Si F ( s )=∫0

∞

F (t )e− st dt

Comprobar que F ( s )= 1s2

cuando F ( t )=t

F ( s )=∫0

∞

t ∙ e−st dt

F ( s )=[−ts ∙e− st− 1s2∙ e−st ]

0

∞

=[−∞s ∙e−∞− 1s2∙ e−∞+ 0

s∙ e0− 1

s2∙e0]

0

∞

Los dos primeros términos al ser divididos entre infinito se dice que tienen un valor muy pequeño, por lo tanto se considera como cero, el tercer término es multiplicado por cero, por lo tanto se elimina quedándonos así:

F ( s )= 1s2

Comprobar que F ( s )= k

s2+k2 cuando F ( t )=sin ( kt )

F ( s )=∫0

∞

sin (kt ) ∙ e−st dt

∫0

∞

sin ( kt ) ∙ e−st dt=−1ssin (kt ) e−st− 1

s2k cos (kt )e− st− k

2

s2∫0

∞

sin (kt ) ∙ e−st dt

∫0

∞

sin ( kt ) ∙ e−st dt+ k2

s2∫0

∞

sin (kt ) ∙ e−st dt=−1ssin (kt ) e−st− 1

s2k cos (kt ) e−st

(1+ k2s2 )∫0∞

sin (kt ) ∙ e− stdt=−1ssin ( kt ) e−st− 1

s2k cos (kt ) e−st

( s2+k2s2 )∫0

∞

sin (kt ) ∙ e− stdt=−1ssin ( kt ) e−st− 1

s2k cos (kt ) e−st

∫0

∞

sin ( kt ) ∙ e−st dt=[( s2

s2+k2 )(−1s sin (kt ) e−st− 1s2k cos (kt ) e−st)]

0

∞

∫0

∞

sin ( kt ) ∙ e−st dt=( s2

s2+k 2 )(−1s sin (∞ ) e−∞− 1s2k cos (∞ )e−∞+ 1

ssin (0 )e0+ 1

s2k cos (0 )e0)

Los dos primeros términos al ser divididos entre infinito se dice que tienen un valor muy pequeño, por lo tanto se considera como cero, el tercer término al ser seno de cero y se multiplica por este mismo, podemos eliminar este término quedándonos lo siguiente:

∫0

∞

sin ( kt ) ∙ e−st dt=( s2

s2+k 2 )( ks2 )= ks2+k2