95

96

ANGULO TRIGONOMÉTRICO

GENERACIÓN.- Se genera por la rotación de un rayo

alrededor de un punto fijo (vértice) desde una posición inicial

(lado inicial) hasta la posición final (lado final)

SENTIDO.- Se dice que el ángulo es positivo si la rotación es

antihorario y negativo si es horario.

MAGNITUD.- La medida de un ángulo trigonométrico es

ilimitado; es decir se representa por un número real.

ANGULO DE UNA VUELTA ( 1 vuelta).- Es aquel ángulo

trigonométrico que se genera por la rotación completa

del rayo; es decir la posición inicial y final coinciden luego

de una vuelta en sentido antihorario.

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

1. Sistema sexagesimal (Inglés).- Es aquel sistema que

considera al ángulo trigonométrico de una vuelta

dividida en 360 partes iguales.

Se sabe:

1 vuelta < > 360°

1° < > 60’

1’ < > 60’’

2. Sistema centesimal (Francés).- Es aquel sistema que

considera al ángulo de una vuelta dividida en 400 partes

iguales.

Se sabe:

1 vuelta < > 400g

1g < > 100m

1m < > 100s

3. Sistema radial (Circular).- La unidad es el radian (1 rad)

Se sabe:

1 vuelta <> 2 rad

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS

Si S1 C y R representan los números de grados sexagesimales,

centesimales y radiales respectivamente de un mismo

ángulo, entonces:

De donde S=9k; C=10k; 𝑹 =𝝅

𝟐𝟎𝒌

OBSERVACIÓN:

θ = aºb´c´´ = aº + b´+ c´´

b

a

b

a

º

º

b

a

b

ag

g

1 rad. > 1º > 1g

9º< >10 g ; 27’< > 50m ; 81” < >250s

(x+y+z)º = xº + yº + zº

ARCO SECTOR CIRCULAR

1. ARCO

Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el

nombre de “Arco” de la circunferencia.

Amplitud

Dada por la medida del ángulo central que sostiene el

arco.

Longitud de Arco

En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de

“” radianes determina una longitud de arco “L”, que se

calcula multiplicando el número de radianes “” y el radio

de la circunferencia “R”.

SEMANA 01

0

R

R A

B AB: Arco AB

A: Origen del arco AB

B: Extremo del arco AB

O: Centro de la

circunferencia

R: Radio de la

circunferencia

L: Longitud del arco AB

R: Radio de la circunferencia

: Nº de radianes del ángulo

central (0 2 )

0

R

R

rad L

A

B

Posición final

Posición Punto fijo

1 vuelta

(+

) (–)

Rotación

antihorario

Rotación

antihorario

97

Nota:

La longitud de la circunferencia se calcula

multiplicando 2 por el radio “R” de la circunferencia

(2R)

2. SECTOR CIRCULAR

Se llama sector circular a la región circular limitada por

dos radios y el arco correspondiente.

AOB: Sector Circular AOB

Área del Sector Circular

El área de un sector circular es igual al semiproducto de

la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida

de su ángulo central, en radianes;

es decir:

2

RS

2

Donde:

S: Área del sector circular AOB

Otras fórmulas

2

R.LS

2

2LS

Ejemplos:

Calcular el valor del área de los sectores circulares

mostrados en cada caso:

I.

II.

III.

Observaciones:

El incremento de un mismo radio “R” en un sector

circular inicial de Área “S” (fig.1); produce un

incremento de área proporcional a los números impares

de “S”, que el estudiante podría comprobar (fig.2).

Fig. 1

Fig. 2

ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR

Se llama trapecio circular a aquella región circular

formada por la diferencia de dos sectores circulares

concéntricos.

El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de

las longitudes de arcos que conforman al trapecio

circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir:

h.2

bBAT

Donde:

AT= Área del trapecio circular.

También: h

bBrad

R 0

LC=2R

0

B

A

0

R

R A

B

rad

S

S

A

B

0

R

R

L

A

rad S

B

0 L

2m 0

3m 2m

4m 0

4m

1 rad

0

2m

0,5 rad

0

R S

R

0

R

S

R R

R R

R

R

R

3S 5S

7S

rad A B

h

b

h

98

Aplicación de la Longitud del Arco

Número de Vueltas que da una Rueda(#v)

El número de vueltas (#V) que da una rueda al desplazase (sin

resbalar) desde la posición A hasta B. Se calcula mediante la

relación.

R2

Ec#v

Ec: Espacio que recorre el

centro de la rueda.

R

EcB R: Radio

B : Angulo barrido

EJERCICIOS

NIVEL I

01. Convertir al sistema centesimal:

A) 45° B) 60° C) 2x°

02. Convertir al sistema sexagesimal:

A) 30g B) -55g C) yg

03. Convertir al sistema sexagesimal y centesimal:

A)

4

rad. B)

20

rad.

C) -7

2

rad. D) 0,5 rad.

04. Del gráfico mostrado indicar verdadero (V) o falso (F)

según corresponde en las siguientes proposiciones:

I. + = V4

1

II. - = 4

1V

III. - = V4

1

A) FVF B) FFF C) VFF

D) FFV E) VVV

05. Del gráfico hallar “x”

A) 15º B) 35º C) 55º

D) 30º E) 60º

06. Simplificar:

º5rad36

º2550E

g

A) 3 B) 5 C) 7

D) 8 E) 9

07. Determine un ángulo en radianes si se cumple:

2xSC

4xCS

x

x

A) rad45

B) rad6

C) rad16

D) rad60

E) rad10

08. Si al doble del número de grados sexagesimales le

adicionamos el número de grados centesimales del

mismo ángulo resulta 80 determine la medida del

ángulo en el sistema radial.

A) rad3

B)

5

C)

7

D) 9

E)

10

09. En un sector circular la medida del arco y el radio están

representados por dos números enteros consecutivos. Si

el perímetro del sector es 20 m. ¿Cuál es la medida del

ánodo central?

