trigonometria 4to (13 - 17) correccion
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Trigonometra
13 Razones Trigonomtricasde un ngulo de Cualquier Magnitud
OBJETIVOS:
a Reconocer los ngulos cannicos y calcular sus razones trigonomtricas; as como identificar los signos que asumen las
razones trigonomtricas en cada uno de los cuadrantes.aIdentificar los ngulos cuadrantales y sus razones trigonomtricas.
CONCEPTOS PREVIOS
Llamado tambin ngulo cannico o ngulo enposicin cannica o en posicin standar; es aquel ngulotrigonomtrico, cuyo vrtice coincide con el origendel sistema cartesiano, su lado inicial (o inicio de giro)
coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final(o final de giro) se ubica en cualquier regin del plano;siendo ste el que indique a que cuadrante pertenecedicho ngulo. Por ejemplo en el grfico:
1. NGULO EN POSICIN NORMAL
y
x
a
q
b
aes cannico: aII C bno es cannico qes cannico: qIII C es cannico: IV C
Son aquellos ngulos en posicin cannica, cuyolado final coincide con alguno de los semiejes. La medida
de estos ngulos es siempre un mltiplo de 90op/2; yno pertenecen a cuadrante alguno, motivo por el cualtambin se les denomina ngulos frontera.
2. NGULO CUADRANTAL
y
x270
180
-90
90
Si q es cuadrantal q= 90. n; n Z
Llamado tambin cofinale, son aquellos ngulostrigonomtricos no necesariamente cannicos queposeen el mismo lado inicial y el mismo lado final. Ellos
verifican que la diferencia de sus medidas es siempremltiplo de 360.
3. NGULO COTERMINALE
x
y
b
a
ba
Si ay bson coterminales:a-b= 360. n; n Z
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4to Secundaria
DEFINICIN DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO DE CUALQUIER MEDIDA
Dado el ngulo cannico q, para poder determinar susrazones trigonomtricas necesitaremos conocer un punto
de su lado final; es decir, las coordenadas de dicho puntopara luego aplicar:
y
x
r
P(x, y)
q
sen=orden.radio
yr
=
cos=abscis.radio
xr
=
tg=orden.abscis.
yx
=
csc=radio
orden.ry
=
sec=radio
abscis.rx
=
ctg=abscis.orden.
xy
=
Aunque para no perder de vista las definiciones vistas enngulos agudos, se acostumbra hacer el siguiente cambio:
x = A (adyacente)y = O (opuesto)r = H (hipotenusa)
Donde: x : abscisa r : radio vector y : ordenada
Por ejemplo:
y
x
5
(-4;3)
b
x = -4; y = 3
r = (-4)2+32= 5
sen= = sen> 0
cos= = cos< 0
tg= = tg< 0
yr
35
xr
-45
yx
3-4
yx
13
(5;-12)
f
A O
H
A = 5, O = -12
H = 52+(-12)2= 13
sen= = sen< 0
cos= = cos> 0
tg= = tg< 0
OH
-1213
AH
513
OA
-125
Notars que cuando se conoce un punto del lado final, elclculo de sus razones trigonomtricas es simple; y tambinnotars que algunas de ellas son positivas y otras negativas,lo cual depender definitivamente del cuadrante al quepertenezca el ngulo. Estableceremos por ello una reglaprctica para los signos de la razones trigonomtricas.
Signos de las Razones Trigonomtricas
y
x
Positivas todasS en (+)csc
tg (+)ctg
C os (+)sec
Por ejemplo:
sen 140: (+) sec 220: ( )
cos 200: ( - ) tg 190: ( )
tg 320: ( - ) csc 350: ( )
IIC IIIC
IIIC IIIC
IVC IVC
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Trigonometra
R A Z O N E S T R I G O N O M T R I C A S D E N G U L O SCUADRANTALES
Vamos a calcular las razones trigonomtricas de 90ydespus enunciaremos las de los otros ngulos cuadrantales,ya que, su clculo es muy similar. Debemos antes enunciaruna propiedad para los ngulos conterminales, la cual dice:
Si y son coterminales R.T. () = R.T. ()
y
xb
a
Ahora bien, dibujamos el ngulo cannico que mide 90ytenemos un punto cualquiera de su lado final; as:(0, n)
x
y
(0; n)x y
r = n
90
Luego:
sen90= = = 1
csc90= = = 1
cos90= = = 0
sec90= = : n.D.
tg90= = : n.D.
ctg90= = = 0
yr
nn
(x, y) r = n
ry
nn
xr
0n
rx
n0
y
x
n
0xy
0n
Para los dems ngulos, lo resumimos en el cuadrosiguiente; notando que las R.T. de 0y de 360son lasmismas, ya que son coterminales.
sen
0; 360 90; 180; 270;
