Los polígonos de al lado tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño; ellos son semejantes.

Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace lo siguiente:

A

E

D

C

B

Los triángulos ABC y ADE son semejantes, lo cual se denota así:

Concepto de semejanza de triángulos

∆ABC ≈∆ADE

A

E

D

C

BA

Al separar los triángulos de la figura anterior se tiene lo siguiente:

En ellos se tiene: , ,A A B D C D

AB AC BC

AD AE DE

Dado que las longitudes en el piso y la longitud en el asta se pueden medir, entonces usando una de las proporciones anteriores se obtiene la altura del árbol. Observe:

yAB AD DE

BC

AB BC AB DEBC

AD DE AD

F

ED

C

BA

A D

B E

C F

A D

B E

C F

AB DE

BC EF

AC DF

, ,A D B E C F

Supóngase que

Entonces, se tiene

En la semejanza de triángulos; la igualdad de las medidas de los ángulos, define una correspondencia entre los vértices, los ángulos y entre los lados de los triángulos. Dichas correspondencias se denotan con una flecha de doble punta , lo cual se lee “se corresponde con”. Observe:

Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y si sus lados correspondiente son proporcionales.

, ,A D B E C F

ABC CDE AB AC BC

DE DF EF

La sombra que una persona proyecta al alejarse de un farol es 1/3 de su distancia al poste del farol. Si la persona mide 1.70 m y la punta de la sombra dista de dicho poste 12 m, ¿qué altura tiene el farol y qué longitud tiene la sombra?

Un topógrafo desea medir el ancho de una montaña, por donde se pretende hacer un túnel desde un punto A hasta un punto B, opuesto a ella y visibles ambos desde un punto C en la llanura, como se muestra en la figura adjunta. Para ello él localiza los puntos D y E de modo que

Calcule la longitud del túnel.

AC BC

CE CD

Se dispone de dos tirantes, uno de 30 m y otro de 25 m, para contener un puente de 33 m de largo como se muestra en la figura adjunta, en donde .

Entonces:

¿A qué distancia está el punto C de las bases de los postes ?

Si , ¿cuánto mide el poste ?.

B E

yAB DE

24AB DE

31 D

C

BA

¿Cuál de los segmentos de la figura mide ?

3

Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos de uno miden lo mismo que dos ángulos del otro.

D

C

BA

E

Si , ¿son semejantes los triángulos ABC y DEC ?AB DE

Si la razón de los lados correspondientes es uno, los triángulos son congruentes.

D

C

BA E

FEl símbolo de congruencia es y se lee “ es congruente con”.

,ABC DEF

porque: 1AB BC AC

DE EF DF

D

C

B

AO

Si y O es punto medio de , ¿son congruentes los triángulos AOB y COD ?

AB DCAC

¿Cómo podemos calcular la distancia entre dos puntos A y B separados por una montaña o un lago?

A

B

O

D

E

¿Qué relación hay entre los triángulos OAB y ODE?

Tomando un punto O, desde el cual se puedan ver lospuntos A y B,

se pueden formar los triángulos OAB y ODE siendo DE paralela a AB.

¿Es posible calcular la altura de un edificio conociendo la longitud de su sombra y la altura de otro objeto del cual también conocemos la longitud de su sombra?

S s

L

l

¿Que relación hay entre los dos triángulos que se forman?

¿Cómo calcular la longitud x del cono de sombra que proyecta la Tierra?

Rr

d x

¿Qué relación hay entre estos triángulos?

A

B

S T

O

Si R es el radio del Sol, r es el radio de la Tierra

y d la distancia de la Tierra al Sol.

Se forman los triángulos OSA y OTB.