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Trigonometría

Arturo Ramírez

December 8, 2011

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Contents

1 Trigonometría 11.1 Medidas de Segmentos y Angulos . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Triángulos Rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Resolución de Triángulos Rectángulos . . . . . . . . 5

2 Funciones Trigonométricas 12.1 Las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Presentación axiomática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Definiciones y axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Triángulos Rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 Identidades asociadas a los ángulos de un triángulo∗ 132.3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 El Triángulo 19

iv Contents

3.1 Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Teoremas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Polígonos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.2 Problemas. Identidades trigonométricas en triángulos 30

4 Algoritmos 334.1 Propiedades de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Medida de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas . . . . . . . 344.3 Cálculo de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Reducción a ángulos agudos . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Caso del ángulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 La función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.1 Metodo de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Aplicaciones de la Trigomometría 435.1 Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Aplicaciones a la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.1 Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Aplicaciones a la topografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A Medición 51A.0.1 Medidas de Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.0.2 Medidas de Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.0.3 Medidas de Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.0.4 Uso común: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.0.5 Para peso de la plata: . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.0.6 Para peso del oro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.0.7 Para usos medicinales: . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.0.8 Medidas de Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.0.9 Para liquidos se usaba el cuartillo que contiene 0.991347

libras de agua (0.456264 litros). . . . . . . . . . . . . 53A.0.10 Para medir los "aridos" se usaba la fanega que es

igual a7200 pulgadas cúbicas. . . . . . . . . . . . . . 53A.0.11 Para medir granos se usaba: . . . . . . . . . . . . . . 53A.0.12 Medidas de Mananteales y Mercedes de Agua . . . . 53A.0.13 Medidas de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.0.14 Las monedas de oro tenian las siguientes denomina-

ciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Contents v

References 55

Contents i

INTRODUCCION

La palabra trigonometría significó originalmente medición de triángulos.Como tal se empiezó estableciendo relaciones entre los ángulos, lados y áreade un triángulo y en particular definiendo lo que se llamaron las razonestrigonométricas, esto es las funciones seno, coseno, tangente, cotangente,secante y cosecante además de senver y cosver que están prcticamente olvi-dadas (ver el problema (2.1, p.5)). Aunque los conceptos son anteriores losnombres de las funciones trigonométricas y sus abreviaturas se introdujeronen los siglos XVI y XVII. Sin embargo no es hasta que Euler publica en 1748su obra Introductio in Anasysim Infinitorum que la trigonometría pasa aser parte importante de las matemáticas. En un principio se definieron enfunción de los lados de un triángulo rectángulo y por lo tanto los ángu-los que se usaban eran menores que un ángulo recto. Posteriormente sevio la necesidad de dar definiciones que no estuvieran restringidas a quelos ángulos fueran agudos y además se desarrollaron una gran cantidad derelaciones e identidades que son de gran valor en muchas otras ramas de lamatemática.

Los conocimientos de trigonometría que necesitan los estudiantes paralos cursos más avanzados, como son calculo y ecuaciones diferenciales, secentran en la habilidad de poder manipular las identidades trigonométricas.Por esto se toman un número muy reducido de estas propiedades básicas,ver (2.2.8, p. 8), las cuales se usaran como axiomas para deducir todas lasotras identidades que son necesarias posteriormente. Para lograr esto loúnico adicional que necesitamos es un conocimiento sólido de los númerosreales. Esto sirve tanto para practicar la manipulación de las identidadestrigonométricas, como para poder dar un ejemplo elemental de cómo sepuede hacer una teoría matemática reduciéndola a unos cuantos axiomas.Las otras funciones trigonométricas se definen en función del seno y delcoseno y por lo tanto no se necesitan otras propiedades para dar todas lasidentidades trigonométricas.

En el capítulo 4 se darán los algoritmos para el calculo de las funcionestrigonométricas y de sus inversas. Además para estudiar de las funcionestrigonométricas en el cálculo diferencial e integral necesitamos un resultadoadicional que es el teorema (4.4.2, p. 34), con su ayuda se desarrollará estateoría en el capítulo ??.

Por lo tanto no se necesita la relación de las funciones trigonométricascon los triángulos rectángulos. Sin embargo una presentación de las fun-ciones trigonométricas no estaría completa sin estudiar su relación con laspropiedades de los triángulos. Este estudio se hará en el capítulo ??, dondesiguiendo el método anterior se demuestran unas cuantas propiedades, verteorema (??.3.1, p. 19), para ser usados como axiomas para deducir todoslos demás teoremas.

Los requisitos para estudiar estas notas son:

ii Contents

• Algún curso elemental de geometría que incluya: igualdad de trián-gulos, triángulos semejantes, medida de ángulos (grados, radianes yconversión de un sistema a otro), áreas de triángulos y círculos.

• Familiaridad con los números reales que incluya: propiedades alge-braicas suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas; de-sigualdades, valores absolutos.

Cada capítulo contiene todo el material básico necesario para el estudiode la trigonometría . Sin embargo para que el lector tenga acceso a un ma-terial más extenso en la última sección de cada capítulo se encuentran unaextensa serie de ejercicios, agrupados según las secciones de cada capítulo.Su número es mayor que lo que se puede hacer en un curso normal, sin em-bargo se encuentran ahí en parte como referencia y para poder tener unalista de donde seleccionar problemas. Ademas de servir como referencia deresultados de la teoría de las funciones trigonométricas.

Las secciones marcadas con un asterisco se pueden omitir en una primeralectura.

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1Trigonometría

La palabra trigonometría significó originalmente medición de triángulos.Como tal se empiezó estableciendo relaciones entre los ángulos, lados y áreade un triángulo y en particular definiendo lo que se llamaron las razonestrigonométricas, esto es las funciones seno, coseno, tangente, cotangente,secante y cosecante además de senver y cosver que están prcticamente olvi-dadas (ver el problema (2.1, p.5)). Aunque los conceptos son anteriores losnombres de las funciones trigonométricas y sus abreviaturas se introdujeronen los siglos XVI y XVII. Sin embargo no es hasta que Euler publica en 1748su obra Introductio in Anasysim Infinitorum que la trigonometría pasa aser parte importante de las matemáticas. En un principio se definieron enfunción de los lados de un triángulo rectángulo y por lo tanto los ángu-los que se usaban eran menores que un ángulo recto. Posteriormente sevio la necesidad de dar definiciones que no estuvieran restringidas a quelos ángulos fueran agudos y además se desarrollaron una gran cantidad derelaciones e identidades que son de gran valor en muchas otras ramas de lamatemática.

Un área importante de la geometría es la que nos permite hacer cálculos.El estudio de la trigonometría fue la primera teoría que permitió hacercálculos de una forma sistemática. Aunque las trigonometría permite hacercálculos en una gran variedad de objetos geométricos, en estas notas noscentraremos en el caso de triángulos.

Un triángulo queda determinado por seis elementos geométricos, tresángulos y tres lados. Los teoremas de congruencia de triángulos nos dicenque tres de esos elementos (que incluyen al menos un lado) generalmente

2 1. Trigonometría

FIGURE 1.1.

determinan al triángulo. Sin embargo no nos dicen como encontrar loselementos faltantes.

1.1 Medidas de Segmentos y Angulos

1.2 Triángulos Rectángulos

El estudio de la trigonometría empieza atacando este problema para elcaso de los triángulos rectángulos. En este caso solo se necesitan dos de loselementos y siempre determinan al triángulo.

La idea básica es que dos triángulos rectángulos son semejantes sii tienenigual uno de sus ángulos (distintos al ángulo recto). Dado un ángulo θ pos-itivo y menor que 90o, entonces podemos tomar cualquier triángulo rectán-gulo ∆ABC tal que ∡BAC = θ. Con ayuda de este triángulo definimos lassiguientes funciones (que claramente no dependen del triángulo escogido).

seno sen : (0, 90o)→ R donde sen(α) = ac

coseno cos : (0, 90o)→ R donde cos(α) = bc

tangente tan : (0, 90o)→ R donde tan(α) = ab

cotangente cot : (0, 90o)→ R donde cot(α) = ba

secante sec : (0, 90o)→ R donde sec(α) = cb

cosecante csc : (0, 90o)→ R donde csc(α) = ca

En cursos avanzados de matemáticas (como cálculo diferencial e integral)se estudia como calcular estas funciones y sus inversas.

Daremos algunas de las propiedades básicas de las funciones trigonométri-cas.

Teorema 1.1 Las funciones trigonométricas satisfacen las siguientes propiedades:

1.2 Triángulos Rectángulos 3

i) Si α y β son ángulos complementarios, entonces

senα = cos β

tanα = cotβ

secα = cscβ

ii) Tenemos las siguientes identidades

senα · cscα = 1

cosα · secα = 1

tanα · cotα = 1

tanα =senα

cosα

cotα =cosα

senαsen2 α+ cos2 α = 1 (*)

tan2 α+ 1 = sec2 α (**)

cot2 α+ 1 = csc2 α (***)

Demostración: La mayoría de estas propiedades son directas de lasdefiniciones.

Otras se siguen del teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2 y obtenemos

a2

c2+b2

c2= 1

sen2 α+ cos2 α = 1

además

a2

b2+ 1 =

c2

b2

tan2 α+ 1 = sec2 α

�

1.2.1 Funciones Trigonométricas

Es importante estudiar el comportamiento de las funciones trigonométricas.Dado un ángulo α menor que un ángulo recto, entonces todos los triángulosrectángulos que tengan un de sus ángulos igual a α son semejantes; ademássiempre existe uno y podemos suponer que uno de los lados es de longitudigual a uno.

Supongamos que la hipotenusa es de longitud igual a uno. Dado un án-gulo α menor que un ángulo recto sea ∆ABC el triángulo rectángulo talque ∡CAB = α, AB = 1. Sean a = BC y b = AC, en este caso senα = a

4 1. Trigonometría

FIGURE 1.2.

y cosα = b. Como la hipotenusa (AB = 1) es mayor que los catetos a y btenemos que senα, cosα < 1.

Por lo tanto tenemos que sen y cos : (0, 90o) → (0, 1), además sec ycsc : (0, 90o)→ (1,∞).

Empezaremos estudiando la función seno. Dado un segmento a de lon-gitud menor que 1, entonces podemos construir un único triángulo ∆ABCrectángulos con hipotenusa 1 y uno de los catetos igual a a. Esto es lafunción seno es suprayectiva. Además cuando α1 > α2, entonces a1 > a2(demostrar esta afirmación) lo que implica que la función seno es una fun-ción inyectiva y creciente. Por lo tantos la función seno es biyectiva.

Análogamente la función coseno es una función biyectiva, aunque en estecaso es decreciente.

Análogamente dado un segmento a, entonces podemos construir un únicotriángulo ∆ABC rectángulos con AC = 1 y BC = a, Esto es la funcióntangente es suprayectiva.

Recordando que dado un ángulo α menor que un ángulo recto te ∆ABCel triángulo rectángulo tal que ∡CAB = α, AB = 1. Cuando α1 > α2,entonces a1 > a2 y b1 < b2 (demostrar esta afirmación) lo que implica quela función tangente es una función inyectiva y creciente. Por lo tantos lafunción seno es biyectiva.

Análogamente la función totangente es una función biyectiva, aunque eneste caso es decreciente.

Como senα · cscα = 1, tenemos que la función cosecante es biyectiva ydecreciente.

Análogamente la función secante es biyectiva y creciente.Un problema que la humanidad trabajo durante muchos siglos es el de

evaluar explícitamente las funciones trigonométricas y sus inversas. Paraesto se calcularon muchas tablas (con más o menos cifras decimales) comola que tenemos en la página ¿?; actualmente las calculadoras hicieron obso-letas estas tablas. Nosotros supondremos que el lector tiene acceso a una de

1.2 Triángulos Rectángulos 5

estas calculadoras y que la sabe manejar en caso contrario es un ejercicioaprender a usar una calculadora.

1.2.2 Resolución de Triángulos Rectángulos

Dado un triángulo rectángulo y dos de sus elementos (distintos del ángulorecto), uno de los cuales es un lado, entonces podemos encontrar los otroselementos del triángulo. Daremos las fórmulas para los distintos casos.

