triángulo
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Clase de trianguloTRANSCRIPT
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TRIANGULOTRIANGULO
ESCUELA AGRÍCOLA SAN FELIPE
MATEMATICA II - 2010María Isabel Navarrete Lizama
Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática
A B
C
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Aprendizajes esperados:• Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus
propiedades.• Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus
propiedades.• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.
Matemática II - 2010
• Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras
• Calcular áreas y perímetros de triángulos.
• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.
• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.
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TriánguloTriángulo
Es un polígono de tres lados.
Elementos primariosElementos primarios
• Vértices:
Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.
En la figura, los vértices son A, B y C.
A B
C
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corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.
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• Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.
A B
C
ab
cAB = c, BC = a, AC = b
Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.
a + b > c
b + c > a
a + c > b
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Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm.
Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.
Ejemplo:
3 + 4 = 7 No se cumple.
4 + 7 > 3 Sí se cumple.
3 + 7 > 4 Sí se cumple.
Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.
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Teorema:Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.
a - b < c
b - c < a
a - c < bEjemplo:Ejemplo:
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm.Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.
8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.
8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.
5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.
Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.
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• Ángulos interiores:Ángulos interiores:
A B
C
α β
γα, β y γ
son los ángulos interiores del triángulo ABC.
Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.
Teorema:La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º
α + β + γ = 180°
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Ejemplos:
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Teorema:En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.
Ejemplo:
A B
C
ab
c
En el triángulo de la figura,
c > a > b
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• Ángulos exteriores:Ángulos exteriores:
α´, β´ y γ´
son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.
Son los suplementos de los ángulos interiores.
Teorema:La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.
α´ + β´ + γ´ = 360°
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Teorema: Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.
α’ = β + γ
β’ = α + γ
γ’ = α + β
Ejemplo:
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Elementos SecundariosElementos Secundarios
• Altura (h):Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.
Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas
A B
C
hc
D
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corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.
h
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• Bisectriz (b):Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.
En la figura, el ACD = DCB = α
B
C
DA
bc
Incentro: Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
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A B
C
S
• Simetral (S):
Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB.
Circuncentro: Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
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• Mediana:
Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos.La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.
D, E y F: Puntos medios.
DF, DE y EF: Medianas
DE// BC y DE = BC 2
EF// AC y EF = AC 2
DF// AB y DF = AB 2
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Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales.
El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo ABC.
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• Transversales de gravedad (t):Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.
tctc: transversal desde C
D: Punto medio del lado AB
Centro de gravedad o baricentro(G):
Punto de intersección de las transversales.El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.
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D, E y F: Puntos medios.AE = ta
BF = tb
CD = tc
G: Centro de gravedad
Ejemplo:En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.
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Clasificación de los triángulos según sus ángulos:Clasificación de los triángulos según sus ángulos:
- Acutángulo : 3 ángulos agudos
- Rectángulo : 1 ángulo recto
- Obtusángulo : 1 ángulo obtuso
Clasificación de los triángulos según sus lados:Clasificación de los triángulos según sus lados:
- Escaleno : 3 lados distintos y 3 águlos distintos.- Isósceles : 2 lados iguales (el distinto se llama base).
Los ángulos ubicados en las bases son iguales.
- Equilátero : 3 lados iguales. Sus 3 ángulos son iguales y miden 60º
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Generalidades:Generalidades:
2*alturabaseÁrea =
lados los de sumaPerímetro =
43*2aÁrea =
23*ah =
a
a
a
ha
b
c
a, b : catetosc : hipotenusa
222 bac +=2*baÁrea =
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Teoremas válidos para Triángulos rectángulos
Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:
hipotenusa
cateto
cate
to
El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.
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Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2 ó
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De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide
Ejemplo:
(Aplicando teorema de Pitágoras)
(Desarrollando)
(Restando)
(Aplicando raíz)
152 + (QR)2 = 252
225 + (QR)2 = 625
(QR)2 = 625 - 225
(QR)2 = 400
QR = 20
(Despejando (QR)2 )
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EJERCICIOS
1.- Hallar el área del siguiente triángulo:
2.- Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
3.- Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
4.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
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RESULTADOS EJERCICIOS
1.-
2.-
3.-
4.-
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a2 + b2 = c2
cc
cc
==
=+=+
5/25
91634
2
2
222
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TAREA
Investigar y copia en tu cuaderno de geometría las formulas para calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras geométricas.
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TRIÁNGULO CUADRADO RECTÁNGULO
ROMBO TRAPECIO CIRCUNFERENCIA
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GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓNMatemáticas II – 2010
María Isabel Navarrete LizamaIngeniero de Ejecución en Computación e Informática
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