MODELO ARHIETE. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS HIDRÁULICOS ENSISTEMAS COMPLEJOS MEDIANTE MODELO ELÁSTICO.

Pedro L. Iglesias Rey1; Vicente S. Fuertes Miquel1; Joaquín Izquierdo Sebastián1

Resumen – En el presente artículo se aborda una formulación alternativa de las ecuacionescorrespondientes a los fenómenos transitorios en conducciones. Cuando un modelo en régimendinámido se analiza mediante modelo elástico es necesario plantear toda una serie de condicionesde contorno. El planteamiento de cada una de ellas por separado requiere una gran cantidad deformulación matemática y un importante desarrollo computacional. El método descrito en esteartículo pretende generalizar la formulación de las diferentes condiciones de contorno de un sistemahidráulico cuando se analiza un fenómeno dinámico elástico. El resultado es un método flexible,capaz de adaptarse a las diferentes condiciones de contorno reales y al mismo tiempo compacto, porlo que no es necesario el desarrollo de una gran cantidad de código para realizar modificaciones oampliaciones en el mismo. El artículo toma como punto de partida un estudio previo de Izquierdo eIglesias (1997), que constituye la base del modelo DYAGATS válido únicamente para sistemassimples. En el artículo se aborda la generalización para sistemas complejos, y la formulaciónobtenida constituye el núcleo del modelo ARhIETE desarrollado por el Grupo Mecánica de Fluidosde la Universidad Politécnica de Valencia.Abstract – In the present paper an alternative formulation of the equations for transient analysisphenomena in conductions is undertaken. When a dynamic model is analyzed by means of modelelastic is necessary to present all a contour conditions series. The behaviour of each one of them byseparated requires a large quantity of mathematical formulation and an important computationaldevelopment. The method described generalize the formulation of the different contour conditionsof a hydraulic system when is analyzed with the elastic model. The result is a capable, flexiblemethod of being adapted to the different real conditions of contour and at same time, for which isnot necessary the development of a large quantity of code to carry out modifications orenlargements. The paper takes like point of departure a prior study of Izquierdo and Iglesias (1997),that constitutes the base of the model one DYAGATS valid only for simple systems. In the articlethe generalization for complex systems is undertaken, and the formulation obtained constitutes thenucleus of the model one ARhIETE developed by the Grupo Mecánica de Fluidos of theUniversidad Politécnica de Valencia.

Palabras-Clave: Análisis hidráulicos, régimen transitorio, modelo elástico.

1Grupo Mecánica de Fluidos – Universidad Politécnica de Valencia – Camino de Vera s/n – 46022 Valencia – España.Teléfono: +34 96 387 76 11, Fax: +34 96 387 76 19. E-mail: piglesia@gmf.upv.es

INTRODUCCIÓN

El objetivo del presente trabajo es presentar un modelo computacional general para el análisis desistemas hidráulicos a presión en régimen transitorio mediante el modelo elástico. El desarrollo tomacomo punto de partida el método de las características. Un modelo general no debe ser un trabajo demodelización específico para cada sistema, sino un planteamiento más flexible adaptable a cada casoparticular. Por ello, el modelo debe disponer de cierta organización y distribución adecuada de lainformación.

Algunos modelos previos son entre otros SURGE, cuyo desarrollo puede seguirse en Wood y Funk(1988a) o en Wood y Funk (1988b) o SIMULADOR, cuyos fundamentos pueden seguirse en Koelle(1983) y cuyo desarrollo computacional se describe en Luvizotto (1995). La estructura de estosmodelos se basa en un módulo principal que, en función de cada uno de los tipos de elementos, invocaa una u función desarrollada para la resolución de las ecuaciones. Este planteamiento más clásicopresenta algunas ventajas indudables.

• Un desarrollo específico de las ecuaciones características de cada uno de los tipos de elementopermite resolver el problema de forma eficiente y adaptarse a las particularidades que presentael comportamiento de cada uno de estos elementos.

• La existencia de rutinas específicas fracciona en problemas individuales la resolución de unproblema más complejo: el análisis de transitorios hidráulicos. Las capacidades del modelo sereduce, bajo este planteamiento, a disponer de un conjunto lo más amplio posible de rutinasespecíficas de resolución.

Junto a las ventajas indicadas, coexisten también algunos inconvenientes:

• El desarrollo de rutinas específicas origina que algunos elementos que pueden analizarse deforma global se resuelvan de forma aislada e individualizada. Aumenta así la cantidad decódigo necesaria en el desarrollo del modelo a cambio de disminuir la complejidad del mismo.

