Resolucin:

En el dato:

33

xcosx5cossenxx5sen

=

+

+

transformando a producto:

33

x2cos.x3cos2x2cos.x3sen2

=

reduciendo:

tan3x =33

3x = 30 x = 10

Aplicacin:

Hallar el menor valor positivo de x que cumple:

3xcosx7cos

senx-x7sen=

+Rpta.: x = 20

9. Resuelva: sen2x = cosx

a) npi + (-1)n6pi

; n ZZ b) 2npi 2pi

; n ZZ

c) 2npi 4pi

d) a b

e) a c

Resolucin:

En la ecuacin:sen2x = cosx

2senx.cosx = cosxreduciendo:

2senx = 1 senx =21

; xp = arcsen 21

=6pi

x = npi + (-1)nxp x = npi + (-1)n

6pi

pero, el factor cancelado:

cosx = 0; xp = arccos0 = 2pi

x = 2npi xp x = 2npi 2pi

x {npi + (-1)n6pi

; n ZZ} {2npi 2pi

; n ZZ}

Aplicacin:Resuelva: sen2x = senx

Rpta.: x {npi; n ZZ} {2npi 3pi

; n ZZ}

10.Resolver:sen3x.cscx = 2 (n ZZ)

a)3

npi

pi b)3

n2pi

pi

c)6

npi

pi d)12

npi

pi

e)4

npi

pi

Resolucin:En la ecuacin recuerde: sen3 = sen (2cos2 + 1)luego: senx(2cos2x + 1).cscx = 2; pero: senx.cscx = 1queda:

2cos2x + 1 = 2 cos2x =21

xp = arccos 21

=3pi

xg = 2xluego:

xg = 2npi xp 2x = 2npi 3pi

x = npi 6

Aplicacin:Resuelve: cos3x.secx = 1

Rpta.: npi; n ZZ

11.Resolver: sen5x + senx = sen3xsealando un conjunto solucin (n ZZ)

a)6npi

b)6

npi

pi c)3npi

d) a b e) b c

Resolucin:En la ecuacin, recuerde:

)2-

cos()2

(sen2sensen+

=+sen5x + senx = sen3x2sen3x.cos2x = sen3x

cancelando "sen3x", quedara:2cos2x = 1

;21

x2cos =32

1arccosxp

pi== xg = 2x

luego:

3n2x2

pipi=

6nx

pipi=

pero el factor cancelado se iguala a 0; esto es:sen3x = 0; xp = arcsen0 = 0

xg = 3x3x = npi + (-1)n xp 3x = npi

3n

xpi

=

x = {npi 6pi

; n ZZ} {3npi

; n ZZ}

Aplicacin:Resuelve:

sen7x - senx = sen3x (n ZZ)

Rpta.: {3npi

; n ZZ} {2npi

12pi

; n ZZ}

12.Resolver:

3xcosx3cos

senxx3sen=

+

+

a)3

npi

+pi b)62

n pi+

pi

c)3

npi

pi d)62

n pi

pi

e)12

npi

pi

Resolucin:Transformando numerador y denominador a producto:

3xcosx3cos

senxx3sen=

+

+

3xcos.x2cos2xcos.x2sen2

=

recuerde:

=

tancossen

reduciendo:tan2x = 3 ; note que no hacemos: cosx = 0

xp = arctan 3 = 3pi

xg = 2x

luego:

xg = npi + xp 2x = npi + 3

62n

xpi

+pi

=

Aplicacin:Resolver:

1x7cos-xcos

senx-x7sen= (n ZZ)

Rpta.: {4npi

+16pi

; n ZZ}

13.Resolver: senx + sen2x + sen3x = cosx + cos2x + cos3x

a)42

n pi+

pi; n ZZ b)

3n2

pipi

c)32

n2pi

pi d) a b

e) a c

Resolucin:En la ecuacin, transformando a producto:

senx + sen2x + sen3x = cosx + cos2x + cos3x

x2cosxcosx3cosx2sensenxx3senxcos.x2cos2xcos.x2sen2

++=++

factorizando:sen2x(2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1)

cancelando, quedara:

sen2x = cos2x tan2x = 1; xp = arctan1 = 4pi

xg = 2xxg = npi + xp

2x = npi +2pi

42n

xpi

+pi

=

pero el factor cancelado se iguala a cero (0); as:

2cosx + 1 = 0 cosx =21

- ; xp = arccos )21

-(

xp = -arccos 21

+ pi

xp = 32

3-

pi=pi+

pi

xg = 2npi xp

32

n2xpi

pi=

x {2npi

+4pi

; n ZZ} {2n 32pi

; n ZZ}

Aplicacin:Resolver:

senx + sen3x + sen5x = 2cos2x + 1

Rpta.: {3npi

+ (-1)n6pi

; n ZZ} {npi 3pi

; n ZZ}

14.Resolver:sen5x + senx = 5(cos5x + cosx) (n ZZ)

a) 5arctan21

2n

+pi

b) 5arctan31

3n

+pi

c) n 4pi

d) a c

e) b c

Resolucin:Transformando a producto:

sen5x + senx = 5(cos5x + cosx)2sen3x.cos2x = 5.2cos3x.cos2x

reduciendo, queda:sen3x = 5cos3x (cancelamos: cos2x)

5x3cosx3sen

=

tan3x = 5; xp = arctan5

xg = 3xluego:

xg = npi + xp3x = npi + arctan5

5arctan31

3n

x +pi

=

pero, el factor cancelado se iguala a cero; as:

cos2x = 0; xp = arccos0 = 2

xg = 2xluego:

xg = 2npi xp

2x = 2npi 2

4nx

pipi=

}4

n{}5arctan31

3n

{xpi

pi+pi

= ; n ZZ

Aplicacin:Resolver:

sen2x = 3cos2x (n ZZ)

Rpta.: }23

arctann{}2

n2{ +pipi

pi ; n ZZ

15.Resolver: sen2x + sen22x = cos2x + cos22x

a)63

n2 pi

pib)

2n2

pipi

c)33

n2 pi

pid) a b

e) b c

Resolucin:Recuerde que:

cos2 - sen2 = cos2en la ecuacin:

sen2x + sen22x = cos2x + cos22x

x4cos

22

x2cos

22 x2sen-x2cosxsen-xcos0 +=

tendramos:cos4x + cos2x = 0

transforma a producto:2cos3x.cosx = 0

igualando a cero cada factor:

i. cos3x = 0; xp = arccos0 = 2pi

xg = 3x

xg = 2npi xp 3x = 2npi 2pi

63n2

xpi

pi

=

ii. cosx = 0; xp = arccos0 = 2pi

xg = x

xg = 2npi xp 2n2x

pipi=

}2

n2{}63

n2{x

pipi

pi

pi= ; n ZZ

Aplicacin:Resolver:

sen4x + sen42x + sen43x = cos4x + cos42x + cos43x

Rpta.: {2npi

8pi

; n ZZ} {npi 3pi

; n ZZ}

Bloque I

1. Seale un valor agudo de x que cumpla:senx.cotx + cosx = 1

a) 30 b) 45 c) 60d) 2230' e) 6730'

