a la ElectrocinéticaDe la Electrostática

Transición

Primera mitad del siglo XIX

Modelo de acción a distancia

Modelo de campo

Modelo físico matemático. Ley de Gauss

ijij

jiij R

Rqq

F ˆ4

1

0πε=

( )∫ ′

′′′

=vol

RR

VdRkqF ˆ2

ρ

ii i

iqN R

RqqF ˆ'

4 20

, ∑=πε

0qF

E e

=

rrqE ˆ

41

20πε

=

∑=i

iN EE

rrdqEd

o

ˆ4

12πε

=

0qE

V p=

rqV

041πε

=

∑=i

iN VV

rdqdV

oπε41

=

0εenc

Eq

=Φ

Esfera conductora

Esfera aislante

Cam

po e

léct

rico

Pote

ncia

l elé

ctric

o

304 R

QrEπε

=2

041

rQE

επ=

204

1rQE

επ=0=E

Interior Exterior

Representación esquemática de un capacitor:

Dos conductores cualesquiera y aislados uno del otro forman un capacitora bCapacitores

Capacitancia

RqV

041πε

=

El potencial eléctrico en la superficie de una esfera (radio )R

RVq

04πε=VqC =⇒ Farad

VC=

La capacitancia es una medida de la aptitud (capacidad) de un capacitor para almacenar energía

Capacitores y capacitancia

Capacitor de placas paralelas

0εσ

=E

EdVV =− 21 dVV0

21 εσ

=−⇒21 VV

QC−

=dAC 0ε=

mF12

0 1085.8 −×=ε

Capacitor esférico

204 r

QEπε

=

−=−

baba rr

QVV 114 0πε

aa r

QV 14 0πε

=

bb r

QV 14 0πε

=

ba

abab rr

rrQV −=

04πε

ab

ba

rrrrC−

= 04πε

Capacitor cilíndrico

Capacitancia de algunos configuraciones

a

bab r

rV ln2 0πελ

=

abVQC =

LQ λ=

a

bab r

rV ln2 0πελ

=

=

a

b

rrL

C

ln

2 0πε

Energía de un capacitor

Serie

Paralelo

Asociación de capacitores

CQU2

2

= CVQ = QVCVU21

21 2 ==

RC 04πε=Capacitancia de un conductor esférico rodeado de un material cuya permitividad es :0ε

=

RQU

0

2

421

πε ∫=espacioeltodo

dvEU

202

1 ε

202

1 Eu ε=

La energía por unidad de volumen, o densidad de energía “almacena” en el campoeléctrico es

2

20

02

0 41

21

21

==

rQEu

πεεε

La densidad de energía y dieléctricos

4

2

20

20 161

21

rQu

επε=⇒

∫=b

a

r

r

drrr

QU 24

02

2

432

πεπ

40

2

2

32 rQuεπ

=⇒

⇒= ∫espacioeltodo

udVU

∫=b

a

r

r

drr

QU 20

2 181πε

−=−=

ba

r

r rrQ

rQU

b

a

11811

81

0

2

0

2

πεπε ba

ab

rrrrQU −

=0

2

8πε

Efecto de un dieléctrico en un condensador

0kCC =k

VV 0=

kE

E CC

0=

Carga inducida y polarización

kEE 0=

00 ε

σ=E

El campo eléctrico en presencia del dieléctrico es

0εσσ iE −

=

−=

ki11σσ

0εσ

kE =

El producto se llama permitividad del dieléctrico, y se denotacon

0εkε

Condensado de placas paralelas

Densidad de energía 2

21 Eu ε=

dAC ε=

Ruptura del dieléctricoCampo eléctrico excedido

Capacitor parcialmente lleno

Dos capacitores en serie

21

111CCC

+=

3

01 d

AC

κε=

32

02 d

AC ε=

Sin dieléctrico

21

111CCC

+=

32

1

3

1100

dA

dAC εκε+=⇒

A

d

A

d

C 00

32

31εκε

+=⇒

+=⇒ 21

31

0 κε Ad

C

+

=⇒κκ

ε12

31

0 Ad

C

+=⇒

123 0

κκε

dA

C

+=⇒

1230

κκε

dA

C

+=⇒

123

0 κκCC

Efecto de una lamina metálica

Dos condensadores

Una corriente eléctrica es todo movimiento de carga de una región a otra

Electrones libres sm610

Movimiento aleatorio

Velocidad de deriva

EqF

=

dv

Grupos con Movimiento neto muy lento o deriva

Grupos en dirección del campo eléctrico

sm410−≈

Conductores metalicos Semiconductores Superconductores

Corriente eléctrica

dtdqI =

sCA 11 =

Definición: Definimos la corriente, denotada por , va en la dirección en la que hay un flujo de carga positiva UnidadesI

