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Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas;Razones Trigonometricas
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo 2
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas
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ObjetivosDefinicion de Angulo TrigonometricoUnidades de Medidas de Angulos: Grados y RadianesTrigonometrıa del Triangulo RectanguloTriangulos y Angulos EspecialesIdentidades Trigonometricas FundamentalesAplicacionesApendice Alfabeto Griego
Tabla de Contenido
ObjetivosDefinicion de Angulo TrigonometricoUnidades de Medidas de Angulos: Grados y RadianesTrigonometrıa del Triangulo RectanguloTriangulos y Angulos EspecialesIdentidades Trigonometricas FundamentalesAplicacionesApendice Alfabeto Griego
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas
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ObjetivosDefinicion de Angulo TrigonometricoUnidades de Medidas de Angulos: Grados y RadianesTrigonometrıa del Triangulo RectanguloTriangulos y Angulos EspecialesIdentidades Trigonometricas FundamentalesAplicacionesApendice Alfabeto Griego
Objetivos:
Discutiremos:
angulo trigonometrico
dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes
razones trigonometricas (triangulos rectangulos)
identidades trigonometricas fundamentales
aplicaciones de las razones trigonometricas
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Objetivos:
Discutiremos:
angulo trigonometrico
dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes
razones trigonometricas (triangulos rectangulos)
identidades trigonometricas fundamentales
aplicaciones de las razones trigonometricas
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Objetivos:
Discutiremos:
angulo trigonometrico
dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes
razones trigonometricas (triangulos rectangulos)
identidades trigonometricas fundamentales
aplicaciones de las razones trigonometricas
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Objetivos:
Discutiremos:
angulo trigonometrico
dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes
razones trigonometricas (triangulos rectangulos)
identidades trigonometricas fundamentales
aplicaciones de las razones trigonometricas
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Objetivos:
Discutiremos:
angulo trigonometrico
dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes
razones trigonometricas (triangulos rectangulos)
identidades trigonometricas fundamentales
aplicaciones de las razones trigonometricas
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Objetivos:
Discutiremos:
angulo trigonometrico
dos unidades de medidas de angulos: grados y radianes
razones trigonometricas (triangulos rectangulos)
identidades trigonometricas fundamentales
aplicaciones de las razones trigonometricas
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Angulos Trigonometricos
Definicion de Angulo Trigonometrico
Definicion: Un angulo trigonometrico es la rotacion que seobtiene al girar un rayo alrededor de su punto extremo(vertice) desde una posicion inicial (lado inicial del angulo)hasta una posicion final o terminal (lado final o terminal delangulo).
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Angulos Trigonometricos
Figura: Angulo trigonometrico
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Angulos Trigonometricos
Notas:
1 Si la rotacion es en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera positivo.
2 Si la rotacion es en el sentido a favor al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera negativo.
3 Dos angulos son coterminales si tienen el mismo ladoinicial y el mismo lado terminal.
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Angulos Trigonometricos
Notas:
1 Si la rotacion es en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera positivo.
2 Si la rotacion es en el sentido a favor al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera negativo.
3 Dos angulos son coterminales si tienen el mismo ladoinicial y el mismo lado terminal.
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Angulos Trigonometricos
Notas:
1 Si la rotacion es en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera positivo.
2 Si la rotacion es en el sentido a favor al de las manecillasdel reloj, entonces el angulo se considera negativo.
3 Dos angulos son coterminales si tienen el mismo ladoinicial y el mismo lado terminal.
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Unidades de Medidas de Angulos
Definicion de Grado
Definicion: Un grado (1◦) es la medida de un angulo positivocon medida igual a 1
360 de una revolucion o vuelta completa ensentido positivo. De otra forma, 1 rev(+) = 360◦ .
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Unidades de Medidas de Angulos
Definicion de Grado
Definicion: Un grado (1◦) es la medida de un angulo positivocon medida igual a 1
360 de una revolucion o vuelta completa ensentido positivo. De otra forma, 1 rev(+) = 360◦ .
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Unidades de Medidas de Angulos
Figura: 1 rev(+) = 360◦.
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Unidades de Medidas de Angulos
Definicion de Radian
Definicion: Un radian (1 rad) es la medida de un angulocentral positivo θ (angulo con vertice en el centro de unacircunferencia) que subtiende o intercepta un arco de longitudigual al radio de la circunferencia. Como consecuencia,1 rev(+) = 2π radianes.
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Unidades de Medidas de Angulos
Definicion de Radian
Definicion: Un radian (1 rad) es la medida de un angulocentral positivo θ (angulo con vertice en el centro de unacircunferencia) que subtiende o intercepta un arco de longitudigual al radio de la circunferencia. Como consecuencia,1 rev(+) = 2π radianes.
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Unidades de Medidas de Angulos
Figura: La medida del angulo central θ es 1 radian.
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Unidades de Medidas de Angulos
Relacion entre Grados y Radianes
1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes
180◦ =π radianes1◦ = π
180 rad
1 rad = (180π )◦ = 180◦
π
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Unidades de Medidas de Angulos
Relacion entre Grados y Radianes
1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes180◦ =π radianes
1◦ = π180 rad
1 rad = (180π )◦ = 180◦
π
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Unidades de Medidas de Angulos
Relacion entre Grados y Radianes
1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes180◦ =π radianes1◦ = π
180 rad
1 rad = (180π )◦ = 180◦
π
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Unidades de Medidas de Angulos
Relacion entre Grados y Radianes
1 rev(+) = 360◦ = 2π radianes180◦ =π radianes1◦ = π
180 rad
1 rad = (180π )◦ = 180◦
π
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Unidades de Medidas de Angulos
Ejercicios: Convierta a radianes:
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Unidades de Medidas de Angulos
Ejercicios: Convierta a grados:
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Unidades de Medidas de Angulos
Trigonometrıa del Triangulo Rectangulo
Figura: Teorema de Pitagoras: c2 = a2 + b2
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Funciones Trigonometricas
Razones Trigonometricas
Definicion: Sea θ un angulo agudo en un triangulo rectangulo.Entonces, las seis razones trigonometricas de θ se definencomo sigue:
sen(θ) = opuestohipotenusa csc(θ) = hipotenusa
opuesto
cos(θ) = adyacentehipotenusa sec(θ) = hipotenusa
adyacente
tan(θ) = opuestoadyacente cot(θ) = adyacente
opuesto
Nota: Los valores de las razones trigonometricas de un anguloagudo θ no dependen del triangulo rectangulo que se utilice paracalcularlas; dependen unicamente del la medida del angulo θ.
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Funciones Trigonometricas
Razones Trigonometricas
Definicion: Sea θ un angulo agudo en un triangulo rectangulo.Entonces, las seis razones trigonometricas de θ se definencomo sigue:
sen(θ) = opuestohipotenusa csc(θ) = hipotenusa
opuesto
cos(θ) = adyacentehipotenusa sec(θ) = hipotenusa
adyacente
tan(θ) = opuestoadyacente cot(θ) = adyacente
opuesto
Nota: Los valores de las razones trigonometricas de un anguloagudo θ no dependen del triangulo rectangulo que se utilice paracalcularlas; dependen unicamente del la medida del angulo θ.
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Funciones Trigonometricas
Razones Trigonometricas
Definicion: Sea θ un angulo agudo en un triangulo rectangulo.Entonces, las seis razones trigonometricas de θ se definencomo sigue:
sen(θ) = opuestohipotenusa csc(θ) = hipotenusa
opuesto
cos(θ) = adyacentehipotenusa sec(θ) = hipotenusa
adyacente
tan(θ) = opuestoadyacente cot(θ) = adyacente
opuesto
Nota: Los valores de las razones trigonometricas de un anguloagudo θ no dependen del triangulo rectangulo que se utilice paracalcularlas; dependen unicamente del la medida del angulo θ.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: Si A es un angulo agudo tal que sen(A) = 23 .
1 Determine los valores de las otras funciones de A.
2 Determine las medidas de los angulos A, B y C.
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ObjetivosDefinicion de Angulo TrigonometricoUnidades de Medidas de Angulos: Grados y RadianesTrigonometrıa del Triangulo RectanguloTriangulos y Angulos EspecialesIdentidades Trigonometricas FundamentalesAplicacionesApendice Alfabeto Griego
Triangulos y Angulos Especiales
Triangulos y Angulos Especiales
Grados 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sen(θ) 0 1/2√
2/2√
3/2 1
cos(θ) 1√
3/2√
2/2 1/2 0
tan(θ) 0√
3/3 1√
3 no definida
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Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Identidades recıprocassen(θ) = 1
csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1
cot(θ)
csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1
cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)
Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)
cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)
Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)
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Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Identidades recıprocassen(θ) = 1
csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1
cot(θ)
csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1
cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)
Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)
cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)
Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)
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Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Identidades recıprocassen(θ) = 1
csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1
cot(θ)
csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1
cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)
Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)
cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)
Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: Determine los valores de las seis funcionestrigonometricas de los angulos A y B en el M ABC dado.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: En los ejercicios siguientes calcule los valorestrigonometricos restantes del angulo agudo A.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: La parte inferior de una escalera de 17pies de longitud esta a 8 pies de la base de una pared.
1 ¿A que altura la parte superior de la escalera toca la pared?
2 Determine la medida, en grados y en radianes, de losangulos agudos del triangulo rectangulo formado por laescalera y la pared.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: La parte inferior de una escalera de 17pies de longitud esta a 8 pies de la base de una pared.
1 ¿A que altura la parte superior de la escalera toca la pared?
2 Determine la medida, en grados y en radianes, de losangulos agudos del triangulo rectangulo formado por laescalera y la pared.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: La parte inferior de una escalera de 17pies de longitud esta a 8 pies de la base de una pared.
1 ¿A que altura la parte superior de la escalera toca la pared?
2 Determine la medida, en grados y en radianes, de losangulos agudos del triangulo rectangulo formado por laescalera y la pared.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Angulo de Elevacion; Angulo de Depresion
Figura: α : Angulo de elevacion; β : Angulo de depresion
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Angulos de elevacion y depresion
Definicion:
Cuando el objeto observado se encuentra por encima de lalınea horizontal, el angulo de elevacion α es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.
Cuando el objeto observado se encuentra por debajo de lalınea horizontal, el angulo de depresion β es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Angulos de elevacion y depresion
Definicion:
Cuando el objeto observado se encuentra por encima de lalınea horizontal, el angulo de elevacion α es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.
Cuando el objeto observado se encuentra por debajo de lalınea horizontal, el angulo de depresion β es el anguloformado por la lınea visual y la lınea horizontal.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: Un dirigible esta a una altura de 4280 pies sobre elnivel del suelo y el angulo de depresion desde su lınea horizontalde vision a la base de una casa en el suelo es de 24◦. Bajo lasuposicion de que el suelo es completamente llano, ¿cual es ladistancia x a lo largo del suelo del dirigible a la base de la casa?
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: Desde un punto sobre el suelo a 400 pies de la basede una montana el angulo de elevacion al tope de la montana esde 25◦. A 500 pies directamente hacia atras, el angulo deelevacion es de 20◦. Determine la altura de la montana.
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Nota: La formula de la medida en radianes de un angulo,θ = s
r se puede utilizar para mediar la longitud s de un arco decircunferencia.
Figura: s = θr, θ en radianesRivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos y sus Medidas
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Nota: El area A de un sector de un cırculo con angulo centralθ, en radianes, esta dado por: A = 1
2r2θ.
Figura: Sector circular con angulo central θ
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Funciones Trigonometricas: Aplicaciones
Ejercicio: Suponga que el radio es 5 y determine la longitudde arco, correcta a dos lugares decimales, si el angulo centralmide:
1.2 radianesπ2 radianes
45◦
Ejercicio: Determine el area, correcta a dos lugares decimales,para cada uno de los sectores circulares del ejercicio anterior.
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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones
Considere una partıcula que se mueve a velocidad constante, alo largo de un arco de radio r.
Velocidad lineal
Definicion: Si s es la longitud del arco recorrida en el tiempot, entonces la velocidad lineal, v, de la partıcula es
Velocidad lineal v = longitud de arcotiempo = s
t
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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones
Considere una partıcula que se mueve a velocidad constante, alo largo de un arco de radio r.
Velocidad angular
Definicion: Si θ es el angulo, medido en radianes, quecorresponde a la longitud de arco s, entonces la velocidadangular, ω, de la partıcula es
Velocidad angular ω = medida del angulo centraltiempo = θ
t
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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones
Ejemplo: Una bolita gira a razon de 15 revoluciones cada 10segundos en una ruleta de casino. Suponga que la distancia encualquier momento entre la bolita y el centro de la ruleta es de3 pies.
Determine la velocidad lineal y angular de la bolita.
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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones
Solucion: La distancia s recorrida por la piedra en 10 seg ess = 15× 2πr = 15× 2π × 3 = 90π pies. Por lo tanto, lavelocidad lineal de la bolita es
v = st = 90π pies
10 seg = 9π piesseg
En 10 segundos, el angulo θ cambia en 15(2π) = 30π radianes.Por lo tanto la velocidad angular de la bolita es
ω = θt = 30π rad
10 seg = 3π radseg
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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones
Ejercicio: Un ventilador de techo con aspas de 16 pulg delongitud gira a 45 revoluciones por minuto.
Determine la velocidad angular del ventilador en radianespor minuto.
Determine la velocidad lineal de las puntas de las aspas enpulgadas por minuto.
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Angulos y sus Medidas: Aplicaciones
Subunidades de la unidad grado (◦)
1◦ = 60minutos = 60′
1′ = 60 segundos = 60”
Ejercicio: Convierta cada medida del angulo en gradosdecimales.a) 30◦20′36” b)− 450◦18′47” c) 85◦34′15”
Ejercicio: Convierta cada medida del angulo a la formaG◦M ′S”(grados, minutos y segundos).a) 345,68◦ b)− 23,335◦ c) 0,7654◦
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