trigonometria

TRIGONOMETRÍA

(Parte I)

Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo

2

INTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer

cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible

medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el

teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún

ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la

altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia

sombra medía tanto como su estatura

NOCIONES PREVIAS

SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO

AGUDO.

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

3

NOCIONES PREVIAS

1. a. Proporcionalidad de segmentos y

semejanza

b.TEOREMA DE TALES

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

1.a. Proporcionalidad de

segmentos y semejanza

5

Sombra del árbol grande (S)

S. árbol

pequeño (s)

H

h

Las sombras de los dos árboles son proporcionales a

las respectivas alturas

H

h

S

sOA’

A

B’

B

)alidadproporcionderazón(k'AA

'BB

'OA

'OB

H

h

S

s

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)

en uno de sus viajes a Egipto

midió la altura de una pirámide

aprovechando el momento en

que su propia sombra medía

tanto como su estatura

1.b. TEOREMA DE TALES

6

Si varias paralelas determinan

segmentos iguales sobre una

recta r, determinan también

segmentos iguales sobre

cualquier otra recta r’ a la que

corten

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por

rectas paralelas en dos rectas

concurrentes son proporcionales.

O

A’A

B’

B

'OB

'B'A

OB

ABtambieno

'OB

'OA

OB

OA

O

A’

A

B’

B

C’

D’

E’

EDC

B’’

C’’

D’’

E’’

r

r’

Medida de ángulos

7

Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:

Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)

Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)

Radianes (En la calculadora MODE RAD)

Ángulo

completo

Ángulo

llano

Ángulo

recto

Un

grado

Un

minuto

SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”

CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s

RADIANES 2 /2

Expresa los siguientes ángulos en los tres

sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 210º

S. centesimal 50g 60g 100g

Radianes 2π/3 5π/6

S.sexagesimal 140º 240º

S. centesimal 350g 90g 25g

Radianes 7π/8 3

8

Ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º

S. centesimal66g 66m

66s 50g 133g 33m

33s 60g 233g 33m

33s 100g 166g 66m

66s

Radianes

S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’171º

53’14”

S. centesimal155g

55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m

66s 25g 190g 98m

59s

Radianes 3

9

3 4 10

3

6

7

23

26

5

8

718

14

4

7

20

9

3

4

8

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

(R.T.)

CsenC"B

"B"A

C'B

'B'A

BC

AB

Cgcot"B"A

C"A

'B'A

C'A

AB

AC

Ceccos"B"A

C"B

'B'A

C'B

AB

BC

CsecC"A

C"B

C'A

C'B

AC

BC

10

CcosC"B

C"A

C'B

C'A

BC

AC

CtgC"A

"B"A

C'A

'B'A

AC

AB

Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son

CA”

B”

A

B

A`

B` semejantes

porque tienen los ángulos iguales.

En consecuencia los lados son proporcionales :

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)

DE UN ÁNGULO AGUDO

a

c

hipotenusa

opuestocatetoCsen

a

b

hipotenusa

adyacentecatetoCcos

c

a

opuestocateto

hipotenusaCeccos

b

a

adyacentecateto

hipotenusaCsec

11

b

c

adyacentecateto

opuestocatetoCtg

c

b

opuestocateto

adyacentecatetoCgcot

Ccos

1Csec

Csen

1Ceccos

Ctg

1Cgcot

Sea ABC un triángulo rectángulo en A.

Se definen seis razones trigonométricas

CA

B

a

b

c

Cateto adyacente o contiguo a C

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

12

a

cCsen

a

bCcos

Csen

1

a

ca

a

c

aCeccos

Ccos

1

a

ba

a

b

aCsec

Ccos

Csen

a

ba

c

b

cCtg

Csen

Ccos

a

ca

b

c

bCgcot

Sea ABC un triángulo rectángulo en A.