A) 4/3 rad B) 3/4 C) 2/3

D) 3/2 E) ½

10. Siendo A, B y C los centros de los arcos mostrados.

Determine el perímetro de la región sombreada, si ABC:

equilátero de lado igual a 15 cm. 22

( )7

.

A) 15 cm B) 20 C) 25

D) 30 E) 21

11. Hallar el área del sector sombreado si AO = OB r

A) π r2/6

B) π r2/2

C) π r2/12

D) π r2/24

E) π r2/3

12. Si las áreas de las regiones sombreadas son iguales.

Calcular “”

A) /10 B) /20 C) /3

D) /4 E) /5

A C

B

9cm

rad

C

O

B

A

A

B O

A B

0 0 R R

99

NIVEL II

13. Si S, C y R son los números que representan las medidas

de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y

radial respectivamente. Además se cumple: 3 S 30 C 33 . Halle la medida de dicho ángulo en

radianes

A)

20

B)

3

20

C)

10

D)

2

E)

4

14. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es: o '

xy zw y la medida del mismo ángulo en el sistema

centesimal es 50g50m, calcule : x y

z w

.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. Si la diferencia de segundos centesimales y segundos

sexagesimales que mide un ángulo es 27040, calcule la

medida (en rad) de dicho ángulo.

A)

10

B)

20

C)

30

D)

40

E)

50

16. Se tiene un sistema de medida angular denominado “x”

en donde 3 grados “x” equivalen a 5º determinar a

cuántos radianes equivalen 27 grados “x”.

A)3

rad

B)6

rad

C)4

rad

D)7

rad

E)

2

5rad

17. Se tiene un nuevo sistema de medida angular en el cual

la unidad fundamental se denota por 1; y resulta de

sumar las unidades fundamentales del sistema

sexagesimal y centesimal. Calcule cuántas unidades

del nuevo sistema equivalen a 627 radianes 22

( )7

.

A) 21700 B) 18900 C) 15300

D) 12900 E) 18000

18. De la figura: AOB, COD y EOF son sectores circulares. Si

el área de dichas regiones es 6A, 3A y Au2,

respectivamente, halle m

n

.

Si CD

2u

Nota: m y n son longitudes de arco

A) 1

6 B) 6

6 C) 3

3

D) 6 E) 2 6

19. En el gráfico, se muestra un valle que está formado por

tres arcos de circunferencia de radio R. Hallar la longitud

del recorrido entre el punto de partida y el punto de

llegada del ciclista.

A)

6R

B) 4

3R

C) 8

3R

D) 2

3R

E) 3

2R

20. La semicircunferencia ANB tiene como radio OA = 5u,

con centro en B se traza el sector circular MBN con radio

BM = 6u. Calcule el área (en u2) de la región

comprendida por el segmento circular sombreado.

A) 5 – 12 B) 5 – 10

C) 18512

36

D) 18510

36

E) 4 – 8

NIVEL III

21. Si: E = 90º + 100g +

2

rad + 45º + 50g +

4

rad + 22º30’ +

25g +

8

rad + ... , se le pide que determine E en

radianes

A) 5

2

B) 3 C) 7

2

D) 4 E) 9

2

22. Siendo «S», «C» y «R» los números que representan la

medida de un ángulo positivo mayor de una vuelta en

grados sexagesimales, grados centesimales y radianes

respectivamente, cumplen las siguientes igualdades.

S x y ;

y+x=C y x

y+

y

x=R

Siendo «x» e «y» números enteros positivos, hallar: «R».

a) 362/19 b) 352/19 c) 262/19

n 2 m

C

A

D B

E

0

F

N

B M A O

R R R

Punto

de

llegada

Punto

de

partida

100

d) 362/9 e) 342/19

23. En la figura mostrada, si la medida del ángulo y (en

radianes) está dada por: y = 2 + + 1, halle el máximo

valor de la medida del ángulo x (en radianes).

A) 1

2 B)

3

4 C)

1

2

D) 3

4 E)

1

4

24. En la figura se muestra un elemento circular de radio b

dentro de un recinto cuadrado. Si el elemento circular

rueda por sobre las paredes del recinto cuadrado y dá

20 vueltas para hacer un recorrido completo, halle la

longitud del lado del cuadrado.

A) 8b B) 10b

C) (10 + 1)b D) (10 + 2) b

E) 12b

25. Un sector circular de ángulo central tiene un área igual

a la de un triángulo rectángulo isósceles. Si sus

perímetros son también iguales, calcule 4E

A) 4 – 2 2 B) 6 – 2 2

C) 4 + 2 2 D) 2 + 4 2

E) 6 + 2 2

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas son números que resultan de

dividir dos lados de un triángulo rectángulo

Teorema de Pitágoras

“La suma de cuadrados de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa”.

a2 + b2 = c2

Teorema

“Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son

complementarios”.

A + B = 90º

2. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO

AGUDO.

Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la figura, se

establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo

“”:

Sen = Cosb

c

.Hip

.op.Cat

Cos = Senb

a

.Hip

.ady.Cat

Tg = tgCa

c

ady.Cat

.op.Cat

Ctg = Tgc

a

.op.Cat

.ady.Cat

Sec = Csca

b

ady.Cat

.Hip

Csc = Secc

b

op.Cat

.Hip

Importante

“A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”.

3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS

I. R.T. RECÍPROCAS

Ejemplos:

Indicar la verdad de las siguientes proposiciones.

