Trencaclosques, Jocs i Matematiques Roberto Muoz Snchez

Paradojas, acertijos y demostraciones invlidas TJM

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NDICE

1. INTRODUCCIN 3 2. PARADOJAS 4 2. 1. TIPOS DE PARADOJAS Y EJEMPLOS 4 2. 1. 1. SEGN SU VERACIDAD 4 Paradojas verdicas 4 Antinomias 5 Antinomias de definicin 5 Paradojas condicionales 5 2. 2. 2. SEGN SU CAMPO 5 Paradojas en Matemtica/Lgica 5 Paradojas sobre la Probabilidad y Estadstica 6 Paradojas sobre Lgica 6 Paradojas sobre el infinito 6 Paradojas en Fsica 6 Paradojas en Economa 7 Paradojas Bblicas y religiosas 7 2. 2. EL PROBLEMA DE MONTY HALL 7 Una explicacin grfica 8 2. 3. PARADOJA DEL CUMPLEAOS 9 2. 4. PARADOJAS DE ZENN 10 Aquiles y la tortuga 11 El lanzamiento de una piedra contra un rbol 11 La paradoja de la flecha 12 2. 5. PARADOJA DEL MENTIROSO 13 2. 6. OTRAS PARADOJAS 13 3. ACERTIJOS 15 3. 1. TIPOS DE ACERTIJOS 15 Hechos atpicos 15 Con trampa y juego de palabras 16 Complicados 16 Juego de las preguntas 17 3. 2. MS ACERTIJOS 18 4. DEMOSTRACIONES INVLIDAS 20 4. 1. DEMOSTRACIN DE 1 = -1 20 4. 2. DEMOSTRACIN DE 1 < 0 21 4. 3. DEMOSTRACIN DE 2 = 1 21 4. 4. OTRA DEMOSTRACIN DE 2 = 1 22 4. 5. DEMOSTRACIN DE 4 = 2 23 4. 6. DEMOSTRACIN DE a = b, PARA a b 23 4. 7. DEMOSTRACIN DE 0 = 1 24 4. 8. DEMOSTRACIN DE 0.999 = 1 24 4. 9. OTRA DEMOSTRACIN DE 1 = -1 25 4. 10 DEMOSTRACIN DE 0 = 4 25 5. BIBLIOGRAFA 27

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1. INTRODUCCIN La Real Academia Espaola define en su edicin on-line las Matemticas (del griego , mthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, , mathematiks: amante del conocimiento) como la ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como nmeros, figuras geomtricas o smbolos, y sus relaciones, as como su evolucin en el tiempo. De esta definicin podra deducirse que las Matemticas no nos incumben porque son abstractas, mientras que nosotros, los humanos, somos reales. Sin embargo es ms que evidente que vivimos las Matemticas en el da a da durante toda nuestra existencia: horarios, calendarios, dinero, precios,

Aunque la Matemtica sea la supuesta "Reina de las Ciencias", algunos matemticos no la consideran una ciencia natural. Principalmente, los matemticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la Matemtica, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalizacin elegante, o una herramienta til para clculos frecuentes. Adems, muchos matemticos consideran la Matemtica como una forma de arte en vez de una ciencia prctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemticos investigan frecuentemente s tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Fsica.

La Matemtica es considerada un arte, pero tambin una ciencia de estudio. Informalmente, y como ya se ha comentado antes, se puede decir que es el estudio de los "nmeros y smbolos". Es decir, es la investigacin de estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la lgica y la notacin matemtica. Es tambin la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los mtodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.

No es infrecuente encontrar a quien describe la Matemtica como una simple extensin de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramtica y un vocabulario definidos con extrema precisin, cuyo propsito es la descripcin y exploracin de relaciones conceptuales y fsicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una direccin diferente: los lenguajes naturales (como el espaol y el francs) y los lenguajes formales (como la Matemtica y los lenguajes de programacin) son estructuras de naturaleza bsicamente diferente.

Pero dejando a un lado los formalismos, tambin se pueden tomar las Matemticas como retos y juegos y, profundizando an ms en ellas, podemos disfrazar los diferentes axiomas que se definen para alterar las Matemticas y crear situaciones imposibles, perfectamente y sencillamente demostrables gracias a las herramientas (errneas pero ocultas) que nos hemos creado.

De este modo encontramos la cara amable y curiosa de esta ciencia, con acertijos que nos hacen ver ms all de lo que tenemos delante, paradojas que cambian nuestros puntos de vista sobre situaciones varias y demostraciones que haran que ms de uno se tirara de los pelos.