CA

B

a

b

c

Cateto adyacente o contiguo a C

Ccos

1Csec

Csen

1Ceccos

Ctg

1Cgcot

Ccos

CsenCtg

Csen

CcosCgcot

13

VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES

TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO

B

CA

a

b

C

1a

cCsen0

1a

bCcos0 1

c

aCeccos

1b

aCsec

b

cCtg0

c

bCgcot0

En todo triángulo rectángulo los catetos son

menores que la hipotenusa.

Es decir: 0 < c < a 0 < b < a

En consecuencia:

RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,

45º y 60º

1. R.T. DE 30º y 60º

2. R.T. DE 45º

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)

15

A B

C

Sea ABC un triángulo equilátero

H

ll

l

l/2

x

B

C

H

l

60º

30º

Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide

En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide

Trazamos una altura CH

60º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

2

2

2 l2

lx

Tª de Pitágoras

4

llx

222

4

ll4x

222

4

l3x

22

4

l3x

2

2

3lx

60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)

16

B

C

H

l

l/2

2

3l

60º

30º

2

3

l2

3l

l2

3l

º60sen

2º60cos

1º60sec

3

2

º60sen

1º60eccos

3

3

3

1

º60tg

1º60gcot

2

1

l2

l

l2

l

º60cos

32

32

2

12

3

º60cos

º60senº60tg

2

1

l2

l

l2

l

º30sen

2

3

l2

3l

l2

3l

º30cos

3

3

3

1

32

2

2

3

2

1

º30tg

2º30sen

1º30eccos

3

2

º30cos

1º30sec

33

33

3

3

º30tg

1º30gcot

Observa que:

sen 60º = cos 30º

cos 60º = sen 30º

tg 60º = cotg 30º

cotg60º = tg 30º

sec 60º =cosec30º

Cosec 60º =sec30º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)

17

Sea ABCD un cuadrado

l

l

x45º

Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide

En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide

Trazamos la diagonal AC

90º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

222 llx

Tª de Pitágoras

22 l2x

2l2x

2lx

45º y el ángulo C mide 45º

A B

CD

lA B

C

l

45º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)

18

2

2

2

1

2l

lº45sen

22

22

2

2

º45cos

1º45sec

11

1

º45tg

1º45gcot

1l

lº45tg

45º

lA B

C

l

45º

2l2

2

2

1

2l

lº45cos

22

2

º45sen

1º45eccos

Observa que:

sen 45º = cos 45º

tg 45º = cotg 45º

sec 45º =cosec45º

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

19

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

α

Si el ángulo B mide α grados,

el ángulo C mide º90

º90y

º90

AB

C

ba

c

cosa

c)º90(sen

sena

bº90cos

gcotb

cº90tg

eccossen

1

º90cos

1º90sec

seccos

1

º90sen

1º90eccos

tggcot

1

º90tg

1º90gcot

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

20

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

Si el ángulo B mide α radianes,

el ángulo C mide

2y

2α

AB

C

ba

c

2

cosa

c)

2(sen

sena

b

2cos

gcotb

c

2tg

eccossen

1

2cos

1

2sec

seccos

1

2sen

1

2eccos

tggcot

1

2tg

1

2gcot

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE

TRIGONOMETRÍA

21

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de

Pitágoras, tenemos:

Si dividimos la expresión anterior por a2

2

2

2

2

2

2

a

a

a

c

a

b

Expresándolo de otra forma:

1a

c

a

b22

1cossen22O lo que es lo mismo:

1cossen 22

1cossen 22

Que normalmente expresaremos

de la forma:

22

Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2

2

2

2

2

2

2

b

a

b

c

b

b

Expresándolo de otra forma:

22eccosgcot1

22 sectg1

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de

Pitágoras, tenemos:

2

2

2

2

2

2

c

a

c

c

c

b

22sectg1

22 eccosgcot1

OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

23

se

n

cos

se

n

se

n

se

n

se

n

Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno

va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto

sen 90º = 1

A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0

cos 90º = 0

Observa que al ir disminuyendo el

ángulo hasta 0º el seno va

disminuyendo, hasta llegar a ser 0,

mientras que el coseno va

aumentando hasta valer 1. Es decir,

sen 0º = 0

cos 0º = 1radio=1

P(x,y)

