trigonometría
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Resumen teórico de fórmulas del curso de TrigonometríaTRANSCRIPT
TRIGONOMETRÍA
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR I. SISTEMA SEXAGESIMAL
( ° ) : Grado sexagesimales ( ‘ ) : Minuto sexagesimales ( ‘’ ) : Segundo sexagesimales
1° = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 360°
1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° =3600’’
II. SISTEMA CENTESIMAL
( g ) : Grado centesimales ( m ) : Minuto centesimales ( s ) : Segundo centesimales
1� = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 400�
1g = 100m 1m = 100s 1g =10 000s
III. SISTEMA RADIAL
( rad ) : Radián
1 ��� = �∡ � ��� ! �∡ 1 ������ = 2#���
CONVERSIÓN DE SISTEMAS I Para convertir medidas angulares de un sistema a otro se multiplica por los siguientes factores de conversión.
9° 180° 200g 27’ 81’’ 27’ 162’
10g #��� #��� 20
m 250° 5000
s 5
m
CONVERSIÓN DE SISTEMAS II Sea ∡AOB, un ángulo cualquiera S = # de grados sexagesimales de la C = # de grados centesimales de la R = # de radianes de la
Se cumple: NOTACIONES IMPORTANTES Para un ángulo cualquiera se cumple:
# de grados sexagesimales = S
# de minutos sexagesimales = 60S # de segundos sexagesimales = 3600S
# de grados centesimales = C
# de minutos centesimales = 100C # de segundos centesimales = 10000C
LONGITUD DE ARCO L: Longitud del arco AB R: Longitud del radio
θ: # de radianes de la �∡$%& LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A: Área del sector circular AOB R: Longitud del radio
θ: # de radianes de la �∡$%&
B
O S° = Cg = R rad
A
1 rad
r
r r o
'( = 2#) R LC O
' = * ∙ )θ rad
R
R L o
B
A
o θ rad
R
B
A
o
R
$ = ) 2 ∙ *
,180 = .200 = )#
,9 = .10 ,180 = )#
.200 = )#
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OTRAS FORMULAS ÁREA DEL CÍRCULO (AC) ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT) A: Área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor h = R - r
ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA *0: Ángulo barrido por la rueda 12: Espacio recorrido R : Longitud del radio de la rueda NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA (#4) APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS
I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO
II. DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE
III. DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA
,�56 = .����7 %8��9�7:;87��5�9� =
�<
.796 = .����7 $�=�<�5��:;87��5�9� =
><
?�@6 = .����7 %8��9�7.����7 $�=�<�5�� =
�>
.�@6 = .����7 $�=�<�5��.����7 %8��9�7 =
>�
,�<6 = :;87��5�9�.����7 $�=�<�5�� =
<>
.9<6 = :;87��5�9�.����7 %8��9�7 =
<�
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
$ = ' 2* $ = ' ∙ )2
$ = A� + >C2 ∙ ℎ
h
o
h
a
R-r
r
R-r
r
b
$( = # ∙ ) R
O
*0 = 12)
R
R R
R R
Eje
#E = 1(2#) #E = *02#
r R
*F = *G R r
Eje
< = � + >
r R
Correa
1F = 1G
6 + H = 90°
< > J�; >L
1F = 1G
a
b c
α
β
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS: CO- RAZONES ,�56 = .79A90 M 6C � .79H
.796 � ,�5A90 M 6C � ,�5H
?�@6 � .�@A90 M 6C � .�@H
.�@6 � ?�@A90 M 6C � ?�@H
,�<6 � .9<A90 M 6C � .9<H
.9<6 � ,�<A90 M 6C � ,�<H
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
,�56 · .9<6 � 1
,�56 �
.9<6 �
.796 · ,�<6 � 1
.796 �
,�<6 �
?�@6 · .�@6 � 1
?�@6 �
.�@6 �
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
R.T. 30° 60° 45° 37° 53°
Sen 1
2
√3
2
√2
2
3
5
4
5
Cos √3
2
1
2
√2
2
4
5
3
5
Tag √3
3 √3 1
3
4
4
3
Ctg √3 √3
3 1
4
3
3
4
Sec 2√3
3 2 √2
5
4
5
3
Csc 2 2√3
3 √2
5
3
5