6 1. Trigonometría


2Funciones Trigonométricas

2.1 Las Funciones Trigonométricas

2.1.1 Definiciones

Sean r una recta y S1 un círculo de radio uno y centro O tales que L estangente a S1 en un punto U . Escogiendo la orientación de r de maneraque la función E : r → S1 que enreda la recta r en el círculo S1 dejandoU fijo es tal que cuando los puntos de r se mueven en la dirección positivalos puntos correspondientes en S1 se mueven en la dirección positiva, estoes, en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Dado un puntoX en r podemos interpretar el segmento dirigido UX como la medida delángulo ∡UOE(X), hay que notar que dos puntos de r tienen la mismaimagen en círculo S si y solo si su distancia es un multiplo entero de 2π ypor lo tanto para cada punto Q ∈ S1 hay un número infinito de puntos dela recta r tales que bajo E van a Q.

La trigonometría se basa en el estudio de la función E : r → S1 cuandose usa en el plano coordenadas cartesianas, tales que el S1 tiene su centroen el origen y U es el punto de coordenadas (1, 0). Con estas convencioneslas funciones seno y coseno no son más que la expresión en coordenadas dela función E. Podemos por tanto poner: E(x) = (cosx, senx).

El punto U lo podemos pensar como el origen de r y si escogemos otropuntoP en r entonces podemos identificar a la recta r con la recta real Rde tal forma que U coincida con el cero de R y P con el uno. De esta formadefinimos funciones de los reales a S1, dependiendo de la distancia de Ua P se obtienen distintas formas de medir los ángulos. Si ρ es un punto

2 2. Funciones Trigonométricas

FIGURE 2.1.

de R tal que la distancia de U a ρ sea π/2 entonces ρ es la medida de unángulo recto. Tomando P en distintas posiciones obtenemos las distintasmaneras de medir ángulos. Si la distancia de U a P es uno (como en lafigura) entonces esta medida es en radianes, si la distancia de U a P esπ/180 entonces la medida es en grados. Como se ve de estos ejemplos esequivalente dar la distancia de U a P que dar la medida un ángulo recto.En estas notas se usara la medida en radianes al menos que se especifiqueotra cosa. Con esta identificación de los reales con la recta r vemos quedos reales x y y son tales que E(x) = E(y) si y solo si x− y = 4nρ con nentera.

En la siguiente sección estudiaremos las propiedades elementales de lasfunciones trigonométricas que usaremos en la sección 2.2 para estudiar suspropiedades algebraicas. La propiedad más importante es la proposición2.2 que toma en cuenta la estructura algebraica de los números reales.

2.1.2 Propiedades elementales

En esta sección utilizaremos las expresiones de las funciones seno y cosenomencionadas anteriormente, para obtener la siguiente proposición.

Proposición 2.1 Sea ρ la medida del ángulo recto, entonces las funcionesseno y coseno satisfacen las siguientes propiededes:i) Los valores de las funciones seno y coseno siempre está en el intervalo

[−1, 1] esto es: sen, cos : R→ [−1, 1].ii) Se tiene la identidad:

sen2 x+ cos2 x = 1

iii) Las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es

sen(x+ 4ρ) = senx

cos(x+ 4ρ) = cosx

2.1 Las Funciones Trigonométricas 3

iv) Se tiene las igualdades:

cos 0 = sen ρ = 1

sen(−ρ) = −1sen 0 = cosρ = cos(−ρ) = 0

v) Se tiene las identidades:

sen(−x) = − senxcos(−x) = cosx

Demostración: La propiedad i) es inmediata.La condición de que elcírculo es de radio uno se traduce en la identidad: sen2 x + cos2 x = 1que nos da ii). Como el dar una vuelta al círculo coresponde a un ángulode 4ρ se tiene que las funciones son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es:sen(x + 4ρ) = senx y cos(x + 4ρ) = cosx y se obtiene iii). Dado que losvalores de E en los puntos 0, ρ y −ρ son los puntos U , A y B obtenemos:sen 0 = 0, cos 0 = 1, sen ρ = 1, cos ρ = 0, sen(−ρ) = −1 y cos(−ρ) = 0que es la propiedad iv). La función E manda puntos simétricos respecto alcero de R en puntos simétricos respecto del eje de las equis, que no es másque la definición de los ángulos negativos. Las fórmulas que obtenemos son:sen(−x) = − senx, cos(−x) = cos x.

Sin embargo, la propiedad más importante es la que toma en cuenta laestructura algebraica (aditiva) de los números reales. Sean x, y dos númerosreales, entonces podemos interpretar x − y como la distancia del punto xal punto y. Tenemos, por lo tanto, que la distancia de E(x) a E(y) es lamisma que la distancia de E(x − y) a U = E(0), de aquí obtenemos lapropiedad vi), que como veremos en el capítulo II, es la base para estudiartodas las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas.

0

R

E(y)

O

y

π/2

1

x

E(x)

E(0)

O

E(x-y)

R

x-y

Proposición 2.2 Para todos los números reales x y y se tiene la identidadsiguiente:

cos(x− y) = cosx cos y + senx sen y


Demostración: Se tiene: E(x) = (cosx, senx), E(y) = (cos y, sen y),E(x− y) = (cos(x− y), sen(x− y)) y E(0) = (1, 0) igualando las distanciasal cuadrado entre E(x) y E(y) y entre E(x− y) y E(0), se tiene

(cos x− cos y)2 + (senx− sen y)2 = (cos(x− y)− 1)2 + sen(x− y)2

usando la identidad 2.1 ii) obtenemos el resultado buscado.La trigonometría es una herramienta muy útil, no solo, en el estudio de la

geometría sino también en muchas otras de las ramas de las matemáticas.Por esta razón enunciaremos los resultados más impotantes.

Teorema 2.3 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiedades:i) Si x y y son complementarios, entonces senx = cos y.ii) cos(−x) = cosx y sen(−x) = − senx.iii) cos(x− y) = cos x cos y + senx sen yiv) cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y.v) sen(x− y) = senx cos y − cosx sen y.vi) sen(x+ y) = senx cos y + cos x sen y.

Demostración:El siguiente teorema, es un resumen de las identidades trigonométricas

(en la que intervienen los senos cosenos únicamente) más importantes.

Teorema 2.4 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes iden-tidades:i) 2 sen2 x

2 = 1− cosx = sen2 x1+cos x

ii) 2 cos2 x2= 1 + cosx = sen2 x

1−cos xvi) senx+ sen y = 2 sen(x+y

2 ) cos(x−y2 )

vii) senx− sen y = 2 cos(x+y2 ) sen(

x−y2 )

viii) cosx+ cos y = 2 cos(x+y2 ) cos(x−y

2 )

ix) cosx− cos y = −2 sen( x+y2 ) sen(x−y

2 )

Demostración:�

Como las otras funciones trigonométricas tienen a la función seno o lafunción coseno en el denominador es importante saber donde se anulan lasfunciones seno y coseno. Esta información la encontramos en la siguienteproposición.

Proposición 2.5 La función seno se anula en el conjunto Z(S) = 180 ·Z.La función coseno se anula en el conjunto Z(C) = 180 · Z + 90. Esto esZ(S) = sen−1(0) = {x ∈ R : sen x = 0} y Z(C) = cos−1(0) = {x ∈ R :cosx = 0}

Demostración: Claramente los puntos de S1 donde se anula la ordenadason U = (1, 0) y (−1, 0) que corresponden a los ángulos cero y 180o y a


O A

B

P

L

M

S

T

N

K

FIGURE 2.2.

cualquier otro que difiera de estos en un multiplo entero de 360o. Analoga-mente los puntos de S1 donde se anula la abscisa son A y B que correspon-den a los ángulos 90 y 270o y a cualquier otro que difiera de estos en unmultiplo entero de 360o. �

Definición 2.6 Definimos las funciones:La función tangente: tan : R−Z(C)→ R, tan(x) = sen x

cos xLa función cotangente: cot : R−Z(S)→ R, tan(x) = cosx

sen xLa función secante: sec : R−Z(C)→ R, sec(x) = 1

cos xLa función cosecante: csc : R−Z(S)→ R, csc(x) = 1

sen x

Teorema 2.7 i) tan(−x) = − tanx y cot(−x) = − cotxii) tan x

2= 1−cos x

sen x= sen x

1+cosxiii) tan(−x) = − tanx y cot(−x) = − cotxiv) tan x

2 =1−cosxsen x = sen x

1+cos x

v) tan(x+ y) = tan x+tan y1−tan x tan y

vi) tan2 x+ 1 = sec2 x

Demostración:

2.1.3 Problemas

Sea C un círculo de radio uno y ∡AOB = ρ, P un punto del primer cuad-rante. Trácense PM y PN perpendiculares a OA y OB respectivamente,ademas AT y BS son tangentes a C.

Problema 1 Demostrar que: sen∡AOP = PM , cos∡AOP = PL, tan∡AOP =AT , cot∡AOP = BS, sec∡AOP = OT , csc∡AOP = OS, senv ∡AOP =PK y cosv∡AOP = PN , donde senv es la función seno verso y cosv esla función coseno verso estas dos últimas ya casi no se usan.


Los nombres de las funciones trigonométricas vienen de la interpretaciónde estas en la figura anterior.

Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identi-dades anteriores como para estudiar nuevas identidades.

Problema 2 Demostrar las identidades del teorema 2.4,usando únicamentelas identidades del teorema 2.3.

Problema 3 sen 2x = 2 sen x cos x

Problema 4 cos 2x = cos2 x− sen2 x

Problema 5 sen 3x = 3 senx cos2 x− sen3 x = 3 senx− 4 sen3 x

Problema 6 sen 3x = 4 senx sen(600 + x) sen(60o − x)

Problema 7 cos 3x = cos3 x− 3 sen2 x cos x = 4cos3 x− 3 cosx

Problema 8 sec(−x) = sec x y csc(−x) = − csc x

Problema 9 tan2 x+ 1 = sec2 x

Problema 10 1+ cot2 x = csc2 x

Problema 11 senα =2 tan α

2

1+tan2 α

2

.

Problema 12 cosα =1−tan2 α

2

1+tan2 α

2

.

Problema 13 tanα =2 tan α

2

1−tan2 α

2

Problema 14 tan x+tan ycot x+cot y

= tanx tan y

Problema 15 Demostrar que las funciones trigonométricas son periódicasde periodo 360o.

Para los siguiente problemas se necesita hacer uso del hecho de que lasfunciones trigonométricas son positivas en el intervalo [0, ρ] (ver la proposi-ción [??.4.4;35]).

Problema 16 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas delos valores 4ρ, 2ρ, 2ρ/3, 4ρ/3, ρ/2, 2ρ+ x, 2ρ− x.

Problema 17 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas delángulo ρ

4.

Problema 18 Usando que ρ6 =

ρ2 −

ρ3 encontrar que sen ρ

6 =√3−12√2

y que

cos ρ6 =

√3+12√2

.


P

O

α

θ

FIGURE 2.3.

Problema 19 Usando que 2ρ5 = ρ− 3ρ

5 y el problema [7;6] encontrar que

sen ρ5=

√5−14

y que cos ρ5=

√10+2

√5

4.

Problema 20 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas delángulo 45o

2.

Problema 21 Usando que 15o = 45o − 30o encontrar que sen 15o =√3−12√2

y que cos 15o =√3+12√2

.

Problema 22 Usar el problema anterior para dar una construcción, us-ando regla y compás, de un pentágono regular.

Problema 23 Para todo entero positivo n tenemos las identidades:

cos θ + cos 2θ + ...+ cosnθ = cos(θ(n+1)/2) sen((θn/2)sen(θ/2)

sen θ + sen 2θ+ ...+ sennθ = sen(θ(n+1)/2) sen((θn/2)sen(θ/2)

(sugerencia: usar las siguientes identidades:sen(θ(2i+ 1)/2)− sen(θ(2i− 1)/2) = 2 cos(iθ) sen(θ/2)cos(θ(2i+ 1)/2)− cos(θ(2i− 1)/2) = −2 sen(iθ) sen(θ/2))

En los siguientes problemas se estudiara la relación de las coordenadascartesianas y polares y con la ayuda de las identidades básicas para dar lasfórmulas de rotación de ejes coordenados. Si O es el origen y P es un puntoen el plano cartesiano entonces.

