Reflexión y Transmisión de los Rayos Sísmicos Incidentes Oblicuos

Reflexión y Transmisión de los Rayos Sísmicos Incidentes Oblicuos

Cuando un rayo de ondas P incide oblicuamente sobre una interfase con contraste de impedancia acústica, se generan rayos de ondas P reflejados y transmitidos, tal y como sucedía cuando el rayo era normal. Además, parte de la energía compresiva incidente se transforma en rayos S reflejados y transmitidos, que se encuentran polarizados en un plano vertical.

Rayos Reflejados y refractados generados por un rayo P que incide oblicuamente sobre una interfase con contraste de impedancia acústica.

Las ecuaciones de Zoeppritz muestran que las amplitudes de las cuatro fases son función del ángulo de incidencia (). Los rayos convertidos pueden alcanzar una magnitud significativa para ángulos de incidencia altos. Sin embargo, estos rayos sólo tienen un interés menor en la prospección sísmica y no se van a considerar.En el caso de incidencia oblicua, los rayos-P transmitidos viajan a través de la capa inferior con un cambio en la dirección de propagación, y son denominados rayos refractados.

Rayos Reflejados y refractados generados por un rayo P que incide oblicuamente sobre una interfase con contraste de impedancia acústica.

La forma generalizada de la Ley de Snell establece que para cualquier rayo, la cantidad sen (i/v) permanece constante y es conocida como el parámetro de rayo (p), donde y es el ángulo de inclinación del rayo en una capa en la cual viaja con una velocidad v.Para el rayo-P refractado de la se verifica entonces:

Rayos P reflejados y refractados asociados a un Rayo-P que incide de un modo oblicuo sobre una interfase con contraste de Impedancia Acústica.

O bien

Nótese que si v2 > v1 el rayo refractado se aleja de la normal a la superficie (θ2 > θ1).

La ley de Snell también se aplica al rayo reflejado, de donde se deduce que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

La Refracción Crítica

Cuando la velocidad de la capa inferior es mayor, existe un ángulo de incidencia conocido como ángulo crítico (θC), para el cual el ángulo de refracción es de 90º. Esto da lugar a un ángulo refractado crítico que viaja a lo largo de la interfase a la velocidad mayor (V2). Para cualquier ángulo mayor que el ángulo crítico existe una reflexión total interna de la energía incidente (además de los rayos-S convertidos sobre un amplio rango de ángulos). Este ángulo crítico viene dado por:

O bien

Rayos Reflejados y refractados generados por un rayo P que incide oblicuamente sobre una interfase con contraste de impedancia acústica.

El paso del rayo crítico refractado a lo largo del techo de la capa inferior causa una perturbación en la capa superior que viaja hacia adelante a la velocidad V2, la cual es mayor que la velocidad de la capa superior (V1).

La situación es análoga a aquella de un proyectil viajando a través del aire a una velocidad mayor que la del sonido, generando una onda de choque.

En prospección sísmica esta onda es conocida como onda de cabeza o de choque (head wave), y pasa de un modo oblicuo a través de la capa superior hacia la superficie.

Cualquier rayo asociado con esta onda de choque presenta una inclinación igual al ángulo crítico (θC).

Gracias a la onda de choque, la energía sísmica regresa a la superficie después de una refracción crítica en una capa situada por debajo y con una mayor velocidad.

La DifracciónLa reflexión y transmisión de la energía sísmica en las interfaces de contraste de impedancia acústica, estaba implícitamente asumida que las interfaces eran continuas y con baja curvatura.

En las discontinuidades abruptas en las interfases, o estructuras cuyos radios de curvatura son más cortas que la longitud de onda de las ondas incidentes, las leyes de reflexión y refracción no son aplicables. Tal fenómeno da lugar a una dispersión radial de la energía sísmica incidente conocida como difracción.

Ejemplos comunes de fuentes de difracción son las cuñas de capas falladas, así como pequeños objetos aislados, tales como bloques en un medio homogéneo.

Las fases difractadas se observan comúnmente en registros sísmicos y a veces son difíciles de discriminar de las fases reflejadas y refractadas.