2. Seale un valor agudo de x que cumpla:

2sen2x + cos2x =23


a)3pi

b)4pi

c)5pi

d)6pi

e)8pi


3 senx + cosx = 2

a) 30 b) 45 c) 60d) 15 e) 75

4. Seale un valor de x que cumpla: senx + cosx = 2

a) 45 b) 30 c) 135d) 120 e) 150

5. Seale un valor de x que verifica:3senx + 4cosx = 5

a) 30 b) 45 c) 37d) 53 e) 60

6. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen2x = cosx

a) 180 b) 90 c) 150d) 270 e) 360

7. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin: sen3x - senx = cos2x

a) 60 b) 45 c) 75d) 105 e) 135

8. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen2x - senx = 2cosx - 1

a) 360 b) 540 c) 450d) 270 e) 720

9. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin:

xcosx5cossenxx5sen

+

+ = 1

a) pi b)2pi

c)4pi

d)23pi

e)32pi

10.Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin: sen5x + senx = cosx - cos5x

a)127pi

b)247pi

c)1211pi

d)2411pi

e)125pi

11.Seale la solucin general de la ecuacin:3cosx.tanx - senx = 1

a) npi + (-1)n4pi

b) npi + (-1)n3pi

c) npi + (-1)n6pi

d) n2pi

+ (-1)n4pi

e) n2pi

+ (-1)n6pi

12.Seale la solucin general de la ecuacin:3senx.cotx - cosx = 1

a) 2npi 6pi

b) 2npi 4pi

c) 2npi 3pi

d) 2npi 8pi

e) 2npi 5pi

13.Seale la solucin general de la ecuacin:

5senx.cotx - 3cosx = 3

a) 2npi 6pi

b) 2npi 4pi

c) 2npi 3pi

d) 2npi 8pi

e) 2npi 5pi

14.Resolver: 2sen2x = senx

a) npi b) 2npi arccos41

c) 2npi arccos31

d) a y b

e) a y c

15.Resolver:

xcosx3cossenxx3sen

+

+ = 2

a) npi + arctan2

b) npi +21

arctan2

c) n2pi

+21

arctan2

d) 2npi arctan2

e) 2npi 21

arctan2

Bloque II

1. Seale un valor agudo de x que cumpla:tanx.cosx + senx = 2

a) 30 b) 45 c) 60d) 2230' e) 6730'


4sen2x + cos2x =47

a)3pi

b)4pi

c)6pi

d)8pi

e)10pi


senx + 3 cosx = 2

a) 30 b) 15 c) 60d) 45 e) 75

4. Seale un valor de x que verifica: senx - cosx = 2

1

a) 15 b) 75 c) 30d) 45 e) 60

5. Seale un valor de x que verifica: 4senx - 3cosx =25

a) 37 b) 53 c) 67d) 83 e) 73

6. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen2x = senx

a) 180 b) 360 c) 450d) 540 e) 720

7. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin: cos3x + cosx = cos2x

a) 45 b) 75 c) 105d) 135 e) 180

8. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen4x + sen2x = 2cos2x + 1

a) 180 b) 225 c) 315d) 270 e) 135

9. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin:

x4cossenx-x7sen

= 1

a) pi b)2pi

c)3pi

d)32pi

e)65pi

10.Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin:

senx - sen3x + sen5x = cosx - cos3x + cos5x

a)3pi

b)4pi

c)6pi

d)2pi

e) pi


5cosx.tanx + senx = 3 2

a) npi + (-1)n4pi

b) npi + (-1)n3pi

c) npi + (-1)n6pi

d) npi + (-1)n8pi

e) npi + (-1)n5pi


5senx.cotx - 3cosx = 3

a) 2n 6pi

b) 2n 4pi

c) 2n 3pi

d) n + 8pi

e) 2n + 5pi

13.Seale la solucin general de la ecuacin:secx.cscx - cotx = 1

a) npi +3pi

b) npi +4pi

c) npi +6pi

d) npi +10pi

e) npi +12pi

14.Resolver: 3sen2x = cosx

a) 2npi 2pi

b) npi + (-1)narcsen61

c) 2npi 4pi

d) a y be) b y c

15.Resolver:

2x2cosx4cosx2senx4sen

=

+

+

a) pip + arctan 2 b) n 3pi

+ arctan 2

c) npi +31

arctan 2 d) n 3pi

+31

arctan 2

e) n3pi

+ 3arctan 2

Bloque III

1. Resolver: sen3x.cscx + cos3x.secx = 2

a) npi 3pi

b) npi 6pi

c) npi 8pi

d) npi 4pi

e) npi 12pi

2. Resolver: sen2x + sen22x = sen23x + sen24x

a) n2pi

b) n5pi

c) 2npi 2pi

d) a b

e) a b c

3. Resolver:senx+sen3x+sen5x+sen7x = cosx + cos3x + cos5x + cos7x

a) n4pi

+16pi

b) 2npi 2pi

c) npi 4pi

d) a b

e) a b c

4. Resolver: secx = 6senx

a) npi +2)1-( n

arcsen61

b) n2pi

+2)1-( n

arcsen61

c) npi +2)1-( n

arcsen31

d) n2pi

+2)1-( n

arcsen31

e) n4pi

+2)1-( n

arcsen31

5. Resolver:

(sen3x - senx)(cos5x + cos3x) =41

a) npi + (-1)n24pi

b) npi + (-1)n48pi

c) n2pi

+ (-1)n48pi

d) n8pi

+ (-1)n24pi

e) n8pi

+ (-1)n48pi

6. Resolver: cotx - tanx - 2tan2x = 4

a) n4pi

+4pi

b) npi +4pi

c) n4pi

+16pi

d) n4pi

+8pi

e) n8pi

+16pi

7. Resolver el sistema:

senx.cosy =43

seny.cosx =41

a) x = 60 b) x = 30 c) x = 45y = 30 y = 60 y = 45

d) x = 45 e) x = 30y = 30 y = 45

8. Resolver el sistema:

cosx.cosy =43

senx.seny =43

a) x = 30 b) x = 30y = 30 y = 60

c) x = 60 d) a o by = 30

e) b o c

9. Resolver el sistema: |senx - 1| + cos2y = 0

a) x = n pi + (-1)n2pi

b) y = 2npi 2pi

c) x = npi +4pi

d) a be) b c

10.Resolver el sistema: 2senx = tany + coty

a) y = npi +4pi

x = npi + (-1)n2pi

b) y = npi -4pi

x = npi + (-1)n2pi

c) y = npi +3pi

x = npi + (-1)n6pi

d) a b

e) b c


Resolucin de tringulosoblicungulos

Captulo VI

Objetivo

El objetivo del presente captulo es determinar las medidasde los elementos bsicos de un tringulo; es decir sus treslados y tres ngulos, a partir de ciertos datos conocidos,utilizando propiedades geomtricas y otras que son propiasdel curso, tales como:

I. Teorema de los senos

En todo tringulo se cumple que sus lados sonproporcionales a los senos de los ngulos al cual seoponen; siendo la constante de proporcionalidad, eldimetro de la circunferencia circunscrita a dichotringulo.

En el tringulo ABC del grfico se cumple:

CA

c

a

b

R

B

R: circunradio

R2senC

csenB

bsenA

a===

De donde:

a senB = b senA a = 2R senAb senC = c senB b = 2R senBc senA = a senC c = 2R senC

II. Teorema de los cosenos

En todo tringulo se cumple que el cuadrado de un ladoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dosmenos el doble producto de los mismos multiplicadospor el coseno del ngulo que forman.

B

CA

ac

b

a = b + c - 2bc.cosA2 2 2

b = a + c - 2ac.cosB2 2 2

c = a + b - 2ab.cosC2 2 2

III. Teorema de las proyecciones

En todo tringulo se cumple que un lado es igual a lasuma de los productos de cada uno de los otros ladoscon el coseno del ngulo que forman con el primer lado.

CA

B

ac

b

a = b cosC + c cosB

b = a cosC + c cosA

c = a cosB + b cosA

Algunas demostraciones

I. T. de los senos:

A C

B

Pac

b

H

En el grfico tenemos:

AHB: BH = c senA

BHC: BH = a senC c senA = a senC senCc

senAa

=

De modo similar:

APB: AP = c senB

APC: AP = b senC c senB = b senC senCc

senBb

=

Luego:

senCc

senBb

senAa

== ... (1)

RR

S

A

B

C

c

En la circunferencia, trazamos el dimetro AS y noteque:

BSA = BCA = C

ABS:R2c

= senC senC

c = 2R ... (2)

Igualando (1) y (2):

R2senC

csenB

bsenA

a===

II. T. de los cosenos

A C

B

ac

b

H

c senA

b - c cosAc cosA

Note que en:

AHB: BH = c senAAH = c cosA

BHC: a 2 = (c senA)2 + (b - c cosA)2

a2 = c2 Asen2 + b2 + c2 Acos2 - 2bc.cosA

a2 = b2 + c2( 1

22 AcosAsen + ) - 2bc.cosA

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

Anlogamente:

b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC

III. T. de las proyecciones

A C

B

ac

b

H a cosCc cosA

Tenemos:

AHB: AH = c cosABHC: HC = a cosC

Luego:b = AH + HC

b = c cosA + a cosC

Anlogamente:

a = b cosC + c cosB c = a cosB + b cosA

1. En un tringulo ABC: A = 60; b = 2; B = 45. Calculara.

a) 2 3 b) 2 2 c) 4d) 6 e) 2 6

Resolucin:

Graficando el problema, tenemos:

60 45A B

C

2 a

senBb

senAa

=

=

=

45sen60sen2

a45sen

260sena

2

2.

2

32

22

23

2

a =

= a = 6

Problemas resueltos

Aplicacin:En un tringulo ABC: a = 4; B = 105 y C = 60.Calcular c.

Rpta.: c = 2 6 ( 3 + 1)

2. En un tringulo ABC: A = 60; C = 45; a = 3 - 1.Calcular b.

a) 2 b) 32

c)26

d)36

e)66

Resolucin:

Graficando, tenemos:A = 60 y C = 45 B = 75

60 45A C

B

3 - 175

b

pero:

=

60sen1-3

75senb

b = ( 3 - 1)

60sen75sen

234

)26(

)1-3(b

+

=

Operando:

32

1)-3(2

32

)13)(1-3(2

32

)26()1-3(b =

+=

+=

3

3.

3

2b = b =

36

Aplicacin:

En un tringulo ABC: A = 75; B = 30; b = 2 2 .Calcular c.

Rpta.: 2( 3 + 1)

3. En un tringulo ABC: a = 2b;hallar:

senBsenA

E =

a) 1 b) 2 c)21

d) 4 e)41

Resolucin:

Del grfico:

c

BC

A

b

ase tiene:

senBb

senAa

=

EsenBsenA

ba

=

E = =ab

2bb

E = 2

Aplicacin:

En un tringulo ABC: a2 = nbc; hallar:

senC.senBAsen

L2

=

Rpta.: L = n

4. En un tringulo ABC: a = 6 y A = 30, cunto mide elcircunradio del tringulo ABC?

a) 2 b) 3 c) 6d) 9 e) F.D.

Resolucin:

Del grfico:

a = 6

CA

B

c

b30

tenemos que:

R2senA

a= R2

30sen6

=

213

30sen3

R ==

R = 6

Aplicacin:

En un tringulo ABC: b = 12, B = 45, cunto mide sucircunradio?

Rpta.: 12 2

5. En un tringulo ABC: a = 2 3 , A = 60; B = 45.Calcular b.

a) 2 b) 2 2 c) 3 2d) 2 e) 4

Resolucin:

Del grfico:

BA

C

b

60 45

a = 2 3

se tiene que:

senBb

senAa

= senAasenB

b =

reemplazando valores:

23

22

.32

60sen45sen.32

b == b = 2 2

Aplicacin:

En un tringulo ABC: a = 2, A = 30, b = 2 ; calcularsenB.