Corriente a través de áreay por unidad de tiempo

La corriente por unidad de área de la sección transversal se denomina densidad de corriente J

AIJ = JAIAdJI

A

=→⋅= ∫

J

E

misma dirección de

Ley de OhmA temperatura constante

Corriente eléctrica

EJ

∝ EJ

σ= σ Conductividad, se mide en

Se define la resistividad

( ) 1−Ωm

σρ 1= mΩ

Amperio

Variación de la resistividad con la temperatura ρ T

Los semiconductores tiene resistividades intermedias entre la de los metales y la de losaislantesUn material que obedece razonablemente bien a la ley de Ohm se llama conductoróhmico o conductor lineal. Para esos materiales, a una temperatura dada, es unaconstante que no depende de

ρE

No óhmicos o no lineales depende de de manera más complicadaJ E

Conductor de sección de área A y longitud l

JAIAdJIS

=→⋅= ∫

EJ σ=

( )AEI σ=

=⇒

AIEσ

ElV =∆I

AlV

=∆σ

RAl=

σRIV =∆

Relación de Ohm

AlR ρ=

AlRσ

= σρ 1=pero

La resistencia depende Características geométricas del material Conductividad Resistividad

R

Es una constante, pues es una constante del material en cuestión

Alσ σ

Relación de Ohm

Símbolo

Entonces

a

b

RVr

ɛ

I Las cargas se desplazan a través del hilo ddp entre dos puntos

'vaconservati no elecvaconservati elec EqEqFFFtotal

+=+=

Fuerza electromotriz procede del hecho de que la pila separa cargas ycrea una diferencia de potencial

Campo eléctrico conservativo producido entre los extremos A y B del interior de la pilaE

'E

Campo no conservativo debido a las acciones no conservativas como, por ejemplo, reaccionesquímicas dentro de la pila

La fuerza electromotriz, en el caso de la pila, es la causa deuna separación de cargas de distinto signo entre sus electrodosy por tanto, la causa de una diferencia de potencial constanteentre sus electrodos.

la fuerza electromotriz es la magnitud que mide el trabajo realizado por fuerzas no conservativas paraseparar las cargas y desplazarlas.

ldEfemb

aab

.'∫=

ldEVb

aab

.∫−=

a nivel microscópico nivel macroscópicoIRV +=ε

la energía puesta en juego en la pila para separar las cargas viene dada

IRVab =

La diferencia entre la fuerza electromotriz y ladiferencia de potencial viene dada por medirdiferentes tipos de acciones producidas por causasradicalmente diferentes.

Diferencia de potencial (ddp) y fuerza electromotriz (fem)

Transferencia de energíafem

a nivel microscópico nivel macroscópico

Fuerza electromotriz

∫ ⋅=L

ldFW Una fuerza es conservativa pEF ∇−=

ldEL

⋅∫ ∫ ⋅=

L

ldEfem

La aplicada a una trayectoria cerrada es igual al trabajo hecho al mover una unidad de carga alrededor de la mismafem

Consideremos ahora el caso especial de un campo eléctrico estacionario

VE ∇−=

∫ −=⋅L

BA VVldE

Podemos escribir

Si el camino es cerrado 0 0 =⇒=⋅∫ femldEL

La fem, o circulación de campo eléctrico estacionario alrededor de un camino cerrado arbitrario es nula.

Si el campo eléctrico se aplica a un conductor

∫ −=⋅L

BA VVldE

⇒=− RIVV BA ∫ =⋅L

RIldE

Si el conductor se coloca en un campo eléctrico estacionario

00 0 =⇒=⇒=⋅∫ IRIldEL

“Un campo eléctrico estacionario no puede mantener una

corriente en un circuito cerrado”

rFE p.−=

Trabajo independiente de la trayectoria

Explicación: La razón es porque el campo eléctrico estacionario es CONSERVATIVO y la energíaneta total suministrada a una carga que describe un camino cerrado es NULA.

