REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO

SAN FERNANDO ESTADO APURE

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Profesor: Participantes:

San Fernando, Enero 2013

ÍNDICE

Pág.

INTRODUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Triangulo y clasificación 4

Elementos de un triangulo y teoremas 5

Ángulos y clasificación 6

Bisectriz y propiedades 8

Ángulos exteriores de un triangulo 10

semejanzas de triángulos 11

Congruencia de triángulos 12

Teorema del cateto y hipotenusa 12

Desigualdades geométricas 13

CONCLUSIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INTRODUCCIÓN

El triángulo, a pesar de su aparente sencillez, esconde multitud

de resultados interesantes. Además cualquier otro polígono se puede

descomponer en triángulos, por ello todas las propiedades sobre

áreas, ángulos, etc. se trasladan inmediatamente desde el triángulo a

otras figuras más complejas. Igualmente el triángulo es una figura

rígida, por lo que se convierte en una pieza fundamental en la

construcción de diversas estructuras.

El triángulo es el polígono más sencillo, pero no por eso menos

interesante. Alrededor nuestro lo encontramos formando parte de

construcciones, objetos, figuras, etc.

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Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por

tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se

encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de

intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta

determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman

uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos

exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina

triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de

polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina

triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie

terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación de los Triángulos

Según sus lados

w Equilátero: tres lados iguales

w Isósceles: dos lados iguales.

w Escaleno: tres lados desiguales.

 

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Según sus ángulos

w Acutángulo: tres ángulos agudos

w Rectángulo: un ángulo recto

w Obtusángulo: un ángulo obtuso

 

Elementos de un triángulo

 Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en

dos partes iguales.

Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un

triángulo. Es el centro de la circunferencia inscripta.

 

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al

mismo en su punto medio. 

Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de

un triángulo. Es el centro de la circunferencia

circunscripta.

 

 Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y

el lado opuesto.

Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un

triángulo.

 

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 Mediana es el segmento comprendido entre un

vértice y el punto medio del lado opuesto.

Baricentro es el punto de intersección de las tres

medianas de un triángulo.

 

Teoremas

• En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos

iguales.

• En todo triángulo, a ángulos iguales se oponen lados iguales.

• Todo triángulo equilátero es equiángulo, y recíprocamente, todo

triángulo equiángulo es equilátero.

• La bisectriz del ángulo desigual en un triángulo isósceles, es a la

vez altura , mediana y mediatriz de la base de dicho triángulo.

Ángulo

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre

dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen

o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado

sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas

(trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se

denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre

dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es

el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su

tamaño aparente.

Las unidades de medida de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano

son:

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Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de

Unidades)

Grado centesimal

Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como

el goniómetro, el cuadrante, elsextante, la ballestina,

el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación De Ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas

denominaciones:

Tipo Descripción

Ángulo nuloEs el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con

amplitud mayor de 0rad y menor de   rad.Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a   radEs equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es

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mayor a   rad y menor a   radMayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llano,

extendido o

colinealEl ángulo llano tiene una amplitud de   radEquivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo oblicuoÁngulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completo

o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de   radEquivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con

un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el

de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1

Tipo Descripción

Ángulo

convexo

o saliente

Es el que mide menos de   rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o

más de 0g y menos de 200g centesimales).

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Ángulo

cóncavo,

reflejo o

entrante

Es el que mide más de   rad y menos de   rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o

más de 200g y menos de 400g centesimales).

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el

vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar

geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma

distancia) de las semirrectas de un ángulo.

Propiedades

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo.

Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices

se cortan conformando ángulos rectos entre ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y

la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En

efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos

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que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo

plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

Aplicación en triángulos

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se

cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se

llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia

inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de

los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser

paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura).

Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C).

Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas

(AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C)

y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a

D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia

cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados

del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

TEOREMAS

- Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz, o dicho de otra

manera, todo ángulo tiene una bisectriz.

Ángulos exteriores de un triángulo

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Los ángulos exteriores de un triángulo lo forman un lado y

su prolongación.

El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de

los dos interiores no adyacentes.

  Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es

decir, suman 180º.

α = 180º - A

Igualdad de triángulos

Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus lados y sus

ángulos homólogos.

Criterios de igualdad de triángulos

Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos

ángulos adyacentes son iguales.

Dos triángulos que tienen iguales dos lados y el ángulo

comprendido son iguales.

Dos triángulos serán iguales si tienen iguales respectivamente los

tres lados.

Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el

ángulo opuesto al mayor de ellos son iguales.

Semejanza De Triangulos

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Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos

correspondientes iguales y los lados homólogos proporcionales.

Criterios de semejanza de triángulos

Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales,

son semejantes

Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales e iguales los

ángulos comprendidos, son semejantes.

Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales son semejantes.

Congruencia de triángulos

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o

más triángulos presentan ángulos y lado de igual medido o

congruente.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes

tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la

misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación

puede ser escrita matemáticamente así:

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres

partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para

deducir la congruencia de dos triángulos.

Corolarios de congruencia de triángulos

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Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para

que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los

cuales son:

Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son

respectivamente congruentes con los del otro, entonces los

triángulos son congruentes.

Criterio LAL: Dos lados y un ángulo compredido entre ellos.

Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son

respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo,

entonces los triángulos son congruentes.

Criterio LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen

respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor

de ellos.

Teorema Del Cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media

proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

a   hipotenusa

b y c   catetos

m   proyección del cateto b sobre la hipotenusa

n   proyección del cateto c sobre la hipotenusa

La Hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo

rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto. La medida de la

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hipotenusa puede ser hallada mediante el teorema de Pitágoras, si se

conoce la longitud de los otros dos lados, denominados catetos. La

hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de

un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

Desigualdades Geometricas

Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está

hablando de sus medidas.

Propiedades De Las Desigualdades

Tricotomia

x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos:

1) x < y

2) x = y

3) x > y

Propiedad Transitiva

Si x < y y < z entonces x < z

Propiedad Aditiva

a) Si x < y entonces x + c < y + c

b) Si x < y a < b entonces x + a < y + b

Propiedad Multiplicativa

Si a < b y c > 0 entonces ac < bc

Si a = b + c; a, b, c R+ a > b y a > c

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CONCLUSIÓN

Se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto,

es decir, mide 90º (grados sexagesimales). Los triángulos

rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes

entre sus lados, los lados de un triángulo rectángulo que forman el

ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al

ángulo recto) es la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la

hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Algunas funciones

fueron creadas a partir de la trigonometría plana y esférica para

después ser perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones

Trigonométricas, es necesario dejar claro que es importante ya que

forma parte de las matemáticas y que es fundamental en el desarrollo

de algunas operaciones de cálculos para así obtener los resultados de

los objetivos trazados.

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BIBLIOGRAFÍA

Consulta por internet:

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://www.vitutor.com/geo/eso/el_7.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz

http://www.ditutor.com/geometria/angulo_exterior3.html

http://www.matetam.com/glosario/definicion/angulo-externo-un-

triangulo

http://html.rincondelvago.com/geometria-clasica.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr

%C3%ADa)#Congruencia_de_tri.C3.A1ngulos

http://www.vitutor.com/geo/eso/s_6.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

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