Problema 24 Si (x, y) son las coordenadas cartesianas de P y (r, α) sonlas coordenadas polares de P entonces:

x = r cosα

y = r senα


Problema 25 Si se tienen otros ejes coordenados que forman un ánguloθ con los ejes originales y (x′, y′) son las coordenadas cartesianas de P y(r, α′) son las coordenadas polares de P entonces:

α′ = α− θ

x′ = cos θ x+ sen θ y

y′ = − sen θ x+ cos θ y

2.1.4 Problemas.

Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identi-dades anteriores como para estudiar nuevas identidades.

2.2 Presentación axiomática

2.2.1 Definiciones y axiomas

Esta sección contiene todos las propiedades algebraicas de las funcionestrigonométricas y por lo tanto se puede ver como un curso corto, perocompleto, de las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas.La presentación que daremos es semejante a la presentada en [McShane,??], aunque ese trabajo tiene un error al demostrar que sen(−x) = − senx.

Basaremos el estudio algebraico de las funciones trigonométricas en lassiguientes propiedades, las que tomaremos como axiomas de las funcionesseno y coseno. Estas propiedades fueron probadas en las secciones anteri-ores.

Axioma 2.8 Las funciones seno y coseno satisfacen los siguientes ax-iomas.A1) Las funciones seno y coseno tienen como dominio y contradominio

a los números reales, esto es: sen, cos : R→ R

A2) Existe un número real ρ > 0 tal que sen ρ = 1, ademas cos 0 = 1A3) Para todos los números reales x y y se tiene la identidad siguiente:

cos(x− y) = cosx cos y + senx sen y

Todas las otras propiedades algebraicas se pueden demostrar a partir deestas tres, lo que significa que estas tres propiedades pueden considerarselos axiomas algebraicos de las funciones trigonométricas. Diremos que ρ esla medida de un ángulo recto.

2.2.2 Propiedades basicas

Lo primero que haremos es definir las funciones tangente, cotangente, se-cante y cosecante como los cocientes o inversas multiplicativas del seno y

2.2 Presentación axiomática 9

del coseno. Como la funciones seno y coseno tienen puntos donde se anulanse sigue que los dominios de las restantes funciones trigonométricas no sonlos números reales sino subconjuntos propios.

Definición 2.9 Sean los conjuntos Z(S) = sen−1(0) = {x ∈ R : sen x =0} y Z(C) = cos−1(0) = {x ∈ R : cosx = 0}, definimos:

La función tangente: tan : R− Z(C)→ R, tan(x) = sen xcos x

La función cotangente: cot : R− Z(S)→ R, tan(x) = cosxsen x

La función secante: sec : R− Z(C)→ R, sec(x) = 1cos x

La función cosecante: csc : R−Z(S)→ R, csc(x) = 1sen x

En todas las expresiones algebraicas que siguen si se entenderá que losángulos usados son tales que no se anulan los denominadores.

Con ayuda de estos axiomas podemos demostrar el siguiente teorema,el que nos da las identidades basicas para el estudio de las identidadesalgebraicas de las funciones trigomométricas. Recordemos que dos ángulosson complementarios cuando su suma es igual a ρ.

Teorema 2.10 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiedades:i) sen2 x+ cos2 x = 1ii) sen(R) ⊂ [−1, 1] y cos(R) ⊂ [−1, 1]ii) cosρ = 0 y sen 0 = 0iv) Si x y y son complementarios, entonces senx = cos y.v) cos(−x) = cosx y sen(−x) = − senx.vi) cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y.vii) sen(x− y) = senx cos y − cosx sen y.viii) sen(x+ y) = senx cos y + cosx sen y.

Demostración: Si en A3) tomamos x = y, obtenemos i). Que a su vezimplica ii).

Usando i) y A2) se tiene iii). Para demostrar iv) como x = ρ − y, setiene cosx = cosρ cos y + sen ρ sen y = sen y.

Como cos(−x) = cos(0−x) = cosx por lo tanto cos(−ρ) = 0 y sen(−ρ) =σ = ±1, de lo que obtenemos:sen(−x) = cos(x−(−ρ)) = σ senx y cos(x+y) = cosx cos y+σ senx seny

además ρ/2 es complementario a si mismo por lo que i) y iv) implican:cos(ρ/2) = sen(ρ/2) = δ con 2δ2 = 1, cos(ρ) = cos(ρ/2+ρ/2) = δ2+σδ2 =0 y por lo tanto σ = −1. Lo que demuestra v) y vi).

La demostración de vii) y viii) es como sigue.sen(x− y) = cos((ρ− x) + y) = cos(ρ− x) cos y − sen(ρ− x) sen ysen(x+ y) = sen(x− (−y)) = senx cos y + cosx sen y.


2.2.3 Identidades trigonométricas

Con ayuda de las propiedades estudiadas en las secciones anteriores demostra-remos el siguiente teorema, el cual es un resumen de las identidades trigonométri-cas más importantes.

Teorema 2.11 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes iden-tidades:i) 2 sen2 x

2 = 1− cosx = sen2 x1+cos x

ii) 2 cos2 x2= 1 + cosx = sen2 x

1−cos xiii) tan(−x) = − tanx y cot(−x) = − cotxiv) tan x

2 =1−cosxsen x = sen x

1+cos x

v) tan(x+ y) = tan x+tan y1−tan x tan y

vi) senx+ sen y = 2 sen(x+y2

)cos(x−y2

)

vii) senx− sen y = 2 cos(x+y2

)sen

(x−y2

)

viii) cosx+ cos y = 2 cos(x+y2

)cos(x−y2

)

ix) cosx− cos y = −2 sen(x+y2

)sen

(x−y2

)

Demostración: Las propiedades i) y ii) se demuestran viendo que:

cosx = cos(x2+x

2

)= cos2

x

2− sen2 x

2

= 2cos2x

2− 1 = 1− 2 sen2 x

2

La propiedad iii) se obtiene como sigue:

tanx

2=senx/2

cosx/2=2senx/2 cosx/2

2 cos2 x/2=

senx

1 + cosx

Además para demuestrar iv) tenemos:

tan(x+ y) =sen(x+ y)

cos(x+ y)=senx cos y + cos x sen y

cosx cos y − senx sen yLas últimas cuatro propiedades se demuestran en forma semejante y por

esto solo daremos la demostración de v). Definimos A y B por las igualdades

x = A+B

y = A−B

y obtenemos

A = (x+ y)/2

B = (x− y)/2

y por lo tanto:

senx+ sen y = sen(A+B) + sen(A−B) = 2 senA cosB

2.3 Aplicaciones 11

2.3 Aplicaciones

En esta sección daremos algunas aplicaciones donde solo se utilizan lasidentidades algebraicas de las funciones trigonométricas.

2.3.1 Números complejos

Hay una relación muy estrecha entre las funciones trigonométricas y losnúmeros complejos. En esta sección daremos una introducción a este tema.Si identificamos R2 con los números complejos C, la función E : R→ R2

nos da la función , e : R→ C que tiene la forma e(θ) = cos θ+ i sen θ y quesatisface las propiedades de la siguiente proposición.

Proposition 2.12 La función e satisface las propiedades siguientes:

e(θ + ϕ) = e(θ)e(ϕ)

e(0) = 1

e(−θ) = e(θ) = e(θ)−1

|e(θ)| = 1

más aun si n ∈ N, entonces e(nθ) = e(θ)n.

Demostración: Esta proposición es equivalente a las identidades basicasdel teorema (2.10, p. 9).�

Con ayuda de esta función podemos estudiar las propiedades de las fun-ciones trigonométricas con ayuda de las identidades siguientes:

sen θ =e(θ)− e(−θ)

2i

cos θ =e(θ) + e(−θ)

2

usaremos lo anterior para demostrar algunas de las propiedades de las fun-ciones trigonométricas.

Teorema 2.13 Tenemos las siguientes identidades:i) Se tiene que sen2 θ + cos2 θ = 1.ii) 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ.iii) 2 sen2 θ = 1− cos 2θ.iv) 4 cos3 θ = cos 3θ + cos θ.v) 4 sen3 θ = − sen 3θ + 3sen θ.


Demostración:

sen2 θ + cos2 θ =

(e(θ)− e(−θ)

2i

)2+

(e(θ) + e(−θ)

2

)2=1

2+1

2= 1

2 cos2 θ = 2

(e(θ) + e(−θ)

2

)2=e(2θ) + e(−2θ)

2+ 1 = 1 + cos 2θ

2 sen2 θ =

(e(θ)− e(−θ)

2i

)2= −e(2θ) + e(−2θ)

2+ 1 = 1− cos 2θ

4 cos3 θ =

(e(θ) + e(−θ)

2

)3=e(3θ) + e(−3θ)

2+ 3

e(θ) + e(−θ)2

= cos 3θ + 3cos θ

4 sen3 θ =

(e(θ)− e(−θ)

2i

)3= −e(3θ)− e(−3θ)

2i+ 3

e(θ)− e(−θ)2i

= sen 3θ + sen θ

2.3.2 Triángulos Rectángulos

En esta sección daremos fórmulas que nos dan todos los triángulos rec-tángulos cuyos lados son enteros. Identificaremos al círculo unitario conS1 = {(x, y) : x2 + y2 = 1}, pero también lo identificaremos con S1 ={E(θ) : θ ∈ R}. Sean A = (1, 0), D = (−1, 0).

Primero definiremos las siguentes funciones.

La función N : R2 − O → S1, donde N(x, y) =

(x√

x2+y2, y√

x2+y2

),

si B ∈ S1 entonces N manda el rayo−−→OB en el punto B. Si el triángulo

∆PQR es rectángulo, con lados enteros, tenemos que p2+q2 = r2, entonceslas coordenadas del punto N(p, q) son racionales. Inversamente si un punto(x, y) ∈ S1 tiene coordenadas racionales, entonces como x = p

r y y = pr ,

entonces existe un triángulo ∆PQR es rectángulo de lados p, q y r.La función D : S1 → S1, donde D(E(θ)) = D(E(2θ)), esto es D duplica

el ángulo que define a un complejo, esto es D(x, y) = (x2 − y2, 2xy).La función F = D ◦N . El siguiente teorema es el resultado básico.

Teorema 2.14 Con las definiciones anteriores tenemos las propiedades:

i) F (x, y) =(

x2−y2

x2+y2 ,2xy

x2+y2

).

ii) Si (x, y) ∈ Q2 −O, entonces las coordenadas del punto F (x, y) sonracionales.iii) Si C ∈ S1 tiene coordenadas racionales, entonces existe un punto

P = (x, y) ∈ Z2 −O tal que D(P ) = Q.

Demostración: La propiedad i) es un cálculo directo y ii) es inmediato.Sea C = (c, s) ∈ S1, entonces existe un ángulo θ tal que C = E(2θ) y

sea B = E(θ). Entonces 2 · ∠ODC = ∠AOC, por lo tanto G = (1 + c, s)está en el rayo OB y por lo tanto F (G) = C y además las coordenadas deG son racionales sii las coordenadas de C son racionales. En este caso hayun punto P en el rayo OB y P = (x, y) ∈ Z2.�

2.3 Aplicaciones 13

OA

P

B

C

θ

θ

Dθ

G

Corolario 2.15 Dados dos enteros (n,m) con n > m, entonces a = n2 −m2, b = 2mn y c = n2 +m2 son los lados de un triángulo rectángulo.

Problema 26 Dados dos enteros (n,m) tales que a = n2 −m2, b = 2mny c = n2 + m2 son enteros relativamente primos. Entonces n y m sonrelativamente primos y no son ambos impares.

Problema 27 Dado un triángulo ∆ABC rectángulo (C = 90o), sean c =λ2, A = 2θ, u = λ cos θ y v = λ sen θ. Entonces se tienen las fórmulas:a = u2 − v2, b = 2uv y c = u2 + v2.

Problema 28 Si C = (c, s) ∈ S1 y G = (1+c, s), demostrar directamenteque F (G) = C.