Una carga moviéndose en el interior de un conductor transfiere la energía recibida del campo eléctrico a lared cristalina y este procesos es irreversible; es decir, la red no retorna la energía a los electrones

Por lo tanto a menos que se suministre una cantidad neta de energía a los electrones, estos no podránmoverse uniformemente en un circuito cerrado.

Hay varias maneras de suministrar energía a los electrones o de generar Reacciones químicas (Baterías) Inducción electromagnética

Esquemáticamente

IrVab −= ε

IrIR −= ε RrI

+=

ε

abVIr +=ε

Símbolos para diagrama de circuitos

Conductor con resistencia despreciable

Resistor

Fuente de

Fuente de con resistencia interna

Fuente de con resistencia interna

Voltímetro

Amperímetro

fem

fem

fem

r

r

Uso de los voltímetros y amperímetros

Fuente en un circuito completo

AIVrR

I 5.024

3=⇒

Ω+Ω=

+=

ε

VVARIV baba 2 5.0*4 '''' =⇒Ω==

VVAVIrV abab 2 2*5.03 =⇒Ω−=−= ε

VVab 2=

VVab 12== ε

VV ba 2'' =

mAI 500=

A través del voltímetro no hay corriente porque este tiene una resistenciainfinitamente grande. La corriente en ele amperímetro es 0=I

Como no hay corriente que fluya

Ω= 2r V3=ε

V

A

Ω4

Combinación de resistoresAsociación en serie

IIIIII ===== 4321 iVVVVVV ...4321 ++++= IRV eq=

ieq RRRRRR ++++= 4321

Asociación en paralelo

VVVVVV ===== 4321 iIIIIII ...4321 ++++=eqR

VI =

neq RRRRRR1... 1 1 1 11

4321

+++++=

Para cualquier numero de resistores en paralelo, el reciproco de la resistencia equivalente es igual a lasuma de los recíprocos de sus resistencias individuales.

La resistencia equivalente de cualquier numero de resistores en serie es igual a la suma de sus resistencias individuales

Reglas de Kirchhoff

Muchas redes de resistores, no pueden reducirse a combinaciones simples en serie o paralelo. Pararesolverlo es necesario un nuevo método, por eso aparecen las reglas de Kirchhoff.

Definamos:Unión: Es un punto donde seencuentran tres o mas conductores, aesta unión se le llama nodo.Espira: Es cualquier caminoconductor cerrado.

Las reglas de Kirchhoff constan de dos ecuacionesRegla de las uniones

Regla de las EspirasRIε

fem y productos RI

Convenciones y signos en la reglas de Kirchhoff

Fuerza electromotriz Productos

Cinco corrientes a determinar, debido a que haycinco resistencias.

Aplicando la regla de las uniones a los nodos a y b, es posible representarlas en términosde tres corrientes

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 01 1 1

013 2 1013 1 1

231

322

311

=Ω+Ω−Ω−=+Ω+−Ω−=+Ω−−Ω−

iiiViiiViiiRecorrido (1)

Recorrido (2)

Recorrido (3)

61 =i

13 −=i52 =i

Ω=⇒= 18.11113

eqeq RAVRAiAAi gg 1156 =⇒+=

Circuitos RC

Carga de un condensador Aplicando las reglas de Kirchhoff, tenemos

0=++ abbc vvε 0=−− RiCqε

dtdqi =

RCCq

dtdq ε−

−=

−=

− teqq τ

1

0 1

τ=RC

te

Ri τε 1

−=

=→∞==→=

0 0 0

Cargaqqt

qt

=→∞=

=→=

0

0Corriente

itR

it εCasos asintóticos

τntn =

Carga en un capacitor contra el tiempo que se descarga

Corriente en un capacitor contra eltiempo que se descarga

Proceso de descarga de un condensador

Aplicando las reglas de Kirchhoff, tenemos

0=++ abbc vvε 0=ε dtRCq

dq 1−=

tRCeqq1

0

−=

tRCeii1

0

−−=

Simulaciones

Diseño de un laboratorio virtual para el estudio práctico de circuitos.