I. Sen20º.Csc10º =1 ( )

II. Tg35º.Ctg50º =1 ( )

III. Cos40º.Sec40º=1 ( )

Resolver “x” agudo que verifique:

Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1

seno y secante sen . csc 1

coseno y secante cos . se c 1

tan . cot 1tangente y cotangente

SEMANA 02

B

C A

y

x

+

Cateto

C

A

B a

b c

C

A

B a

b c

101

senab2

1A

II. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Para dos ángulos cuya suma es 90º; es decir, son

complementarios, se cumple:

Así por ejemplo:

Sen20º = Cos70º (20º+70º=90º)

Tg50º = Ctg40º (50º+40º=90º)

Sec80º = Csc10º (80º+10º=90º)

Área de una región triangular

TRIÁNGULOS NOTABLES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

OTROS TRIÁNGULOS NOTABLES

EJERCICIOS

NIVEL I

01. Si : Cosx = 3

5, Calcular “Sen x”

A)3

1 B)1 C)

5

3 D)

3

2 E)

3

3

02. Si: Sen = 2

1; calcule

N = (Cos2 - Sen2 ) Tg2

A) 6 B) 6

1 C)

3

1 D) 3 E) 2

03. De la figura, calcular: Ctgα - Tg

A) 3 B) -1 C) -2

D) 1 E) 2

04. De la figura mostrada, hallar “Tan ”

A) 6

6 B)

6

5 C)

6

4

D) 6

3 E)

3

2

05. En un triángulo ABC recto en A se cumple TgB = 0,75;

además: a – b = 6m

Hallar su perímetro.

A) 12m B) 24m C) 36m

D) 42m E) 45m

06. Determine el valor de “m” para que “x” sea 30º, Si.

m -1cos2x =

m+1

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

También :Si : 90º , entonces :

sen cossen cos

tan cot 90ºtan cot

sec cscsec csc

x y

x yx y

x y x yx y

x yx y

a

b

3k

37°

53°5k

4k

2kk

30°

60°

k 3

k

k

45°

45°k 2

30 60 45 37 53

3 21 3 4sen2 2 2 5 5

3 21 4 3cos2 2 2 5 5

3 3 4tg 3 13 4 3

3 4 3ctg 3 13 3 4

2 3 5 5sec 2 23 4 3

2 3 5 5csc 2 23 3 4

25k

24k

7k

16°

74°

7k

k

8°

82°5 2k

3k

k

37°

2

k 10

53°

2

2k

kk 5

abSe 2 1 A

B D

C

A

2a a

102

07. En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a.CtgA

– c.SenB

A) 0 B) 1/3 C) a

D) b E) 1/2

08. Si: Tg3x.Ctg(x + 40º) = 1. Calcular: Cos3x

A) 1 B) 1/2 C) 3

D) 3 /2 E) 3/5

09. Hallar “x” si: Cos(2x – 10º).Sec(x + 30º) = 1

A) 10º B) 20º C) 30º

D) 40º E) 50º

10. Si : Sen 7x Sec 2x = 1. Calcular :

E = Tg26x + Tg(x + 42º - y).Tg(3x + y + 8º)

A) 1 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

11. Determine “x” :

Sec(2x - 8) = Sen40º.Csc 40º + Tg15º

Ctg75º

A) 17º B) 20º C) 28º

D) 30º E) 34º

12. Si: Sec8x = Csc3x. Calcular :

E = Sen6x.Sec5x + Tg4x.Tg7x + Sec2x

Csc9x

A) 2 B) 3 C) 6

D) 1/2 E) 1/3

13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple

que: 2TgA = CscC

Calcular: E = 2SenA + 3TgC

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

14. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es 8 veces el área de dicho triángulo. Si es

uno de los ángulos agudos, calcular. Sec.Cosec

A) 32 B) 3 C) 2

D) 4 E) 5/2

15. Si sen(2) csc( + 3º) = 1; además sen( – ) sec( + ) =

1; calcule el valor numérico de F = 8 2 sen( + 5º). cos(

+ 10º).

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 8

16. Siendo S, C y R lo convenido. Determinar la medida de

dicho ángulo en grados sexagesimales, si se cumple:

12

R)SC(Sec.

2

R)CS(Sen

A) 9° B) +9° C) –9°

D) 20g E) 10g

17. Del gráfico mostrado, calcular: “Sec”

A)2

7 B) 2

73 C) 2

D) 7 E) 32

18. Si ABCD es un cuadrado, calcular “Tan x”

A) 3 – 3

B) 3 – 1

C) 3

34

D) 2

3

E) 3

3

19. En la figura mostrada calcule AB, donde CD = 6 y

BD = 2

A) 2 B) 3 C) 6

D) 2 1 E) 3 + 1

20. Calcular:

E = 4 Sen (x + 8°) + 7 Cos (x + 8)

A) 65 B) 67 C) 69

D) 57 E) 45

NIVEL III

21. Si ABCD es un cuadrado inscrito en el triángulo

rectángulo EFG, mEFG = 90º, tal que ED = a y CG =

b.

Calcule: FH.

60°

A D

C B x

30°

30°

45°

x

F

G E D C

B A H

A

C

B

D

103

A) a + b

ab B)

2ab

a + b

C) a + b

2ab D)

ab(a + b)

2(a - b)

E) ab

a + b

22. En un triángulo rectángulo con ángulo recto en B se

cumple: a2Cot

2A C 1+ c Cot =

2 2 2

Si el perímetro del triángulo es 1u, halle la longitud de la

hipotenusa (en unidades u)

A) 5 - 2

4

B) 5 - 2

2

C) 5 - 1

2

D) 5

4

E) 3 - 1

2

23. Del gráfico adjunto, halle x en términos de a y b.

a

A) 2b

2 22b +a -2ab

B) 2 2

2a

2b + a - 2ab

C) ab + a2b2 D) ab + 1

E) b

2 2a + b - ab

24. Si "" es un ángulo agudo que cumple: Csc=9

41.

Calcular el valor de: Ctg{48

θπ }

A) 8

417 B)

5

398 C)

4

415

D) 5

414 E)

8

395

25. En la figura calcular “Tg”, si: 7AB - 6AC = 0, además O y

1O son centro s y "T" es punto de tangencia:

A) 3

B) 5

C) 7

D) 6

E) 11

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

CONCEPTO.- Resolver un triángulo rectángulo significa

calcular las longitudes de todos los ángulos y las longitudes de

todos los lados.

Esto se puede hacer si se dan las longitudes de dos de sus

lados o la longitud de un lado y la medida de un ángulo

agudo.