2 /2 3/2
cos
tg
ctg
sec
csc
0 1 0 -1
1 0 -1 0
0 N.D. 0 N.D.
N.D. 0 N.D. 0
1 N.D. -1 N.D.
N.D. 1 N.D. -1
Por ejemplo, calculemos: C = (sen90-2cos180)(3sen270 + cos90) Reemplazando:
C = [1-
2(-
1)][3(-
1) + 0] C = (3)(-3)
C = -9
Resolucin:
1. A partir del grfico adjunto, calcula:C = 3sen+ 1/6 cos
y
x
(-12; 5)
513( (
\ C = 1
Del grfico: sen= cos= Luego:
C = 3 +
C = -
513
-1213
16
-1213( (
15
13
2
13
y
x
(-12; 5)
A O
13H
-
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4to Secundaria
Resolucin:
2. Si los puntos P(-1;2) y Q(3; -2) pertenecen a los ladosfinales de los ngulos cannicosy,respectivamente,calcula:
L = sensen
Resolucin:
x
y(-1; 2)
(3;-
2)
Para :A = -1
O = 2
Graficando:
H = 5 sen=2
5
Para :A = 3
O = -2 H = 13 sen=-2
13
Luego: L = sensen
L = .2
5
-2
13( (
\ L =-4
65
3. Seala el signo de:
C = sen200cos138tg214sen317
Resolucin:
En la expresin:
C = sen200cos138tg214sen317
C = ( - )( - )(+)( - )
IIIC IIC IIIC IVC
( - ) (+)( - ) ( - )
\ C = ( - )
4. Seala el signo de:L = (sen120+ tg140cos220)(sen248-cos324)
Resolucin:
En la expresin:
L = (sen120+ tg140cos220)
(sen248-cos324)
L = {(+)+( - )( - )}{( - ) - (+)}
L = (+)( - )
IIC
( - )
IIC
(+)
IIIC
( - )
IIIC
( - )
IVC
(+)
(+) ( - )
(+)
\ L = ( - )
5. Sabiendo que: tg= -2/3; IIC, calcula:
C = sen+ cos
Mtodo formal:
y
x
(-3; 2)
13
Luego: C = sen+ cos
C = +2
13
-3
13
\ C =-113
tg= =-23
yx
y = 2x = -3
r = 13
IIC
-
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Trigonometra
Mtodo prctico:
tg=-2
3
13
32
IIC
Luego:
sen= y cos =
reemplazamos en: C = sen+ cos
C = +
2
13
-3
13
2
13
-3
13
\ C =-1
13
6. Sabiendo que: sen=-1/3; IIIC, calcula:
L = 2 cos- tg
Resolucin:
1
2
Aplicamos el mtodo prctico:
sen=-13
L = 2cos- tg
L = 2 -
L = - -
1
2
-2 23( (
1
2
22 2( (
43
14
\ C = - 1912
7. Sabiendo que , y son ngulos cuadrantales, talesque:
0 < < < < 2, calcula C = 3sen-2cos+ sen
Resolucin:
Como , y son cuadrantales entre 0 y 2, tenemoscomo nicas posibilidades: /2, , 3/2 y tambin< < entonces:
= /2; = ; = 3/2
Luego:
C = 3sen -2cos+ sen 3
C = 3 + 2 -1
2
2
1 -1 -1
\ C = 4
1
IIIC
2 2
L o s egi pc i o s y l o sbabilonios inventaronmtodos para medirngulos determinadospor varias estrellas. Enel siglo XVI antes de laera cristiana, la escribaAhmes escribi su famosopapiro donde se ve que
los egipcios conocan, entre otras cosas, que la
circunferencia de un crculo era un nmero fijode veces su propio dimetro, que era nmeroinconmensurable que desde el siglo XVII se designacon la letra griega .
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4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
S a b i e n d o q u e : c o s = - 2 / 3 ; I I IC
determina:
L = 5tg+ sec
Resolucin:
De acuerdo al grfico, calcula: L = 13tg-tg.
Resolucin:
A(-7; 1)
x
yB(1; 7)
De acuerdo al grfico, calcula:L = 19tg-11tg.
Resolucin:
De acuerdo al grfico, calcula:L = 12ctg-24ctg.
Resolucin:
x
y
16
x
y
A(1; -7)
B(9; -3)
-
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Trigonometra
Rpta:
5
Rpta:
6
8. Seala los signo de:
C = tg127-cos300
L = cos290-cos190
10. Siendo: ctg= 3; IIIC, determina:
L = 10 sen-(1/ 10) cos
7. Sabiendo que:sen< 0 y cos > 0; entonces pertenece al:
9. Si los puntos P(-2, 3) y Q(a -1; a) pertenecen allado final de un ngulo cannico , calcula:
L = a(tg-1)
De acuerdo al grfico, calcula: tgsi AM = MB.
Resolucin:
y
x
A(-5; 1)
M
B(1; 7)
De acuerdo al grfico, calcula: L = 5tg-7tg.
Resolucin:
x
y
37
11. Sabiendo que: sen tg < 0; adems:
|cos| = 1/3, calcula:L = 2sen+ (1/ 2)tg
12. Sabiendo que: cos sen < 0; adems:|tg| = 0,75, calcula: L = 2sen-cos
-
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140
4to Secundaria
1. De acuerdo al grfico, calcula:L = sen+ cos
a) 1/ 13
b) -1/ 13
c) 2/ 13
d) -2/ 13
e) -5/ 13
6. Seala el signo de: C = sen217cos132tg260sen318
a) (+)b) (-)c) (+) o (-)d) 0e) No se puede precisar
7. De acuerdo al grfico, calcule: C = 3sec+ 4ctg
a) 6
b) -6
c) 4
d) -4
e) -8
3. Seala el signo de:C = tg117cos248cos316sen136
a) (+) b) (-)c) (+) o (-)d) 0 e) No se puede precisar
4. Seala los signo de: C = sen140-cos130 L = tg117+ cos246
a) (+), (+) b) (+), (-)c) (-), (-)d) (-), (+) e) No se puede precisar
9. Si el punto P(-2; -3) pertenece el lado final delngulo cannico , calcula: C = 5cos+ sen
a) 13 b) c)1313
d) -1313 e) -
2 1313
10. Siendo: tg= -2; IVC, calcula: C = 5sen-(1/ 5) cos
a) -2, 1 b) -2, 2 c) -2, 3d) 2, 1 e) 2, 2
11. Sabiendo que:tg< 0 y sen > 0; entonces pertenece al:
a) IC b) IICc) IIICd) IVC e) Es cuadrantal
12. Sabiendo que:sen= -0,6; |tg|= tg; determina el valor de:
C = 5sec-2csc
a) 1 b) -1 c) 0
d) 2 e) -2
5. Sabiendo que: cos =-
0,28; |sen|=-
sen,calcula: L = csc + ctg
a) 0,75 b) -0,75 c) 0,5d) -0,5 e) -0,25
2. De acuerdo al grfico, calcula:
L = sen-
cos
a) 1/ 10
b) -1/ 10
c) 2/ 10
d) -2/ 10
e) -4/ 10
y
x
(-1; -3)
y
x
(-3; 2)
y
x
(-3; 4)
8. De acuerdo al grfico, calcula:
C = 5csc-ctg
a) -7
b) 7
c) 3
d) -3
e) 1
y
x
(2; -1)
- 13
-
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Trigonometra
14Reduccin al Primer Cuadrante I
OBJETIVOS:
aCalcula las razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida, identificando el caso al que pertenece: ya seanpositivos menores que 360, mayores que 360 o ngulos de medida negativa.
REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE
Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razonestrigonomtricas de un ngulo que no es agudo, en funcin deotro que si lo sea. Vamos a distinguir los siguientes casos:
I. NGULOS DE MEDIDA ENTRE 90 Y 360
Sies el ngulo no cuadrantal de medida comprendidaentre 90 y 360, entonces se cumple:
Si II C R.T.()= R.T.(180-)
Si III C R.T.()= R.T.(-180)
Si IV C R.T.()= R.T.(360-)
El signo () depender de la R.T. pedida y del cuadranteal que pertenece el ngulo original.
Por ejemplo:
sen 150 = + sen(180-150)= + sen 30 = 12
II C
sen 225 = -sen(225-180)= -sen 45 = -
III C
cos 300 = + cos(360-300)= +cos 60 = 12
ctg 315 = -ctg(360-315)= -ctg 45 = -1
IV C
IV C
tg 240 = + tg(240-180)= -tg 60 = - 3
III C
22
cos 135 = -cos(180-135)= -cos 45 = - 22
II C
Demostraremos para II C:
Si P(x,y) pertenece al lado final de , tomamos Q(-x;y)
simtrico de P respecto al eje Y, luego Q pertenece al
lado final de , con el detalle de que: QT=PS= y
+=180. Tenemos entonces:
sen = ; sen =yr
yr
cos = ; cos =-xr
xr
tg = ; tg =-
=-yx yx yx
Apreciamos entonces:
sen=sen=sen(180-)
csc=csc=csc(180-)
cos=-cos=-cos(180-)
sec=-sec=-sec(180-)
tg=-tg=-tg(180-)
ctg=-ctg=-ctg(180-)
R.T.() = R.T.(180-)
S
P(x;y)
y
O T x
r
Q(-x;y)
-
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4to Secundaria
Ahora, si III C :
Si P(x,y) pertenece al lado final de , tomamos Q(-x;-y)
simtrico de P respecto al origen del sistema cartesiano;
luego Q pertenece al lado final de , con el detalle de que:
-=180 -180=
Tenemos entonces:
Apreciamos entonces:
sen=-sen=-sen(-180)
csc=-csc=-csc(-180)
cos=-cos=-cos(-180)
sec=-sec=-sec(-180)
tg=tg=tg(-180)
ctg=ctg=ctg(-180)
R.T.() = R.T.(-180)
sen = ; sen =-yr
yr
cos = ; cos =-xr
xr
tg = ; tg =-
=yx
yx
yx
-
II. NGULOS DE MEDIDA MAYOR QUE 360
Si es el ngulo de medida mayor que 360; entonces
el ngulo se divide entre 360, se elimina el cociente y
tomamos el residuo en lugar del ngulo original. Esto es:
P(x;y)
y
x
Q(-x;-y)
r
r
R.T.()=... 360 ... = R.T(r) q r
La demostracin es muy simple, ya que, al dividir:
360q
r
Se cumple:=360.q+r ; por el algoritmo de la divisin.
Luego: - r =360.q; q Z
Esto significa que y r son coterminales
R.T.() = R.T.(r)Ahora veamos algunos ejemplos:
sen 1140=... 1140 360 ... =sen 60
3108060
sen 1140= 32
cos 2565=... 2565 360 ... =cos 45
7252045
cos 2565= 22
tg 1200=... 1200 360
31080120
... =tg 120=-tg 60 tg 1200=- 3
III C
III. NGULOS DE MEDIDA NEGATIVA
En este caso se deber tener en cuenta el siguientecriterio de clculo:
Por ejemplo:
sen(-45)=-sen45= -
cos(-60)=cos60=
tg(-30)=-tg30= -
1
2
22
32
sen(-)=-sen csc(-)=-csc
cos(-)=cos sec(-)=sec
tg(-)=-tg ctg(-)=-ctg
-
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Trigonometra
1. Determina el valor de:C=sen120 cos240
Resolucin:En la expresin:
C=sen120 cos240 ... (1)
La demostracin es simple; tomemos el ngulo cannico de medida positiva y el punto P(x;y) de su lado final.Tomamos Q(x; -y)simtrico de P respecto del eje x; luegoQ pertenece al lado final del ngulo -.