Rpta.:42

6. En un tringulo ABC; simplificar:

csenAasenCbsenAasenB

E+

+= ; si: b = 3c

a) 3 b)31

c) 6

d)61

e) 9

Resolucin:

Por propiedad:

=

=

csenAasenCbsenAasenB

E =csenAcsenAbsenAbsenA

+

+=

2bsenA2csenA

cb

E =

pero: b = 3c cc3

E = E = 3

Aplicacin:

En un tringulo ABC, reducir:

senBcsenCbsenAcsenCa

L+

+= ; si: a = 2b

Rpta.: L = 2

7. En un tringulo ABC; reducir:

J =senC.senB.senA

CcoscBcosbAcosa ++

si su circunradio es R.

a) R b) 2R c) 4R

d)2R

e)4R

Resolucin:

Sabemos que:a = 2RsenA; b = 2RsenB; c = 2RsenC

Luego:

J =senC.senB.senA

CcosRsenC2BcosRsenB2AcosRsenA2 ++

J =senC.senB.senA

C2RsenB2RsenA2Rsen ++

J =senC.senB.senA

)C2senB2senA2sen(R ++

Pero, como: A + B + C = 180 sen2A + sen2B + sen2C = 4senA.senB.senC

J =senC.senB.senAsenC.senB.senA4

R

J = 4R

Aplicacin:


J = )C-B(senc-Bcosa2

si su circunradio es R.

Rpta.: J = 2R

8. En un tringulo ABC:7c

5b

3a

== ; calcular C

a) 60 b) 120 c) 135d) 30 e) 45

Resolucin:

Graficando:

CA

B

a = 3kc = 7k

b = 5k

aplicando el teorema de los cosenos:

c2 = a2 + b2 - 2ab cosC 49k2 = 9k2 + 25k2 -2.3k.5kcosC

49 = 25 + 9 - 30cosC 15 = -30cosC

21

-Ccos = C = 120

Aplicacin:

En un tringulo ABC:

7c

5b

3a

==

Calcular B.

Rpta.:1411

arccos

9. En un tringulo ABC:a2 = b2 + c2 + bc

hallar A

a) 60 b) 120 c) 135d) 150 e) 30

Resolucin:

De la condicin:a2 = b2 + c2 + bc

b2 + c2 - 2bc cosA = b2 + c2 + bc -2bc cosA = bc

21

-Acos = A = 120

Aplicacin:

En un tringulo ABC:

b2 = a2 + c2 -21

ac

Calcular "B"

Rpta.: arccos41

10.En un tringulo ABC:

4senC

3senB

2senA

==

Calcular B.

a) arccos167

b) arccos117

c) arccos1611

d) arccos1511

e) arccos157

Resolucin:

Graficando:

AB

C

2k 3k

4k

4senC

3senB

2senA

==

=

=

=

=====

k4ck3bk2a

k4c

3b

2a

4RsenC2

3RsenB2

2RsenA2

Luego:(3k)2 = (4k)2 + (2k)2 - 2(4k)(2k)cosB9 = 16 + 4 - 16cosB 16cosB = 11

cosB =1611

B = arccos1611

Aplicacin:

En un tringulo ABC:

4senC

3senB

2senA

==

Calcular C.

Rpta.: arccos

241

-

11.En un tringulo ABC; reducir:

222

222

b-ca

c-baJ

+

+=

a)BtanAtan

b) c)

d) e)

Resolucin:

Del teorema de los cosenos:

c2 = a2 + b2 - 2abcosC 2abcosC = a2 + b2 - c2b2 = a2 + c2 - 2accosB 2accosB = a2 + c2 - b2

En la expresin:

pero; por el teorema de los senos:b = 2RsenBc = 2RsenC

en la expresin:

J = =

ordenando:

Aplicacin:


Rpta.: 2secA

12.En un tringulo ABC, reducir:

E = - cosA

a) cosA b) 2cosA c) - cosAd) - 2cosA e) -1

Resolucin:

En la expresin:

E = - cosA

se conoce:

b2 + c2 - a2 = 2bc.cosALuego:

E = - cosA

E = 2cosA - cosA E = cosA

Aplicacin:


E =

Rpta.: E = 2a

13.El coseno del mayor ngulo de un tringulo cuyaslongitudes de sus lados son tres nmeros enteros yconsecutivos es igual a 1/5. Calcular el permetro dedicho tringulo.

a) 15 b) 10 c) 20d) 18 e) 19

Resolucin:

Segn los datos:

cos =

pero sabemos por el teorema de los cosenos:

( n + 1 )

2 = (n - 1)2 + n2 - 2(n - 1)n cos2(n - 1)n cos = (n - 1)2 + n2 - (n + 1)2

2(n - 1)n. = n2 - 2n + 1 + n2 - (n2 + 2n + 1)

(n - 1) = n2 - 4n

Ordenando:

(n - 1) = (n - 4) 2(n - 1) = 5(n - 4)

2n - 2 = 5n - 20 3n = 18Piden el permetro:

2p = n + n + n = 3n 2p = 18

Aplicacin:

En un tringulo, los lados son tres nmeros enterosconsecutivos y el ngulo mayor es el doble del menor.Cul es el permetro del tringulo?

Rpta.: 2p = 15

14.En un tringulo ABC; reducir:

J =

si su permetro es 20 cm.

a) 10 cm b) 20 c) 40d) 8 e) N.A.

Resolucin:

Como:a = bcosC + ccosB a - b cosC = c cosBb = acosC + ccosA b - c cosA = a cosCc = acosB + bcosA c - a cosB = b cosA

Luego:

J = J = 20 cm

Aplicacin:

En un tringulo ABC:

y

Hallar C.

Rpta.: C = 75

15.En un tringulo ABC de permetro 20 cm, calcular:K = (a + b)cosC + (b + c)cosA + (c + a)cosB

a) 10 cm b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Resolucin:

Operando en la expresin:K = acosC + bcosC + bcosA + ccosA + ccosB + acosBordenando:

K = a + b + c = 2p K = 20

Aplicacin:

En un tringulo ABC, su permetro es 2p y adems:

a cosB + b cosC + c cosA = kHallar:

J = a cosC + c cosB + b cosA

Rpta.: 2p - k

Bloque I

1. En un tringulo ABC: A = 30; C = 45 y c = 2 .Calcular a.

a) b) 2 c) 4d) 1 e) 4

2. En un tringulo ABC: A = 60; a = 2 yb = 1. Calcular B.

a) arcsen b) arcsen

c) arcsen d) arcsen

e) 30

3. En un tringulo ABC: a = 2 y b = 3. Calcular:

Q =

a) b) 3 c)

d) e) 5

4. En un tringulo ABC, reducir: (R: circunradio) Q = a(senB - senC) + b(senC - senA) + c(senA - senB)

a) R b) 2R c) 0

d) e) 1

5. En un tringulo ABC: (R: circunradio)a2 + b2 + c2 = nR2

Hallar:Q = sen2A + sen2B + sen2C

a) n b) c)

d) e)