Donde: ÁNGULOS: A; B y C

LADOS : a; b y c

CASO I: DADO DOS LADOS.- Si en triángulo rectángulo se

conocen dos lados, el tercer lado se calcula aplicando el

teorema de Pitágoras, luego hallamos un ángulo agudo

utilizando una razón trigonométrica adecuada, finalmente el

otro ángulo agudo será el complemento.

Ejemplo: Resolver el triángulo rectángulos ABC.

Solución:

(15cm)2 = c2 + (12cm)2

225cm2 = c2 + 144cm2

c2 = 81cm2

c = 9cm

SenA = 1215

cmcm

SenA = 54 A = 53°

A + C = 90° C = 37°

CASO II: DADO UN LADO Y UN ÁNGULO AGUDO.- Si se conoce

un ángulo agudo, es fácil hallar el otro ángulo agudo ya que

son complementarios; y para calcular los lados que faltan

utilizamos: TIENE.SE.QUE.LADO

QUIERE.SE.QUE.LADO)(T.R

Problema 1 (Si el lado conocido es la hipotenusa)

SEMANA 03

a

b

x

b

A O1 O B C

T

A

B C a

b c

A

B C

15m

12m

c

104

Problema 2 (Si se conoce el cateto opuesto al ángulo

conocido)

Problema 3 (Si se conoce el cateto adyacente al

ángulo conocido)

ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical

formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal.

Que parten de la vista del observador.

Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de Elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira

cuando el objeto se encuentra por encima de la línea

horizontal.

: Ángulo de observación

Ángulos de Depresión

Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de

mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea

horizontal.

: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN:

AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA

ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN

EJERCICIOS

NIVEL I

01. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe que los

ángulos congruentes miden "" mientras que el lado

desigual mide "L". Hallar uno de los lados congruentes.

A) L/2Sen B) L/2Csc C) L/2Tg

D) L/2Ctg E) L/2Cos

02. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:

A) k2SenCos B) (k2/2) SenCos

C) (k2/3) SenCos D) (k2/4) SenCos

E) (k2/5) SenCos

03. Obtener "x"

A) R(1 - Sen) B) R(Sen - 1)

C) R(1 - Cos) D) R(Csc - 1)

E) R(1 - Tg)

04. En la figura, halla "x".

A) mSen + nCos B) mCos + nCos

C) mCos + nSen D) mSen + nSec

E) mSec + nSec

05. Halla "x" en:

K

A

B

O

R

Hx

A

B

C

m n

x

105

A) mSecTg B) mCosCsc

C) mCosCtg D) mSenCos E) mTg

06. Hallar "x":

A) mSen2 B) mCos2

C) mSenCos D) mSenTg

E) mSecCsc

07. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de elevación

para la parte más alta es 37°. Calcular la altura del

árbol.

A)10m B)11m C)12m D)13m E)14m

08. En el gráfico, la longitud del poste más alto es 9 m,

determine lo longitud del otro.

A) 4 m

B) 6 m

C) 7 m

D) 8 m

E) 9 m

09. Desde un punto en el suelo, se observa la parte más alta

de un edificio con una elevación angular de 37°, nos

acercamos al edificio una distancia de 10 m y el nuevo

ángulo de elevación para el mismo punto es 45°.

Calcular la altura del edificio.

A)14m B)15m C)28m D)30m E)32m

10. Si a 20 m de un poste se observa lo alto con un ángulo

de elevación de 37° y luego nos acercamos al poste una

distancia igual a su altura y el nuevo ángulo de

elevación es . Calcular Tg.

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

11. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer

piso con un ángulo de elevación ; y la parte baja del

quinto piso con un ángulo de elevación . Calcular

TgCtg

A)3/4 B)4/3 C)5/3 D)3/5 E)4/5

12. Desde lo alto de un acantilado de 45 m de altura, los

ángulos de depresión para 2 botes que están en el mar y

en una misma dirección del observador miden 60° y 45°.

Determinar la distancia entre los botes.

A) 15(3- 3 ) B) 15(3+ 3 )

C) 15 3 ( 3 -1) D) 15 3 ( 3 +1)

E) Hay 2 respuestas

NIVEL II

13. Hallar "x"

A) Sen + aCos B) bSen + Cos

C) bSen - aCos D) aSen + bCos

E) aSec + bTg

14. Del gráfico, hallar: "Ctgx".

A) (2Sec - Cos)/Sen

B) (Sen + Cos)/Sen

C) (Sec + Cos)/Sen

D) (Csc + Sen)/Sen

E) (Sec - Cos)/Sen

15. En la figura mostrada hallar x en términos de y m.

A)

2m

2Sen C os

B)

m

Sen 2C os

C)

m

3Sen C os

D)

m

Sen C os

E)

2m

Sen C os

16. Halle el área de la región sombreada (m2) en términos

de .

A) (1 + Sen)Sec B) (1 + Sen)Tg

C) (1 – Sen)Csc D) (1 – Sen)Sec

E) (1 + 2Sen)Sec

A C

BD

x

m

B

A

D

HCm

x

A

B

C

D

a

b

x

x

x

m

45º

1m

1 m

30º

60º

106

17. Determinar el mayor ángulo formado por las direcciones:

O-NO y S-SE

A) 180º B) 135º C) 225º

D) 200º E) 210º

18. Un navío parte de un puerto en la dirección NE. Luego

de un ahora de camino desvía y, se dirige en la

dirección S15ºE. ¿En qué dirección respecto al puerto se

encontrará el navío, de tal manera que desde este

equidiste al puerto y al punto de desvió?

A) 15ºN B) N45ºO C) E45ºN

B) D) O15ºS E) S75ºE

19. Pedro mide 1,75 m de estatura, él observa un árbol con

un ángulo de elevación de 60º la parte superior y con un

ángulo de depresión de 30º su base ¿cuál es la altura

(en m) del árbol?