O X

Y

Circunferencia goniométrica1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA

2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN

ÁNGULO

3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA

COTANGENTE

4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS

CIRCUNFERENCIA

GONIOMÉTRICA

25

Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un

sistema de coordenadas

X

Y

O

a

Uno de los lados del ángulo

deberá coincidir con el

semieje positivo de las x, el

vértice en el origen de

coordenadas y el otro lado

donde corresponda

A esta circunferencia donde

situaremos los ángulos la

llamaremos circunferencia

goniométrica.

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

UN ÁNGULO CUALQUIERA

y1

y

r

'y

radio

ordenadasen

x1

x

r

'x

radio

abscisacos

26

x

y

'x

'y

abscisa

ordenadatg

X

Y

O

a1

P(x,y)Q(x’,y’)

r

A partir de ahora trabajaremos

con la circunferencia de radio 1

(Circunferencia goniométrica)

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO

CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

27

X

Y

O 1

a

A

se

n

cos

se

n

cos

se

n

cos

se

n

cos

b

B

g

C

d

D

-1 0 1

El seno y el coseno de cualquier

ángulo toma valores mayores o

iguales a –1 y menores o iguales a 1

1sen1

1cos1-1

-1

1

++_ _

SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO

__ +

+

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO

CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

28

X

Y

O 1

A

a tg

cotg

tg

cotg

tg

cotg

tg

cotg

g

C

d

D

B

b

La tangente y la

cotangente de un

ángulo puede tomar

cualquier valor .

tg

gcot

+_

+_

TANGENTE Y

COTANGENTE

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º

29

A

60º

120º

-1

-1

1

X

Y

O 1

En la circunferencia goniométrica dibujamos

120º (quitamos 60º a 180º)A’

60º

x

y

-x

yyº120sen º60sen

xº120cos º60cos

x

yº120tg

x

yº60tg

2

3

2

1

3

2º120sec3

32º120eccos

3

3º120gcot

Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.


30

A

45º

135º

-1

-1

1

X

Y

O 1


135º (quitamos 45º a 180º)

A’

45º

x

y

-x

y yº135sen º45sen

xº135cos º45cos

x

yº135tg

x

yº45tg

2

2

2

2

1

2º135sec 2º135eccos 1º135gcot

Dibujamos el ángulo de 45º y las

líneas que representan sus razones trigonométricas.


31

150º

-1

-1

1

X

Y

O 1


150º (quitamos 30º a 180º)

A

30º

x

y

A’

30º-x

y yº150sen º30sen

xº150cos º30cos

x

yº150tg

x

yº30tg

2

1

2

3

3

3

3


Dibujamos el ángulo de 30º y las

líneas que representan sus razones trigonométricas.


TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

SUPLEMENTARIOS

32

a

A

180º-a

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y 180º- a

a y p-a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a

A’

ax

y

-x

y

yº180sen sen

xº180cos cos

x

yº180tg

x

ytg

sensen coscos tgº180tg


33

-1

-1

1

X

Y

O 1

210º

30º

A

x

y

A’

30º-x

-y

yº210sen º30sen

xº210cos º30cos

x

yº210tg

x

yº30tg


210º (añadimos 30º a 180º).

Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que

representan sus razones trigonométricas.

2

1

2

3

3

3

3



34

-1

-1

1

X

Y

O 1

225º

45º

45º-x

-y





yº225sen º45sen

xº225cos º45cos

x

yº225tg

x

yº45tg

2

2

2

2

1



35

-1

-1

1

X

Y

O 1

240º





º240sen º60sen

º240cos º60cos

º240tg º60tg

2

3

2

1

3

2º240sec3

32º240eccos

3

3º240gcot



QUE DIFIEREN EN 180º

36

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y 180º+ a

a y p+a

En la circunferencia goniométrica

dibujamos a y 180º+a

A’

180º+a

a x

y

-x

-y

yº180sen sen

xº180cos cos

x

yº180tg

x

ytg

sensen coscos tgtg


37

-1

-1

1

X

Y

O 1

300º


dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).

