7/17/2019 triangulo de pascal

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  1

  1 1

  1 2 1

  1 3 3 1

  1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

  ...

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros,

infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y

en las filas siguientes se van colocando números de forma que

cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene

encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo

contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están

 formados por unos. qu! s"lo se ve una parte# el triángulo

continúa por deba$o y es infinito.

• Historía

• Triángulo de Pascal y Números Combinatorios

• Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

• Más propiedades

• enerar el triángulo con !a"ascript

• #n $uego en la red

Historia

El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen% como en muc&os otros casos% muy

anterior al de estos dos matemáticos . 'e tienen re(erencias )ue datan del siglo *++ en C&ina. ,e

&ec&o% algunas de sus propiedades ya (ueron estudiadas por el matemático c&ino -ang Hui siglo

*+++/% así como el poeta persa Omar Khayyam siglo *++/.

0l )ue se le asocie el nombre del (ilóso(o% matemático Pascal  123451223/ se debe a )ue el

(ranc6s escribió el primer tratado sobre el triángulo. 7o deTartaglia 18995188:/ "iene por)ue el

italiano (ue de los primeros )ue lo publicaron en 0uropa.

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Triángulo de Pascal y nmeros!om"inatorios

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números

combinatorios.

El número combinatorio %m n &n sobre m' se encuentra en el

triángulo en la fila n(1, en el lugar m(1. El nmero com"inatorio !m n n

sobre m/ )ue representa el número de grupos de m elementos )ue pueden &acerse de entre uncon$unto de n por e$emplo% ; sobre 3/ nos da el número de pare$as distintas )ue podrían

&acerse en un grupo de cuatro personas/% se encuentra en el triángulo en la #ila n$1% en ellugar m$1.

1

  1 1

  1 2 1

  1 3 3 1

  1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

  ...

Podemos saber )ue el número de pare$as posibles )ue decíamos antes es 2 si miramos el tercernúmero de la )uinta (ila.0sto &ace )ue el triángulo sea útil como representación de estos números% y proporciona unabuena (orma de intuir sus propiedades.

Por el contrario% a la (órmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de

(órmula general del triángulo para saber% sin necesidad de construir todas las (ilas anteriores%

cuál es el número )ue ocupa un lugar determinado%<

Triángulo de Pascal y &inomio de'e(t)n

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)a f"rmula general del llamado *inomio de +eton &a ( b'n está

 formada por unos coeficientes que coinciden con la l!nea número n(1

del triángulo de Pascal &la que empieza por 1 y n'.

7a (órmula es<

#na (orma de e"itar tener )ue calcular uno a uno todos los coe(icientes es utili=ar el Triángulo de

Pascal% ya )ue los coe#icientes de la *otencia n a*arecen en la #ila n$1 de dic&o triángulo.

#n e$emplo< aplicando la (órmula y la de(inición de número combinatorio tendríamos<

a > b/4 ? 1@a4 > 3@a3b > 3@ab3 > 1@b4.

Pero &ubiese sido más rápido ir a la (ila ; 4 > 1 / del triángulo y "er )ue los números )ue

aparecen son% precisamente% los coe(icientes 1% 4% 4 y 1.

+ás *ro*iedades del triángulo dePascal,

7o di(ícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidadoculta.

• 'meros *oligonales

APodríais decir )u6 sucesiones son las )ue (orman las diagonales del triángulo 7as

primeras de la i=)uierda y la derec&a no son más )ue unos. 7as segunda (orman la

sucesión de los números naturales... A- la tercera A- la cuarta

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0n la diagonal tercera marcada aparecen

los números triangulares

% pero además en la inmediata in(erior aparecen los nmeros tetragonales% es decir%

los )ue (orman las pirámides triangulares% cuyos pisos son a su "e= números

triangulares.

7os números cuadrados

se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal )ue en el caso

anterior< construimos cada uno sumando dos números triangulares consecuti"os. 0so

nos proporciona< 1% ;% % 12% 38% ...

,e &ec&o% por este m6todo recurrente podemos construir todos los números poligonales%

y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal.

• 'meros *rimos 

'i el primer elemento de una (ila es un número primo% todos los números de esa (ila

serán di"isibles por 6l menos el 1% claro/. Dsí% en la (ila :< 1 : 31 48 48 31 : 1/% los

números :%31 y 48 son di"isibles por :.

•

-a suma de los elementos 7a suma de los elementos de cual)uier (ila es el resultado de ele"ar 3 al número )ue

de(ine a esa (ila. Dsí<

39 ? 1

31 ? 1>1 ? 3

33 ? 1>3>1 ? ;

34 ? 1>4>4>1 ? E

3; ? 1>;>2>;>1 ? 12

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• .ucesi)n de /i"onacci

7a serie de Fibonacci puede ser encontrada tambi6n

en el triángulo de Pascal. ,i"idiendo al mismo según las líneas )ue mostramos en el

diagrama% los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta

sucesión.

Gecordemos )ue esta sucesión )ue% por cierto% se construye de manera similar al

triángulo de Pascal/% es<

1%1%2%3%5%%13%21% 

an>1 ? an > an51con a9 ? 1% a1? 1/

• Potencias de 11

Podemos interpretar cada (ila como un único número. 'i la (ila está (ormada por

números de un solo dígito% basta unirlos. 0n el caso de la (ila 3 tenemos<

15351............................ 131 ? 113 

Cuando los números de la (ila constan de más de un dígito% se reparten para (ormar elnúmero (inal como se obser"a en el e$emplo siguiente para la (ila 8<

1585195195851........... 158>1/59>1/595851?15251595851 ............ 121981 ? 118

• El stic de hocey

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Cual)uier diagonal )ue empiece en un eItremo del triángulo% y de la longitud )ue sea%

cumple la siguiente propiedad<

-a suma de todos los nmeros ue la integran se encuentran usto de"ao del

ltimo de ellos% en la diagonal contraria  

• El triángulo de .ier*insi 

0l curioso dibu$o )ue se (orma al pintar de negro los

números impares del triángulo y de blanco los pares% recuerda altriángulo de

.ier*insi % uun (amoso con$unto geom6trico un (ractal determinístico )ue se puede

construir a partir de cual)uier triángulo/ 0l applet de !a"a de esta página muestra

inicialmente las primeras (ilas del triángulo de Pascal. 'e puede aumentar el número de

(ilas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige

colorear se obser"a per(ectamente )ue al ir aumentando el número de (ilas el ob$eto

resultante se "a aproIimando al triángulo de 'ierpinsJi.

• !am"iando etremos

  2  1 2

  1 3 2

  1 4 5 2

  1 5 9 7 21 6 14 16 9 2

  ......

¿Qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados

externos del triánulo de !ascal por doses ". ¿Qué relaciones

numéricas se pueden encontrar" ¿Qué sucedería si en luarde doses colocamos treses o cuatros"

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/triangulo/triangulo.html

estadística para todos