2.3.3 Problemas

Problema 1 Demostrar que:

2n−1 cosn θ =

n/2

Σk=0

(kn

)cos((2k − n)θ) n non

n/2

Σk=0

(kn

)cos((2k − n)θ) +

(n/2n

)n par

Problema 2 Demostrar que:

2n−1 senn θ =

n/2

Σk=0(−1)k

(kn

)sen((2k − n)θ) n non

n/2

Σk=0(−1)k

(kn

)sen((2k − n)θ) + (−1)n/2

(n/2n

)n par

2.3.4 Identidades asociadas a los ángulos de un triángulo∗

Como en muchas aplicaciones a la geometría los ángulos que se usan sonlos de un triángulo, las identidades donde aparecen ángulos A, B y Cpositivos y tales que A + B + C = 2ρ son muy importantes. Nosotrossolo supondremos que A + B + C = 2ρ y no que son ángulos positivos.


Daremos solo un par de ejemplos para dar las ideas principales de cómousar la hipótesis. Nos referiremos a los problemas del final del capítulo paramuchos otros resultados.

Proposición 2.16 Si los ángulos A, B y C son tales que A+B+C = 2ρentonces

senA+ senB + senC = 4 cosA

2cos

B

2cos

C

2.

Demostración: Como A+B2

y C2

son complementarios usando (2.2.3, p.10) (5) y (6) obtenemos:

senA+ senB + senC = 2 senA+B

2cos

A−B

2+ 2 sen

C

2cos

C

2

= 2 cosC

2(cos

A−B

2+ cos

A+B

2)

= 4 cosA

2cos

B

2cos

C

2

Si utilizamos algunas substituciones de ángulos que por lado preservenel hecho que la suma de los ángulos sea dos rectos y por otro tengamosalguna identidad que relacione el ángulo original con el final podemos deuna identidad se pueden deducir muchas otras. Veremos un par de ejemplos.


sen 2A+ sen 2B + sen 2C = 4senA senB senC

Demostración: Si α = 2ρ− 2A, β = 2ρ − 2B y γ = 2ρ− 2C entoncesα+β+γ = 6ρ−4ρ = 2ρ, además sen α = sen 2A y cos α

2 = sen A. Usandoel resultado de la proposición anterior obtenemos el resultado.


cosA

2+ cos

B

2+ cos

C

2= 4 cos

2ρ−A

4cos

2ρ−B

4cos

2ρ− C

4

Demostración: Si α = ρ − A2

, β = ρ − B2

y γ = ρ − C2

entonces

α + β + γ = 3ρ − ρ = 2ρ, además sen α = cos A2 y cos α

2 = cos 2ρ−A4 .

Usando el resultado de la primera proposición obtenemos el resultado.


2.3 Aplicaciones 15

cosA

2+ cos

B

2− cos C

2= 4 cos

2ρ+A

4cos

2ρ+B

4cos

2ρ− C

4

Demostración: Si α = A+2ρ2 , β = B+2ρ

2 y γ = C−2ρ2 entonces α+β+γ =

ρ+ ρ = 2ρ, además sen α = cos A2

y sen γ = − cos C2

. Usando el resultadode la primera proposición obtenemos el resultado.

2.3.5 Problemas

Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. La idea prin-cipal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de lasidentidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogode identidades trigonométricas.

Problema 1 Dado un ángulo α ∈ (0, ρ) y el valor de sen α encontrar elvalor de las otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en funciónde sen α.

Problema 2 Como en el problema anterior, dado un ángulo α ∈ (0, ρ) yel valor de de alguna de las funciones trigonométricas encontrar el valor delas otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en función del valordado.

Demostrar las siguientes identidades.

Problema 3 tan2 α1+tan2 α

+ cot2 α1+cot2 α

= 2−sen2 2αsen 2α

Problema 4 sen(α+ ρ2 ) =

√22 (senα+ cosα).

Problema 5 cos(α+ ρ2 ) =

√22 (cosα− senα).

Problema 6 sen(α+ β) sen(α− β) = sen2 α− sen2 β.

Problema 7 cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 α− sen2 β.

Problema 8 cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 β − cos2 α.

Problema 9 cos(α− β)− sen(α+ β) = (cosα− senα)(cosβ − senβ).

Problema 10 cos(α+ β) + sen(α− β) = (cosα+ senα)(cosβ − senβ).

Problema 11 sen(α−β)cosα cos β

+ sen(β−γ)cos β cos γ

+ sen(γ−α)cos γ cosα

= 0.

Problema 12 sen(α−β)senα sen β

+ sen(β−γ)sen β sen γ

+ sen(γ−α)sen γ senα

= 0.

Problema 13 tan(α+ β + γ) = tanα+tan β+tan γ−tanα tan β tan γ1−tanα tan β−tan β tan γ−tan γ tanα

.


Problema 14 senα+sen βcosα+cos β = tan(

α+β2 ).

Problema 15 senα−sen βcosα+cos β

= tan(α−β2).

Problema 16 senα+sen βcosα−cos β = − cot(

α−β2)

Problema 17 senα−sen βcosα−cos β = − cot(

α+β2 ).

En los siguientes problemas usaremos la definición s = α+ β + γ.

Problema 18 Demostrar que:sen s+ sen(2α− s) + sen(2β − s) + sen(2γ − s) = 4 senα cos β cosγ.

Problema 19 Demostrar que:sen(s− 2γ) + sen(s− 2α) + sen(s− 2β)− sen s = 4 senα senβ sen γ.

Problema 20 Demostrar que:cos s+ cos(2α− s) + cos(2β − s) + cos(2γ − s) = 4 cosα cosβ cosγ

Problema 21 Demostrar que:cos(s− 2γ) + cos(s− 2α)− cos(s− 2β)− cos s = 4 senα cos β sen γ.

Problema 22 Demostrar que:sen 2α+ sen 2β + sen 2γ − sen 2s = 4 sen(α+ β) sen(β + γ) sen(γ + α).

Problema 23 Demostrar que:cos 2α+ cos 2β + cos 2γ + cos 2s = 4 cos(α+ β) cos(β + γ) cos(γ + α).

Problema 24 Demostrar que:cos(α+ β) sen(α− β) + cos(β + γ) sen(β − γ) =− cos(γ + δ) sen(γ − δ)− cos(δ + α) sen(δ − α)

Problema 25 Demostrar que:tan(α−β)+ tan(β−γ)+ tan(γ−α) = tan(α−β) tan(β−γ) tan(γ−α).

Problema 26 Demostrar que:sen(α− β) + sen(β − γ) + sen(γ − α) + 4 sen α−β

2 sen β−γ2 sen γ−α

2 = 0.

Problema 27 Demostrar que:cos2(α−β)+cos2(β−γ)+cos2(γ−α) = 1+2 cos(α−β) cos(β−γ) cos(γ−

α).

En los siguientes problemas usar la igualdad A+B +C = 2ρ.

Problema 28 senA = sen(B +C).

Problema 29 cosA = − cos(B + C).

Problema 30 tanA = − tan(B +C).

Problema 31 cotA = − cot(B +C).

2.3 Aplicaciones 17

Problema 32 sen 2A+ sen 2B + sen 2C = 4 senA senB senC.

Problema 33 sen 2A− sen 2B + sen 2C = 4 cosA senB cosC.

Problema 34 sen 2A+ sen 2B − sen 2C = −4 senA cosB cosC.

Problema 35 cos 2A+ cos 2B + cos 2C = −1− 4 cosA cosB cosC.

Problema 36 tanA+ tanB + tanC = tanA tanB tanC.

Problema 37 senA+ senB + senC = 4 cos A2 cos

B2 cos

C2 .

Problema 38 senA+ senB − senC = 4 sen A2 sen

B2 cos

C2 .

Problema 39 cosA+ cosB + cosC = 1 + 4 sen A2sen B

2sen C

2.

Problema 40 cosA− cosB + cosC = −1 + 4 cos A2sen B

2cos C

2.

Problema 41 senA+senB−senCsenA+senB+senC = tan

A2 tan

B2 .

Problema 42 tan A2tan B

2+ tan B

2tan C

2+ tan C

2tan A

2= 1.

Problema 43 1+cosA−cosB+cosC1+cosA+cosB−cosC = tan

B2cot C

2.

Problema 44 (cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA) = cscA cscB cscC

Problema 45 cos2 A+ cos2B + cos2C = 1− 2 cosA cosB cosC.

Problema 46 cos2 2A+ cos2 2B + cos2 2C = 1 + 2cos 2A cos 2B cos 2C.

Problema 47 sen2 A2+ sen2 B

2+ sen2 C

2= 1− 2 sen A

2sen B

2sen C

2.

Problema 48 cotA+cotBtanA+tanB

+ cotB+cotCtanB+tanC

+ cotC+cotAtanC+tanA

= 1.

Problema 49 tanA+tanB+tanC(senA+senB+senC)2 =

tan A

2tan B

2tan C

2

2 cosA cosB cosC .

Problema 50 cos A2 + cos

B2 + cos

C2 = 4 cos

A+B4 cos B+C

4 cos C+A4 .

Problema 51 cos A2 − cos B

2 + cosC2 = 4 cos

π+A4 cos π−B

4 cos π+C4 .

Problema 52 sen A2 + sen

B2 + sen

C2 = 1 + 4 sen

π−A4 sen π−B

4 sen π−C4 .


3El Triángulo

3.1 Propiedades basicas

En un triángulo△ ABC de lados a, b y c se tiene definidos los siguientesconceptos geométricos:a) R = Radio del círculo circunscritob) Σ = Area del triánguloc) r = Radio del círculo inscritod) ra , rb , rc = Radios de los círculos excritose) s = a+b+c

2 = Semiperímetro del triángulof) Mediremos los ángulos en grados. Esto es que el ángulo recto mide

90o.Los cuales aparecen en el siguiente teorema fundamental. Los resulta-

dos de este teorema los usaremos como axiomas para el estudio de lasrelaciones entre las funciones trigonométricas y la geometría del triángulo.Estos axiomas son la base para demostrar todas las propiedades restantes,más aun cada uno de estos teoremas relacionan un concepto geométricocon las funciones trigonométricas. De hecho son los únicos resultados quedemostraremos usando alguna propiedad geométrica, para todas las otrasusaremos las identidades trigonométricas de la sección 2.2.2.

Teorema 3.1 (Fundamental de la Trigonometría)En todo triángulose satisfacen las siguientes propiedades:

20 3. El Triángulo

T1) A+B +C = 180o

T2) 2R = asen A (ley de los senos)

T3) Σ = bc senA2

T4) tan(A/2) = rs−a

T5) tan(A/2) = ras

Demostración: Para demostrar (T2) en las figuras BA′ es un diámetroy por lo tanto los triángulos △A′BC son rectángulos y ∡BAC = ∡BA′C(o ∡BAC = 180o − ∡BA′C) de lo anterior obtenemos: senA = senA′ =BCBA′ =

a2R .

O

AB

C

a

b

c

A'

O

A B

C

ab

c

A'

Para demostrar (T3) claramente la altura del triángulo es h = b senA ypor lo tanto Σ = ch

2 =bc senA

2 .

A B

C

ab

c F

h

Para demostrar (T4) sean X, Y y Z los puntos de contacto del círculoinscrito con los lados del triángulo. Como el centro del círculo inscrito estáen la bisectriz de ∡BAC tenemos que A/2 = ∡IAZ y entonces tan(A/2) =r

AZ pero: AY = AZ = x, BZ = BX = y, CX = CY = z de donde seobtiene que x+ y + z = s, y + z = a y por lo tanto AZ = s− a.

3.2 Teoremas generales 21

Para demostrar (T5) ver el problema (2, p. 23).