º300sen º60sen2

3

º300cos º60cos2

1

º300tg º60tg 3

2º300sec3

32º300eccos

3

3º300gcot


38

-1

-1

1

X

Y

O 1

315º


dibujamos 315º (quitamos 45º a

360º).

º315tg 1º45tg

º315sen º45sen2

2

º315cos º45cos2

2



(las mismas que las de –30º)

39

-1

-1

1

X

Y

O 1


dibujamos 330º (quitamos 30º a

360º).

º330cos º30cos

º330sen º30sen2

1

2

3

º330tg º30tg3

3

3




QUE SUMAN 360º

40

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y 360º-a

a y 2 p-a

En la circunferencia goniométricadibujamos a y 360º- a

A’

360º-a

a x

y

-y

yº360sen sen

xº360cos cos

x

yº360tg

x

ytg

sen2sen cos2cos tg2tg


TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS

41

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y - a

En la circunferencia

goniométrica dibujamos a y - a

A’

-a x

y

-y

ysen sen

xcos cos

x

ytg

x

ytg

sensen coscos tgtg

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA

CIRCUNFERENCIA

42

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

Las razones trigonométricas de un

ángulo mayor que una circunferencia

( a+360ºk, donde k es un número

entero) son las mismas que las del ángulo a

x

y

2sen sen

2cos cos

2tg tg

senº360sen cosº360cos tgº360tg

k,k2

k,kº360

2p+



QUE DIFIEREN EN 270º

43

-1

-1

1

X

Y

O 1

a

A

a y 270º+a


dibujamos a y 270º+ a

A’

270º+a

x

y

xº270sen cos

yº270cos sen

y

xº270tg

y

xgcot

2

3y

y

-x

cos2

3sen sen

2

3cos gcot

2

3tg



COMPLEMENTARIOS

44

-1

-1

1

X

Y

O 1

a

A

a y 90º - a


dibujamos a y 90º- a

A’

90º-a

x

y

xº90sen cos

yº90cos sen

y

xº90tg gcot

2y

y

x

cos2

sen sen2

cos gcot2

tg

SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

45

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno

va creciendo, de 0 a 1.

sen 0º = 0 sen 90º = 1

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno

va decreciendo, de 1 a 0.

sen 180º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno

va decreciendo, de 0 a -1.

sen 270º = -1

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.

sen 360º = 0

COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

46

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º

el coseno va decreciendo, de 1 a 0.

cosen 0º = 1 cosen 90º = 0

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el

coseno va decreciendo, de 0 a -1.

cosen 180º = -1


coseno va creciendo, de -1 a 0.

cosen 270º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.

cosen 360º = 1

TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y

360º

47

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º

a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.

tg 0º = 0 tg 90º + ∞.

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la

tangente va creciendo, de - ∞. a 0.

tg 90º - ∞ tg 180º = 0


tangente va creciendo, de 0 a +∞. .

tg 270º + ∞.


coseno va creciendo, de - ∞ a 0.