• De hecho el desarrollo de nuevas rutinas correspondientes a nuevos elementos supone un granesfuerzo, por cuanto gran parte del código debe reescribirse de nuevo. Asimismo el desarrollode rutinas específicas para cada tipo de elemento disminuye el carácter modular del modelodesarrollado, tan característico de los modelos computacionales actuales. En definitiva, estafalta de estructura modular dificulta la utilización de las rutinas desarrolladas paraampliaciones y mejoras del modelo.

Un planteamiento alternativo se aborda en un estudio previo (Iglesias e Izquierdo, 1997) para el casode sistemas simples, y que constituye el fundamento del modelo denominado DYAGATS (GrupoMecánica de Fluidos, 1998). La idea general de este trabajo es extender los resultados al caso desistemas complejos con más de una conducción y un configuración en general mallada.

Independientemente de la forma en la que se organicen las ecuaciones del modelo el sistema debequedar representado hidráulicamente mediante un conjunto de nudos y elementos (Figura 1). Bajo ladenominación de elementos quedan incluidas asociaciones de componentes y subsistemas que semodelizan mediante un determinado conjunto de ecuaciones.

ElementoVálvula

Elemento conBomba y Válvula

de Retención

Nudocon Elemento en Paralelo

(EP)

NudoConsumo

NudoDepósito

ElementoTubería

Q(t)

Figura 1. Representación de un sistema mediante "nudos" y "elementos".

Un nudo es un punto del sistema en el cuales se tiene un conocimiento bien del caudal extraído, biende la presión. Cualquier componente del sistema puede ser considerado un elemento y estos quedanfísicamente conectados entre si a través de los nudos. Los elementos pueden corresponder a tuberías,dispositivos hidromecánicos (bombas, válvulas), elementos de protección (calderines, tanquesunidireccionales, ...), etc.

En el análisis del sistema el modelo computacional debe reproducir el comportamiento hidráulicode cada elemento. También debe considerar la interacción entre los nudos extremos de cada uno delos elementos. En definitiva, el modelo computacional debe distinguir entre aquellos elementosconectados a un único nudo y los elementos definidos entre dos nudos.

GENERALIZACIÓN DE LA CONDICIÓN DE CONTORNO DE ELEMENTOSCONECTADOS A UN NUDO.

Formulación del problema de un nudo de consumo.

Sea un nudo del en el cual confluyen N conducciones (Figura 1). Para caracterizar elcomportamiento de las conducciones conectadas en el nudo es necesario emplear las rectascaracterísticas de cada una de ellas, tal como se define en el Iglesias e Izquierdo (1997) para el casode sistemas simples. La formulación de la recta característica depende de si la conducción esincidente o saliente del nudo.

Q (t)N

t

NUDO

1

i

Ni

1

j

NjQ (t)N

Figura 1. Esquema de un nudo de consumo.

Para las conducciones incidente en el nudo (subíndice i en la Figura 1), el nudo analizado es el nudofinal. La ecuación correspondiente es la recta característica positiva (C+):

eiapi NiiHCCQii

,,,,1 KK=→−= (1)

donde Qi y Hi son respectivamente el caudal y la altura piezométrica en el punto de la conducciónque se une con el nudo, mientras que Cpi y Cai son los parámetros que definen una rectacaracterística positiva y dependen de parámetros de la conducción y valores conocidos del instanteanterior. La expresión anterior es válida para las Ne conducciones que concurren en el nudo.

Análogamente, para las conducciones que salen del nudo (subíndice j) debe emplearse la rectacaracterística negativa (C-), ya que el nudo se considera inicial de cada una de ellas. La expresiónde recta característica negativa es

Sjanj NjjHCCQjj

,,,,1 KK=→+= (2)

donde Qj y Hj tienen el mismo significado que Qi y Hi, con la diferencia de que se encuentranreferidos a conducciones que se han definido como salientes del nudo. Asimismo Cnj y Caj son lasconstantes que definen la recta característica negativa.

La resolución de la condición de contorno en el nudo supone obtener en el instante de tiempoanalizado el valor de la altura piezométrica en el mismo. Despreciando la pérdida de carga en elnudo, los valores de las diferentes alturas Hi y Hj definidas en (1) y (2) se consideran iguales entre síe iguales al valor de la altura piezométrica en el nudo HN. Aplicando la ecuación de continuidad enel nudo, con un criterio de signos positivo los caudales que salen del nudo, y definiendo unasconstantes equivalentes de las rectas características de acuerdo a las expresiones

SET

N

ia

N

ja

N

iaA

N

jnN

N

ipP

NNNCCCC

CCCC

T

i

S

j

E

i

S

j

E

i

+==+=

==

∑∑∑

∑∑

===

==

111

11(3)

se obtiene

NANNP HCCQC ++= (4)

La expresión anterior es la ecuación característica del nudo, que permite obtener la alturapiezométrica HN en cada instante a partir de la demanda QN(t) conocida en cada instante.