6. En un tringulo ABC: a = 3; c = 2 y B = 60.Calcular b.

a) 7 b) 19 c)d) e) 2

7. En un tringulo ABC: a = 3; b = 4 y C = 120.Calcular c.

a) 13 b) c) 37d) e)

8. En un tringulo ABC: ; calcular B..

a) arccos b) arccos


c) arccos d) arccos

e) arccos

9 En un tringulo ABC: a2 = b2 + c2 - bc; calcular A..

a) arccos b) arccos

c) arccos d) arccos

e) arccos


Q =

a) b) c)

d) e)

Bloque II

1. En un tringulo ABC: A = 30; B = 53 y a = 5.Calcular b.

a) 6 b) 8 c) 10d) 4 e) 6

2. En un tringulo ABC: a = 2; c = 3 y C = 53.Calcular A.

a) arcsen b) arcsen

c) arcsen d) arcsen

e) arcsen

3. En un tringulo ABC: a = 3 y b = 4. Calcular:

Q =

a) 1,2 b) 2,1 c) 2,2d) 2,3 e) 2,4

4. En un tringulo ABC, reducir:

Q =

a) b)

c) d)

e)

5. En un tringulo ABC: (R: circunradio)a b + b c + c a = n R

2

Hallar:Q = senA.senB.senC(cscA + cscB + cscC)

a) n b) c)

d) e)

6. En un tringulo ABC: a = 2; b = 5 y C = 53.Calcular c.

a) 7 b) c) 17d) e)

7. En un tringulo ABC: a = 2 ; c = 3 y B = 150.Calcular b.

a) 3 b) c) 13d) e)

8. En un tringulo ABC: ; calcular B..

a) arccos b) arccos

c) arccos d) arccos

e) arccos

9. En un tringulo ABC: b2 = a2 + c2 - ac; calcular B.

a) 30 b) 60 c) 45d) 37 e) 53


Q =

a) b) c)

d) e)

Bloque III

1. En un tringulo ABC: (R: circunradio)a secA + b secB + c secC = 5R

calcular:Q = tanA.tanB.tanC

a) 5 b) c)

d) e)

2. En un tringulo ABC, reducir:

Q =

(R: circunradio)

a) R2 b) 2R2 c) 2R-2

d) R-2 e) R-2

3. En un tringulo ABC: A = 2 B; a = 3 y b = 2.Calcular B.

a) arccos b) arccos

c) arccos d) arccos

e) arccos

4. En un tringulo ABC: A = 3 C; a = 5 y c = 3.Calcular C.

a) arccos b) arccos

c) arccos d) arccos

e) arccos

5. En un tringulo ABC: a2 + b2 + c2 = mR2(R: circunradio)Hallar: Q = cos2A + cos2B + cos2C

a) b) c)

d) e)

6. Si el tringulo ABC es equiltero, calcular , si adems:

a) arccos b) arccos

c) arccos d) arccos

e) arccos

7. En un tringulo ABC, de lados enteros consecutivos, elngulo mayor es igual al doble del menor. Calcular elpermetro del tringulo.

a) 15 cm b) 18 c) 30d) 36 e) 24

8. En un tringulo ABC:

p(p - c) =

Calcular C. (p: semipermetro)

a) 60 b) 30 c) 90d) 120 e) 150

9. En un tringulo ABC; mb es la mediana relativa al ladob. Reducir:

Q =

a) 1 b) 2 c) -2

d) -1 e) -

10.En un paralelogramo, sus diagonales miden m y n(m > n) y uno de los ngulos del paralelogramo mide ( es agudo). Hallar el rea del paralelogramo enfuncin de m, n y .

a) (m2 - n2)tan b) tan

c) tan d) cot

e) cot


Lmites trigonomtricos

Captulo VII

IntroduccinEn la figura se muestra el grfico de: y = f(x) = 2x

2 - 1

Note que cuando "x" se aproxima a 2; f(x) se aproxima a7. Esto va a significar que el lmite de f(x) cuando "x"tiende a 2 es igual a 7; lo cual se va a representar as:

En una funcin trigonomtrica, tambin podemosanalizar:

Ahora bien, si tenemos en cuenta el grfico siguiente;tenemos que cuando:

Ahora bien, para que el exista, los lmites

laterales deben existir y ser iguales; es decir:

Si los lmites laterales son diferentes, el no

existe ( : )

Por ejemplo:

Entendamos entonces el lmite de una funcin; comoaquel valor al que tiende una funcin, conforme suvariable independiente se aproxima a otro. Recordemosalgunas propiedades sobre lmites de funciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Si: f(x) < g(x) < h(x)

(en un intervalo abierto que contiene a "xo")

Lmites trigonomtricos

Algunos lmites de funciones trigonomtricas, son unaporte valioso para el clculo de funciones mscomplejas. Los principales lmites trigonomtricos autilizar son:

Una demostracin muy conocida es la siguiente:

i) AM > AMd(AM); M(cosx; senx)

x A(1;0)

x >

x >

x >

x2 > 2 - 2cosx

cosx > 1 -

Pero: cosx 1 (teora)

)

Luego:

Como:

ii) SOMA < SMOA < SOAT .... (S : reas)

Pero:

iii) De (): senx < x < tanx

cosx < < 1

Como:

A partir de los lmites anteriores se puede deducir lossiguientes:

Por ejemplo:

;

;

Funciones continuas

Una funcin y = f(x) es continua en el punto "xo", si:

Por ejemplo, en los grficos:

1. Calcular:

a) 2 b) 5 c) 10d) 6 e) 8

Resolucin:

En el lmite:

J = 3 + 2 J = 5

Aplicacin:

Calcular:

Rpta.:

2. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Resolucin:

Desdoblando en fracciones homogneas:

J = 1 + 3 - 1 J = 3

Aplicacin:

Halle:

Rpta.: J = 2

3. Calcular:

a) 5 b) 10 c) 100d) 20 e) 40

Resolucin:

En la expresin:

Desdoblando el lmite:

J = 5.2 J = 10

Aplicacin:

Halle:

Rpta.: J = 6

4. Calcular:

a) 5 b) 2 c) 0,4d) 2,5 e) 0,25

Resolucin:

En la expresin:

Problemas resueltos

Dando forma a la expresin para aplicar propiedad:

..... dividimos entre "x"

Desdoblamos el lmite:

Aplicacin:

Hallar:

Rpta.: J = 6

5. Calcular:

a) 12 b) 8 c) 24d) 10 e) 16

Resolucin:

En la expresin:

Transformando a producto el numerador:

Desdoblando el lmite:

J = 2 . 3 . 4 J = 24

Aplicacin:

Hallar:

Rpta.: J = 8

6. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e)

Resolucin:

De la expresin:


...... (sen2x = 2senx.cosx)

Ordenando: J = J = 4

Aplicacin:Calcular:

Rpta.: J = 6

7. Calcular:

a) 5 b) 10 c) 25d) 625 e) 100

Resolucin:

Recuerde que: 1 - cos = 2sen2

Luego en la expresin:

Por propiedad:

J =

J =

Evaluando los lmites: J = J = 9

Aplicacin:

Calcular:

Rpta.: J = 25

8. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

Resolucin:En la expresin:

J = 2(2)2 J = 8

Aplicacin:

Hallar:

Rpta.: J = 18

9. Calcular:

a) 9 b) 2 c) 10d) 18 e) 20

Resolucin:

En la expresin, factorizando "tanx"

J = 2

J = 2 . 1. 9 J = 18

Aplicacin:

Calcular:

Rpta.: J = 32

10.Calcular:

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e)

Resolucin:

Note que a diferencia de los ejercicios anteriores, "x"no tiende a cero, sino a /2; entonces la idea es hacerun cambio de variable:

Como: x 0 ; sea: x - = h

x = h +

Luego:

Recuerde que: cos = senh .... (por reduccin

al IC)

Luego: J = 1

Aplicacin:

Hallar:

Rpta.: J = -1

11.Calcular:

a) 1 b) -1 c)

d) - e) 2

Resolucin:

Hacemos un cambio de variable: x pi (x - ) 0 ;sea: x - = y

x = + y

Luego:

; pero: cos = -sen

J =

Aplicacin:

Hallar:

Rpta.: J = -3/2

12.Calcular:

a) 1 b) 2 c) 4

d) e)

Resolucin:

Hacemos un cambio de variable como:

x 0 ; sea:

Luego:

J = J = 2

Aplicacin:Hallar:

Rpta.: J = 4

13.Calcular:

a) 1 b) -1 c)

d) - e) no existe

Resolucin:

Cuando hay valor absoluto, lo mejor es trabajar conlmites laterales

i)

ii)

Como:

Aplicacin:

Hallar:

Rpta.: J = no existe

14.Si la siguiente funcin:

Es continua en todo su dominio, calcular: J = A2 + B2

a) b) c) 5

d) 10 e)

Resolucin:

Como es continua en todo su dominio, lo es en cada

punto de l, as que vamos a analizar en

i) ; donde existe si sus lmites

laterales son iguales; es decir:

4sen - 1 = Acos + B 1 = A + B ..... (1)

ii) donde: existe si sus lmites

laterales son iguales;

es decir:

Acos + B = sen +1 B - A = 2 ........(2)

Luego, de (1) y (2):

A + B = 1

B - A = 2

Aplicacin:

Si la funcin:

y = f(x) =

es continua, hallar "A".

Rpta.: A = -2

15.Calcular:

a) e b) e2 c) e-1d) e-2 e) e3

Resolucin:

Para este tipo de problemas, debemos recordar que si:

es de la forma: 1 ; entonces se hace el

siguiente cambio:

e : base de los logaritmos neperianos

En el problema:

Hacemos el cambio:

............... ( )

En el lmite:

Reemplazando en ( ):

Aplicacin:

Hallar:

Rpta.: e-3/2


Bloque I

1. Calcular:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Calcular:

a) 14 b) 7 c) 28d) 2 e) 49

4. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 4

5. Calcular:

a) 5 b) c)

d) e)

6. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

7. Calcular:

a) 2 b) 6 c) 12d) 8 e) 24

8. Calcular:

a) 6 b) 25 c) 12d) 2 e) 3

9. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 8

d) e)

10.Calcular:

a) 1 b) -1 c)

d) - e) No existe

11.Calcular:

a) 1 b) -1 c)

d) - e) No existe

12.Calcular:

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) -

13.Calcular:

a) 5 b) c) -

d) -5 e)

14.Calcular:

a) 1 b) 2 c) -1

d) -2 e)

15.Si la funcin:

y = f(x) =

es continua en todo su dominio; calcular "A"

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Bloque II

1. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Calcular:

a) 5 b) 15 c) 10d) 12 e) 24

4. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 8d) 24 e) 12

5. Calcular:

a) 3 b) 4 c) 12

d) e)

6. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

7. Calcular:

a) 10 b) 20 c) 40d) 80 e) 160

8. Calcular:

a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 10

9. Calcular:

a) 1 b) 2 c)

d) 4 e)

10.Calcular:

a) 1 b) 2 c) -2d) -1 e) No existe

11.Calcular:

a) 3 b) c) -

d) -3 e) No existe

12.Calcular:

a) 1 b) 2 c) -1

d) -2 e)

13.Calcular:

a) 3 b) -3 c)

d) - e) -

14.Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) e)

15.Si la funcin:

y = f(x) =

Es continua en todo su dominio; calcular "A".

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) -1

Bloque III

1. Hallar:

a) b)

c) d)

e) sen2

2. Hallar:

a) sen2 b) cos2 c) csc2d) sec2 e) cot2

3. Hallar:

a) e b) e2 c)

d) e4 e)

4. Hallar:

a) 15sen cos14 b) -15sen cos14c) 30sen cos14 d) -30sen cos14e) sen cos14

5. Hallar:

a) 5sen5 cos b) 5sen4 cosc) 5sen3 cos2 d) 5sen2 cos3e) 5sen cos4

6. Calcular:

a) e b) -e c) e2d) e1/2 e) e4

7. Calcular:

a) e b) 1 c) e2d) e-2 e) e-1

8. Calcular:

a) e b) e2 c) e-2d) e-1 e) 2e

9. Cul debe ser el valor de para que la funcin:

y = f(x) = ; sea continua en el intervalo

?

a) b) - c)

d) - e) -

10.Dada la funcin: y = f(x) = ; continua en , cul debera ser el valor de f(0) y f(1) para que f(x)sea continua en [0; 1]?

a) f(0) =2 b) f(0) = f(1) = 2

2

f(1) = 22

c) f(0) = f(1) =2 d) f(0) = f(1) = 3

2

e) f(0) = 22

f(1) =2

11.Hallar:

J = cos cos cos cos ..."n" factores

Si: n

a) b) c)

d) e)

12.Hallar:

J = (2cos -1) (2cos -1) (2cos -1)..... "n" factores

Si: n

a) b)

c) d)

e)


Derivadastrigonomtricas

Captulo VIII

Introduccin

En el anlisis matemtico, el concepto de derivada deuna funcin ha sido abordado de distintas formas. Vamos arevisar el concepto, empezando desde el manejo de lasrectas secantes y tangentes a una curva; y que mejor conu n a f u n c i n c o n o c i d a : y = f (x) = x

2

* Tenemos la recta LS secante a: y = x2; que pase por

y Q, definido por un incremento "h" en "x",

como: (x + h; f(x + h))* La pendiente de esta recta es: m = tan que se calcu-

lara as:

m = tan =

* Si hacemos variar "h" sin dejar de pasar por el punto"P", de modo que h 0; la recta LS se convierte enrecta tangente y"m" pasara a convertirse en la pen-diente de la recta tangente a la curva: y = x2 enel punto "P".