A B

C

X

Y

Z

Ir r

r

x

x y

y

z

z

3.2 Teoremas generales

Teorema 3.2 En el △ABC se tiene la igualdad:

c = a cosB + b cosA

Demostración: De la ley de los senos T1, [(3.1;19], tenemos:

c = 2R senC = 2R sen(180o −A−B) = 2R sen(A+B)

= a cosB + b cosA

�

Teorema 3.3 (Ley de los cosenos) En el △ABC se tiene la igualdad:

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

Demostración: Por el teorema anterior tenemos

a = c cosB + b cosC

además

c2 = c2 sen2B + c2 cos2B = b2 sen2C + (a− b cosC)2

= a2 + b2 − 2ab cosC

�

Teorema 3.4 (Ley de las Tangentes) En el △ABC se tiene la igual-dad:

a+ b

a− b=tan

(A+B2

)

tan(A−B2

)

22 3. El Triángulo

Demostración: Por la ley de los senos, a+ba−b =

2R senA+2R senB2R senA−2R senB , por el

teorema (2.2.2.3, p. 10) tenemos que a+ba−b

=2 sen(A+B

2) cos(A−B

2)

2 cos(A+B2

) sen(A−B2

)que implica

el teorema.�

Teorema 3.5 En el △ABC se tiene las igualdades:

S1) sen2(A/2) = (s−b)(s−c)bc

S2) cos2(A/2) = s(s−a)bc

S3) tan2(A/2) = (s−b)(s−c)s(s−a)

Demostración: Claramente la tercera igualdad es consecuencia de lasotras dos. Como las dos primeras igualdades tiene una demostración seme-jante demostraremos únicamente la primera fórmula. Para esto se usa laley de los cosenos y las identidades siguientes:

2 sen2(A/2) = 1− cosA = 1− b2 + c2 − a2

2bc

=a2 − (b− c)2

2bc=(a+ b− c)(a+ c− b)

2bc

=4(s− b)(s− c)

2bc

�

Teorema 3.6 En el △ABC se tiene las expresiones para calcular el áreade un triángulo.

Σ1) Σ =√s(s− a)(s− b)(s− c)

Σ2) Σ = rsΣ3) Σ = abc/4RΣ4) Σ = 2R2 senA senB senC

Demostración:Usando el teorema anterior vemos que:

Σ2 = a2b2 sen2 C4

= a2b2 sen2(C/2) cos2(C/2) = s(s− a)(s− b)(s− c)Usando la ley de los senos obtenemos:Σ = ab senC

2 = abc4R = 2R2 senA senB senC

Usando tan2(A/2) = r2

(s−a)2 =(s−b)(s−c)

s(s−a) , obtenemos

r2s2 = s(s− a)(s− b)(s− c) = Σ2

�

3.2.1 Problemas

Problema 1 Dado un triángulo ∆ABCD,sean X, Y y Z los puntos decontacto del excírculo Ca con los lados del triángulo. Demostrar que AZ′ =


AY ′ = s, BX ′ = BZ′ = s− a y CX′ = CY ′ = s− b.

A B

C

Ca

OaX'

Y'

Z'

En los siguientes problemas se supone dado un triángulo ∆ABC.

Problema 2 tan(A/2) = ras .

Problema 3 ∗Si senA = senB, entonces A = B. Análogamente si cosA =cosB, entonces A = B.

Problema 4 a+ba−b =

cot(C2)

tan(A−B2

)

Problema 5 Σ = ra(s− a)

Problema 6 Σ2 = rrarbrc

Problema 7 sΣ = rarbrc

Problema 8 1r =

1ra+ 1

rb+ 1

rc

Problema 9 s2 = rarb + rbrc + rcra

Problema 10 r + 4R = ra + rb + rc

Problema 11 2Σ = R(a cosA+ b cosB + c cosC)

Problema 12 Demostrar que:r = 4R senA/2 senB/2 senC/2 = R(cosA+ cosB + cosC − 1)

Problema 13 Demostrar que:ra = 4R senA/2 cosB/2 cosC/2 = R(− cosA+ cosB + cosC + 1)

Problema 14 Usar el problema 42, pag. 42 para demostrar el insiso Σ1)del teorema 3.6 (ver [1]).

Problema 15 En un triángulo rectángulo ∆ABC tenemos que Σ = (s−a)(s− b).

24 3. El Triángulo

CA

B

I X

Y

FIGURE 3.1.

Problema 16 Dado un triángulo rectángulo ∆ABC y r su inradio. Es-tonces s − a = b − r o equivalentemente 2r = a+ b − c. Demostrar que sia, b y c son enteros, entonces r es entero. Usando la notación del corolario[2.15;13] demostrar que r = m(m− n).

Problema 17 Dado un entero N , demostra que existe un triángulo rec-tángulo ∆ABC, de lados enteros, tal que su inradio es igual a N . (Nota:usar el problema anterior).

Problema 18 Demostrar que dados los segmentos a, b y c entonces existe

un triángulo con lados a, b y c sii∣∣∣a

2+b2−c2

2ab

∣∣∣ < 1 (notar que no suponemos

que los segmentos están ordenados de ninguna forma).

Problema 19 Usar la fórmula

16Σ2 =[(a+ b)2 − c2

] [c2 − (a− b)2

]

para demostrar que de todos los triángulos, que tienen la misma base c yel mismo perímetro, el isósceles es el que tiene área máxima. (Sugerencia:usar el teorema ??, pág ??).

Problema 20 Demostrar la fórmula

16Σ2 = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c)

donde P = 2s es el perímetro. Usarla para demostrar que de todos lostriángulos, que tienen el mismo perímetro, el equilátero es el que tiene áreamáxima. (Sugerencia: usar el teorema ??, pág ??).

Problema 21 Demostrar que podemos construir un ángulo sii podemosconstruir su coseno.

Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. Idea princi-pal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de lasidentidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogode propiedades del triángulo.

En todo triángulo se tienen las siguientes identidades.


Problema 22 (a2 − b2) cotC + (b2 − c2) cotC + (c2 − a2) cotC = 0.

Problema 23 Demostrar que:a(senB − senC) + b(senC − senA) + c(senA− senB) = 0.

Problema 24 2(ab cosC + bc cosA+ ca cosB) = a2 + b2 + c2.

Problema 25 2(a sen2 C2+ c sen2 A

2) = a+ c− b.

Problema 26cos2 A

2

a+

cos2 B

2

b+

cos2 C

2

c= s2

abc.

Problema 27 b−ca cos2 A

2 +c−ab cos2 B

2 +a−bc cos2 C

2 = 0

Problema 28 a sen(B − C) + b sen(C −A) + c sen(A−B) = 0.

Problema 29 cotA = c−a cosBa senB

Problema 30 sen(A−B)sen(A+B) =

a2−b2

c2 .

Problema 31 c sen(A−B)b sen(C−A)

= a2−b2

c2−a2.

Problema 32 a2 sen(B−C)senB+senC

+ b2 sen(C−A)senC+senA

+ c2 sen(A−B)senA+senB

= 0

Problema 33 a2 sen(B−C)senA + b2 sen(C−A)

senB + c2 sen(A−B)senC = 0

Problema 34 b2 sen 2C + c2 sen 2B = Σ.

Problema 35 b cos2 A2 + a cos2 B

2 = s.

Problema 36 b sen2 A2 + a sen2 B

2 = s− c.

Problema 37 s tan A2 tan

B2 = s− c.

Problema 38 Si tan θ = 2√

aba−b sen

C2 entonces c = (a− b) sec θ.

Problema 39 Si tan θ = a+ba−b tan

C2 entonces c = (a− b) cos C

2 sec θ.

Problema 40 Si sen θ = 2√

bcb+c

cos A2

entonces a sec θ = b+ c.

Problema 41 ra−ra+ rb−r

b= c

rc.

Problema 42 ra + rb = c cot C2 .

Problema 43 (ra − r)(rb + rc) = a2.

Problema 44 rarb + rbrc + rcra = s2.

Problema 45 r + ra + rb − rc = 4R cosC.

Problema 46 a2 − b2 = 2Rc sen(A−B).

26 3. El Triángulo

Problema 47 (ra − r)(rb − r)(rc − r) = 4Rr2.

Problema 48 (ra + rb)(rb + rc)(rc + ra) = 4R(rarb + rbrc + rcra).

Problema 49 (1r − 1ra)(1r − 1

rb)(1r − 1

rc) = 4R

r2s2 .

Problema 50 a−brc+ b−c

ra+ c−a

rb= 0.

Problema 51 tan A2+ tan B

2+ tan C

2= ra+rb+rc√

rarb+rbrc+rcra.

Problema 52 4Σ(cotA+ cotB + cotC) = a2 + b2 + c2.

Problema 53 a2b2c2(sen 2A+ sen2B + sen 2C) = 32Σ3.

Problema 54 a cotA+ b cotB + c cotC = 2(R+ r).

Problema 55 Demostrar que:(a+ b) tan C

2 +(b+ c) tan A2 +(c+a) tan B

2 = 4R(cosA+cosB+cosC).

Problema 56 cos2 A2+ cos2 B

2+ cos2 C

2= 2 + r

2R.

Problema 57 a senA+b senB+c senC4 cos A

2cos B

2cos C

2

= a2+b2+c2

2s .

Problema 58 ( a2

senA+ b2

senB+ c2

senC) sen A

2sen B

2sen C

2= Σ.

Problema 59 a2−b2

cosA+cosB +b2−c2

cosB+cosC +c2−a2

cosC+cosA = 0

Problema 60 bc cot A2 + ca cot B

2 + ab cot C2 = 4Rs

2( 1a +1b +

1c − 3

s ).

3.3 Polígonos Cíclicos

Teorema 3.7 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,b = BC, c = CD y d = DA su área está dada por la fórmula:

Σ2 = (s− a)(s− b)(s− c)(s− d)− abcd cos2(A+C

2

)

donde s es el semiperímetro.

Demostración: Si ∆ = 4(ad+bc)2− (a2+d2− b2− c2)2 encontraremosla siguiente identidad:

∆ =[(a+ d)2 − (b− c)2][(b+ c)2 − (a− d)2

]

= (a+ b+ c− d)(a+ b+ d− c)(a+ c+ d− b)(b+ c+ d− a)

= 16(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)

3.3 Polígonos Cíclicos 27

usando T3) y la ley de los cosenos en los triángulos △ABD y △BCDobtenemos las identidades siguientes:

a2 + d2 − b2 − c2 = 2ad cosA− 2bc cosC4Σ = 2ad senA+ 2bc senC

elevando al cuadrado y sumando obtenemos:

16Σ2 + (a2 + d2 − b2 − c2)2 = 4(a2d2 + b2c2)− 8abcd cos(A+ C)

= 4(ad+ bc)2 − 16abcd1 + cos(A+C)

2

y por lo tanto 16Σ2 = ∆−16abcd 1+cos(A+C)2 y usando la identidad anterior

obtenemos el resultado buscado.�

Corolario 3.8 De todos los cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,b = BC, c = CD y d = DA el de área maxima es el cíclico y su área estádada por la fórmula:

Σ2 = (s− a)(s− b)(s− c)(s− d)

Teorema 3.9 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de diagonales x y y,que se cortan en un ángulo θ, entonces su área está dada por la fórmula:

Σ =xy sen θ

2

Demostración: En la siguiente figura tenemos que:

Σ(ABC) = Σ(ABP ) + Σ(BPC)

=AP · PB sen(180o − θ)

2+CP · PB sen θ

2

=x · PB sen θ

2

análogamente: Σ(CDA) = x·PD sen θ2 y por lo tanto:

Σ =x · PB sen θ

2+x · PD sen θ

2=xy sen θ

2

28 3. El Triángulo

�

A

B

C

D

a

bc

d

x

yP

θθθθ

Nota: El resto de la sección se puede omitir en una primera lectura.Los teoremas anteriores nos dicen que el área de un cuadrángulo cíclico

solo depende de las longitudes de sus lados y no del orden de los mismos;además el problema 3, pág. 29, demuestra que el radio del circuncírculotambién solo depende de las longitudes de sus lados. Estas propiedades soncompartidas por cualquier polígono convexo cíclico. El siguiente teoremadan la historia completa.

Teorema 3.10 Dados n segmentos a1,. . . ,an (tales que el mayor de elloses menor que la suma los demás segmentos), entonces existen un círculoC y un polígono P convexo A1...An inscrito en C y tal que ai = AiAi+1.Además ni el radio del círculo C ni el área del polígono A1...An dependedel orden de los segmentos.