Tenemos:
sen = ; sen(-)=-yr
yr
cos = ; cos(-) =xr
xr
tg = ; tg(-)=-yx
yx
P(x;y)
y
x
Q(x;-y)
r
O
-
r
s
Apreciamos que:
sen(-)=-sen csc(-)=-csc
cos(-)=cos sec(-)=sec
tg(-)=-tg ctg(-)=-ctg
sen120=+(sen180-120)=sen60= 32
II C
cos240= -cos(240-180)=-cos60=- 12
III C
Luego, en (1): C= -
C=-
3
2
1
2 34 ( )
2. Determina el valor de:L=sen135 cos210 tg300
Resolucin:
Analizamos cada trmino de la expresin:
sen135=+sen45= 22
II C
cos210=-cos30=-
III C
32
tg300= -tg60=- 3
IV C
L= - (- 3)
L=
22 ( )
32
3 24
3. Calcula:
Resolucin:
En la expesin:
C=cos40+cos80+cos100+cos120+cos140
C=cos40+cos80+cos100+cos120 + cos140
-cos80 -cos60 -cos40
C=cos40+cos80-cos80-cos60-cos40
C= -cos60 C=- 1
2
-
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4to Secundaria
4. Calcula:C=tg2400 tg1200
Resolucin:
Analizamos cada trmino de la expresin:
tg2400= tg240=+tg60= 3
2400 360240 6
tg1200= tg120=-tg60=- 3
1200 360120 3
Luego: C=( 3)(- 3) C= -3
6. Calcula:C=sen(-240) cos(-120)
Resolucin:
Analizamos cada trmino:
sen(-240)= -sen240=(-sen60)=
5. Seala el valor de:L=sen 2580 cos3360 tg4200
Resolucin:
Analizamos cada trmino:
2580 36060 7
sen2580= sen60= 32
3360 360120 9
cos3360= cos120=-cos60=- 1
2
4200 360240 11
tg4200= tg240=+tg60= 3
L= - 3
L=-
32 ( )
12
34
II C
32
cos(-120)= cos120= -cos60=-
II C
12
Luego:C= - C= -12
32 ( )
34
7. Si es el ngulo interior de un polgono regular de20 lados; determina el valor de:
Resolucin:
C=sen( -27) cos( +78)tg(42- )
Sabemos que: i=
interior de un polgono regular de n lados.
180(n -2)n
180(20-2)20
= =162
Piden calcular:C=sen135 cos240 tg(-120)C=-sen135 cos240 tg120
Transformando:C=-(sen45) (-cos60) (-tg60)C=-sen45cos60tg60
Reemplazando:
C=- . . 3
C=-
22
12
64
La medida de los ngulosque hoy no es comn, seremonta al tiempo de laescuela de Alejandra enlos principios de la eracristiana. Los matemticosgriegos dividieron la
circunferencia en 360partesiguales, posiblementecopiando a los babilonios, llamando a cada una dedichas partes una moira. Esta palabra griega se tradujoen latn medieval como de-gradus, "un grado o pasopartir de". As pues nuestra palabra "grado" significael primer paso para determinar la medida de un giro orevolucin completa, es decir, 1/360 de tal revolucin.Luego divieron cada grado en sesenta partes iguales,a cada una de las partes se le dio el nombre de "pars"nimuta prima, "primera parte menor". De aqu sededuce la palabra "minuto" (abreviada;') con unsiginificado doble de "primera parte menor de ungrado" o "primer parte menor de una hora".
-
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Trigonometra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Calcula:
C = + 1
Resolucin:
cos110
cos70
L = cos50+cos70+cos110+cos130
Calcula:
Resolucin:
sen200 sen240
sen160
Calcula:
C =
Resolucin:
sen320 tg160 sen225
sen140 tg340
Calcula:
L =
Resolucin:
-
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4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Calcula:
C=sen1310+sen130
Resolucin:
Calcula:
L=tg1720+tg260
Resolucin:
7. Calcula:C=sen1910+sen2770
8. Calcula:L=cos3000+cos4260
9. Siendo un ngulo agudo, tal que:
tg=tg(-20)+5tg200
-2tg160
Calcula: C=sencos
10. Halla , tal que: 3 <
-
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15/36
147
Trigonometra
1. Seala el valor de:C=sen120 cos135
a)62
b) - 62
c) 64
d) - 64
e) - 34
2. Seala el valor de:
L = sen143 cos120
a) 0,3 b) -0,3 c) 0,6
d) -0,6 e) -0,8
3. Calcula:C=tg120 cos240 tg225
a)32
b) - 32
c) 34
d) - 3
4
e) 6
2
4. Calcula:L=sec135 tg210 sen240
a) 2 b) - 2 c)22
d) - 22
e) - 62
5. Seala el valor de:
C=sen150cos210tg300sec330
a) 3 b) - 3 c)32
d) -32
e) 62
6. Seala el valor de:L=cos120tg225sec300sen307
a) 0,2 b) -0,2 c) 0,4
d) -0,4 e) 0,8
7. Calcula:C=cos1200 sen765
a) 22
b)24 c) -
22
d) - 24
e) - 28
8. Calcula:L=tg2400 cos1110
a) -1,5 b) 1,5 c) 1
d) -1 e) -3
9. Calcula:C=cos1920 cos2670
a) 3 b) - 3 c) - 12
d) - 34
e) 34
10. Calcula:
C=sen(-120)ctg(-210)
a) 1,5 b) -1,5 c) 3
d) -3 e) 2
11. Calcula:
C=cos(-240)sen(-225)
a) 24
b) - 24
c) 36
d) - 34
e) - 64
12. Calcula:
sen(-2400)
a) 12
b) -12
c)32
d) - 32 e)- 22
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
16/36
148
4to Secundaria
15Reduccin al Primer Cuadrante II
OBJETIVOS:
aReducir expresiones que contengan trminos del tipo: R.T.(90.n ), n Z.aReconocer las propiedades para ngulos suplementarios y utilizarlas correctamente en la simplificacin de expresiones.a
Adaptar los casos anteriores a la resolucin de situaciones geomtricas.
REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE
Continuamos ahora con lo dos ltimos casos de reduccinal primer cuadrante:
I. NGULOS DE LA FORMA:
90.N , N Z
Vamos a tener que analizar los siguientes casos:
R.T.(90.n )
Por ejemplo:
90+ IIC90- IC270+ IVC270- IIIC180+ IIIC
180- IIC360+ IC360- IVC
{n=1 : R.T. (90 )n=3 : R.T. (270 )
{n=2 : R.T. (180 )n=4 : R.T. (360 )
Para los cuales se cumplir:
R.T.(270
) = CO-R.T.()90
Depender de la R.Ty del ngulo original.
sen(90+)= + cos
II C
tg(270-)= + ctg
cos(270-)= -sen
sec(90+)= -csc
II C
III C
III C
R.T.(360
) = R.T.()180
Depender de la R.Ty del ngulo original.
Por ejemplo:
sen(180+)= -sen
III C
tg(360-)= -tg
IV C
cos(360-)= + cos
sec(180-)= -sec
II C
IV C
En todos los casos se asume que es un ngulo; por loque podemos afirmar que:
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
17/36
149
Trigonometra
Una demostracin simple para: 90+
T
(-y;x)Q
y
O S
x r
P(x;y)r y
xxy
90+
Notamos ahora que:
sen(90+)= ; sen =xr
yr
cos (90+)=- ; cos =yr
xr
ctg (90+)=- ; ctg =yx
xy
tg (90+)=-
=- ; tg =xy
yx
xy
Tomamos el punto P(x,y) del lado final del ngulo cannico y trazo OQ de modo que QP=90 OQ=OP=r luegolos tringulos OSP y OTQ sean congruentes: OT=PS yTQ=OS entonces Q sera: (-y,x)
Tomamos el punto P(x;y) del lado final del ngulo cannico y trazamos OQ de modo que PQ=180 y OQ=OP=r,Q sera el simtrico de P respecto a O, as que suscoordenadas seran Q(-x; -y).
Notamos ahora que:
De donde:
sen(90+)= cos csc(90+)= seccos(90+)= -sen sec(90+)= -csc
tg(90+)= -ctg ctg(90+)= -tg
R.T.(90)= CO-R.T.()
Ahora, demostraremos para: 180+
P(x;y)
y
x
Q(-
x;-
y)
r
r180+
O
sen(180+)=- ; sen =yr
yr
cos (180+)=- ; cos =xr
xr
tg (180+)=-
= ; tg =y
x
y
x
y
x-
De donde:
sen(180+)= -sen csc(180+)= -csc
cos(180+)= -cos sec(180+)= -sec
tg(180+)= tg ctg(180+)= ctg
R.T.(180)= CO-R.T.()
Vamos a analizar el caso: R.T. (a )b
Se procede as:
a 2b qr
R.T.(a )=R.T.(r )b
b
Por ejemplo:
sen 1233 = ... ... = sen 1 =11233 4 308
1
2
2
co 1343 = ... ... = cos 1 =-11343 2 671
1
tg 3271 = ... ... = tg 1 =3271 6 545
1
3
6
33
Propiedad:
si: x+y=180 {senx = senycosx = -cosytgx = -tgy
Para demostrar:
x=180-y senx=sen(180-y)=+seny
cosx=cos(180-y)= - cosy
tgx=tg(180-y)= -tgy
II C
II C
II CPor ejemplo:
sen120 = sen60cos140 = -cos40tg130 = -tg50
II. NGULOS DEL TIPO:
a ; a>2b>0b
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
18/36
150
4to Secundaria
1. Reduce:C=sen(90+) csc (270-)
Resolucin:
Analizamos cada trmino:
II C }sen(90+)=+cos
csc(270-)=-sec
III C
C=(cos)(-sec)=-cossec
1
C=-1
2. Reduce:
L=tg(90+) tg(180-) tg (270-)
Resolucin:
Analizamos cada trmino:
}II C
tg(180-)=-tg
II C
tg(270-)=+ctgIII C
tg(90+)=-ctg
L=(-ctg)(-tg)(+ctg) =ctgtg ctg
1
L=ctg
3. Seala el equivalente de:C=cos(-270)
Resolucin:
En la expresin: C= cos(-270) C= cos[-(270-)]= cos(270-)
III C
Resolucin:
Luego : L= 1(1) L=1
4. Calcula:L=sen 173 cos220
2
Analizamos cada trmino:
sen 173 = sen =12
2
173 4 43
1
cos 220 = cos 0=1
220 2 110
0
C=-sen
Resolucin:
Queda : C= cos0 + sen0
5. Siendo que: x -y=; reduce:C=cos(senx+seny)+sen(cosx+cosy)
Como: x - y = x = +y
Luego : C= cos(senx+seny)+sen(cosx+cosy) C= cos [sen(+y)+seny]+sen[cos(+y)+cosy]
-seny -cosy
C=11 0
Resolucin:
6. Sabiendo que: x+y=3 ; reduce:
L=senx secy+tgxtgy
2
Como: x+y=3 x=3 -y2
2
Luego : L= senx secy + tgxtgy L= sen(3 -y)secy + tg(3 -y)tgy
L= -cosy secy + ctgy tgy
L= -1+1 L=0
-cosy
2
2
ctgy
1 1
Resolucin:
7. Sabiendo que: x+y= ; calcula:
C=tg(5x+2y)tg(2x - y)
2
En la expresin:
C= tg(5x+2y) tg(2x -y)
C= tg tg C= tg(3 +) tg
L= -ctgtg
C= -1
2
-ctg
; =5x+2y =2x -y
-=3x+3y=3 2
1
=3 + 2
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
19/36
151
Trigonometra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3 A qu es igual: sen( -)
Resolucin:
Reduce:C=sen(223+x) sec 217 +x
Resolucin:
2( (
Simplifica:
L=sen 3 + sen(-)
cos(2-)
2( (
Resolucin:
Reducir:
L=
2
sec - ctg(-)
csc(-2)
( (
Resolucin:
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
20/36
152
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6De acuerdo al grfico, calcula: tg.