tg 270º - ∞ tg 360º = 0

COTANGENTE DE 0º , 90º,180º,

270º y 360º

48

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º

la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0

cotg 0º + ∞ cotg 90º =0

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la

cotangente va creciendo, de 0 a - ∞

cotg 180º - ∞

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º

la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0

cotg 180º + ∞ cotg 270º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de

0 a - ∞ cotg 360º - ∞

49

VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES

TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO

1sen1

1cos11sec

tg gcot

1sec

1eccos1eccos

++_ _

SIGNO DEL SENO Y

DE LA COSECANTE

SIGNO DEL COSENO

Y DE LA SECANTE

__ +

++

_

+_

SIGNO DE LA

TANGENTE Y

COTANGENTE

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

1. FUNCIÓN SENO

2. FUNCIÓN COSENO

3. FUNCIÓN TANGENTE

4. FUNCIÓN COTANGENTE

5. FUNCIÓN SECANTE

6. FUNCIÓN COSECANTE

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO

f(x)=sen x

51

6 3 2 3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

3

11 24 4

3

4

5

4

7

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

0

a

sen a2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

3

2

30 1 0 01

6 4 3 2 3

2

6

5

6

7

3

4

2

33

5

3

112

4

3

4

5

4

70

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO

f(x)=sen x

52

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO

f(x)=cos x

53

23462

3

11

4

7

3

5

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

02

3

a

COS a2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

3

2

301 0 11

6 4 3 2 3

2

6

5

6

7

3

4

2

33

5

3

112

4

3

4

5

4

70

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO

f(x)=cos x

54

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE

f(x)=tg x

55

3

3

1

1

6 3 2 3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

3

11 24 4

3

4

5

4

70

3

3

3

3

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE

f(x)=tg x

56

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

f(x)=cotg x

57

3

3

1

1

6 3 2 3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

3

11 24 4

3

4

5

4

70

3

3

3

3

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

f(x)=cotg x

58

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE

f(x)=sec x

59

1

1

6 3 2 3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

3

11 24 4

3

4

5

4

70

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE

f(x)=sec x

60

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE

f(x)=cosec x

61

1

1

6 3 2 3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

3

11 24 4

3

4

5

4

70

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE

f(x)=cosec x

62

TRIGONOMETRÍA

(Parte II)

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

64

INTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer

cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible

medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el

teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún

ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la

altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia

sombra medía tanto como su estatura

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA

Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.

3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD

4. TEOREMA DEL SENO

5. TEOREMA DEL COSENO

6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE

HERON

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

66

A

O X

Y

N

M

P

BDibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.

Trazamos MN y BM.

OB

BPsen

OB

sencosOBcossenOB

OB

senOAcosAB

sencoscossensen

Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el

triángulo rectángulo OAB.

OB

ANAM

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

67

A

O X

Y

N

M

P

B Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.

Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el

triángulo rectángulo OAB.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.

Trazamos MN y BM.

OB

BMON

OB

NPON

OB

OPcos

OB

sensenOBcoscosOB

OB

senABcosOA

sensencoscoscos

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

(otra forma de deducir la fórmula)

68

cos

sensencoscos

2sen

2sen

2sen

sen2

coscos2

sen

sensencoscos

sensencoscoscos

TANGENTE DE LA SUMA DE DOS

ÁNGULOS

69

tgsensencoscos

sencoscossen

coscos

sensen

coscos

coscos

coscos

sencos

coscos

cossen

tgtg1

tgtg

sencoscossensen

sensencoscoscos

tgtg1

tgtgtg

Si dividimos numerador

y denominador por

cosa.cosb

Simplifi-

cando

cos

sen

70

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sensen sencoscossen

1

sencoscossen

sencoscossen

coscos sensencoscos

sensencoscos

sensencoscos

tgtgtg1

tgtg

tgtg1

tgtgtg

tgtg1

tgtg

71

R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS

ÁNGULOS

sen

cos

tg

sen sencoscossen

cos sensencoscos

tgtgtg1

tgtg

sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

72

R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen

cos

tg

2sen sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

cossen2

2cos 22 sencos

2tg2tg1

tg2

2sen cossen2

2cos22 sencos

2tg2tg1

tg2

73

R.T. DEL ÁNGULO MITAD

(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)

2cos22 sencos

tg

22 sensen1 2sen21

2sen2 2cos1

2sen2

2cos12

2cos1sen

2cos22 sencos 22 cos1cos 1cos2 2

2cos2 2cos1

2cos2

2cos12

2cos1cos

2cos1

2cos12

cos1

2sen

2

cos1

2cos

cos1

cos1

2tg

1. Teorema del seno

2. Teorema del coseno

TEOREMA

DEL SENO

75

Los lados de un triángulo son proporcionales a

los senos de los

ángulos opuestos. Csen

c

Bsen

b

Asen

a

El Teorema del seno sirve para relacionar los

lados de un triángulo con los ángulos opuestos.