Demostración: Sea A1A2 un segmento de longitud a1, en su mediatriztomamos un punto O y sea C el círculoque pasa por A1, A2 y O. Sea σ elarco de C que contiene a O. Si la distancia de O al segmento A1A2 es iguala a2+ ...+an entonces podemos tomar A2,..., An ∈ σ tale que ai = AiAi+1

para i = 2, ..., n. Cuando O se acerca al segmento A1A2 el la longitud delarco σ se aproxima a A1A2 tanto como queramos; por lo tanto en algúnmomento tendremos que An = A1.

Si el centro O de C es un punto interior de P , entonces los triángulosTi = ∆OAiAi+1 son tales que su área αi y ángulo θi,i+1 = ∡AiOAi+1

solo dependen del segmento ai; además∑n

i=1 θi,i+1 = 360o. Por lo tantopodemos ver a los los triángulos Ti como piezas de un rompe cabezas quepodemos colocar en cualquier posición y obtener otro polígono cíclico conlados iguales, aun que en otro orden obteniendo otros polígonos de la mismaárea α =

∑ni=1 αi, e inscritos en el mismo círculo C. Si el centro O de C no

es un punto interior de P hay uno de los triángulos, que podemos suponerque es Tn tal que el lado AnA1 separa al centro de los otros vértices A2,...,An−1 en este caso el área de P es α =

∑n−1i=1 αi − αn pero el resto del

razonamiento es el mismo.�


A1

A2

A3

A4

A5

A6

O

FIGURE 3.2.

A1

A2

A3

A4

A5

A6

θ1,2

A1

A2

A3

A4

A5

A6

θ1,2

Nota: Claramente el hecho de exista el polígono cíclico no implica que sepueda construir con regla y compás. Sin embargo existe una construcciónpara el caso de un cuadrángulo cíclico.

3.3.1 Problemas

Problema 1 En un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b =BC, c = CD y d = DA y diagonales x y y su área está dada por la fórmula:

Σ2 = 4x2y2 − (a2 + d2 − b2 − c2)2

Problema 2 Dados cuatro segmentos a, b, c y d existe un cuadriláteroconvexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA sii s− a,s − b, s − c, s − d son positivos (donde a+b+c+d

2 ). En este caso existe uncuadrilátero ciclico.

Problema 3 Dado un cuadrilátero cíclico convexo ABCD de lados a =AB, b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x = AC y y = BD, inscrito

30 3. El Triángulo

A

B

C

D

a

bc

d

x

y

P

FIGURE 3.3.

en un círculo de radio R demostrar que:

x2 =(ad+ bc)(ac+ bd)

ab+ cd

y2 =(ab+ cd)(ac+ bd)

ad+ bc

R =1

4Σ

√(ab+ cd)(ac+ bd)(ad+ bc)

xy = ac+ bd (Teorema de Ptolomeo)

x

y=

ad+ bc

ab+ cd

3.3.2 Problemas. Identidades trigonométricas en triángulos

Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. Como en elcapítulo 1 la idea principal es que estos problemas sirvan como practica enla manipulación de las identidades trigonométricas. Pero también se puedenver como un catalogo de propiedades del triángulo.

En todo triángulo ∆ABC se tienen las siguientes identidades.

Problema 1 (a2 − b2) cotC + (b2 − c2) cotC + (c2 − a2) cotC = 0.

Problema 2 a(senB − senC) + b(senC − senA) + c(senA− senB) = 0.

Problema 3 2(ab cosC + bc cosA+ ca cosB) = a2 + b2 + c2.

Problema 4 2(a sen2 C2 + c sen2 A

2 ) = a+ c− b.

Problema 5 cos2(A/2)a + cos2(B/2)

b + cos2(C/2)c = s2

abc .

Problema 6 b−cacos2 A

2+ c−a

bcos2 B

2+ a−b

ccos2 C

2= 0


Problema 7 a+bc=

cos(A−B2 )sen C

2

a−bc=

sen(A−B2 )cos C

2

. Formulas de Molweide.

Problema 8 a sen(B − C) + b sen(C −A) + c sen(A−B) = 0.

Problema 9 cotA = c−a cosBa senB

Problema 10 sen(A−B)sen(A+B) =

a2−b2

c2 .

Problema 11 c sen(A−B)b sen(C−A) =

a2−b2

c2−a2 .

Problema 12 a2 sen(B−C)senB+senC + b2 sen(C−A)

senC+senA +c2 sen(A−B)senA+senB = 0

Problema 13 a2 sen(B−C)senA + b2 sen(C−A)

senB + c2 sen(A−B)senC = 0

Problema 14 b2 sen 2C + c2 sen 2B = Σ.

Problema 15 b cos2 A2 + a cos2 B

2 = s.

Problema 16 b sen2 A2+ a sen2 B

2= s− c.

Problema 17 s tan A2 tan

B2 = s− c.

Problema 18 Si tan θ = 2√

aba−b sen

C2 entonces c = (a− b) sec θ.

Problema 19 Si tan θ = a+ba−b tan

C2 entonces c = (a− b) cos C

2 sec θ.

Problema 20 Si sen θ = 2√

bcb+c

cos A2

entonces a sec θ = b+ c.

Problema 21 ra−ra + rb−r

b = crc

.

Problema 22 ra + rb = c cot C2 .

Problema 23 (ra − r)(rb + rc) = a2.

Problema 24 rarb + rbrc + rcra = s2.

Problema 25 r + ra + rb − rc = 4R cosC.

Problema 26 a2 − b2 = 2Rc sen(A−B).

Problema 27 (ra − r)(rb − r)(rc − r) = 4Rr2.

Problema 28 (ra + rb)(rb + rc)(rc + ra) = 4R(rarb + rbrc + rcra).

Problema 29 (1r − 1ra)(1r − 1

rb)(1r − 1

rc) = 4R

r2s2 .

Problema 30 a−brc+ b−c

ra+ c−a

rb= 0.

32 3. El Triángulo

Problema 31 tan A2 + tan

B2 + tan

C2 =

ra+rb+rc√rarb+rbrc+rcra

.

Problema 32 4Σ(cotA+ cotB + cotC) = a2 + b2 + c2.

Problema 33 a2b2c2(sen 2A+ sen2B + sen 2C) = 32Σ3.

Problema 34 a cotA+ b cotB + c cotC = 2(R+ r).

Problema 35 Demostrar que:(a+ b) tan C

2 +(b+ c) tan A2 +(c+a) tan B

2 = 4R(cosA+cosB+cosC).

Problema 36 cos2 A2 + cos

2 B2 + cos

2 C2 = 2 +

r2R .

Problema 37 a senA+b senB+c senC4 cos A

2cos B

2cos C

2

= a2+b2+c2

2s .

Problema 38 ( a2

senA +b2

senB +c2

senC ) senA2 sen

B2 sen

C2 = Σ.

Problema 39 a2−b2

cosA+cosB +b2−c2

cosB+cosC +c2−a2

cosC+cosA = 0

Problema 40 bc cot A2+ ca cot B

2+ ab cot C

2= 4Rs2( 1

a+ 1

b+ 1

c− 3

s).


4Algoritmos

En este capítulo se estudiarán las propiedades de las funciones trigonométri-cas que están relacionadas con problemas de continuidad y de graficaciónel método que usaremos es completamente elemental sin hacer uso de lateoría del cálculo diferencial e integra. Sin embargo la desigualdad (4.2, p.34) es suficiente para calcular todos los limites que aparecen en los cursosde cálculo y que son necesarios para estudiar las propiedades analíticas delas funciones (ver capítulo ??).

Uno de los problemas centrales de la trigonometría consiste en estudiarlos algoritmos para el cálculo de la función E y de su inversa. Actualmenteeste cálculo se facilita gracias a las computadoras, sin embargo, es impor-tante entender como se obtienen estos algoritmos. Nosotros estudiaremosalgunos de los algoritmos para estudiar la función E en la sección (4.3, p.36) y los de la función inversa de E en la sección (??, p. ??), sin embargoestos algoritmos son muy poco eficientes, para estudiar algoritmos más efi-cientes necesitamos usar cálculo diferecial e integral eso lo haremos en elcapítulo ?? (ver también ??).

4.1 Propiedades de continuidad

4.1.1 Medida de áreas

En esta sección usaremos como medida de los ángulos los radianes. Esgeométricamente claro que el área de un sector circular es proporcional ala longitud s del arco, usando esta propiedad es facil demostrar el teorema

34 4. Algoritmos

siguiente. Para esto se usara la definición del número π, como la razón delperímetro de un círculo al diámetro del mismo. Además de usar el hechode que π = 3.14156295....

Teorema 4.1 El área de un sector circular A está dada por r2s/2, donder es el radio del círculo y s la longitud del arco que define al sector.

Demostración: Como el área de un sector circular es proporcional a lalongitud s del arco que define al sector, la fórmula del área es de la formaλsπr2 donde πr2 es el área del circulo. Por lo tanto λ debe ser tal que paras = 2π se tenga 2λππr2 = πr2 y por lo tanto λ = 1/2π. .

4.2 Desigualdades de las FuncionesTrigonométricas

Para poder estudiar las propiedades de continuidad y diferenciabilidad delas funciones trigonométricas necesitamos los siguientes dos resultados.Además de mostrar que medir los ángulos en radianes es la forma nat-ural, es la base del estudio de las propiedades analíticas de las funcionestrigonométricas.

Teorema 4.2 Para todo real θ ∈ (−π/2, π/2), θ �= 0 se tienen las de-sigualdades siguientes:

0 < cos θ <sen θ

θ< 1

ademas de que ρ = π2 .

Demostración: En la figura vemos que el triángulo △OAP esta con-tenido en el sector OAP que a su vez est contenido en el triángulo △OAT ,además se tiene que: △OQP ∼ △OAT y por lo tanto AT = sen θ

cos θ calcu-lando el doble del área de las tres figuras obtenemos:

sen θ < θ <sen θ

cos θ

para θ > 0, que son desigualdades claramente equivalentes a las del teo-rema. El caso cuando θ es negativa se sigue del caso θ > 0 recordando

4.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas 35

(2.2.1.v), p. 2).�

O A

B

P

T

θ

Q

Corolario 4.3 Las funciones trigonométricas estan definidas en (0, π2 ) y

son positivas en el intervalo. Más aun:

{θ ∈ R : sen θ = 0} = πZ

{θ ∈ R : cos θ = 0} = πZ+π

2

El siguiente teorema nos da una estimación de que tan bien sen (θ + δ)y cos(θ + δ) aproximan a sen θ y a cos θ cuando θ y θ + δ ∈ (0, π

2 ).

Proposición 4.4 Las funciones seno y coseno son continuas, además sonpositivas en el intervalo (0, π

2). Más aun si θ, θ + δ y δ ∈ (0, π

2):

i) La función seno es estríctamente creciente en el intervalo [0, ρ] ademas| sen(θ + δ)− sen θ| < δ.ii) La funcion coseno es estríctamente decreciente en el intervalo [0, ρ]

ademas | cos(θ + δ)− cos θ| < δ.

Demostración: Usando el teorema (4.4.2, p. 34) se tiene la desigualdadsenx > x cos x y po lo tanto el seno es positivo en el intervalo (0, π

2 ). Locual demuestra que todas las funciones trigonométricas son positivas en elintervalo (0, π

2).

Ademas si δ > 0 y θ, y θ + δ estan en (0, π2) se tiene la igualdad

sen(θ + δ)− sen θ = 2 cos( θ + δ

2) sen

δ

2

que demuestra que la función seno es estrictamente creciente, ademas us-ando la desigualdad, |2 sen δ

2 | < δ, demuetra i). La proposición ii) se siguede la igualdad

cos(θ + δ)− cos θ = −2 sen( θ + δ

2) sen

δ

2

36 4. Algoritmos

De la desigualdad sen δ < δ se siguen las desigualdades

| sen(θ + δ)− sen θ| < 2 senδ

2< δ

| cos(θ + δ)− cos θ| < 2 senδ

2< δ

que demuestran que las funciones seno y coseno son continuas.