A continuacin se presentan estas curiosidades matemticas con algunos ejemplos que no nos dejaran indiferentes.

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2. PARADOJAS

Una paradoja es una declaracin en apariencia verdadera que conlleva a una auto-contradiccin lgica o a una situacin que contradice el sentido comn. Dicho de otro modo, una paradoja es 'lo opuesto a lo que uno considera cierto'. La identificacin de paradojas basadas en conceptos en apariencia razonables y simples ha impulsado importantes avances en la ciencia, filosofa y las matemticas.

Entre los temas recurrentes en las paradojas se encuentra la auto-referencia directa e indirecta, la infinitud, definiciones circulares y confusin de niveles de razonamiento.

La etimologa de la palabra paradoja proviene de comienzos del perodo renacentista europeo o los acelerados avances cientficos de Eurasia luego del 1500. Las primeras formas de la palabra aparecieron como la palabra del latn paradoxum, pero es encontrada tambin en textos griegos como paradoxon. Se encuentra compuesta por el prefijo para-, que significa "contrario a" o "alterado", en conjuncin con el sufijo doxa, que significa "opinin". La paradoja del mentiroso y otras paradojas similares ya se estudiaron en la edad media bajo el ttulo insolubilia.

No todas las paradojas son iguales. Por ejemplo, la paradoja del cumpleaos puede ser definida mejor como una sorpresa que como una paradoja, mientras que la resolucin de la paradoja de Curry es an un tema importante de debate.

2. 1. TIPOS DE PARADOJAS Y EJEMPLOS

Las paradojas se pueden clasificar de diferentes modos, aunque es habitual encontrarlas divididas segn su veracidad y condiciones o segn el campo al que pertenecen.

2. 1. 1. SEGN SU VERACIDAD

En el primer grupo se pueden encontrar paradojas que slo parecen serlo (lo que afirman es realmente cierto o falso), otras se contradicen, por lo que se consideran verdaderas paradojas, mientras que otras dependen de su interpretacin para ser o no paradjicas.

Paradojas verdicas

Son resultados que aparentan tal vez ser absurdos a pesar de ser demostrable su veracidad. A esta categora pertenecen la mayor parte de las paradojas matemticas.

Paradoja del cumpleaos: cul es la probabilidad de que dos personas en una reunin cumplan aos el mismo da?

Paradoja de Galileo: a pesar de que no todos los nmeros son nmeros cuadrados, no hay ms nmeros que nmeros cuadrados.

Paradoja del hotel infinito: un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar ms huspedes, incluso si est lleno.

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Antinomias

Son paradojas que alcanzan un resultado que se autocontradice, aplicando correctamente modos aceptados de razonamiento. Muestran fallos en un modo de razn, axioma o definicin previamente aceptados. Por ejemplo, la Paradoja de Grelling-Nelson seala problemas genuinos en nuestro modo de entender las ideas de verdad y descripcin. Muchos de ellos son casos especficos, o adaptaciones, de la Paradoja de Russell.

Paradoja de Russell: Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a s mismos?

Paradoja de Curry: "Si no me equivoco, el mundo se acabar en diez das" Paradoja del mentiroso: "Esta oracin es falsa" Paradoja de Grelling-Nelson: Es la palabra "heterolgico", que significa "que no

describe a s mismo", heterolgica?

Antinomias de definicin

Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sin las cuales no alcanzan una contradiccin.

Paradoja sorites: En qu momento un montn deja de serlo cuando se quitan granos de arena?

Paradoja de Teseo: Cuando se han reemplazado todas las partes de un barco, sigue siendo el mismo barco?

Paradojas condicionales

Slo son paradjicas si se hacen ciertas suposiciones. Algunas de ellas muestran que esas suposiciones son falsas o incompletas.

Paradoja del viaje en el tiempo: Qu pasara si viajas en el tiempo y matas a tu abuelo antes de que conozca a tu abuela?

2.1.2. SEGN SU CAMPO

Todas las paradojas se consideran relacionadas con la lgica, que antiguamente se consideraba parte de la filosofa, pero que ahora se ha formalizado y se ha incluido como una parte importante de la matemtica. A pesar de ello, muchas paradojas han ayudado entender y avanzar algunas reas concretas del conocimiento.

Paradojas en Matemtica / Lgica

Paradoja de Banach-Tarski: es posible fabricar un rompecabezas tridimensional de un total de ocho piezas, las cuales, combinadas de una determinada manera, formaran una esfera completa y rellena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formaran dos e