4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
I. DATOS : HIPOTENUSA Y θθθθ
6 B H � 90°
H
θ
H Cosθ θ
H
COMPLEMENTARIAS:
.79H
,�5H
.�@H
?�@H
.9<H
,�<H
RECÍPROCAS
1
.9<6
1
,�56
1
,�<6
1
.796
1
.�@6
1
?�@6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
16° 74°
7
25
24
25
24
25
7
25
7
24
24
7
24
7
7
24
25
24
25
7
25
7
25
24
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
II. DATOS : CATETO OPUESTO
III. DATOS : CATETO ADYACENTE
ÁNGULOS VERTICALES
ÁNGULO DEÁNGULO DE
ÁNGULOS HORIZONTALES ROSA NAÚTICA RUMBO
N55°E : Del Norte 55° al EsteS20°O : Del Sur 20° al Oeste
H Senθ
a
θ
a θ
20°
S20°O
N
55°
S
O
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CATETO OPUESTO Y θθθθ
ADYACENTE Y θθθθ
ÁNGULOS VERTICALES
DE ELEVACIÓN DE DEPRESIÓN
ÁNGULOS HORIZONTALES
N55°E : Del Norte 55° al Este S20°O : Del Sur 20° al Oeste
a Cscθ θ
a a Cscθ
a θ
a Tagθ a Secθ
N55°E
E
1
4�
45°
4� 11°15Q
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
RSTU � %���5���)��;7 V�<�7� =
WX
YZ[U = $>9<;9�)��;7 V�<�7� =
\�
]^_U = %���5���$>9<;9� =
=\
Y`_U = $>9<;9�)��;7 V�<�7� =
\=
RSaU = )��;7 V�<�7�$>9<;9� =
�\
Y[aU = )��;7 V�<�7�%���5��� =
�=
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES
R.T. 0°
0 rad
90°
π/2 rad 180°
Π rad 270°
3π/2 rad
Sen O 1 O −1
Cos 1 O −1 O
Tag O N O N
Ctg N O N O
Sec 1 N −1 N
Csc N 1 N −1
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES
QUE 360°
• PRIMERA FORMA:
• SEGUNDA FORMA: II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES
QUE 360°
Si: 6 > 360° → 6 = 3605 + H III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
NEGATIVOS ,�5A−6C = −,�56 .79A−6C = .796 ?�@A−6C = −?�@6 .�@A−6C = −.�@6 ,�<A−6C = ,�<6 .9<A−6C = −.9<6
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES RECÍPROCAS ,�56 ∙ .9<6 = 1 .796 ∙ ,�<6 = 1 ?�@6 ∙ .�@6 = 1
IDENTIDADES POR COCIENTE
?�@6 = ,�56.796
.�@6 = .796,�56
IDENTIDADES PITAGÓRICAS ,�5 6 + .79 6 = 1 ,�< 6 = 1 + ?�@ 6 .9< 6 = 1 + .�@ 6
Signo ± depende de la R.T. original
Signo ± depende de la R.T. original
� = c\ + =
− +
r
y A\; =C
x
+ − A\; =C − − A\; =C
+ + A\; =C
r r
r
) d180° ± 6360° − 6f = ± ). ?A6C
). ?A6C = ). ?A360° ∙ 5 + HC = ). ?AHC
). ? d 90° + 6270° ± 6f = ± .% − ). ?A6C
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IDENTIDADES AUXILIARES
,�5�6 B .79�6 � 1 − 2,�5 6 ∙ .79 6
,�5�6 + .79�6 = 1 − 3,�5 6 ∙ .79 6
A,�56 + .796 + 1CA,�56 + .796 + 1C = 2,�56.796
A1 ± ,�56 ± .796C = 2A1 ± ,�56CA1 ± .796C
c1 ± 2,�56 ∙ .796 = |,�56 ± .796| 1 + ,�56.796 = .7961 − ,�56
1 + .796,�56 = ,�561 − .796
?�@6 + .�@6 = ,�<6 ∙ .9<6 ,�< 6 + .9< 6 = ,�< 6 ∙ .9< 6
PROPIEDAD:
Si iRSTU + jYZ[U = Y, se cumple que:
,�56 = $.
.796 = &.
,; = 9ó�7 9;: i + j = Y
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
,�5A6 ± HC = ,�56 ∙ .79H ± .796 ∙ ,�5H
.79A6 ± HC = .796 ∙ .79H ∓ ,�56 ∙ ,�5H
?�@A6 ± HC = ?�@6 ± ?�@H1 ∓ ?�@6 ∙ ?�@H
IDENTIDADES AUXILIARES
,�5A6 + HC ∙ ,�5A6 − HC = ,�5 6 − ,�5 H
.79A6 + HC ∙ .79A6 − HC = .79 6 − ,�5 H
?�@6 ± ?�@H = ,�5A6 ± HC.796 ∙ .79H
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
,�526 = 2,�56.796
.7926 =
.79 6 − ,�5 6
2.79 6 − 1
1 − 2,�5 6
?�@26 = 2?�@61 − ?�@ 6
IDENTIDADES AUXILIARES
c1 ± ,�526 = |,�56 ± .796| .�@6 + ?�@6 = 2.9<2\
.�@6 − ?�@6 = 2.�@2\
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE
,�536 = 3,�56 − 4,�5�6
.7936 = 4.79�6 − 3.796
?�@36 = 3?�@6 − ?�@�61 − 3?�@ 6
PARA DEGRADAR: 4,�5�6 = ,�536 − 3,�56
4.79�6 = 3.796 + .7936
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
,�5 d62f = ±n1 − .7962
.79 d62f = ±n1 + .7962
?�@ d62f = ±n1 − .7961 + .796