Calculndose ahora de esta manera:

Para esta curva:

Si "P" fuese: (2; 4) m = 2(2) = 4(1; 1) m = 2(1) = 2(3; 9) m = 2(3) = 6

Definicin

Sea "f" una funcin definida en un intervalo I, se diceque "f" es derivable en un punto xo I respecto dela variable "x", si la funcin de "h":

es bien definida y tiene un lmite determinado (finito)cuando: h 0. Si es as, escribiremos:

y se llama derivada de la funcin "f" en el punto

xo.

Por ejemplo; si tuvisemos:

*

f'(x) = 3x2

*

f'(x) = 4x3

No podemos olvidar las diferentes propiedades sobrederivadas de funciones:

1. Si: f(x) = xn f'(x) = nx

n-1

2. Si: f(x) = g(x) h(x) f'(x) = g'(x) h'(x)

3. Si: f(x) = k f'(x) = 0; k : constante

4. Si: f(x) = kg(x) f'(x) = kg'(x)

5. Si: f(x) = g(x) . h(x) f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x)

6. Si: f(x) = f''(x) =

As como tambin, algunas derivadas de ciertas funcionesconocidas:

1. Si: f(x) = f''(x) =

2. Si: f(x) = ex f'(x) = e

x

3. Si: f(x) = ax f'(x) = a

x.lna

4. Si: f(x) = lnx f'(x) =

5. Si: f(x) = logbx f'(x) =

Derivadas trigonomtricas

A partir de la definicin de la derivada de una funcinse pueden hallar las derivadas de las funcionestrigonomtricas, y a partir de ellas deducir propiedadesadicionales. Por ejemplo:

* Derivada de la F.T.: y = senx

Sabemos que dada:

para:


f'(x) = cosx

* Derivada de la F.T.: y = cosx

Sabemos que dada:

Para:


f'(x) = -senx

* Derivada de la F.T.: y = tanx

Tambin podemos derivar funciones, aplicandopropiedades generales sobre derivacin; por ejemplo;si:

En la funcin:

f'(x) =

Luego, reemplazando:

f'(x)= =

f'(x) = f'(x) = sec2x

De manera anloga se puede demostrar las derivadasde las dems funciones trigonomtricas; las cuales estnresumidas en el cuadro adjunto:

As tambin se pueden derivar funciones trigonomtricasms complejas; ya sea por definicin o por propiedadesgenerales. Por ejemplo derive:

1. y = f(x) = sen4x

Transformando:

f'(x) = 4cos4x

2. y = f(x) =

Por propiedad:

f'(x) =

Pero:

(senx + cosx)' = (senx)' + (cosx)' = cosx - senx(senx - cosx)' = (senx)' - (cosx)' = cosx - (-senx)

= cosx + senx

Luego:

f'(x) =

f'(x) = =

f'(x) =

Propiedades adicionales de deriva-cin y aplicaciones de las derivadas

Funcin compuesta

Por ejemplo:

1.

2.

3.

4.

5.

Casos particulares

Si: y = [f(x)]n y' = n[f(x)]

n-1 . f'(x)

Por ejemplo:

1. y = sen2x y' = 2(senx)1 .

y' = 2senx.cosx y' = sen2x

2. y = 4sen3x y' = 4.3(senx)2 .

y' = 12sen2xcosx

3. y = 2tan5x y' = 2.5(tanx)4 .

y' = 10tan4x.sec2x

4. y = sen3(x2 + x3)

y' = 3[sen(x2 + x3)]2 .

y' = 3sen2(x2 + x3) . (x2 + x3)' . [sen(x2 + x3)]'... (por el caso anterior)

y' = 3sen2(x2 + x3) . (2x + 3x2) cos (x2 + x3)y' = 3(2x + 3x2) sen2 (x2 + x3) cos (x2 + x3)

5. y =

y = (senx)1/3

y' = (senx)1/3-1(senx)'

y' = (senx)-2/3.cosx =

y' =

Si: y = Ln (f(x)) y' = . f''(x)

Por ejemplo:

1. y = Ln(senx) y' = .(senx)' = .cosx

y' = cotx

2. y = Ln(tanx) y' = . (tanx)' = . sec2x

y' =

y' =

y' = 2csc2x

Si:

Por ejemplo:

1. y = esenx y' = esenx . (senx)' y' = esenx.cosx

2. y = etanx y' = etanx . (tanx)' y' = etanx.sec2x

3. y = ecos2xy' = ecos2x.(cos2x)'y' = ecos2x . 2(-sen2x) y' = -2ecos2xsen2x

Recta tangente a una curva

Por ejemplo en la figura tenemos la curva: y = f(x) = x3 y la

recta tangente LT a ella en el punto de abscisas 2.

Hallamos: f'(x) = 3x2

Evaluamos: f'(2) = 3(2)2 = 12

Luego, la pendiente de LT es: mT = 12Si queremos hallar la ecuacin de LT aplicamos:

y - yo = mT (x - x0), donde:(xo; yo) es un punto de paso de la recta, que puede ser elpunto de tangencia mismo, por ejemplo:

En la figura el punto es (2;8), luego la ecuacin es:y - 8 = 12(x - 2)

LT : y = 12x - 16

Veamos ahora otro ejemplo con la funcin:y = f(x) = 4sen2x; y la recta tangente en el punto: x = /6(Hallaremos su ecuacin)

i. f(x) = 4sen2xf'(x) = 4(2cos2x) = 8cos2x

ii) mT =

mT = 4

iii) Tomando como punto de pasoLa ecuacin sera:

y -

y - LT : y = 4x +

Regla de L'HospitalLa regla de L'Hospital reduce la determinacin del lmite de

una funcin de la forma: ; en los casos de

indeterminacin de los tipos : , al clculo del lmite

de Evidentemente, si este es tambin indeterminado

de una de esas dos formas, su lmite a su vez, se reduce al

de y as sucesivamente.

Esto es:

Siempre que los lmites sean del tipo :

Por ejemplo, calcular:

1. (que ya sabemos que es 5)

Note que es de la forma :

Luego:

A = 5

2.