Corolario 4.5 La restricción de la función seno al intervalo [−π2, π2] da

una biyección entre [−π2, π2] y [−1, 1]. La restricción de la función coseno

al intervalo [0, π] da una biyección entre [0, π] y [−1, 1].Demostración: Como las funciones seno y coseno son estrictamente

crecientes y decrecientes respectivamente son funciones inyectivas, por esto,lo único que falta demostrar es que son suprayectivas y esto se sigue delteorema del valor intermedio ya que son funciones continuas.�

4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas

Usaremos los resultados anteriores para dar un algoritmo para calcular lasfunciones seno y coseno.

4.3.1 Reducción a ángulos agudos

En esta sección calcularemos los valores de las funciones seno y coseno re-duciendo el problema al cálculo de las funciones para ángulos en el intervalo[0, π

2]. Para eso usaremos que para todo real θ existe un entero n tal que

θ = nr + α donde α esta en el intervalo [0, π2].

Recordemos el concepto de congruencia, esto es que los números enterosa y b son congruentes módulo n si n divide a a− b y lo escribiremos comoa ≡ b (mod n). En particular cuando dividimos a a entre 4 y obtenemoscomo residuo a b, entonces a y b son congruentes módulo 4. Además a ≡0 (mod 2) si y solo si a es un número par.

Teorema 4.6 Si n es un entero entonces:

A) sen nπ2 =

1 si n ≡ 1 (mod 4)−1 si n ≡ 3 (mod 4)0 si n ≡ 0 (mod 2)

B) cosnπ2 =

1 si n ≡ 0 (mod 4)−1 si n ≡ 2 (mod 4)0 si n ≡ 1 (mod 2)

C) Si θ es un real y n un entero tales que θ = nπ2+ α entonces:

sen θ =

sen α si n ≡ 0 (mod 4)cosα si n ≡ 1 (mod 4)− sen α si n ≡ 2 (mod 4)− cosα si n ≡ 3 (mod 4)

4.3 Cálculo de las funciones trigonométricas 37

D) Si θ es un real y n un entero tales que θ = nπ2 + α entonces:

cos θ =

cosα si n ≡ 0 (mod 4)− sen α si n ≡ 1 (mod 4)− cosα si n ≡ 2 (mod 4)sen α si n ≡ 3 (mod 4)

Como consecuencia del teorema anterior se ve que si conocemos los val-ores de las funciones seno y coseno en el intervalo [0, π

2], entonces conocemos

el valor de estas funciones para todos los reales. Más aun basta conocer losvalores en el intervalo [0, π

4 ] ya que senα = cos(π2 − α).

4.3.2 Caso del ángulo agudo

En esta subsección se usan radianes para medir los ángulos. En esta seccióncalcularemos los valores de las funciones seno y coseno en ángulos en elintervalo [0, π/2]. En este intervalo el valor del seno y del coseno es siempremayor o igual a cero, por lo tanto cuando tenemos que en una fórmulaaparece una raíz cuadrada se toma siempre el valor positivo. En particulardaremos los valores para π/4, π/3, π/6. Si conocemos el valor de la funcióncoseno para un ángulo α ∈ [0, π/2] daremos fórmulas para los valores delseno y del coseno en el ángulo α/2.

Teorema 4.7 Se tiene los siguientes valores de las funciones seno y coseno.

A) sen π4 = cos

π4 =

√22 .

B) sen π6 = cos

π3 =

12 .

C) sen π3= cos π

6=

√32

.

Demostración: Como π4 es complementario a si mismo tenemos sen π

4 =cos π

4que y por lo tanto 2 sen2 π

4= 1, de donde obtenemos A.

Como π6

es complementario a π3

tenemos sen π3= cos π

6que y por lo tanto

sen π3 = 2sen π

6 cosπ6 = 2sen π

6 senπ3 de donde obtenemos B. Análoga-

mente sen π6 = cos π

3 y por lo tanto sen2 π6 + cos

2 π6 = sen

2 π6 +

14 = 1 de

donde obtenemos C.El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de (2.2.2.3, p. 10).

Será la base del algoritmo para calcular las funciones trigonométricas.

Teorema 4.8 Si α ∈ [0, π/2] y se conoce cosα se tiene los siguientes val-ores de las funciones seno y coseno para el ángulo α/2.

A) sen a2 =

√1−cosα

2 .

B) cos α2 =

√1+cosα

2 .

Con ayuda de los teoremas anteriores podemos conocer los valores de

sen π2n y cos π

2n de para n = 2, 3, .... Más aun si α =k∑

n=2an

π2n , con an igual

38 4. Algoritmos

a menos uno, a cero o a uno, entonces (2.2.2.2, p. 8) nos dan formulas paracalcular sen α y cosα.

Además si θ ∈ [0, π/2) entonces θ es de la forma θ =∞∑

n=2an

π2n , con an

igual a menos uno, a cero o a uno,. Por lo tanto si α =k∑

n=2an

π2n , entonces

θ = α+δ con δ < π2k

y por lo tanto | sen θ− sen α |< 2δ y por lo tanto sen αes una aproximación se sen θ, análogamente cosα es una aproximación secos θ. Con ayuda de estos resultados podemos dar el siguiente algoritmo:

Algoritmo 4.9 Sea ρ el valor del ángulo recto. Se tiene el siguiente al-goritmo que dado un número real ϕ aproxima los valores de las funcionesseno y coseno de ϕ.Al 1) Dar un real positivo ε que representa el grado de aproximación

deseado.Al 2) Encontrar un entero n y un real θ ∈ [0, ρ] tal que ϕ = nρ+ θ.Al 3) Encontrar k tal π

2k< ε

2 .

Al 4) De la expresión θ =∞∑

n=2an

ρ2n encontrar las ai, para i = 1, ..., k y

definiendo α =k∑

n=2an

ρ2n por el teorema anterior se ve que | sen θ−sen α| <

ε y que | cos θ − cosα| < ε.Al 5) Calcular sen α y cosα.Al 6) Expresar las funciones de ϕ en función de las de θ y usar las

aproximaciones por el ángulo α.

4.3.3 Problemas

Problema 1 Enunciar y demostrar el teorema equivalente al teorema (4.6,p. 4.6) para las funciones tangente y cotangente.

Problema 2 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =∞∑

n=1

anρ2n

, con

an igual a cero o a uno. Dar un algoritmo para encontrar as ai, parai = 1, ..., k.

Problema 3 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =∞∑

n=0an

ρ2n , con an

igual a cero, a uno o a menos uno. Dar un algoritmo para encontrar as ai,para i = 0, ..., k. Dar ejemplos donde esta representación es mas eficiente(en el sentido que necesita menos sumandos para expresar un número dado)que la dada en el problema anterior.

4.4 La función inversa 39

4.4 La función inversa

4.4.1 Metodo de Arquimedes

En esta sección y en la siguiente usaremos los radianes para medir losángulos. La función E no tiene una inversa porque no es inyectiva, sinembargo, si la restringimos al intervalo (−π, π] es biyectiva y por lo tantopodemos estudiar su inversa. La si P1 ∈ S1 entonces E−1(P1) ∈ R no esotra que la longitud del arco que une el punto P1 = (c, s) con el puntoU = (1, 0) ( la consideramos negativa en el caso de que s sea negativo ).

No es posible dar un algoritmo exacto para el cálculo de la inversa deE, sin embargo, el método de Arquímedes nos permite calcular la longituddel arco con la precisión que se desee. Este método se basa en el siguientelema.

Lema 4.10 Sea P1 un punto de S1 y l1 su distancia a U . Y sea P2 elpunto que bisecta el arco P1U , entonces su distancia a U está dada por:

l2 =√2−

√4− l21

Demostración: Si ∡UOP1 = θ entonces l1 = 2 sen θ y por lo tantol2 = 2sen

θ2

OU

P2

P1

l1

l2

θ

y como

2 sen2θ

2= 1− cos θ = 1−

√1− sen2 θ

se tiene que

l22 = 4 sen2 θ

2= 2− 2

√

1−(l212

)2

�

Dado el punto P1 = (c, s), si definimos l1 =√(c− 1)2 + s2 y definimos

Pn para n = 2, 3, ... como el punto que bisecta el arco Pn−1U y ln comola longitud de la secante PnU , entonces nln se aproxima a la longitud delarco P1U . En otras palabras E−1(c, s) = lim

n→∞nln. Es fácil implementar

un programa que calcule nln, en una computadora, y por lo tanto nos dela inversa de E con la aproximación que necesitemos, sin embargo es muy

40 4. Algoritmos

ineficiente por lo que veremos en el capítulo ?? un método más eficiente.Una de las razones por lo que es muy ineficiente este algoritmo es porque converge muy lentamente y otra de las razones es por que se estánmultiplicando dos números reales uno que crece mucho y otro que tiende acero y esto causa muchos problemas con la precisión en la computadoras.

Si nos dan un número real c, tal que −1 < c < 1, siempre hay dos puntosC y D de S1 tales que c es la ordenada de C y D, esto es C = (c, s) yD = (c,−s) donde s =

√1− c2 . Por esta razón no existe la función inversa

de la función coseno ni aún en el intervalo [−π, π], lo mismo pasa con lafunción seno. Sin embargo si nos restringimos a: cos : [0, π] → [−1, 1] elcoseno es biyectivo y por lo tanto existe su inverso.

4.4.2 Problemas

Problema 1 Si senα = 45 entonces tanα+ secα = 3.

Problema 2 sen2 α+ sen2(2ρ3 + α) + sen2(2ρ3 − α) = 3/2.

Problema 3 cos 2ρ9cos 4ρ

9cos 8ρ

9= 1/8.

Problema 4 sen 2ρ9 sen4ρ9 sen

8ρ9 =

√38 .

Problema 5 tan(ρ2 + α

)= 1+tanα

1−tanα .

La substitución t = tan θ2 ,ver [8], se puede usar en la solución de ecua-

ciones en donde las incógnitas aparecen como argumentos de una o másfunciones trigonométricas. Esta substitución tiene la ventaja de que todaslas funciones trigonométricas de son expresiones racionales en . Si t = tan θ

2obtenemos tan θ = 2t

1−t2y por lo tanto:

tan2 θ+ 1 =

(2t

1− t2

)2+ 1 =

4t2 +(1− t2

)2

(1− t2)2

=

(1 + t2

1− t2

)2= sec2 θ =

1

cos2 θ

cos θ =1− t2

1 + t2

análogamente:

sen2 θ = 1− cos2 θ = 1−(1− t2

1 + t2

)2

=

(1 + t2

)2 −(1− t2

)2

(1 + t2)2=

4t2

(1 + t2)2

= sen θ =4t

1+ t2

4.4 La función inversa 41

En las ecuaciones planteadas con funciones trigonométricas será sufi-ciente con dar la solucione donde el ángulo sea el más pequeño. En cadauno de los siguientes problemas existe al menos una solución donde el án-gulo es un múltiplo racional de ρ. Encontrar estas soluciones y si hay otrasdejarlas indicadas.

Problema 6 4 cosα = 3 secα.

Problema 7 3 sec2 α = 8 tanα− 2.

Problema 8 4 senα = 3 cscα.

Problema 9 tanα = 2senα.

Problema 10 sec2 α = 2 tan2 α.

Problema 11 csc2 α = 4 cot2 α.

Problema 12 2 cos2 α+ 4sen2 α = 3.

Problema 13 4 senα = 12sen2 α− 1.

Problema 14 1+ 2 sec2 α tan2 α− sec4 α− tan4 α = 0.

Problema 15 6 sen2 α− 11 senα+ 4 = 0.

42 4. Algoritmos


5Aplicaciones de la Trigomometría

5.1 Resolución de triángulos

Podemos decir que conocemos bien un triángulo cuando conocemos sus la-dos y sus ángulos. Cuando se dan tres de estos elementos se puede tratar deencontrar los otros tres. Sin embargo no siempre es posible hacerlo o hacerlode forma única. En los siguientes problemas se dan tres de estos elementosy se pide dar las fórmulas para calcular los otros tres, es importante queden varias formas de calcular los otros tres elementos y discutir las ventajasde cada una de ellas. Especial cuidado se debe tener en dar las condicionespara que existan soluciones y cuando estas son únicas, dar tanto razonesgeométricas como algebraicas A este proceso se le suele llamar el resolverel triángulo.

Problema 16 Resolver un triángulo dado sus tres lados.

Problema 17 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ángulocomprendido.

