Tratamiento Digital de SealesAo 2012Tcnicas Digitales IIIRev.1.2Introduccin al

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Seales y sistemasSeales y clasificacin

Sistemas y clasificacin

Respuesta al impulso de los sistemas

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*SealesSe tratarn 4 tipos de seales:Analgicas, x(t): amplitud y tiempo continuos.Muestreadas,X[n], tiempo discreto , amplitud continua.Cuantizada,Xq[t], tiempo continua amplitud discreta.Digital, -xq[n], amplitud y tiempo discreto.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Clasificacin de las sealesClasificacin de las seales segn su duracin Causales: Son 0 para t0. Se definen slo para el eje negativo de t.No causales: Se definen para ambos ejes de t.Continuas: Se definen para todo tiempo t.Peridicas: xp(t) = xp(tnT), donde T es el periodo y n es un entero.Basada en la simetraSimetra Par: x(t) = x(-t)Simetra Impar: x(t) = -x(-t)En energa y potencia (impulsos limitados en tiempo y seales peridicas)Energa de una seal : Potencia de una seal :

Una seal se dice que es de energa si Ex es finito, lo que implicaque Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo.Una seal se dice que es de potencia si Px es finito, lo que implicaque Ex es infinito. Ej. Una seal peridica.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Algunas Seales

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Algunas seales: (cont)

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Operaciones con seales:Desplazamiento en el tiempo: x(t-2), desp. A la derecha

Compresin en el tiempo: x(2t)

Dilatacin en el tiempo: x(t/2)

Reflexin: x(-t)

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*SistemaUn sistema fsico es un conjunto de dispositivos conectados entre s, cuyo funcionamiento est sujeto a leyes fsicas. Para nosotros un sistema es un procesador de seales.

Las seales a ser procesadas son la exitacin del sistema . La salida del sistema es nuestra seal procesada.

El anlisis de sistemas implica el estudio de la respuesta del sistema a entradas conocidas.La sntesis de sistemas se realiza especificando las salidas que deseamos para una entradas dadas y estudiando que sistema es el ms adecuado .

El sistema se representa mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la salida y(t) y la entrada x(t) mediante constantes, parmetros y variables independientes.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Sistemas: ClasificacinLos sistemas se clasifican en :* Lineales: los coeficientes no dependen de x o y, no hay trminos constantes.* No lineales: los coeficientes dependen de x o y, hay trminos constantes.* Invariante en el tiempo: Los coeficientes no dependen de t.* Variante en el tiempo: Los coeficientes son funciones de t.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*A los sistemas lineales se les puede aplicar el principio de superposicin.Si x(t)=x1(t)+x2(t) -> y(t)= y1(t)+y2(t) x(t)=K x1(t) -> y(t)=K. y1(t)

Un sistema es invariante en el tiempo cuando la respuesta y(t) depende slo de la forma de la entrada x(t) y no del tiempo en que se aplica. Matemticamente: Si L{x()t}=y(t) -> L{x(t-t0)}=y(t-t0)L{} indica el sistema fsico en cuestin.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Para Finalizar sistemaUsaremos sistemas LTI: lineal e invariante en el tiempo.La respuesta al impulso del sistema se representa con h(t) y es la respuesta a la exitacin delta de dirac y nos proporciona la base para estudiar cualquier tipo de entrada.Es la principal herramienta para el estudio de un sistema.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*ConvolucinPodremos calcular la respuesta y(t) de un sistema a una entrada cualquiera x(t).Condiciones para llevarla a cabo: Sistema LTI Respuesta al impulso del sistema h(t)Basndonos en el principio de superposicin y en que el sistema es invariante en el tiempo:

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Una seal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t) en tiras rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el rea de latira : ts . x(k.ts) (t Kts)

La funcin xs(t) que aproxima x(t) es :

x(t) es el lmite cuando ts -> d , kts-> :

Y aplicando el principio de superposicin:

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Conclusiones ConvolucinMediante convolucin hemos sido capaces de determinar la respuesta del sistema a una seal de entrada a partir de la respuesta del sistema a una entrada impulso.La funcin h(t) se define para t>=0 y decrece cuando t->00, para la mayora de los sistemas fsicos. Por tanto, La respuesta en t0 depende de los valores actual y pasados de la entraday de la respuesta al impulso. Los valores ms recientes de x(t) son multiplicados por sus correspondientes ms antiguos (y ms grandes) valores de h(t).