Al tomar el lmite resulta:

Luego:


Luego:

Tomando el lmite: B =

3.


Luego:

C =

Aproximaciones:

Cuando un nmero "x" tiende a 0, se puede confundir (suvalor) con su seno o su tangente; es decir:

Por ejemplo, si quisiramos calcular: cos6030'

cos6030' = cos(60 + 30') = cos60.cos30' - sen60.sen30'; 30' = 0,5 = 0,0087 rad.

cos6030' = -

cos6030' = 0,5 - 0,865 (0,0087) cos6030' = 0,49247

Otro ejemplo; calcular: tan4545'

tan4545'=tan(45+45')=

Pero:

45' = 0,75 = 0,01309 rad

tan45' = tan0,01309 0,01309

Luego:

tan4545' =

tan4545' = 1,0265

Problemas resueltos

1. D e r i v e : y = f (x) = senx + cosx

a) cosx + senx b) senx - cosxc) cosx - senx d) -senx - cosxe) senx + 1

Resolucin:

En la funcin: f(x) = senx + cosx

f'(x) = (senx)' + (cosx)'

f'(x) = cosx - senx

Aplicacin:

Derive: y = f(x) = senx - cosx

Rpta.: f'(x) = senx + cosx

2. Derive: y = f(x) = secx + tanx

a) tanx.f(x) b) senx.f(x) c) secx. f(x)d) cotx.f(x) e) -tanx.f(x)

Resolucin:

En la funcin:f(x) = secx + tanx

f'(x) = (secx)' + (tanx)'

f'(x) = sec2x + secx.tanx

f'(x) = secx f''(x) = secx.f(x)

Aplicacin:

Derive: y = f(x) = cscx - cotx

Rpta.: f'(x) = -cotx.f(x)

3. Siendo: y = f(x) = senx - cosx; hallar:J = f'(x) + f"(x) + f"'(x)

a) senx + cosx b) senx - cosxc) cosx - senx d) 2senx - cosxe) senx - 2cosx

Resolucin:

Como:f(x) = senx - cosx

f'(x) = (senx)' - (cosx)' f'(x) = cosx + senx

f"(x) = (cosx)' + (senx)' f"(x) = -senx + cosx

f"'(x) = (-senx)' + (cosx)' f"'(x) = -cosx - senx

J = cosx - senx

Aplicacin:

Si: y = f(x) = senx + cosx; hallar: J = f'(x) + f"(x) - f"'(x)

Rpta.: J = cosx - 3senx

4. Derive: y = f(x) =

a) b)

c) d)

e)

Resolucin:

En la funcin: y = f(x) =

y' = f'(x) =

y' = f'(x) =

y' = f'(x) =

y' = f'(x) =

Aplicacin:

Derive: y = f(x) =

Rpta.: f'(x) =

5. Dada: y = f(x) = 2senx - cosx; halle un valor de "x" queverifique: f'(x) = 2f"(x)

a) 0 b) c)

d) e)

Resolucin:

Como: f(x) = 2senx - cosx f'(x) = 2cosx + senx

f"(x) = -2senx + cosx

Luego: f'(x) = 2f"(x)2cosx + senx = 2(-2senx + cosx)2cosx + senx = -4senx + 2cosx5senx = 0 senx = 0

x = 0Aplicacin:

Si: y = f(x) = senx + cosx; halle un valor de "x" queverifique: f'(x) = f"(x)

Rpta.: x =

6. Derive: y = f(x) = Ln(sen2x)

a) tanx b) cotx c) 2cotxd) 2tanx e) 2tan2x

Resolucin:

Como:f(x) = Ln(sen

2x)

f'(x) =

f'(x) = . 2senx(senx)' = . 2senx.cosx

Ordenando: f'(x) = f''(x) = 2cotx

Aplicacin:

Derive: y = f(x) = Ln(cos2x)

Rpta.: f'(x) = -2tanx

7. Derive: y = f(x) = senx.tanx

a) senx + tanx b) secx + tanxc) secx + tanx.senx d) senx + secxe) senx + tanx.secx

Resolucin:

Como:

f(x) = senx.tanx = senx.

f(x) =

f(x) = secx - cosx

Luego: f'(x) = (secx)' - (cosx)'

f'(x) = secx.tanx + senx

Tambin:

f(x) = senx.tanx

f'(x) = (senx)' . tanx + senx(tanx)' ... (derivada de un producto)

f'(x) = cosx.tanx + senx.sec2x

f'(x) = cosx . +

f'(x) = senx + tanx.secx

Aplicacin:

Derive: y = f(x) = cosx.cotx

Rpta.: f'(x) = -cosx - cscx.cotx

8. Derive: y = f(x) = sen(tanx)

a) sen2x.cos(tanx) b) cos2x.cos(tanx)c) sec2x.cos(tanx) d) -sec2x.cos(tanx)e) csc2x.cos(tanx)

Resolucin:

Por funcin compuesta:f(x) = sen(tanx)

f'(x) = (tanx)' [sen(tanx)]'

f'(x) = sec2x . cos(tanx)

Aplicacin:

Derive: y = f(x) = cos(secx)

Rpta.: f'(x) = -secx.tanx.sen(secx)

9. Derive: y = f(x) =

a) b)

c) d)

e)

Resolucin:

Como:

f(x) =

f'(x) =

f'(x) = 2senx. (senx)' .

f'(x) = f''(x) = sen2x.

Aplicacin:

Derive: y = f(x) =

Rpta.: f'(x) = -sen2x .

10.Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva de lafuncin: y = f(x) = tan2x; en el punto de abscisa: x = /8

a) y = 4x + 1 - pi b) y = 4x + 1 + pi

c) y = 4x + 1 - d) y = 4x - 1 +

e) y = 4x - 1 -

Resolucin:

Como la abscisa es: x = su ordenada sera:

y = tan = tan = 1

luego el punto de tangencia sera:

Ahora bien, la pendiente de la recta tangente mT secalcula as:

i) f(x) = tan2x f'(x) = 2sec22x

Luego la ecuacin sera: y - yo = mT (x - xo)

y - 1 =

y - 1 = 4x -

LT : y = 4x + 1 -

Aplicacin:

Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva de lafuncin:

y = f(x) = cos3x ; en el punto de abscisa: x =

Rpta.: LT : y = -3x +

11.Calcular:

a) 1 b) 2 c) -2 2d) - 2 e) 0

Resolucin:

Al tomar el lmite:

Aplicamos L'Hospital:

Tomando lmite: A = - A = 0

Aplicacin:

trigonometria elemental iv bimestre

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