Problema 18 Resolver un triángulo dado dos de sus ángulos y un lado.

Problema 19 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ánguloopuesto a uno de ellos.

Problema 20 Resolver un triángulo dado sus tres ángulos.

44 5. Aplicaciones de la Trigomometría

5.2 Aplicaciones a la geometría

Una de las primeras aplicaciones de la trigonometría fue a la geometría. Enesta sección estudiaremos algunos ejemplos de esta teoría.

5.2.1 Triángulo

Teorema 5.1 De los triángulos inscritos en un círculo de radio R el trián-gulo equilátero es el mayor perímetro y área.

Demostración: Si (A,B,C) son los ángulos de un triángulo su perímetroesta dada por 2R(senA + senB + senC), por lo que es suficiente encon-trar el máximo de la función senA + senB + senC. Si el triángulo no esequilátero, podemos suponer que A �= B, entonces:

senA+ senB = 2 senA+B

2cos

A−B

2

< 2 senA+B

2

= senA+B

2+ sen

A+B

2

y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos (A+B2 , A+B

2 , C) tiene unperímetro mayor.

El área del triángulo esta dada por Σ = 2R2 senA senB senC, por loque es suficiente encontrar el máximo de la función senA senB senC. De lamisma forma si el triángulo no es equilátero, podemos suponer que A �= B,entonces:

senA senB =cos(A+B)− cos(A−B)

2

<cos(A+B)− 1

2

= senA+B

2sen

A+B

2

y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos (A+B2 , A+B

2 , C) tiene unaárea mayor.

5.2 Aplicaciones a la geometría 45

En el triángulo △ABC se tienen las alturas AD, BE y CF que se cortanen el ortocentro H.

AB

C

D

E

F

H

el triángulo △DEF se llama el triángulo pedal del triángulo △ABC. Dela figura obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 5.2 En el triángulo △DEF , de ángulos agudos, se tiene:i) Las rectas AD, BE y CF son las bisectrices. Más aun

∡FDH = ∡HDE = 90o −A

ii) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 180o−2A, E = 180o−2By F = 180o − 2C.iii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cosA = R sen2A, e =

b cosB = R sen 2B y f = c cosC = R sen 2C.iv) El área del triángulo △DEF es 1

2R2 sen 2A sen 2B sen 2C.

v) El radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es R2 .

Demostración: Como el círculo de diametro HC pasa por D y E, setiene que ∡HED = ∡HCD = 90o−B; análogamente el círculo de diametroAH pasa por D y F , se tiene que ∡HEF = ∡HAF = 90o − B y por lotanto se tiene i) y ii).

Se tiene que ∡ACB = ∡AFE porque ambos son complementarios delángulo ∡DFE, igualmente ∡ABC = ∡AEF y por lo tanto △ABC ∼△AEF . Por lo tanto:

cosA =AE

AB=EF

BC=d

a

que junto con la ley de los senos nos da iii). El área del triángulo △DEFes 1

2ef sen(180o − 2A) = 1

2R2 sen 2A sen 2B sen 2C. De la ley de los senos

vemos que el radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es d2 senD =

R sen 2A2 sen(180o−2A) =

R2 .�

Teorema 5.3 (Euler) Sea △ABC un triángulo de circunradio R, inradior y distancia d entre el circuncentro e incentro, entonces:

1

R+ d+

1

R− d=1

r


Demostración: Sean α = A2 y γ = C

2 y D la otra intersección de larecta CI con el circuncírculo. Entonces en el triángulo △ACI el ánguloexterior ∡AID es igual a α+ γ. También tenemos que ∡BAD = γ. Por lotanto el triángulo △AID es isósceles. Por lo tanto tenemos las igualdades:

IC =r

sen γ

ID = AD = 2R sen γ

AB

C

Y

D

I

por lo tanto la potencia del incentro I respecto al circuncírculo esta dadapor:

d2 −R2 = IC · ID = −2rR

que es equivalente a

1

R+ d+

1

R− d=1

r

�

Teorema 5.4 En un triángulo △ABC se tiene las fórmulas:i) La distancia del ortocentro H al circuncentro O esta dada por:

HO2 = R2 − 8R2 cosA cosB cosC

ii) La distancia del vertice A al incentro I esta dada por:

AI = 4R senB

2sen

C

2

iii) La distancia del ortocentro H al incentro I esta dada por:

HI2 = 2r2 − 4R2 cosA cosB cosC

5.2 Aplicaciones a la geometría 47

Demostración: Usando la ley de los cosenos, para el triángulo △AOH,obtenemos:

A B

C

D

E

F

HO

N

HO2 = AO2 +AH2 − 2AO ·AH cos∡HAO

ademas:

∡AHF = 90o −∡HAF = 90o − ∡DAB = B

AO = R

AH = AF cscB = b cosA cscB

= 2R senB cosA cscB = 2R cosA

∡SAO = ∡HAB − ∡OAB = (90o −B)− (90o − C) = C −B

por lo tanto obtenemos i) de la siguiente forma:

HO2 = R2 + 4R2 cos2 A− 4R2 cosA cos(C −B)

= R2 − 4R2 cosA(cos(B +C) + cos(C −B))

= R2 − 8R2 cosA cosB cosC

Usando el problema (3.12, p. 23), obtenemos:

A B

C

D

E

F

HI


senA

2=

r

AI

r = AI senA

2

= 4R senA

2sen

B

2sen

C

2

�

5.2.2 Problemas

Problema 1 En el triángulo △ABC con C > 90o con triángulo pedal△DEF , se tiene:i) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 2A, E = 2B y F =

2C − 180o.ii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cosA = R sen 2A, e =

b cosB = R sen 2B y f = −c cosC = −R sen 2C.

Problema 2 En el triángulo △ABC se tiene que OH2 = 9R2−a2−b2−c2.

Problema 3 En el triángulo △ABC con triángulo pedal △DEF , se tiene:i) El semiperímetro de △DEF es 2R senA senB senC.ii) El radio del círculo inscrito de △DEF es 2R cosA cosB cosC.iii) Los radios de los círculos excritos son: 2R cosA senB senC, 2R senA cosB senC

y 2R senA senB cosC.

Problema 4 Si ha, hb, hc son las alturas del triángulo, entonces 1ha+ 1

hb+

1hc= 1

r y 1ha+ 1

hb− 1

hc= 1

rc.

Problema 5 En la figura tenemos: APPB

= AC senBCPBC senPCB

A B

C

P

5.3 Aplicaciones a la topografía 49

Problema 6 (Steward) En la figura tenemos: pb2 = xc2 + ya2 + xyp

p B Cp

P

ab c

x y

Problema 7 Si en problema 6 la recta AD es la bisectriz del ángulo ∡BACentonces BD

DC =ABAC y si es la bisectriz exterior del ángulo ∡BAC entonces

BDDC = −AB

AC . Además:

x2 = b · c[

1− a2

(b+ c)2

]

Problema 8 Si en un triángulo △ABC las bisectrices de los águlos A yB son iguales, entonces a = b.

Problema 9 Si en problema 6 BD = DC (esto es si AD es la mediana

del △ABC) entonces x2 = 2(b2+c2)−a2

4 .

5.3 Aplicaciones a la topografía

Sección no escrita.


Appendix AMedición

10n Nombre106 = 10000 (M)-Miria103 = 1000 (K)-Kilos102 = 100 (H)-Hecto101 = 10 (D)-Deca100 = 1 Unidad10−1 = 0.1 (d)-deci10−2 = 0.01 (c)-centi10−3 = 0.001 (m)-mili

Unidades(m)-metro lineal(a)-área supeficie Decámetro2

(l)-litro volumen decimetro3

(es)-Estereo volumen metro3

(gr)-gramo peso centimetro3 de agua

Nota: El 20 de febrero 1896 la secretaría de Fomento (de México) pub-lico Reglamento de unidades. En este reglamento se definió el decámetrocuadrado como ara. Esto era conveniente ya que distinguía la unidad de laclase de extensión.

Nota: Llamar estereo al metro cubico ya casi no se usa. Igual con elmiriámetro como un kilometro cuadrado.

A.0.1 Medidas de Longitud

1 vara: 0.838 metros.1 vara: 3 pies.1 pie: 12 pulgadas.1 pulgada: 12 lines.1 linea: 12 puntos.

52 Appendix A. Medición

Tenemos además:1 vara: 4 cuartas1 cuarta: 12 dedos1 vara: 2 medias1 media: 6 sesmas1 legua: 5000 varas

A.0.2 Medidas de Area

Sitio de ganado mayor: Cuadrado de lado una legua.Criadero de ganado mayor: Cuadrado de lado media legua. Igual a

un cuarto de sitio de ganado mayor.Sitio de ganado menor: Cuadrado de lado dos tercios de legua.Criadero de ganado menor: Cuadrado de un tercio de legua. Igual a

un cuarto de sitio de ganado menor.Caballería: Un rectángulo de lados 1104 varas por 552 varas.Fanega de sembladura de maiz: Un rectángulo de lados 276 varas

por 184 varas. Igual a 1/12 de Caballería.

A.0.3 Medidas de Peso

Libra: 460 gramos. Sus subdivisiones dependen del uso, como se ve en lasiguiente información:

A.0.4 Uso común:

Quintal: 100 libras.Arroba: 25 libras.Libra: 16 onzas. (9216 granos).Onza: 16 adarmes.Adarme: 3 tomines.Tomin: 12 granos.

A.0.5 Para peso de la plata:

Libra: 2 marcos. (9216 granos).Marco: 8 onzas.Onza: 8 ochavas.ochava: 6 tomines.Tomin: 12 granos.

A.0.6 Para peso del oro:

Libra: 2 marcos. (9600 granos)

Appendix A. Medición 53

Marco: 50 castellanos.Castellano: 8 tomines.Tomin: 12 granos.

A.0.7 Para usos medicinales:

Libra: 16 onzas. (9216 granos)Onza: 8 dracmas.Dracma: 3 escrúpulos.Escrúpulo: 24 granos.

A.0.8 Medidas de Volumen

Aparte de las varas cubicas y pies cubicos se usaban las siguientes medidas:

A.0.9 Para liquidos se usaba el cuartillo que contiene0.991347 libras de agua (0.456264 litros).

Jarra: 18 cuartillos.Barril: 9 jarras.Nota: Para el aceite se usaba el cuartillo que contiene 1.099764 libras

de agua (0.506162 litros).

A.0.10 Para medir los "aridos" se usaba la fanega que esigual a7200 pulgadas cúbicas.

A.0.11 Para medir granos se usaba:

Cuartillo: 150 pulgadas cúbicas.Almudes: 4 cuatillos.Cuartilla: 3 almudes.Medias: 2 cuartillas.Fanega: 2 medias, que es igual a7200 pulgadas cúbicas.Carga: 2 fanegas.

A.0.12 Medidas de Mananteales y Mercedes de Agua

La medida básica era la paja que es igual a una libra de agua por minuto.Real: 18 pajas.Naranja: 8 reales.Surco: 3 naranjas.Buey: 48 surcos.Nota: La paja que hemos definido es la ordenada por el Virrey Revil-

lagigedo. El se basó en los esperimentos de Don Miguel Constasó en mayo

54 Appendix A. Medición

de 1792. Pero la ley del 2 de agosto de 1861 cambio a se igual a 0.45 delitro por minuto.

A.0.13 Medidas de Monedas

Un franco de plata pesa 5 gramos, con 4.5 gramos de plata y 0.5 gramosde cobre.

Un franco de oro pesa 5 gramos, con 4.5 gramos de oro y 0.5 gramos decobre.

Peso de plata que pesa 1/17 de libra, con 65/72 partes de plata y 7/72partes de cobre.

Peso de oro que pesa 1/17 de libra, con 7/8 partes de plata y 1/8 partesde cobre.

1 peso de plata = 5.431 francos de plata.1 peso de oro = 5.100 francos de oro.

A.0.14 Las monedas de oro tenian las siguientesdenominaciones:

Escudo: 2 pesos.Onza: 8 escudos.Peso: 8 reales.Real: 8 tlacos.


References

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trigonometría - cimat.mx · esto sirve tanto para practicar la manipulación de las identidades...

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