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Propiedades de la convolucinPropiedades (se supone que x(t)*h(t)=y(t)):

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

Ejemplo de uso de la autocorrelacin: Radar.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*En la prctica se trabaja con secuencias de longitud finita. Para hacerla convolucin, una de las secuencias se refleja y se desplazasucesivamente. Veremos algunos mtodos para calcular la convolucina partir de dos secuencias.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Convolucin DiscretaPropiedades sobre la duracin de la convolucin discreta. El ndice del comienzo de la convolucin es la suma de los ndices de comienzo de las respectivas seales. Si las dos seales comienzan en n=n0 y n=n1, la convolucin comienza en n=n0+n1.Para dos secuencias de duracin M y N, su convolucin se extiende durante M+N-1 muestreos.

Propiedades de la convolucin discreta (x[n]*h[n]=y[n])

Formas de calcular la convolucion discreta:

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Correlacin discreta : Se definen de igual manera que en el caso continuo, as como la autocorrelacin.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Series y Transformada de FourierLas series de fourier describen seales peridicas como una combinacin de seales armnicas (sinusoides).Se puede analizar una seal peridica en trminos de su contenido frecuencial o espectro.Dualidad entre tiempo y frecuencia.Forma trigonomtrica de las series de fourier: se pretende describir una funcin peridica x(t) de perodo T, frec fundamental f=1/T ,w0=2*Pi*f0

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

En forma exponencial:

Clculo de los coeficientes

Relacin de Parseval

La potencia contenida en una seal puede evaluarse a partir de loscoeficientes de su correspondiente serie de Fourier.

Espectro de seales peridicas : Los coeficientes Xs[k] son los coeficientes espectrales de la seal xp(t).La grfica de esos coeficientes en funcin del ndice armnico k de las frecuencias kw0, se denomina espectro.Hay dos tipos de grficos, uno de magnitud con los coeficientes |Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k].La funcin |Xs[k]| as como la fase de Xs[k] son funciones discretas de la frecuencia.Es importante saber cuantos armnicos sern necesarios para reconstruir una seal dada. Para ello utilizaremos la relacin de Parseval.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Efecto GibbsPara seales discontinuas, su reconstruccn a partir de las series de Fourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparicin de un pico de del 9% en el punto de discontinuidad . Aun se tiene este efecto cuando se utilicen gran cantidad de armnicos para la reconstruccin.Al querer aproximar la funcin peridica que tiene infinitos armnicos hay que truncar la funcin hasta el armnico N -> se produce este efecto.Para eliminarlo se usan las llamadas ventanas espectrales que suavizan la reconstruccin de la funcin.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Transformada de FourierPara ampliar el concepto de series de Fourier a seales no peridicas se puede visualizar una seal no peridica como una seal continua de perodo infinito .El espaciado entre frecuencias se aprox. a cero y es por lo tanto una funcin continuaLa seal pasa a ser de potencia a seal de energa.Los coeficientes Xs[k] son cero. Ya no es un indicador del contenido espectral de la seal.Se define la Transformada de Fourier de x(t) como

Relacin entre series y transformada de FourierX(w) es la funcin envolvente de Xs[k]Si muestreamos X(w) a intervalos f0. la funcin resultante es el espectro de una seal peridica de perodo T0=1/f0

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde con seales peridicas en el dominio temporal.

La transformada inversa de Fourier de X(w)

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Limitaciones de la Transformada de FourierEl sistema debe tener condiciones iniciales cero.Entradas que no son seales de energa requieren el uso de impulsos.Por ello se extiende el concepto de la Transformada de Fourier a la Transformada de Laplace.Transformada de Laplace