Consideremos un triángulo ABC.

Bsenah

Asenbh

C

C BsenaAsenb

Bsen

b

Asen

a

Del mismo modo, si trazamos la altura

correspondiente al vértice A:

Bsench

Csenbh

A

A BsencCsenbCsen

c

Bsen

b

hC

hA

C

BA

ab

c H

Trazamos la altura correspondiente al vértice C.

Los triángulos AHC y BHC son rectángulos.

Entonces:

76

Medida de los ángulos en una

circunferencia

Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente

A

B

C

180º- 180º-

360º-(180º- 180º-

360º - 360º +

77

Medida de los ángulos en una

circunferencia

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,

son iguales

180º

90º

Todos los ángulos

inscritos que abarcan

un diámetro, son

rectos.

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO

78

La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo

y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la

circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

R2Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la

circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Asen

a

Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan

el mismo arco son iguales). Luego:

A

a

C

B

A’

R21

R2

º90sen

R2

'Asen

a

Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con

B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo

ángulo que abarca un diámetro es recto).

R2'Asen

a


Área de un triángulo

79

hC

C

BA

ab

c H

La superficie del triángulo ABC es:chc

2

1S

En el triángulo AHC :

b

hAsen C AsenbhC

Sustituyendo en la primera expresión:

Asenbc2

1S


Área de un triángulo

80

Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.

La superficie del triángulo ABC es:

Por el Teorema del seno :

Sustituyendo en la primera expresión:

Asenbc2

1S

C

BA

ab

c

R

R2Asen

a

R2

aAsen

R2

abc

2

1S

R4

cbaS

TEOREMA DEL

COSENO

81

h

C

BA

ab

c H

m c-m

222 mcha

Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:

222 mcm2ch

2222 mcm2cmb

(en AHC)

2222 mcm2cmb

cm2cb 22

(Como en AHC m = b . cos A) Acoscb2cba 222

Bcosca2cab 222

Ccosba2bac 222

Análogamente (trazando las

otras alturas) obtendríamos:

El cuadrado de un lado es igual a la suma

de los cuadrados de los otros dos lados

menos el doble producto de estos lados por

el coseno del ángulo correspondiente

82

A

C

cB

ba

C

B A

ba

c

222 cba

222 cba

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO

Clasificación de triángulos

En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Acoscb2cba 222

Si A < 90º cos A >0

222 cbaSi A = 90º cos A = 0

Si A > 90º cos A < 0

ab

c BA

C

( Teorema de Pitágoras )


Área de un triángulo. Fórmula de Herón

83

Por el Tª del coseno

La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2

1S

AsenbcS2

AsenbcS4 2222 Acos1bc 222

Acosbcbc 22222

cb2

acbAcos

222

22

22222222

cb4

acbbcbc

4

acbbc4222222

4

acbbc2acbbc2 222222

4

cbaacb2222

hC

C

BA

ab

c H


Área de un triángulo. Fórmula de Herón

84

Si a+b+c=2p

La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2

1S

AsenbcS2

AsenbcS4 2222

4

cbacbaacbacb

...

b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....

4

bp2cp2ap2p2

bpcpapp4

2S bpcpapp cpbpappS

(p será el semiperímetro)

FÓRMULA

DE HERÓN

hC

C

BA

ab

c H

4

cbaacb2222

85

Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones

entre los lados y los ángulos de un triángulo.

La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se

puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene

aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el

estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el

flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y

se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir

del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los

conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en

Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el

escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac

Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

trigonometria

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