Condición de contorno de los elementos conectados a nudos.

Una generalización de la formulación de la condición de contorno de un nudo proviene del hecho deque con frecuencia existen elementos conectados en paralelo (EP) al sistema. Se trata dedispositivos, bien de control, bien de regulación que introducen o extraen caudal del sistema através del nudo al que se encuentran conectados.

No es objetivo del presente trabajo la descripción en detalle de las características de cada uno de loselementos que pueden conectarse en un nudo. Los detalles acerca del papel de algunos de losdispositivos de protección pueden seguirse en la referencias clásicas (Chaudhry, 1987; Wylie yStreeter, 1993; Almeida y Koelle; 1992). Un enfoque conjunto mostrando la descripción de cadauno de los elementos y las ecuaciones que definen su comportamiento puede seguirse en Iglesias etal (1995) o bien en Iglesias (2001).

El objetivo planteado en este momento es desarrollar la formulación de la condición de contorno deuno de estos elementos de protección, obteniéndose finalmente una formulación que resultarágeneral para todos ellos. Para ello se considera un elemento en paralelo (EP) conectado a undeterminado nudo de una red de distribución (Figura 2) en la cual confluyen NT conducciones (NEincidente en el nudo y NS salientes del mismo). En el nudo también existe una demanda de caudalQN(t), variable a lo largo del tiempo, conocida a la hora de abordar el cálculo.

Q (t)N

1

i

NE1

j

NS

QE

Elementode Protección

Figura 2. Condición de contorno de unElemento de Protección en un Nudo.

HE

z

zE

zN

QE

Lt

B

A

Figura 3. Calderín conectado a un NUDO dela red.

El planteamiento de la formulación general de la condición de contorno, se basa en admitir que elelemento conectado al nudo (Figura 2) es un calderín de aire comprimido (Figura 3). Aunque elplanteamiento de la formulación se realice para un calderín, el resultado obtenido resulta igualmenteválido para el resto de los elementos de un sistema hidráulico (Iglesias, 2001).

Una de las ecuaciones fundamentales en el comportamiento del calderín es la ecuación decontinuidad aplicada al mismo, que integrada mediante la regla del trapecio relaciona el nivel z deagua y el caudal QE aportado al sistema a través de la sección transversal AE

)(2 00 EE

E

QQAtzz +

∆−= (5)

Otra de las ecuaciones fundamentales en la modelación del calderín es la ecuación de la energíaentre el punto de descarga (en este caso el aire comprimido que existe en la parte superior delcalderín, punto A de la Figura 3) y el punto de conexión con la conducción principal (punto B de laFigura 3).

( )dt

dQgAL

QQKKzpzp E

t

tEEtEA

AB

B −+−+=+γγ (6)

donde p y z son respectivamente la presión y cota de cada uno de los puntos indicados, KE es elcoeficiente de pérdidas en la conexión del elemento con la conducción de longitud Lt, sección At ycoeficiente de pérdidas Kt, y QE es el caudal aportado desde el calderín al sistema. En las ecuación(6) el primero de los términos es precisamente la altura piezométrica HN en el nudo de conexión delelemento de protección con el sistema, que es uno de los objetivos a la hora de plantear la condiciónde contorno.

El planteamiento general de la condición de contorno, que pretende abordarse desde un punto devista general, se orienta en primera instancia a determinar el caudal QE que aporta el elemento al

sistema. Estableciendo un planteamiento similar al realizado cuando se formulaba la condición decontorno de un nudo de consumo se obtiene una relación entre el caudal QE del EP y la altura HN enel nudo

A

NENPN C

QQCCH

−+−= (7)

donde los coeficientes pC , nC y AC tienen una definición absolutamente idéntica a la desarrolladacon anterioridad al formular la condición de contorno de un nudo de conexión.

La evolución del comportamiento del aire en interior del calderín se modeliza mediante la evoluciónpolitrópica del mismo, definida como

( ) Rn

CA Kp ′=∀−∀⋅* (8)

donde p* es la presión absoluta del aire en el interior del calderín, ∀C es el volumen total delcalderín y ∀ el volumen de agua contenido en el mismo, n es el exponente politrópico de laevolución del gas y KR’ es un valor constante conocido al inicio del transitorio. Considerando estaevolución del aire e integrando la ecuación de la energía en segunda aproximación la expresión (7)puede escribirse como

( )0

143

2

1 =−+′−+

KQKQQKQK

KEEEEn

E(9)

Las constantes K1, K2, K3, K4 y KE’ tienen una definición diferente dependiendo de si en laexpresión (6) se consideran despreciables o no tanto la inercia como las pérdidas en el tramo deconexión entre el EP y el nudo. Asimismo dichas constantes características admiten una definiciónalternativa en el caso de que el dispositivo de protección no sea un calderín sino cualquier otrodispositivo de protección, tal como se verifica en Iglesias (2001).