La cantidad compleja s= s+j w. De esta forma se generaliza el concepto de frecuencia en la Transformada de Fourier.Se hace notar que el lmite inferior de la integral es 0, lo cual proporciona una misma Transformada para seales causales ya que x(t) y x(t)u(t) son iguales.La Transformada de Laplace existe si la integral que la define es finita.Para ello se necesita que los valores de s sean unos concretos, lo que define una regin de convergencia de la Transformada de Laplace.Con la Transformada de Laplace se generaliza el concepto de funcin de Transferencia de un sistema a aquellos cuyas condiciones iniciales son no nulas.De igual manera que en la Transformada de Fourier, podemos obtener la respuesta de un sistema a un seal de entrada x(t) a partir sus Transformadas de Laplace:

Donde H(s) es la funcin de transferencia del sistema.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Muestreo y CuantizacinEl muestreo digital de una seal analgica trae consigo una discretizacin tanto en el dominio temporal como en el de la amplitud.Para describir matemticamente el muestreo nos basaremos en el muestreo ideal. Consiste en una funcin que toma los valores de la seal Xc(t) en los instantes de muestreo y cero en los otros puntos.

Donde ts es el perodo de muestreo y x(t) es la funcin de interpolacin.El muestreo trae aparejado prdida de informacin de la seal original. El teorema del muestreo establece en que condiciones se debe muestrear para que no se nos escapen los eventos de la seal original que son importantes para nuestro posterior desarrollo con la seal.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Concepto de discretizacin de la sealTiempo discreto y amplitud discreta

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Teorema del muestreoUna seal Xc(t) con un espectro limitado a la frecuencia Fb ( |f|=2Fb.De no muestrearse al menos a esa frecuencia tiene lugar el fenmeno de Aliasing .

TECNICAS DIGITALES III

Fb/Fs

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Es decir,el espectro de la seal muestreada se compone de una funcin de perodo 1/t, replicndose en cada perodo el espectro de la seal original. En la sig. Fig. se observa el fenmeno:

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Este tipo de reconstruccin tiene los siguientes problemas : El dominio de la funcin sinc es infinito Requiere muestreo pasados y futuros. Se puede truncar la funcin sinc(t) -> aparecera el efecto Gibbs No es posible reconstruir funciones con discontinuidades.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Diagrama

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Seleccin del Filtro AntialiasRango Dinmico es la relacin entre la seal esperada mas grande a la mas pequea seal que puede ser resuelta, y es usualmente expresada en dB.Los requerimientos del Filtro Antialias no solo estn relacionados a la Tasa de Muestreo sino tambin al Rango Dinmico del Sistema.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*CuantizacinPara procesar seales digitales no solo alcanza con muestrear la seal analgica, sino tambin cuantizar la amplitud de la seal a un nmero finito de niveles.

El tipo ms usual es la cuantizacin uniforme en el que los niveles son todos iguales. La mayora usan un nmero de niveles que es potencia de 2. Si , cada uno de los niveles es codificado a un nmero binario de b bits.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Transformada Discreta de FourierAnalizaremos primero la DTFT (transformada de fourier en tiempo discreto) que describe el espectro de seales discretas. Deduciremos la DFT a partir de la convolucin discreta ya explicada.All se defini la convolucin discreta como

Si tenemos una seal de entrada armnica x[n]=exp(j2.pi.n.f.ts). La respuesta ser:

Donde H(f) es la DTFT de h(n). H(f) es peridica debido a que h(n) es discreta.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Se define la DTFT de una seal discreta x[n] como

Dualidad entre las series de Fourier y la DTFTTenemos una seal peridica continua xp(t). Mediante las series de Fourier transformamos esa seal peridica continua en una funcin aperidica y discreta (los coeficientes espectrales Xs[k]).

De manera dual podemos intercambiar tiempo y frecuencia de forma:

Donde Sf=1/ts. Ahora tenemos una seal aperidica discreta xs[k] y la transformamos en una seal peridica continua Xp(f) median te la DTFT.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se manifiesta en lo siguiente:

En las series de Fourier parto de una seal x(t), temporal, continua y peridica (periodo T) y obtengo los coeficientes X[k], que es una funcin de la frecuencia, aperidica y discreta con una distancia entre dos valores consecutivos de f0=1/T.

En la DTFT parto de una seal discreta en el tiempo x[n], con periodo de muestreo ts=1/fs y aperidica y obtengo una funcin X(f), que es funcin continua de la frecuencia y peridica con periodo fs.