Resolucin:
B
37A
C
M
De acuerdo al grfico, calcula:
L=tg tg si: AP=2PE.
Resolucn:
7. Reduce:
2sen(+x)cos +x sec 3 +x
sec(2-x)C=
2( ( ( (
8. Reduce:
2sen 175 +x cos(157-x)
sec(244-x)L=
( (
9. Siendo un ngulo agudo; tal que: cos=1/3;calcula:
L=
32
sen - cos(-)
csc-
2
( (
( (
A
37
D
P
B C
E
10. Siendo: tg= 6; IC calcula:
C=
32
sen - tg(-)
sec -2
( (
( (
11. Si: x - y=3/2
Reduce:
C= senx+cosy+1tgx+ctgy+1
12. Siendo: 3x+2y=32
Reduce:
L=tg(2x+y)tg(x+y)tg(3x+4y)
tg3x
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
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153
Trigonometra
1. Reduce:
C=tg(90+)tg(270+)
a) tg2 b) -tg2 c) ctg2
d) -ctg2 e) 1
2. Reduce:
C=sen(270-)sec(90-)
a) 1 b) -1 c) tg
d) -tg e) -ctg
3. Seala el equivalente de:
sen(180+).
a) sen b) -sen c) cos
d) -cos e) -csc
4. Seala el equivalente de:
tg(360-)
a) -tg b) tg c) ctg
d) -ctg e) -1
5. Reduce:
C= sen(270+)cos(180-)sec(360-)
a) cos2 b) -cos2 c) cos3
d) -cos3 e) cos
6. Reduce:
L=tg(180-)tg(270-)
tg(360-)
a) tg b) -tg c) ctg
d) -ctg e) -ctg3
7. Calcula:
C=sen1572
sen3212
a) 0 b) 1 c) 2
d) -2 e) -1
8. Calcula:
L=cos217sen2332
a) 0 b) 1 c) -1
d) 1/2 e) -1/2
9. Seala el equivalente de:
2( (sen 117 +x
a) senx b) -senx c) cosx
d) -cosx e) -cscx
10. Seala el equivalente de:
2( (tg 237 +x
a) ctgx b) -ctgx c) tgx
d) -ctgx e) -1
11. Reduce:
2( (
C=tg(120-x) tg 137 -x
a) tgx b) tg2x c) -tg2x
d) -ctg2x e) -1
12. Reduce:
C=
2sen(132-x)cos 137 +x
sec 223 +x2
( (
( (
a) sen3
x b)-
sen3
x c) cos3
xd) -cos3x e) -csc3x
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
22/36
154
4to Secundaria
16CircunferenciaTrigonomtrica I
OBJETIVOS:
aRepresentar los valores numricos del seno o coseno de un rea cualquiera, sobre la circunferencia trigonomtricamediante lneas trigonomtricas, para comparar dichos valores y establecer relaciones de orden entre ellos.
a
Determina correctamente longitudes de segmentos o reas de determinadas regiones usando las lneas trigonomtricas.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA
antihorario : AM (+)
Sobre esta circunferencia, todo arco deber ser dibujadoa partir de "A", ya sea en sentido horario o antihorario:
horario : AN (-)
Los puntos "M" y "N" se denomian exteriores de arcoy son de vital importancia para representar las razonestrigonomtricas.
Notamos tambin la correspondencia existente entreun arco y su ngulo central correspondiente:
= AM =rad
Debido a esta correspondencia, se cumple:
R.T. (rad) =R.T.()
LNEAS TRIGONOMTRICAS.
Son segmentos dirigidos que representan los valoresnmericos de las razones trigonomtricas de un ngulo, arcoo nmero cualquiera; siempre que se encuentre definido.
1. L.T. SENO. El seno de un ngulo, arco o nmero queda representado
sobre la C.T. mediante la ordenada de su extremo de
arco asociado en ella. Es decir, la vertical trazada delextremo del arco asociado al eje de abscisas.
Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con elorigen del sistema cartesiano y cuyo radio es igual a la unidaddel sistema. En el grfico adjunto anotaremos que:A(1;0): origen de arcos.B(0;1): origen de complementos de arcos.A'(-1;0): origen de suplemento de arcos.B'(0:-1): annimo.
A' A
M
yB
R=1 1
10
B'N
radx
En el grafico se ubicaron los arcos 1,
2,
3y
4; y se
trazaron sus respectivos L.T. seno, tal como se muestran en
el dibujo. Notamos adems que:
sen1
y sen2:(+)
sen3
y sen4:(-)
Adems:
(sen)mx
=1 y (sen)mn
=-1
A' A
M4-
1
1
B'
1
sen4
x
4
M1
M3
M2
2
By
3
sen1sen
2
sen3
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
23/36
155
Trigonometra
Vamos a demostrarlo, tomando un arco del II C; enel cual anotaremos que:M (x;y) es su extremo y OM =1, quien es el radio vector de "M".Adems que AM = rad, quien es un ngulo cannico,luego:
senrad = =
sen = y = PM
yOM
y1
sen= PM
A' A
C.T.