A) 5,6 B) 6 C) 7

D) 7,2 E) 7,5

20. Un submarino desciende verticalmente 100 m y luego

recorre 200m en línea recta inclinada 30º respecto al

nivel del mar, desde este punto regresa al lugar de

partida en línea recta y con un ángulo de elevación .

Halle tan.

A) 3

3 B)

3

2 C)

2 3

3

D) 3 E) 4 3

3

NIVEL III

21. Si, ABCD es un cuadrado en la figura mostrada, calcular

el valor de:

E = 2Tg - 1

A) 3

B) 5

C) 6

D) 7

E) 11

22. Si, AO = OB obtener, Cos en términos de :

A) Tg.Sen

B) Ctg.Cos

C) 2Tg

D) 2tgC

E) 2Sen .Cos

23. Un Ovni en tierra divisa lo alto de una montaña con un ángulo de elevación "", luego asciende en forma de un

cuadrante de radio "R"; cuando está a una altura "R"

observa nuevamente la misma parte superior con un ángulo de elevación "" ( > ) y a una distancia visual

"d", obtener:

1Tg

)Tg.CosSen(dV

α

αθθ

A) R B) 2R C) R/2

D) R 2 E) R/4

24. Desde un punto en tierra ubicado entre dos torres de

alturas 6m y 4m se ve sus partes más altas con ángulos

de elevación "" y "90°-" respectivamente. Si desde lo

alto de la torre mayor se ve lo alto de la torre menor con un ángulo de depresión "". Calcule usted el menor

valor de “Ctg”:

A) 6 B) 2 6 C) 4 6

D) 2 E) 4 3

25. Desde el borde de un acantilado situado a 200m sobre

el nivel del mar, se observa al mismo tiempo a un avión y

un barco. El avión que está a 800m de altura sobre el

nivel del mar, está en dirección N15°O y su elevación

angular es "", el barco, está en la dirección N75°E y el

ángulo de depresión es "". Calcular la distancia del

avión al barco si: Ctg=1,8 y Ctg=0,8.

A) 1000 2 m B) 1000m C) 4000m

D) 2000m E) 2000 2 m

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN

ÁNGULO EN CUALQUIER MAGNITUD

ÁNGULO EN POSICIÓN INICIAL:

Un ángulo “” está en posición normal, posición estándar

canónica si su vértice está en un origen de coordenadas

rectangulares y su lado inicial coincide con el eje positivo de

las abcisas.

y (ordenada)

x (abcisa)o

Lado inicial

Ladofinal

P

Q

"" en posición normal"" en posición normal : + : -

Propiedad: R.T. () = R.T.(α)

Las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

en el primer cuadrante podemos definir las R.T. de un ángulo

cualquiera de la siguiente manera:

x

r y

P(x,y)

y (ordenada)

x (abcisa)

r: radio vector

x: abcisa r=22 yx ; r > 0

SEMANA 04

A

B

C

B F E

A

B

O

107

r

y

r

x

x

y

x

ytg

r

x

r

y

ordenada

vector radiocscθ

abcisa

vector radioθ

ordenada

abcisactgθ

abcisa

ordenadaθ

vector radio

abcisaθ

vector radio

ordenadasenθ

sec

cos

SIGNOS DE LAS R.T. EN LOS CUADRANTES

Cuadrante Raz.

Positivas

Raz. Negativas

IC Todas Ninguna

IIC sen; csc csc;sec;tg;ctg

IIIC tg; ctg sen,cos.sec.csc

IVC cos; sec sen;tg;ctg;csc

ÁNGULOS CUADRANTALES

Son ángulos que están en la posición normal, cuyo lado final

queda en un eje coordenado de valores de estos ángulos son

múltiplos de 90° O π/2 rad.

α = n.90°; n Z ó α = n π/2 rad

0° 90° 180° 270° 360°

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Ctg ND 0 ND 0 DN

Sec 1 ND -1 ND 1

Csc ND 1 ND -1 ND

EJERCICIOS

NIVEL I

01. Afirmar si es (V) o (F):

I. x IIC; entonces: Tgx < 0 ó Senx < 0

II. x IIIC; entonces: Ctgx < 0 ó Secx < 0

III. x IVC; entonces: Cosx < 0 y Senx < 0

A) VFV B) FFV C) FFF

D) VFF E) VVF

02. Siendo P ( 5 ; -2) un punto del lado final del ángulo

en posición normal. Calcular el valor de A = Csc - 5Tg

A) 1/5 B) 1/4 C) 1/3

D) 1/2 E) 1

03. Si el lado final del ángulo en posición normal «α» pasa

por el punto medio del segmento de extremos (5; -7) y

(-3;11), halle: 5 Sen Cos

A) 0 B) 1 C) 2

D) -1 E) -2

04. Si: Sen. Cos < 0, ¿a qué cuadrante pertenece?

A) IC B) IIC C) IIIC

D) IVC E) No se puede afirmar

05. Si: 1

Sen ; ( IIC)4

Calcular: 2

Csc +Cot

A) 4 B) 15 C) 11

D) 19 E) 26

06. Si: 2169-144Sec 0;( IIIC) .

Halle: "Cot -Csc "

A) -3 B) 3 C) -7

D) 5 E) 7

07. Del gráfico, halle: cos-sen 10

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) -2

08. Del gráfico mostrado M(12,5), además MN=NP.

Calcular: "cotcsc"

A) -5

B) -3

C) 0

D) 3

E) 5

09. Halle « tan», si: C(-4;6)

A) -0,2 B) -0,4 C) -0,6

D) -0,8 E) -1,0

10. Del gráfico mostrado, hallar: cossen13

A) -10

B) -2/3

C) -5

D) -3

E) -1/5

11. Calcular el valor de: Cos0Tg20ºTg70º

45º2

CosSen90º

108

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/3

D) 1/9 E) 1/6

12. Calcular:

3

πCos

2

πSen

2

3π2SenTg2π3Cosπ

A) 1 qB) 2 C) -1

D) -2 E) -3

NIVEL II

13. Afirmar si (V) o (F):

I. Sen30°+Sen245°=-Cos180°

II. Sec180°+Tg180°=Ctg45°

III. Cos60° - Cos0=Sen270° - Sec30°

A) VVF B) FFV C) VFF

D) VFV E) FVF

14. Si x (agudo) y Tgx+Ctgx=2, calcular el valor de:

A=Sec4x - Csc2x

A) -1 B) -2 C) 1

D) 2 E) 3

15. Halle Cot a partir de la figura mostrada, si M es punto

medio de AB .

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 1

16. En la figura adjunta AQ , pasa por el origen, Si A(–1, 2),

se le pide, que determine:E = Csc2 – Cot

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

17. En la figura mostrada, las coordenadas del punto A son

(8; –3). Calcule el valor numérico de

F 73sen 6tan

A) – 24 B) – 16 C) – 8

D) 8 E) 16

18. Con los datos de la figura mostrada determine:

Cos Cos 8Cos4

E

Sen Sen 4Sen4

A) – 4 B) – 2 C) – 1

D) – 1/2 E) 1/2

19. En la figura mostrada “ O” es el centro de la

circunferencia y además: OA AB BC , determine:

M cot 10tg

A) -1 B) 0 C) 1

2

D) 2 E) 3

20. Si: ABCD es un cuadrado, del gráfico, calcule:

ctg AD OB

X

Y

A

M

B

x + 2y + 4 = 0

A

Y

X

R

O

P

Q

X

A

Y

X

ABC

x

y

o

CB

A D

xo

y

109

A)2

2 B) 1 C)

1

2

D) 2 1 E) 2 1

NIVEL III

21. En la figura mostrada, C es el centro de la circunferencia

de coordenadas (–1; 3), además P y Q son puntos de

tangencia, calcule. F = tan() – tan()

A) – 15

4 B) –

9

4 C)

9

4

D) 15

4 E)

13

3

22. Se tienen dos ángulos "" y "" coterminales que están en

relación de 2 a 7 sabiendo que la suma se encuentra

entre 3000° y 3500°, luego el valor de:

P=Sen8

θ +

563Cos2α

A) -3 B) -2 C) 2

D) 3 E) 0

23. Siendo "" un ángulo en posición standar del segundo

cuadrante que cumple:

11Tg2)2tgC( θθ

Calcular: P = Csc - Tg . Cos

A) 4 5

5 B)

6 5

5 C)

3

4

D) 2

2 E)

3 2

2

24. Determinar el valor de:

W = 61 {Sen - Cos}

A) 11 B) -11 C) 1

D) -1 E)4

25. En el gráfico mostrado, hallar el valor de:

1tgC3

3tgCE

α

β (ABCD es un cuadrado)

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Es una construcción geométrica que nos permite

representar el valor de las razones o funciones

trigonométricas mediante segmentos de línea recta. El

tamaño y la ubicación nos indicarán el valor y el signo de la

función o razón trigonométrica.

“O” : Centro u origen de coordenadas

R : Radio (R = 1)

A : Origen de arco

M : Extremo de arco

: Medida del arco

Rad : Medida del ángulo MÔA

NOTA:

Los arcos pueden ser positivos, si están generados en el

sentido antihorario y negativos si están generados en el

sentido horario.

SEMANA 05

(3;2)

(3;7)

x

y

Y

X

C

Q

P

60°

B

A

D

C

x

y

A’

B’

B

A O

M

Rad

R=1

X

Y

C.T.

A’

B’

A

B

(+)

(-)

O

C.T.

180

360º

0º

90º

Cos2

2

C.T. Cos4

1 Cos1

Y

X

110

Tanx

: Arco positivo

: Arco negativo

ARCO EN POSICION NORMAL:

Es aquel arco positivo o negativo que se genera a partir del

punto “A” y su extremo final, se encuentra en cualquier

parte de la C.T.

60º IC 90º a ningún cuadrante

150º IIC 225º IIIC -30º IVC

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

Seno: El seno de un arco, es la ordenada del extremo del

arco y se representa mediante una vertical trazado desde el

eje de abscisas hasta el extremo del arco.

Teorema 1.

-1 senx 1

Coseno: El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de

arco y se representa mediante una horizontal trazado desde

el eje de ordenadas hasta el extremo del arco

Teorema 2.

-1 cosx 1

TANGENTE:

Teorema 3.

RESUMEN: (Representaciones de las razones trigonométricas

de un arco en la C.T)

Para esto, consideremos por ejemplo la medida de un ángulo

negativo “ ”perteneciente al segundo cuadrante; entonces

se tienen:

0csc;0sec;0;0;0cos;0 ctgtgsen

EJERCICIOS

NIVEL I

01. Ordenar en forma creciente los siguientes valores:

a = Sen80º; b = Sen130º c = Sen190º

A) abc B) cba C) cab

D) bac E) bca

02. Determinar el intervalo de x, a partir de

2Sen=3x - 5

A) [1; 1/3] B) [1; 5/3] C) [1;7/3]

D) [-1; 7/3] E) [-1; 5/3]

03. Ordenar en forma decreciente los siguientes valores:

a = cos70º ; b = cos100º c = cos195º

A) abc B) cba C) cab

D) bca E) bac

04. Hallar el intervalo de “a” si IIIC

5a 1

4Cos

A)

3

1;

5

1 B)

3

1;

5

1 C)

5

1;

3

1

D)

5

1;

3

1 E)

3

1;

5

1

05. Afirmar si es (V) o (F) :

I. En el III cuadrante el seno crece

II. El máximo valor del coseno es (1)

III. En el II cuadrante el coseno varía de (0) a (-1)

A) FFV B) VFV C) VVF

D) FVV E) FVF

06. Afirmar si es (V) o (F):

I. La tangente en el IIIC es creciente

O

0º

360º

-30º

60º

90º

150º

180º

225º

270º

Sen2 Sen1

Sen3 Sen4

3

2 1

4

360º x 0

90º

180º

270

C.T.