Todas las propiedades que se vieron para las series de Fourier tienen su correspondientes equivalencias en la DTFT.Sin embargo, a la hora de realizar operaciones tenemos los mismos problemas que en las series de Fourier ya que seguimos tratanto con seales continuas o con series de datos de longitud infinita. La electrnica nos obliga a trabajar con un nmero finito de datos discretos que adems tienen una precisin finita.De lo que se trata es de conseguir discretizar las variables continuas y de limitar el nmeros de muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial).Esto nos lleva a definir las series discretas de Fourier y la Transformada Discreta de Fourier (DFT).

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier

Para las Series de Fourier se cumple (f0=1/T)

Para limitar xp(t), tomamos N muestras de xp(t) durante un periodo aintervalos ts, de forma que Nts=T. Al calcular los coeficientes X[k] mequeda,

La cantidad X[k] es la serie de Fourier Discreta de la seal peridica muestreada xP[n].

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*De la DTFT a la DFT

Tenemos una seal x[n] limitado a N muestras con un periodo demuestreo ts.La DTFT se define como

XP(f) es peridica con periodo 1/ts. Muestreamos esta seal N veces sobre un periodo, por tanto XT[k] ser sustituir f por k/(Nts) :

Esta ltima expresin resultante es la Transformada Discreta de Fourier de una seal x[n]. Excepto por el trmino 1/N es idntica a la Serie Discreta de Fourier.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Podemos interpretar los resultados del DFT de una secuencia xs[n] desde dos puntos de vista:

Como los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una seal peridica discreta cuyos muestreos coinciden con la secuencia xs[n].Como el espectro de una seal aperidica discreta cuyos muestreos corresponden a la secuencia xs[n].

La DFT es una aproximacin al espectro de la seal analgica original. Su magnitud se ve influenciada por el intervalo de muestreo, mientras que su fase depende de los instantes de muestreo.

En general, el DFT es una aproximacin a las series o a la transformada de Fourier. Es muy importante elegir correctamente los parmetros del DFT (frecuencia de muestreo fs=1/ts, resolucin de frecuencia f0=1/D). La resoluci{on frecuencial depende solo de la duraci{on.La frecuencia de muestreo se determina a partir del teorema de muestreo. Si queremos detectar el espectro de una seal hasta una mxima frecuencia B , la frecuencia de muestreo deber ser 2B.La duracin del muestreo se elige para una determinada resolucin de frecuencia. Una regla de diseo muy til es: Si queremos los M primeros armnicos de una seal con un error mximo del 5%, el nmero de muestreos N=8M.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*EjemploEjemplo: Queremos determinar mediante un algoritmo digital el espectro de la seal x(t)=exp(-t). La mxima frecuencia de la que pide su coeficiente es fB=1Hz. Adems el armnico correspondiente a f=0.3Hz debe tener un error menor que el 5%. Calcular fs,D y N.

De acuerdo con el Teorema del Muestreo fs=2fB=2Hz. Escogemos una resolucin frecuencial de f0=0.1Hz, de forma queD=1/0.1=10s.La frecuencia 0.3Hz se corresponde con el ndice k=3, por lo queN=38=24 muestreos. Esto me indica que fs=N/D=24/10=2.4 > 2. Si el objetivo es hacer que N sea lo menor posible (para facilitar losclculos del DFT), se puede elegir f0=0.3Hz, D=1/0.3=3.33s, k=1 yN=18=8.

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Resumiendo Series y transformadasSeries de Fourier Seal Continua Peridica (periodo T), Espectro Discreto Aperidico(intervalo de discretizacin 1/T)

Transformada de Fourier Seal Continua Aperidica, Espectro Continuo Aperidico.

Transformada de Fourier Discreta en el Tiempo Seal Discreta Aperidica (intervalo de discretizacin ts), Espectro Continuo Peridico (periodo 1/ ts)

Transformada Discreta de FourierSeal Discreta Peridica (intervalo de discretizacin ts, periodo T),Espectro Discreto (intervalo de discretizacin 1/T)

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Tipos de Transformadas

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*Concepto fundamental de DSP

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III

TECNICAS DIGITALES III*

TECNICAS DIGITALES III