GENERALIZACIÓN DE LA CONDICIÓN DE CONTORNO DE UN ELEMENTOCONECTADO ENTRE DOS NUDOS.

La formulación generalizada de la condición de contorno de un elemento se obtiene mediante unplanteamiento similar al realizado en la generalización de la condición de contorno de un elementoconectado a un nudo. Este planteamiento parte del estudio del elemento más complejo.Posteriormente se generalizan las ecuaciones obtenidas simplificándose éstas para cada uno de loselementos del sistema. El elemento que se han considerado como más complejo y que constituye labase de la formulación desarrollada es una estación de rebombeo intermedio en un sistema (Figura4). Dicha instalación está constituida por una bomba, válvula de retención y una válvula, bien deregulación, bien automática. Asimismo se dispone de sendos calderines de aire comprimidoinstalados antes y después del conjunto bomba-válvulas y de un by-pass que comunica la aspiracióncon la impulsión a través de una conducción con una cierta resistencia hidráulica. Dicho by-passpermanecerá cerrado siempre que la presión en el nudo aguas abajo del nudo sea superior a lapresión aguas arriba, abriéndose en caso contrario.

Bomba VR Válvula

EP2EP1

By-pass

Q Q2

Qe2

Q1

Qe1 Conexión delnudo aguas abajo

con el sistema

Conexión delnudo aguas arriba

con el sistemaA B

Figura 4. Esquema del elemento de general para formular la condición de contorno generalizada.

El desarrollo del sistema de ecuaciones permiten formular la condición de contorno representada enla figura anterior tiene dos etapas. En primer lugar es necesario generalizar el comportamiento de unnudo como extremo de un elemento. En segundo lugar, debe plantearse el sistema de ecuacionespara la resolución de la condición de contorno.

Generalización de la formulación de un nudo para condiciones de contorno complejas.

En la formulación de la condición de contorno de un nudo se generaliza el comportamiento de NSconducciones, bien salientes, bien incidentes en el mismo, mediante el empleo de unos coeficientescaracterísticos equivalentes tales como los definidos en (3). El resultado es la expresión (4) querepresente la relación entre el caudal que desde las líneas entra al nudo y la altura piezométrica en elmismo. En el caso de abordar el análisis de condiciones de contorno complejas, tales como lasrepresentadas en la Figura 5, debe aplicarse la generalización anterior a los dos nudos extremos delelemento analizado.

Q (t)NA

1

i

Ni

1

j

Nj

A

Q (t)NB

1

i

Ni

1

j

Nj

BCondición de Contorno con dos Nudos (Aguas arriba y

Aguas abajo)

Figura 5. Generalización del comportamiento de un conjunto de tuberías como nudo inicial o finalde un elemento.

Se trata pues de reducir el conjunto de conducciones conectadas a los nudos A y B de la Figura 5 enuna única conducción equivalente (Figura 6). Una vez realizada esta simplificación enplanteamiento a realizar es el mismo que se aborda en Iglesias e Izquierdo (1997) para el caso desistemas simples.

Figura 6. Simplificación de los nudos en una condición de contorno compleja.

Para el nudo A de la Figura 5 (cuya demanda es QNA), la aplicación de la ecuación de continuidad,considerando NEA tuberías incidentes en el nudo y NSA tuberías salientes del mismo, se escribe:

AHCCQ AP −= (10)

donde pC y AC son respectivamente los parámetros equivalentes de la recta característica. El

parámetro pC viene definido por

A

AA

11N

N

jn

N

ipP QCCC

S

j

E

i−−= ∑∑

==(11)

mientras que el parámetro AC viene definido por (3), entendido que el sumatorio se extiende a latotalidad de conducciones que confluyen en el nudo A, sean de salientes o incidentes. Unplanteamiento totalmente análogo puede escribirse para el nudo B obteniéndose

BHCCQ AN += (12)

donde el parámetr equivalente de la recta característica NC viene dado por

B

BE

i

SB

j N

N

ip

N

jnN QCCC +−= ∑∑

== 11(13)

mientras que el parámetro AC viene definido por la aplicación de (3) al caso de las conducciones deconfluyen en el nudo B.

Por tanto la resolución de la condición de contorno de un elemento como el de la Figura 5, seaborda mediante la resolución simultanea de las ecuaciones (10) y , junto con las ecuacionespropias que modelizan el comportamiento del elementos definido entre los nudos A y B de la Figura6. El desarrollo de estas ecuaciones se aborda a continuación.

Ecuaciones para modelizar el comportamiento de la bomba.

Las ecuaciones relacionadas con el comportamiento de la bomba, para el caso de sistemas simplesson las mismas que se deducen en Iglesias e Izquierdo (1997) para el caso de sistemas simples. Asípues la ecuación de la energía planteada entre los dos nudos extremos A y B del elemento se escribe

( ) 02211

22 =+−−−θ⋅

+α UQQKQBQBWH

QQH C

RR (14)

mientras que la ecuación de inercia aplicada a la posible bomba presente en el elemento es

( ) 02

211 =+⋅

++ I

R

KWBQQK θαα (15)

donde las variables principales del sistema de ecuaciones son la velocidad de giro reducida de labomba α y el caudal Q que atraviesa el elemento. KC es el coeficiente de pérdidas de lo que en losucesivo se denominará el “elemento central” (EC). Dicho EC es el conjunto de elementosresistentes que pueden estar conectados entre los puntos A y B. Los coeficientes B1 y B2 representanla inversa del coeficiente característico AC de las conducciones equivalentes situadasrespectivamente aguas arriba y aguas abajo del elemento analizado. Asimismo en las expresiones(14) y (15) contienen las constantes U, K11 y KI que dependen del modo de funcionamiento de labomba en cada instante.

Aplicación de la ecuación de inercia a diferentes modos de funcionamiento.

En el caso general de considerar la ecuación de inercia aplicada al caso en que se produce la paradade un grupo de bombeo los coeficientes K11 y KI adoptan las expresiones

tMIwKR

R

∆=

211 (16)

0110002 αβαβ K

tMIwKR

RI −=

∆−= (17)

donde I es la inercia del grupo motor bomba; wR la velocidad de giro en régimen permanente; MR elpar suministrado por la bomba en régimen; ∆t el incremento de tiempo de cálculo; y α0 y β0respectivamente los valores de la velocidad de giro reducida y el par reducido en el instante anteriorde cálculo. No obstante, la expresión obtenida de la ecuación de inercia permite modelizar otroscomportamientos de un grupo de bombeo diferentes al de parada del mismo.

Ecuación de inercia para una bomba en funcionamiento normal.

En el caso de que una bomba se encuentra funcionando normalmente a su velocidad de gironominal la expresión que debe adoptar la ecuación de inercia es α=1 que corresponde a definir losparámetros característicos de la ecuación (15) de la forma K11=1 y KI=-1, junto con el hecho deanular el término correspondiente a la curva adimensional de pares WB(θ).

Ecuación de inercia para una bomba variando su velocidad de giro.

En en caso de una bomba accionada mediante un motor eléctrico que tiene conectado un variador defrecuencia, mediante la acción de éste es posible controlar en todo momento la velocidad de giro dela bomba, de forma que puede considerarse que ésta se modeliza mediante una expresión que

genéricamente se representa como αB(t). Para que la ecuación de inercia permita obtener comoresultado una variación de la velocidad de acuerdo a αB(t) los valores de los parámetros de laecuación (15) deben ser K11=1 y KI=-αB(t). Asimismo, al igual que ocurría en el funcionamientonormal de la bomba girando a su velocidad nominal de giro el término correspondiente a la curvaadimensional de pares de la bomba debe anularse.

Ecuación característica del EP1.

La tercera de las ecuaciones que interviene en la generalización de la condición de contorno de unelemento es lo que denominaremos la ecuación característica del Elemento de Protección oElemento en Paralelo (EP1). Se trata de una expresión que relaciona la altura en el punto deconexión del EP1 con el Elemento Central con el caudal Qe1 que el EP1 aporta al sistema. Elprocedimiento para la determinación de esta relación o ecuación característica del EP1 esabsolutamente similar al empleado para generalizar la formulación de la condición de contorno deun elemento de protección conectado a un nudo. La única diferencia estriba en que en el caso delEP1 de un elemento no se trata de un nudo aislado sino de un nudo que interacciona en suresolución con el elemento al que pertenece. De esta forma la resolución de la altura piezométricaen el nudo y el caudal que aporta el EP1 no son independientes de la resolución del caudal Q queestá trasegando el elemento, y por tanto la resolución debe abordarse conjuntamente con éste.

Considérese la condición de contorno recogida como la más compleja de un elemento (ver Figura 7)constituida por el conjunto bomba, válvula de regulación, válvula de retención con sendoscalderines conectados tanto aguas arriba como aguas abajo del elemento.

