TRIÁNGULOS ITRIÁNGULOS I

Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.

• Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades.

• Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades.

• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.

1. Definición

2. Elementos primarios

Triángulos I

Vértices

Lados

Ángulos interiores

Ángulos exteriores

3. Clasificación de los Triángulos

5. Generalidades en un triángulo cualquiera

4.1 Área o superficie

4.2 Perímetro o longitud

4. Elementos secundarios

Altura

Transversal de gravedad

Simetral

Bisectriz

Mediana

1.Definición

1. Triángulo

Es un polígono de tres lados.

2. Elementos primarios

Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.

En la figura, los vértices son A, B y C.

A B

C

• Vértices:

• Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.

A B

C

ab

cAB = c, BC = a, AC = b

Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.

a + b > c

b + c > a

a + c > b

Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm.

Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

Ejemplo:

3 + 4 = 7 No se cumple.

4 + 7 > 3 Sí se cumple.

3 + 7 > 4 Sí se cumple.

Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.

a - b < c

b - c < a

a - c < b

Ejemplo:

Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm.Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.

8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.

5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.

Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

• Ángulos interiores:

A B

C

y

son los ángulos interiores del triángulo ABC.

Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.

Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º

Ejemplos:

Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.

Ejemplo:

A B

C

ab

c

En el triángulo de la figura,

c > a > b

• Ángulos exteriores:

´´

y ´

son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.

Son los suplementos de los ángulos interiores.

Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.

´´´

Teorema:Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.

’ = + ’ = +

’ = +

Ejemplo:

3. Clasificación de triángulos• Según sus ángulos:

-Acutángulo:

-Rectángulo:

-Obtusángulo:

Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos.

Es aquel que tiene un ángulo recto.

Es aquel que tiene un ángulo obtuso.

Ej.:

Ej.:

Ej.:

• Según sus lados:

-Escaleno:

Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos distintos.

Ejemplo:

-Isósceles:Es aquel que tiene sólo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base.

Ejemplo:

(Base)

Nota:

-Equilátero:

Es aquel que tiene todos sus lados congruentes.

(Base)

En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC. Sus ángulos interiores también son congruentes.

Se dice que el triángulo de la figura, es “isósceles de base AB”, o bien, “isósceles en C”.

4. Elementos Secundarios• Altura (h):Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.

Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas (hc , ha, hb).

A B

C

H

A B

C

hc

D

• Transversal de gravedad (t):

Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

tc tc: transversal desde C

Centro de gravedad o baricentro(G):

Punto de intersección de las transversales.El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.

D: Punto medio del lado AB

D, E y F: Puntos medios.

AE = ta

BF = tb

CD = tc

G: Centro de gravedad

Ejemplo:

En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

OBS. En un triángulo rectángulo, la transversal bajada desde el vértice del ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa.

A B

C

S

• Simetral (S):

Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB.

Circuncentro:

Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

D, F y G: Puntos medios.

E: Circuncentro

• Bisectriz (b):

Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.

En la figura, el ACD = DCB =

B

C

DA

bc

Incentro:

Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Ejemplo:

E: Incentro

• Mediana:Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos.La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.

D, E y F: Puntos medios.

DF, DE y EF: Medianas

DE// BC y DE = BC 2

EF// AC y EF = AC 2

DF// AB y DF = AB 2

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos congruentes entre sí. El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo original.

4. Generalidades en un triángulo cualquiera

• Área o Superficie (A):

Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo.

Área = Base ∙ Altura

2

A =

A B

C

ab

c

hc

ha hb

2

c∙ hca∙ha

2=

2

b∙hb =

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo de la figura:

En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la altura que cae sobre su prolongación es CD = 3.

Luego su área es:

A =2

8∙3 = 12

• Perímetro o longitud (P):

Corresponde a la suma de los lados del triángulo.

A B

C

ab

c

P = a + b + c

Ejemplo:

P = 15 + 18 + 22

P = 55