Difracción de la energía sísmica causada por el final truncado de una capa fallada.

Caso de la Onda Directa

Se representa un gráfico del Tiempo en función de la distancia, y la onda directa queda reflejada por una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es la inversa de la velocidad:

Trayectorias de los rayos directos, reflejados y refractados en una superficie cercana hacia un detector, para el caso de un modelo geológico simple de dos capas.

Como los geófonos están igualmente espaciados, la curva será una línea recta que pasa por el origen cuya ecuación de tiempo de viaje tendrá la forma:

Como la derivada de una curva nos da la pendiente: dt/dx = m = 1/V1 o V1 = 1/m

Esto significa que con una grafica de este tipo, podremos determinar la velocidad de la onda directa que se propaga entre la fuente y el sensor, y obtener así alguna información sobre el material por el cual se propagó. Más aún, veremos que la curva de tiempo-distancia nos proveerá es mucho más información.

Dromocronas o Curvas de Tiempo de Viaje

Como los geófonos no tienen la sensibilidad y amortiguamiento de los sismógrafos de observatorios, solo pueden detectar con precisión la onda que primero les llega y que por ello se denominan primeros arribos.

Si bien existen los arribos posteriores, estos no son lo suficientemente claros para ser detectados e interpretados. Lo mismo ocurre con las ondas transversales o de cizalla que arriban más tarde.

Como sabemos, el suelo no es homogéneo. Es de esperar que encontremos varias interfaces o capas, y obviamente en cada una de ellas habrá refracciones, reflexiones y conversiones de las ondas. Por ahora solo analizaremos las refracciones.

Cuando el subsuelo tiene una interfaz, lo que se conoce como el caso de dos capas horizontales, hacemos el siguiente análisis para resolver la ecuación de tiempo de viaje.

El camino que recorre la perturbación desde la fuente de energía E hasta el geófono G, es aquel rayo que se refracta con ángulo critico y viaja a la velocidad V2 por la interfaz. Como cada punto alcanzado por este rayo emite nuevas ondas por el Principio de Huygens, solo tendremos en cuenta aquel que sale con el mismo ángulo de incidencia θic.La ecuación del tiempo de viaje será:

t = EM/V1 + MN/V2 + NG/V1Calculamos los caminos parciales de las ondas en función del ángulo crítico y la profundidad:cosθic = h1 / EM ; EM = NG = h1 / cosθic ; EA = BG = h1.tgθic ; MN = x - h1.tgθic

Y reemplazándolos en la ecuación del tiempo,

sen2θic + cos2θic = 1 ó

cos2θic = 1 - sen2θic

= 1 - V21/ V2

2.

Entonces cos2θic = (V22- V2

1) / V22

Finalmente quedará

Con esto tenemos suficiente información para decidir si el rayo refractado críticamente puede ser usado para resolver la geología del subsuelo.

Construimos la gráfica con los valores de x y t correspondientes a cada geópono y analizamos los tiempos de arribo.

Notamos que a partir de una cierta distancia los valores se alinean en otra recta con pendiente V2.

Es decir que se produce un claro quiebre de pendiente, lo que evidencia que el subsuelo consta de por lo menos una interfaz.

En realidad las rectas con pendientes 1/V1 y 1/V2 se extienden hasta el infinito, pero la segunda no se inicia en el origen sino en el punto que está a una distancia igual a la de la reflexión con ángulo crítico, y que es justamente la primera refracción.

La ecuación del tiempo de viaje será entonces t = EP/V1 + PR/V2 + RS/V3 + SQ/V1 Igual que en caso de dos capas, calculamos los caminos parciales de las ondas en función de los ángulos de incidencia y crítico y de la profundidad: senθi / senθr = V1 / V2 ; senθr = senθic = V1 / V2 ; senθic = V1 / V3 ;

EP = QG = h1/ cosθi ; PR = SQ = h2.cosθic ; EA = BG - h1.tgθi ;

PC = DQ = h2.tgθic ; RS = x – 2.h1.tgθi – 2.h2.tgθic

Sabemos que

Entonces

Agrupando

Agrupando de nuevo

Finalmente

La primera derivada de t respecto de x nos da ahora la pendiente de la curva: dt/dx = 1/V3

La determinación del espesor h2 del segundo estrato o capa de velocidad V2, se obtiene midiendo el tiempo de interceptación ti2 en la grafica, es decir el valor de t cuando x=0:

Cuando el subsuelo tiene interfaces múltiples, lo que se conoce como el caso de capas múltiples, siempre horizontales, la obtención de la ecuación de tiempo de viaje se complica más, pero en definitiva tiene una forma similar a la de dos o tres capas.