En la deducción de la ecuación característica correspondiente el EP1 se emplea la misma notaciónque se utilizó para el caso de la deducción de la formulación generalizada de la condición decontorno de un elemento conectado a un nudo. No obstante, como puede verse en la Figura 7 a lasvariables empleadas se les ha añadido un subíndice 1 ó 2 a fin de identificar si se refieren al EP1situado aguas arriba del elemento o bien al EP2 situado aguas abajo del elemento.

By-pass

Q Q2Q1

Conexión delnudo aguas abajo

con el sistema

Conexión delnudo aguas arriba

con el sistemaA B

B2

z =zNB N2

Qe1

z =zNA N1

AE1

A1

z1

zE1

HE1

Lt1Qe2

AE2

A2

Lt2

z2

zE2

HE2

B1

Figura 7. Calderines conectados en los extremos de un ELEMENTO.

En cualquier caso, a continuación se enumera el significado de cada una de las variables para elcaso del EP1, teniendo en cuenta que para el caso del EP2 la significación sería la misma peroreferida éste. Dicha descripción de las variables es:

A1: Es el punto de la superficie libre de agua del EP1. En el caso del calderín representado enla figura se trata del aire comprimido contenido en el mismo, pero en la inmensa mayoríade elementos de protección se trata de la presión atmosférica a la cual se encuentranconectados los elementos.

B1: Es el punto de conexión del EP1 con el elemento modelizado. En la mayoría de los casoseste punto coincide con el punto definido como nudo aguas arriba del elemento, ydenotado como punto A. Tan solo son puntos diferentes en el caso de que se considere untramo rígido entre ambos puntos.

z1: Es el posible nivel de agua en el EP1, en este caso en el calderín. En el caso de que no setrate de un elemento de protección con acumulación de agua resulta una variableintrascendente en el proceso de modelización.

zE1: Es la sobreelevación que tiene la base del calderín respecto del punto B1. Se trata de unavariable para recoger la diferencia de cotas que puede existir entre el elemento deprotección del EP1 y el punto de conexión de éste con el elemento.

HE1: Es la altura geométrica que tiene el calderín.

AE1: Es la sección transversal del elemento de protección. Es una variable que aparece tanto elcalderines como en chimeneas de equilibrio y tanques unidireccionales. Dicha seccióntransversal debe ser uniforme para la totalidad de las alturas o niveles de agua en eldispositivo de protección.

Lt1: Es la longitud del tramo rígido de conducción conectado entre el dispositivo de proteccióny el punto B1. Se admite en la modelización realizada que entre el elemento de proteccióny el elemento modelizado puede existir una conducción de la cual pueden ser importantestanto sus pérdidas como su inercia. Por ello dicha conducción, de longitud Lt1 tiene otrosparámetros como su coeficiente de pérdidas Kt1 y la sección transversal At1 de la misma.

Una vez definidas las variables que intervienen en la modelización del EP1, el planteamiento decomportamiento de éste se realiza en base a aplicar la ecuación de la energía entre el punto A1 y elpunto B1

dtdQ

gAL

QQKzp

zp

E

t

tEEEA

AB

B 1

1

11111

1

1

1 −−+γ

=+γ

(18)

En la expresión anterior KE1 es el coeficiente de pérdidas generado por el elemento de protección, yel resto de variables han sido definidas ya con anterioridad.La expresión altura piezométrica en el nudo B1 es función del caudal Q1 que, de acuerdo alplanteamiento generalizado de las rectas características de las conducciones, que concurren en elnudo puede expresarse de la forma

1

1

1 1

A

PAB

B

CQCHz

p −==+

γ (19)

La expresión (18) considera tanto las pérdidas como la inercia en el tramo de coneción del EP1 conel EC. A efectos de simplificar la formulación se admite despreciable el tramo de conexión entre el

EP1 y el EC. De hecho tan solo es necesario determinar el valor de la presión y la cota del punto A1.Estos valores se determinaron ya cuando se realizó la generalización del comportamiento de unelemento de protección en un nudo, por lo que aquí se recogen tan solo los resultados allí obtenidos.Utilizando estos resultados previos la ecuación característica del EP1 en función de los caudales Q,Q1 y Q2, teniendo en cuenta la relación QE1=Q-Q1, puede escribirse como

( )( )( )

( ) 036134113311

32131 1

=++−−+−+µ

+− KQKQQQQKQQ

KQQK n (20)

La expresión (20) es sumamente análoga a la expresión (9) que contemplaba de forma general elcomportamiento de cualquier elemento de protección conectado a un nudo. En este caso, al igualque ocurría con la expresión (9) se definen una serie de constantes características del EP1 a fin deque la expresión quede de forma más sencilla. Dichas constantes son

atmEE

ENA

P

A

E

n

R

EE

EE

HQAtzZZ

CCK

CK

KKt

KK

Qzt

AtA

tK

−∆

−+++−==

−=

∆

′=

+∆

−∀∆

=∆

−=

00

11

1

1

00

11113634

13332

111

111

31

21

2

222

µ

(21)

La definición de estos coeficientes característicos K3i permite la modelizar las diferentescondiciones de contorno, al igual que ocurría con la expresión (9).

Ecuación característica del EP2.

La ecuación característica del EP2 que determina el comportamiento de dicho elemento deprotección dentro de la formulación general de la condición de contorno de un elemento presentauna analogía total con la expresión desarrollada para el EP1. De hecho, en el caso de realizar unadeducción de dicha expresión los pasos y procedimientos a seguir serían los mismos que losrealizados para el caso del EP1. Dada la analogía existente entre ambos ecuaciones características acontinuación se recoge tan solo la formulación final para el EP2. Dicha expresión característica es

( )( )( )

( ) 046245224322

42241 2

=++−−+−+µ

+− KQKQQQQKQQ

KQQK n (22)

que es la ecuación equivalente a la expresión (20) desarrollada para el EP1. En la expresión anteriorlas únicas diferencias respecto de la expresión (20) pueden encontrarse en los siguientes puntos:

• Las diferentes variables y parámetros que intervienen en la ecuación y que se refieren a lascaracterísticas del EP2 llevan en subíndice 2, en lugar del subíndice 1 que llevaban en laexpresión (20) referida al EP1.

• La expresión queda en términos del caudal Q2 que sale del elemento y del caudal QE2 aportadopor el EP2 al elemento.

• En lugar de emplear la generalización de las rectas características correspondiente al nudo aguasarriba de un elemento se emplea la generalización para el nudo aguas abajo, que relaciona laaltura piezométrica en el nudo aguas abajo del elemento con el caudal Q2 que sale del mismo.

Sobre la expresión obtenida se ha definido una serie de coeficientes características del EP2 deforma análoga a la definición realizada en EP1. Dichos coeficientes son:

atmEE

ENA

N

A

E

n

R

EE

EE

HQA

tzZZCCK

CK

KKt

KK

Qzt

AtA

tK

−∆

−+++=−=

−=

∆

′=

+∆

−∀∆

=∆

−=

00

22

2

2

00

22

2224645

214342

222

222

41

21

2

222

µ

(23)

EL SISTEMA COMPLETO DE ECUACIONES. CONCLUSIONES.

En los apartados anteriores se han planteado las ecuaciones que de forma general intervienen en lamodelización del comportamiento de un elemento como el representado en la Figura 7. El sistemade ecuaciones que permite modelizar el comportamiento del elemento es el constituido por lasecuaciones (14), (15), (20) y (22) que de forma general puede expresarse

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

( )

( )( )( )

( ) 0

0

0

0

46245224322

42241

36134113311

32131

2622512423222

22

16222

1211

2

1

=++−−+−+µ

+−

=++−−−+µ

+−

=++++θ⋅+α

=+θ⋅+α+α

KQKQQQQKQQ

KQQK

KQKQQQQKQQ

KQQK

KQKQKQQKWHQQK

KWBQQKK

n

n

R

R

(24)

En la expresión anterior se han definido una serie de constantes características del sistema deecuaciones con el mismo criterio con que se definieron las constantes características del EP1 (21) ydel EP2 (23). Estas corresponden al planteamiento de la ecuación de la energía entre el nudo deentrada y el de salida y al planteamiento de la ecuación de inercia en el grupo de bombeo. Lasconstantes definidas son

+==−=−=−=−=−=

====

2121

2622512423

2221621211

11

1

A

N

A

P

AAC

R

R

R

CC

CCUKB

CKB

CKKK

QHKVK

QKK λ

(25)

El análisis del sistema de ecuaciones planteado se pueden extraer una serie de conclusiones:

• La variable principal Q correspondiente al caudal que circula por el elemento central participaen todas las ecuaciones Fi. Su importancia puede entenderse de analizar el comportamiento delresto de elementos descritos con anterioridad: tanto para conducciones como para nudos elcaudal que circula por los mismos resulta imprescindible en un análisis adecuado del sistema.

• La variable principal α correspondiente a la velocidad de giro reducida de la bomba tan soloparticipa en las dos primeras ecuaciones (F1 y F2). En las ecuaciones F3 y F4 la velocidad de

giro reducida no participa, por cuanto estas últimas hacen referencia únicamente a los elementosde protección y dicho parámetro (α) no tiene relación alguna con el comportamiento de dichoselementos.

• Cada uno de los elementos de protección (EP1 y EP2) dispone de una ecuación característica, loque origina que existan sendas ecuaciones que tan solo dependen del caudal Q del elementocentral y del caudal Q1 ó Q2 dependiendo del elemento de protección de que se trata.

Para la resolución del sistema de ecuaciones planteado en (24) se emplea un método tipo Newtonque requieren en su empleo las derivadas de las funciones Fi calculadas en los apartados anteriores.El método empleado es un método habitual en la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales,sin embargo, en el caso presente debe tenerse en cuenta que el sistema de resolución debecontemplar una serie de características adicionales.

Si bien el sistema de ecuaciones desarrollado contiene cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, hayque tener la precaución de verificar que dicho sistema permite resolver bien elementos sumamentecomplejos en los que la totalidad de los elementos se encuentran presentes, bien sistemas en loscuales tan solo se encuentra presente uno de los elementos. Por ello es necesario examinar elsistema obtenido para el caso en que los elementos de protección no se encuentren en el elemento, yverificar que en dichas circunstancias las ecuaciones F3 y F4 no conducen a una solución trivial queimpida la convergencia del método. De hecho este problema se detectó en un estudio previodesarrollado por Izquierdo et al (1996) y que se solucionó añadiendo al sistema de ecuacionestérminos adicionales para solucionar estos problemas. En el caso de la formulación generalizada,una extrapolación de la desarrollada por Iglesias e Izquierdo (1997), no es necesario desarrollar oañadir término alguno. Así, en el caso de que los elementos de protección EP1 y EP2 no seencuentren en el sistema, los valores de los coeficientes deben ser:

00

1

46454342

36343332

4131

========

==

KKKKKKKK

KK(26)

que supone las igualdades Q1 = Q2 = Q, evidentes en el caso de que no existan los elementos deprotección EP1 y EP2. Por tanto, con los valores adecuados de los coeficientes característicos delsistema de ecuaciones no se obtiene problema alguno en la resolución mediante el método deNewton.

Al igual que debe tenerse en cuenta en la respuesta del sistema de ecuaciones la posibilidad de quelos elementos de protección no se encuentren disponibles, debe contemplarse el mismo efecto parael resto de elementos. Así, la ausencia o no de la válvula de retención no de la válvula instalada enel Elemento Central no supone problema alguno, por cuanto no altera significativamente laecuación F2 más allá de la consideración o no de las pérdidas que estos elementos introducen. Noobstante, algo diferente ocurre en el caso de la bomba.

En el caso de que el elemento central considerado en el bloque no contenga una bomba es necesariotener en cuenta algunas consideraciones adicionales:

• En primer lugar debe verificarse el adecuado comportamiento de la ecuación F1 que es laexpresión derivada de la aplicación de la ecuación de inercia a la bomba. En este caso (ausenciade bomba) los valores que deben adoptar los coeficientes característicos de la ecuación F1 sonK11=1; K12=K16=0, que conducen a la ecuación trivial α=0. Sin duda en el caso de que no exista

bomba la presencia de la velocidad de giro reducida de la bomba α como una de las cuatrovariables principales del sistema de ecuaciones (24) resulta innecesario, si bien se mantienedentro de la formulación generalizada, al igual que ocurre con los caudales Q1 y Q2 en el casoen que no existe el correspondiente elemento (EP1 o EP2 respectivamente).

• En el caso de que el Elemento Central no disponga de bomba hay que obtener una soluciónacerca del comportamiento de las funciones WH(θ) y WB(θ) ya que no se dispone de un valorde las curvas adimensionales, al no existir la bomba en el elemento. Esto se soluciona en laconstrucción de las funciones que determinan los valores de las funciones WH(θ) y WB(θ), quedevuelven un valor 1 en estas circunstancias. De esta forma se soluciona de forma numérica loscasos en los que la bomba no está presente como parte del elemento analizado.

En definitiva, con la adecuada utilización de los coeficientes característicos del sistema deecuaciones (24) se resuelve la condición de contorno correspondiente a cualquiera de los elementosde un sistema hidráulico. El sistema de ecuaciones planteado constituye la base sobre la cual se haconstruido el modelo ARhIETE, desarrollado por el Grupo Mecánica de Fluidos de la UniversidadPolitécnica de Valencia, y cuyos detalles computacionales y de organización pueden seguirse enIglesias (2001).

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New York (U.S.A.).GRUPO MECÁNICA DE FLUIDOS (1998). DYAGATS 2.0. Diseño y análisis de golpe de ariete

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