1
B'
x
By
P 0
(x;y)Mrad.
2. L.T. SENO. El coseno de un ngulo, arco o nmero cualquiera,
queda representado sobre la C.T. mediante la abscisade su extremo de arco asociado en ella. Es decir, es lahorizontal trazada desde el extremo del arco asociadoal eje de ordenadas.
En el grafico se ubicaron los arcos 1,
2,
3y
4; y se
trazaron sus respectivas L.T. coseno, tal como se muestraen el dibujo.
Notamos adems que:cos
1y cos
4:(+)
cos2
y cos3:(-)
Adems:
(cos)mx
=1 y (cos)mn
=-1
A' A
M4
-1
B'
x
By
cos1
1
cos2
cos3
cos4
M3
M2 M
1
3
2
1
4
Para demostrarlo, tomamos un arco del IIIC;en el cual anotaremos que M(x; y) es su extremo yOM=1, quien es el radio vector de "M"
A' A
C.T.
1
B'
x
By
P 0
rad.
Q(x;y)M
Notamos adems que AM = rad, quien es un ngulocannico, luego:
cosrad. = =
cos = x = QM
xOM
x1
cos= QM
En este captulo vamos a resolver problemas tipocomparacin de lneas, determinacin de longitudes desegmentos y reas de regiones triangulares.
1. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corresponda en: I) sen 70 > sen 140
II) sen 200 > sen 230
Resolucin: Graficamos en la C.T.:
C.T.
(+)
x
y
(+)
70140
sen 70 > sen 140
C.T.
(-) X
y
200
(-)
230sen 200 > sen 230 Rpta.: VV
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
24/36
156
4to Secundaria
Resolucin:
4. En la C.T. mostrada determina la longitud de AP, enfuncin de .
Resolucin:
En el clculo de longitudes de segmentos se debe teneren cuenta el signo de la L.T. a utilizar, si esta es positivase utilizar, tal como es; pero si es negativa se le cambiael signo.Por ejemplo, en el problema:
C.T.
x
A'
B'
A
yB
P
5. En la C.T. mostrada determina la longitud de PQ enfuncin de y .
Ax
y
1
-cos
M
-cosP 0
Q
C.T.
Ax
y
MP
Q
C.T.B
A'
B'N
En la C.T. mostrada, tenemos:
MS = sen (+) MS = sen
NT = sen (-) NT = -sen
Luego: OP = MS = sen OQ = NT = senEntonces: PQ = OP + OQ
2. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corresponda en: I) cos 70 > cos 340 II) cos 130 > cos 190
Resolucin:
Graficamos en la C.T.:
x
y
(+)
C.T.(+)
70
340
cos 70 < cos 340
X
y
C.T.
(-)130
cos 130 > cos 190
(-)190
Rpta.: FV
3. Sabiendo que: /2< < < , seala verdadero (V)o falso (F), segn corresponda en:
I. sen > sen .cos > cos
Resolucin:
Ubicandonos en la C.T. tenemos:
C.T.
x
y
/2 sen >sencos >cos
Notamos que:
Rpta.: VV
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
25/36
157
Trigonometra
6. En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin sombreadaen funcin de .
Rpta.: AP = 1- cos
MQ = COS(-) MQ = - COS
OP = MQ OP = - COS
AP = OA+OP = 1+ (- COS)
Rpta.: PQ = sen sen
AX
y
MP
QC.T.
B
A'
B'N
sen
-senS
0sen
-sen
T
Resolucin:
En la C.T. mostrada notamos que:
C.T.
x
A'
B'
A
yB
N
M
MQ = sen(+) MQ = sen
MQ = QN sen
= 2sen
MS= cos (-) MS =- cos
OQ=MS = - cos
SAbc=MN.AQ
22sen(1- cos)
2=
Rpta.: SABC = Sen (1- Cos)
C.T.
x
A'
S
A
yB
N
M
sen
senQ
-cos
10
-cos
B'
7. En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin sombreada
en funcin de .
C.T.
x
N
Q
M
y
P
C.T.
X
N
Q
M
y
P
-2cos
A
SB
-cos -cos
sen sen
MQ = sen(+) MQ = sen
MS = cos (-) MS =- cos
MS =SN =-cosMN=-2 cos
SMNPQ= PQ.MQ=(-2cos)sen
Rpta.: SMNPQ = -2sen cos
Resolucin:
En la C.T. mostrada:
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
26/36
158
4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:
I . sen70 > cos290
II. sen160=cos290
III. sen50=|sen230|
Resolucin:
Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-
ponda en:
I . sen20 = cos290
II. sen40 =|cos130|
III. |sen190|=cos280
Resolucin:
C.T.
x
A
By
A'
B'
M
En la C.I. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.
Resolucin:
En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.
Resolucin:
C.T.
xA
By
A'
B'
M
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
27/36
159
Trigonometra
Rpta:
5
Rpta:
6En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin
sombreada.
Resolucin:
C.T.
x
A
B
y
A'
B'
M
7. En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.
En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin
sombreada.
Resolucin:
x
A
B
y
A'
B'
M P
9. En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.
x
A
By
A'
B'
M N
C.T.
10. En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.
x
A
By
A'
B'
M
NC.T.
C.T.
x
A
By
A'
B'
M
8. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:
I . sen1 > sen2 II. sen2 > sen3 III. sen4 > sen5
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
28/36
160
4to Secundaria
11. En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.
x
A
By
A'
M
B0
1. Sabiendo que:
90 cos
III. |sen|> |sen|
a) VVF b) VFV c) VFF
d) FFF e) FFV
12. En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.
x
A
By
A'
B'M
C.T.
3. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:
I .- o
-
7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion
29/36
161
Trigonometra
12. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-
ponda en:
I . sen1 > sen3
II. sen4 > sen6
III. |sen5|> |sen6|
a) VFV b) VFF c) VVV
d) FFF e) FVF
6. Seale verdadero (V ) o falso (F), segncorresponda en:
I . cos2 > cos3
II. |cos2| >|cos3|
III. cos1 > cos6
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVV e) FFF
7. Seale verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:
I . cos1 > |cos2|
II. cos2 > cos4
III. cos5 < cos6
a) FVF b) VVV c) VVF
d) FVV e) VFV
8. Seala el signo de desigualdad que debe ir en
el crculo:
I . sen(sen1) sen(sen2)
II. cos(sen1) cos(sen2)
a) >;> b) >;< c) ;=
9. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-
ponda en:
I . sen(cos2) > sen(cos3)II. cos(cos2) > cos(cos3)
a) VV
b) VF
c) FF
d) FV
e) V; no se puede precisar
10. Seale verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:
I . sen(sen4) > sen(sen5)II. cos(cos4) > cos(cos5)
a) VVb) VFc) FFd) FVe) V; no se puede precisar
C.T.
X
A
By
A'
B'M
11. En la C.T. mostrada, demuestra que:BM= 2(1-sen)
5. En la C.T. mostrada, demuestra que:
AM= 2(1-cos)
C.T.
x
A
By
A'
B'
M
-
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162
4to Secundaria
17CircunferenciaTrigonomtrica II
OBJETIVOS:
aDeterminar la variacin del seno y el coseno en cada cuadrante, para luego establecer las variaciones de expresionesms complicadas que dependan del seno o coseno de un cierto arco.
VAR IACIONES D E L AS R AZONES T R IGONOMTRICAS
Analizamos por cuadrantes:
1. VARIACIN DEL SENO
2. VARIACIN DEL COSENO
-1 sen 1; R
3. ALGUNAS PROPIEDADES DE DESIGUALDADES
0
sen
2
2
32 3 2
2
0 1 1 0 0 -1 -1
Es decir:
y 0 sen2 1; R
Analizamos por cuadrantes:
0
cos
2
2
32 3 2
2
1 0 0 -1 -1 0 0 1
0
-1
1
x
/2y
2
32
0-11 x
/2y
2
32
Es decir:
-1 cos 1; R y 0 cos2 1; R
a< x < b a c
-
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163
Trigonometra
ax2 >b2; a, b R-
0 x2< mx{a2, b2};
a R-y b R+
Ejemplo:
2 < x 4 4 < x216
-3< x < -1 9 > x2 > 1
-2 x 3 0 x2 9
4. CONSIDERACIN FINAL
Sabemos que para un arco :
MP = senMQ = cos} M(cos; sen)
Es decir, el extremo de un arco cualquiera tendrsiempre como componentes al coseno y al seno del arcocorrespondiente. Por ejemplo "N" es el extremo del arco f,luego las coordenadas de N seran:N(cosf; senf)
Con esta indicacin podemos calcular superficies detringulos, usando el criterio visto en sistema cartesiano.Por ejemplo, vamos a determinar la superficie de la reginsombreada en la C.T. mostrada.
AA'x
yB
M
C.T.B'
S
Notamos primero que las coordenadas de: M son (cos, sen) A son ((1; 0) B' son (0; -1)
A(1; 0)S
B'(0; -1)
M(cos; sen)
Empezando en M:
cos sen 0 -1 1 0
cos sen
-cos0
sen
(+)
sen-cos
0-1
0
(+)
-1
S =(sen-cos)-(-1)
2
S =1 +sen- cos
2
1) Sabiendo que R, seala la variacin de:C = 5sen+ 1.
Resolucin:
Sabemos que:R -1 sen 1
x5: -5 5sen 5 +1: -4 5sen+1 6
C-4 C 6 \ C [-4; 6]
2) Sabiendo que R, seala la extensin de:L = 7 -3cos.
Resolucin:
Sabemos que:R -1 cos 1
x(-3): 3 -3cos -3 +7: 10 7-3cos 4
L
10 L 4\ L [4; 10]
AA'x
yB
P
sen
cosM
C.T.B'
Nf
Q
-
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164
4to Secundaria
3) Sabiendo que IIC, seala la variacin de: C = 5 +2cos.
Resolucin:
Sabemos que:IIC -1 < cos< 0
x2: -2 < 2cos< 0 +5: 3 < 5 + 2cos< 5
C
3 < C < 5
\ C < 3; 5>
4) Sabiendo que IIIC, seala la variacin de:
L = 3 -
Resolucin:
Sabemos que:IIIC -1 < sen< 0
x2: 1 < sen +2 < 2
2: < < 1
invirtamos: 2 > > 1
x -1: -2 < -
2sen+2
sen+ 22
12
2sen+2
2sen+2
2sen+2
L
5) Sabiendo que R, seala el valor mnimo de:C = sen(sen+ 3)
Resolucin:
En la expresin: C = sen2
+ 3sen completando cuadrados, tenemos:
C=sen2+ 2( )sen+( )2-( )2
C=(sen+ )2 -
Sabemos ahora:
R -1 sen 1
+ : sen +
elevamos al cuadrado: (sen+ )2
- : -2 (sen+ )2- 4
32
32
32
32
94
32
12
32
52
14
32
254
94
32
94
-2 C 4
\ Cmn
= -2
C
6) Sabiendo que < ; >; seala la extensin de:
L = 4sen(2- ) -1
Resolucin:
7123
En la expresin: L = 4sen(2- ) -1
L = 4sen- 1
tenemos que: