triangulos oblicuangulos
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A
R
O
B
C
b
ca
R 2SenC
c
SenB
b
SenA
a
Donde:
a2 R a 2R.SenA
SenA
b2 R b 2R.SenB
SenB
c2 R c 2R.SenC
SenC
Ley de Cosenos (Ley de Carnot)Ley de Cosenos (Ley de Carnot)
Ley de Senos (Ley de Ley de Senos (Ley de BriggsBriggs))
2a.b.CosCbac
2a.c.CosBcab
2b.c.CosAcba
222
222
222
2
B-ATg
2
BATg
b-a
ba
2
C-ATg
2
CATg
c-a
ca
2
C-BTg
2
CBTg
c-b
cb
b.CosAa.CosBc
c.CosAa.CosCb
c.CosBb.CosCa
aSen A =
2R
bSen B =
2R
cSen C =
2R
A
B
C
c
b
a
A
C
B
c
ba
Ley de tangentes
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
La resolución de un triángulo de este tipo exige conocer tres de sus elementos donde por lo menos uno de ellos
sea un lado(puede ser dos lados y un ángulo, tres lados, un lado y dos ángulos). Siguiendo las mismas normas
que en los triángulos rectángulos estableceremos primero unas fórmulas que relacionan los elementos de un
triángulo de los cuales se deducen en cada caso las fórmulas necesarias para resolver el triángulo.
“ En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos
de los ángulos opuestos y la constante de proporcionalidad
es el diámetro de la circunferencia que circunscribe a dicho
triángulo”
Ley de tangentes
En todo triángulo la suma de dos lados es a su diferencia como la
tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados
es proporcional a la tangente de la semidiferencia de los mismos
ángulos.
Ley de las proyecciones
En todo triángulo cada lado es
igual a la suma de las
proyecciones de los otros dos
lados sobre él.
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Respuesta:x = 5
Respuesta:Ángulo B = 120°
1) En la figura mostrada, halla “ x”
3x + 5
5x -
1
30° 37°
B
A C
RESOLUCIÓN
SUGERENCIA: Aplica la LEY DE SENOS
2) Determinar el mayor ángulo.(Ángulo B)
7k8k
13k
B
A C
RESOLUCIÓN
SUGERENCIA: Aplica la LEY DE COSENOS
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
A-B 3Tg
2 2
3) A-B
Calcular: Tg2
1
3
A
C B60°
RESOLUCIÓN
SUGERENCIA: Aplica la LEY DE TANGENTES
Respuesta:b = 117
4) En la figura mostrada, calcula “b”
a = 100c =
35
b53° 16°
B
A C
RESOLUCIÓN
SUGERENCIA: Aplica la LEY DE LAS PROYECCIONES
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
5) En un triángulo ABC se cumple que
a.SenA – b.SenB = c.SenC. Hallar “A”
R
C
O
A
B
a
b
c
aSen A =
2R
bSen B =
2R
cSen C =
2R
R 2SenC
c
SenB
b
SenA
a
RESOLUCIÓN
SUGERENCIA: Aplica la LEY DE SENOS
Respuesta:A = 90°
Respuesta:K = c
6) Siendo “α” un ángulo cualquiera, a, b, c
los lados del triángulo ABC, hallar:
K = a.Cos( -B)+b.Cos( A) .Sec
bac
C
B A
RESOLUCIÓN
SUGERENCIA: Aplica LEY DE SENOS y luego LEY DE PROYECCIONES
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Respuestas:B = 60°b = 2√3c = 2√2
Respuesta:C = 60°
7) Resolver el triángulo ABC
RESOLUCIÓN
SUGERENCIA: Primero halla ángulo B y luego aplica la LEY DE SENOS para hallar los lados b y c
a = √6 + √2
c
b75° 45°
B
A C
8) En un triángulo ABC se cumple que:
2p (a + b - c) = 3ab.
Hallar “C”. Nota: p = semiperímetro.
ac
b
B
A C
RESOLUCIÓN
Recuerda que:2p = a + b + c
2 2 2c a b 2a.b.CosC
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Rpta: 87, 17 cm Rpta: 0, 2581
7) Dos lados y el ángulo comprendido de
un paralelogramo miden 40 cm; 60 cm y
60° respectivamente. Halla la longitud de
su diagonal mayor.
Nota: 19 = 4, 3585
8) En la figura mostrada, halla “Tg B“
24
12
B
A C30°
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
SEMIÁNGULOS EN FUNCIÓN DE
SUS LADOS Y SU SEMIPERÍMETRO
a + b + c p =
2
De donde:
A p(p - a)Cos =
2 bc
B p(p - b)Cos =
2 ac
C p(p - c)Cos =
2 ab
a + b + c p =
2
De donde:
p - b p - cASen =
2 bc
p - a p - cBSen =
2 ac
p - a p - bCSen =
2 ab
a + b + c p =
2
De donde:
p - b p - cATg =
2 p p - a
p - a p - cBTg =
2 p p - b
p - a p - bCTg =
2 p p - c
A
B
C
b
ca
AREA DE LA REGIÓN DE UN
TRIÁNGULO
A
B
C
b
ca
b.cS = .SenA
2
a.bS = .SenC
2
a.cS = .SenB
2
a.b.cSen =
4R
S = p p - a p - b p - c
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Rpta: 96 cm2
23 Rpta : = u
3
1) En la figura, halla el área.
2 2
Además se sabe que:
b + c = a + 4
A
B
C
b
ca
60°
2) Halla el área del triángulo
A37°
O
B
C
12
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Rptas
B : = 98°
c = 10
a = 6 2
3) Resuelve el triángulo:
A
Recuerda que:
Sen98° = Sen 45° + 53°
= Sen45°.Cos53° +Sen 53°.Cos 45°
Sigue:
4) Resuelve el triángulo:
A
B
C60°
b = 2
a = 1c
Rptas
A : = 30°
c = 3
B : = 90°
B
C
ca
37°45°
b = 14
MATEMÁTICA 5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Rpta:
4(2 + 3)
PROBLEMAS PROPUESTOS:
Halla un lado del triángulo ABC:
donde: A = 105°, C = 60° y b = 4.
Ejercicio 1.-
Rpta:
60°
Del triángulo ABC, donde a = 15; b = 7;
c = 13, halla C.
Ejercicio 2.-
Rpta:
45°
De la figura, halla " x ":
Ejercicio 4.-
x31
25
7√2
Ejercicio 3.-
Del triángulo ABC, donde a = 7; b = 3; c = 5,
halla A. Rpta: 120°
Rpta:
2
En un triángulo ABC, se tiene que:
C = 120°, c = 2 3, a = 2, halle b.
Ejercicio 5.-
Ejercicio 6.-
Rpta:
45°
En la figura, halla " x ":
x
2√3
3√2
60°
Rpta:
2
¿ Cuántos triángulos se pueden
construir con los siguientes datos?
a = 80; b = 100; A = 30°.
Ejercicio 7.-
Rpta:
0
¿ Cuántos triángulos se pueden
construir con los siguientes datos?
a = 40; b = 100; C = 30°.
Ejercicio 8.-
Ejercicio 9.-
Rpta:
3 2
En la figura, halla " x ":
7
x
5
37°
Ejercicio 10.-
Rpta:
22
Halla el área de la figura:
11
5
53°