-1 1

seno

0

-1 1

cosen

0

111

II. El coseno en el IIC es creciente

III. El seno en el IVC es creciente

A) VFF B) VFV C) VVF

D) FVF E) FVV

07. Determinar los signos de:

I. Tg3

Sen1Cos2

II. Sen8

Ctg4Sec6

III. Ctg8

Csc3Cos5

A) (+)(-)(+) B) (+)(+)(-) C) (-)(+)(-)

D) (-)(-)(+) E) (+)(-)(-)

08. Si: Cos= Sen 1α , calcular:

A=Cos

CscSen

θ

αα

A) 1 B) 2 C) 2

D) 3/2 E) 5/2

09. Simplificar: A =

Cosx 1 Cosx 3

Senx 1

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) ½

10. A partir de la figura calcular el área de la región

sombreada

A) Sen

B) Cos

C) -Cos

D) -Sen

E) 2Cos

11. Hallar el área de la región sombreada.

A) Senα

B) Cosα

C) Senα+Cosα

D) Senα/2

E) Cosα/2

12. Hallar el área de la región sombreada.

A) (4/3)Senα

B) (3/4)Cosα

C) Senα.Cosα

D) Senα/2

E) Cosα/2

NIVEL II

13. Indicar la variación de:

( 5 1)( 5 1)E Senx Senx

A) 4;1 B)[-1;4] C) 4;1[

D) ]4;1

E)[0;4]

14. Si 30º ;150ºx , halle la variación de: P=2senx +1

A) 2;3 B) 2;3 C) 2;3

D) 1;3 E) 1;3

15. Si < 1 < 2 < 3

2

, determine la verdad (V) ó falsedad

(F) de las siguientes proposiciones:

a. Sen(1) < Sen(2)

b. Cos(1) > Cos(2)

c. Tan(1) < Tan(2)

A) FFF B) FVF C) FVV

D) FFV E) VFV

16. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes

proposiciones:

a. cos(4 rad) < cos(5 rad)

b. sen(1 rad) > sen(4 rad)

c. cos(5 rad) < cos(6 rad)

A) VVV B) VFF C) VFV

D) FVV E) FFF

17. Si cos() 1

[ 1,2

, además; 0; 2 determine el

intervalo de .

A)

2 4

;3 3

B)

2 4

; ]3 3

C)

2 4

[ ;3 3

D) 2 4

[ ; ]3 3

E)

4

[ ; ]3

18. Si 8[ ;7 7

, halle los valores de a para los cuales se

verifica la siguiente igualdad: 2 2a 11 sen ( )

5

.

A) [0; 1] B) 1

;13

C) [0; 2

D) 1

[ ;2]2

E) 1

;12

19. En la figura mostrada se tiene la circunferencia trigonométrica. Determine la medida de para que el

área sombreada sea máxima si ,2

.

Sugerencia : sen2 = 2sencos

X

B

B’

A’

A

Y

112

A) 2

3 B)

3

4 C)

5

6

D) 7

12 E) 11

12

20. En la figura mostrada hallar el área de la región

sombreada (nota: ABP ).

A)

Cos

2(Sen 1)

B)

Cos

3(Sen 1)

C)

2Cos

Sen 1 D)

Sen

2(Cos 1)

E)

Cos

Sen 1

NIVEL III

21. En la circunferencia trigonométrica mostrada, si

mAP , determine el área de la región sombreada.

A) 1

[Cos( ) Cot( )]2

B) 1

[Sen( ) Tan( )]2

C) 1

[Sen( ) Tan( )]2

D) 1

[Tan( ) Sen( )]2

E) 1

[Tan( ) Cot( )]2

22. Si

3

, además

Tan( ) 1

12. Calcule la

medida del ángulo 2.

A)

3 B)

2 C)

3

4

D) 2

3 E)

5

6

23. Siendo la siguiente expresión:

E = x5x2

Un número real calcular el máximo valor de Secx.

A) 1 B) –1 C) 0 D) 2 E) -2

24. Si 0; ¿Qué valores debe tomar de tal manera

que se cumpla la siguiente igualdad. 4Cos2 - Cos2 -

1 = 0

A)

3

5;

3 B)

3

5;

2

3

2;

3

C) 3

5;

3

D)

6

5;

4

3

4;

6

E) 6

5;

4

3

4;

6

25. En la figura mostrada la circunferencia es la

trigonométrica, mAPR . Halle el área de la

región triangular APQ.

A) – Senθ

2(1- Cosθ) B)

-Cosθ

2(1- Senθ)

C) Senθ Cosθ

2(1- Cosθ) D)

Senθ Cosθ

2(1+ Cosθ)

E) Senθ Cosθ

3(1- Cosθ)

IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA

Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene

expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor

admisible de la variable.

Ejemplos

Ident. Algebraica :(a+b)²=a²+2ab+b²

Ident. Trigonométrica : Sen²+Cos²=1

…Cumple para todo .

SEMANA 0

Y

X

B

P

A

x2 + y2 =

1

y

B

A A’

P

B’

x

y

x 0

Q

A

P

R

113

Ecuación Trigonométrica: Sen+Cos=1

Para: = 90º Cumple

Para: = 30º No cumple

1. IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Las identidades trigonométricas fundamentales sirven

de base para la demostración de otras identidades más

complejas.

Se clasifican:

Pitagóricas

Por cociente

Recíprocas

1.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS

I. Sen² + Cos² = 1

II. 1 + Tan² = Sec²

III. 1 + Cot² = Csc²

1.2 IDENTIDADES POR COCIENTE

I. Tan =

Sen

Cos

II. Cot =

Cos

Sen

1.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS

I. Sen . Csc = 1

II. Cos . Sec = 1

III. Tan . Cot = 1

Observaciones:

Sabiendo que: Sen² + Cos² = 1

Despejando: Sen² = 1 – Cos²

Sen² = (1 + Cos) (1-Cos)

Así mismo: Cos² = 1 - Sen²

Cos² = (1 + Sen) (1-Sen)

2. IDENTIDADES AUXILIARES

- Tgx + Ctgx = Secx . Cscx

- Sec2x + Csc2x = Sec2x . Csc2x

- Secx + Tgx =a

- Secx - Tgx =1/a

- Cscx + Ctgx =b

- Cscx - Ctgx =1/b

- Sen4 + Cos4x = 1 - 2Sen2x . Cos2x

- Sen6x + Cos6x = 1 - 3Sen2x . Cos2x

- Sec4x + Tg4x = 1 + 2Sec2x . Tg2x

- Sec6x - Tg6x = 1 + 3Sec2x . Tg2x

- Csc4x + Ctg4x = 1 + 2Csc2x . Ctg2x

- Csc6x - Ctg6x = 1 + 3Csc2x . Ctg2x

- (1 + Senx + Cosx)2 = 2(1 + Senx)(1 + Cosx)

- Senoverso: Versx = 1 - Cosx

- Converso: Covx = 1 - Senx

- Exsecante: Exsecx = Secx – 1

EJERCICIOS

NIVEL I

01. Simplificar : A =

2Ctg x

+ 11+ Cscx

A) Senx B) Cosx C) Tgx

D) Cscx E) Secx

02. Hallar K si la igualdad :

Cosx Senx 1 1+ = -

2Secx Cscx K Tg x

A) Csc2x B) Sec2x C) Sen2x

D) Cos2x E) Ctg2x

03. Calcular el valor de A si la igualdad :

Secx - Cosx A= Tg x

Cscx - Senx, es una identidad

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 e) 5

04. Simplificar : A = Cosx 1

+1+ Senx Ctgx

A) Senx B) Cosx C) Secx

D) Cscx E) Tgx

05. Simplificar :

A=1+Sen2x(1+Cos2x+Cos4x)+Cos6x

A) Senx B) 2 C) 1/2

D) 3/2 E) 2Cosx

06. Elininar “” de:

Tan = m Sec = n

A) 1 + m2 = n2 B) 1 - m2 = n2 C) m2 = n2

D) m2 = n2 +1 E) m2 + n2 = 0

07. Reducir:

A=Secx Cscx+(Secx+Tgx)-1 - Ctgx

A) Cscx B) Secx C) Ctgx

D) Tgx E) Cosx

08. Reducir : A=(Cscx+ Ctgx)-1 + Senx

Versx

A) 2Senx B) 2Cscx C) 2Tgx

D) 2Ctgx E) 2Secx

09. Si la igualdad es una identidad, calcular : M+N

Cscx - Ctgx Cscx + Ctgx+

Cscx + Ctgx Cscx - Ctgx= M + 4CtgNx

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

10. Simplificar :

A=CtgxCosx - Cscx (1 - 2Sen2x)

A) Senx B) Sen2x C) Cosx

D) Cos2x E) Sen3x

11. Si : Cscx + Ctgx = 2, calcular :

A=Tgx + Ctgx

114

A) 7/12 B) 11/12 C) 25/12

D) 7/3 E) 11/3

12. Hallar A en la siguiente identidad

1- Senx A=

1+ Senx Cscx + 1

A) Senx B) Cosx C) Tgx

D) Ctgx E) Secx

NIVEL II

13. Eliminar “” de:

Sec + Cosec = m ........( I )

Tan + Cot = n ………...( II )

A) m2 = n2 + 2n B) n2 = m2 + 2m

C) mn = 1 D) m2 = n2 + 2

E) n2 = m2 + 2

14. Si : Senx + Cosx = 2 (x esta en IC), calcular :

A = Tg2nx + Ctg2nx (n es un entero)

A) 1 B) 2 C) 2n

D) 22n E) 4

15. Si x

3

,2

, reducir

2

M = Senx + Cosx + 1+Tgx + Ctgx

A) 2senx B) 2cosx C) senx

D) –2senx E) 0

16. Si Cosnx =nCosx; halle:

2 4 2

2 2 2

Sen x 1+ Cos nx - 2Cos nxE =1- +

n Cos x Cos nx

A) – n2 B) 2

1

n C) n2

D) 2n2 E) 1

17. Si Tg2x + Ctg2x = 3, halle Tg5x + Ctg5x + Tg7x + Ctg7x.

A) 17

5

B) 18

5

C) 19

5

D) 20 5 E) 21 5

18. Si Sec(x) – Tan(x) = 3, entonces el valor de V = 9[Sec4(x) –

Tan4(x)] es:

A) 1 B) 21 C) 31

D) 41 E) 51

19. Si Ctg = 1 + Cos y 0, /2, determine: E = Sen –

Cos + Sec Csc

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 1

20. Si Secx – Tgx = a, calcule

M = Cscx + Ctgx

A) 1 a

1 a

B)

1

1 a C)

1 a

1 a

D) a

1 2 E)

1 2a

1 a

NIVEL III

21. Elimine x del sistema dado

sec(x) + tan(x) = m

csc(x) – cot(x) = n

A) (m2 + 1) (1 + n2) = 4mm

B) (m2 – 1)(1 – n2) = 4mn

C) m2 + 1 = 2mn

D) (m2 + 1) (1 + n2) = 2mm

E) 1 – n2 = 4mn

22. Elimine de:

a = tan() + cot()

b = sec() + csc()

A) a2 + 2a = b B) a2 + 2a = b2

C) a2 + a = b D) a2 – a = b

E) a2 – 2a = b2

23. Se sabe que 0 < x <

2

; 0 < y <

2

, además

tgx tgy 2

; 0

Calcule x + y

A) 0; ] B) 0; C) 0;

2

D)

;2 2

E)

0;2

24. Si k = Tan() + Cot(),

calcule Sec6() + Csc6()

A) k6 – 2k4 B) 2k4 – k6

C) 3k4 – k6 D) k6 – 3k4 E) k6

25. Dadas las condiciones:

senx + tgx + secx = 3 1 …… (1)

cosx + ctgx + cscx = 6 1 ….. (2)

calcule ctgx.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 5