• Nuevamente la primera derivada de t respecto de x da la pendiente de la curva: dt/dx = 1/Vn

• La construcción de las dromocronas desde los registros de campo requiere de un proceso matemático conocido como regresión lineal. Como los puntos no están alineados, debe encontrarse la recta que mejor se ajusta a ellos. Esto porque que el suelo donde se “clava” cada geófono generalmente no es siempre el mismo, ni tampoco el anclaje ni la fijación.

• Cuando se presenta una interfaz inclinada la determinación se complica más, pero no lo suficiente como para que no pueda ser resuelto también.

Resulta interesante analizar las dromocronas para una interfaz horizontal y una inclinada ascendente hacia la derecha, manteniendo los contrastes de velocidad y la profundidad en un extremo. En la gráfica vemos que la pendiente de la segunda recta (refractada) disminuye, o lo que es lo mismo, la velocidad aumenta. Quiere decir que la inclinación del estrato distorsiona el valor verdadero de la velocidad, razón por la que se la llama velocidad aparente. Concreta-mente, si la interfaz se inclina ascendente hacia la derecha la velocidad aparente es mayor, y si se inclina ascendente a la izquierda la velocidad aparente disminuye.Pareciera entonces que el método falla, es decir que no sabremos si estamos en presencia de un estrato horizontal o inclinado y por lo tanto obtendremos el valor de una velocidad que tampoco sabremos si es verdadera. Afortunadamente a alguien se le ocurrió realizar lo que se conoce como contraperfil. Esto implica colocar la fuente en el otro extremo de la ristra.

En la práctica esto es sencillo, porque la ristra de geófonos se coloca una sola vez y solo debe generarse la perturbación en los dos extremos del perfil.Primero analicemos las dromocronas con perfil y contraperfil para estratos horizontales. Vemos que son totalmente simétricas o espejadas, y las pendientes de las rectas son idénticas tanto de ida como de vuelta. Cuando el estrato está inclinado notamos que el primer tramo o recta de propagación directa es idéntico y espejado como en el caso horizontal, pero en el segundo tramo las pendientes no son iguales. Los tiempos totales de ida y de vuelta llamados tiempos recíprocos sí son iguales, esto porque el camino que recorre la onda de ida o de vuelta es el mismo. Lo que cambia en cada caso es la longitud de los caminos parciales que componen el camino total.

Un detalle importante que simplifica aún más el proceso es que, si la pendiente de la interfaz es menor del 10%, la velocidad verdadera resulta bien determinada al promediar las velocidades aparentes de ida y de vuelta, también llamadas descendente y ascendente.Confeccionemos entonces la ecuación de tiempo de viaje con una capa inclinada, que será esencialmente la misma que para capa horizontal. Por supuesto, habrá ahora dos ecuaciones: La de tiempo ascendente ta y descendente td . Veamos la ascendente:

ta = EM/V1 + MN/V2 + NGV1Calculamos los caminos parciales de las ondas en función del ángulo crítico y la profundidad:

Seismic Refraction

Vertical GeophonesSource(Plate)

Rock: Vp2

ASTM D 5777

Soil: Vp1

oscilloscope

x1x2x3x4

t1 t2 t3 t4

Note: Vp1 < Vp2

zR

Determine depthto rock layer, zR

Seismic Refraction

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Travel Tim

e (seconds)

0 10 20 30 40 50 Distance From Source (meters)

Horizontal Soil Layer over Rock

Vp1 = 1350 m/s

1

Vp2 = 4880 m/s

1z

x2

V VV V

cc p2 p1

p2 p1

Depth to Rock: zc = 5.65 m

xc = 15.0 m

x values

t val

ues