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Transformada de Laplace

Propiedades de la Transformada de Laplace I

Propiedades de la Transformada de Laplace II

Función de Transferencia


21 1

( )( 1 2 )( 1 2 )2 5

s sH s

s j s js s

2

3 2( ) 6 9

( )( ) 7 14 8Y s s s

H sX s s s s

3 2 2

3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7 14 8 ( ) 6 9 ( )d y t d y t dy t d x t dx t

y t x tdt dtdt dt dt

3 2 2( ) 7 ( ) 14 ( ) 8 ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( )s Y s s Y s sY s Y s s X s sX s X s

Ejemplo: Se tiene el siguiente sistema dinámico lineal invariante


1( ) ( )h t H s Es la respuesta del sistema al impulso

2 2

3 26 9 ( 3)

( )( 1)( 2)( 4)7 14 8

s s sH s

s s ss s s

2( 3) ( 2)( 4) ( 1)( 4) ( 1)( 2)s A s s B s s C s s

2 41 ( 1 3) ( 1 2)( 1 4)

3s A A

2 12 ( 2 3) ( 2 1)( 2 4)

2s B B

2 14 ( 4 3) ( 4 1)( 4 2)

6s C C

2( 3)( )

( 1)( 2)( 4) 1 2 4s A B C

H ss s s s s s

Para obtener la respuesta al impulso en el tiempo se debe anti transformar mediante el desarrollo en fracciones parciales


1 1 1 14 1 1 1 1 1( ) ( )

3 1 2 2 6 4h t s

s s s

2 44 1 1( )

3 2 6t t th t e e e

2

3 26 9 4 1 1 1 1 1

( )3 1 2 2 6 47 14 8

s sH s

s s ss s s

22 4

3 24 1 1 6 9

( ) ( )3 2 6 7 14 8

t t t s sh t e e e H s

s s s


2 44 1 1( )

3 2 6t t th t e e e


t=0:.01:7;

h=(4/3)*exp(-t)-(1/2)*exp(-2*t)+(1/6)*exp(-4*t);

plot(t,h,t,cumsum(h)*1.121/sum(h))

2 2

3 26 9 ( 3)

( )( 1)( 2)( 4)7 14 8

s s sH s

s s ss s s


H=tf([1 6 9],[1 7 14 8])

H2=zpk(H)


H=tf([1 6 9],[1 7 14 8])

impulse(H)


H=tf([1 6 9],[1 7 14 8])

step(H)

3 2 2

3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )




3 2 2( ) 7 ( ) 14 ( ) 8 ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( )p y t p y t py t y t p x t px t x t

1 2 3 1 2 3( ) 7 ( ) 14 ( ) 8 ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( )y t p y t p y t p y t p x t p x t p x t


3 2 2

3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )




2( 3)( )

( 1)( 2)( 4)s

H ss s s


syms s; %declaro variable simbólica

H=(s+3)^2/[(s+1)*(s+2)*(s+4)]; %función de transferencia

disp('H(s)='); pretty(H) %imprimo en bonito

h=ilaplace(H); %transformada inversa

disp('h(t)='); pretty(h)

2 44 1 1( )

3 2 6t t th t e e e

Incertidumbre en los

Sistemas de Control

Sistema de Control SISO

Ruido de medición: Los datos enviados por los sensores están sujetos a ruido y deriva. Se puede reducir la incertidumbre mejorando la instalación de los sensores (blindajes, posición, etc.) o instalando sensores de mejor calidad. Definido y fijado un determinado sensor la incertidumbre de las mediciones se pueden considerar aleatorias.

Perturbaciones externas (entradas no controladas): El sistema está sujeto a señales de perturbación que poseen el carácter de entradas no deseadas. Si las perturbaciones son no medibles constituyen incertidumbre, si son medidas se puede analizar explícitamente la influencia en el sistema (el viento en generadores eólicos, oleaje en embarcaciones, etc.)

II. INCERTIDUMBRES DEL SISTEMA

Errores de modelado: No linealidades, dinámicas no contempladas (fricciones, elasticidades), estimación incorrecta del orden del sistema, etc. En principio son incertidumbres epistémicas que se pueden reducir mejorando la calidad del modelo fenomenológico hasta un cierto punto. El remanente forma parte del modelo estocástico de perturbación.


La existencia de incertidumbre en el sistema

o el medio ambiente implica un comportamiento físico no determinista, esto es, la respuesta del sistema no es predecible

precisamente.


El objetivo primario del control es que el sistema sea lo más insensible posible a las incertidumbres (robustez del sistema de

control).

De hecho lo que justifica la realimentación es la existencia de incertidumbres en el

sistema.

III. INCERTIDUMBRES DEL SISTEMA Y REALIMENTACIÓN

III. INCERTIDUMBRES DEL SISTEMA Y REALIMENTACIÓN

IV. MODELOS DE SISTEMAS DINÁMICOS

IV.1. CONTROL BASADO EN MODELO

● Prácticamente todas las estrategias de control modernas están basadas en modelos matemáticos de los sistemas dinámicos que se desean controlar. ● Se obtienen mediante técnicas de Modelado e Identificación de Sistemas.



● Los modelos se emplean en dos funciones diferenciadas.

I) Emulando al sistema o proceso real durante la fase de diseño.

II) Como subsistema del propio controlador (esto se conoce como Control Basado en Modelo).



● Los modelos se emplean en dos funciones diferenciadas.

I) Emulando al sistema o proceso real durante la fase de diseño.

II) Como subsistema del propio controlador (esto se conoce como Control Basado en Modelo).

Estos modelos no necesariamente deben ser el mismo. La complejidad del modelo para cada tarea es distinta (para el

controlador más simple, para emular más complejo).


El universo de los modelos matemáticos de donde elegimos los modelos para nuestras aplicaciones es

distinto del universo de los sistemas físicos.

Los modelos matemáticos son una caricatura de la realidad.

Pero si los modelos son buenos, como las buenas caricaturas, retratan, aunque quizás en forma aproximada, algunas características del mundo

real.


IV.2. ESPECTRO DE MODELOS DE KARPLUS


Según el espectro de modelos de Karplus los modelos más precisos son los modelos de sistemas físicos.

Los modelos más perfectos son las “leyes físicas”.

Todo modelo tiene un rango de validez. Incluyendo las

leyes físicas.

21/08/2015 INAUT, Facultad de Ingeniería, UNSJ.

Ejemplo: Mecánica Newtoniana

v>99% c Escala de Planck d<10-33 cm

Mecánica Relativista Mecánica Cuántica



Las incertidumbres causan que controlar un sistema aparentemente sencillo puede

ser muy complicado y viceversa.


PROCESO DE COLADA CONTINUA (Industria siderúrgica)

DOS EJEMPLOS DE CONTROL CON INCERTIDUMBRE EPISTÉMICA


COLADA CONTÍNUA


CONTROL DE NIVEL

El modelo se obtiene a partir de las leyes de conservación de la masa y de Bernoulli

Donde A es la sección del tanque, a es la sección del orificio de salida, g es la aceleración de la gravedad, qi es el caudal de entrada y h es el nivel del tanque (variable a controlar).

CONTROL DE NIVEL (1)

2i

dhA q gh

dt a


Linealizando el modelo en el punto de operación qi0 y h0 se obtiene la función de transferencia El sistema se controla satisfactoriamente con un controlador PI de parámetros

que lleva a un sistema a lazo cerrado de segundo orden con frecuencia natural w y amortiguamiento relativo z.


( )G ss

1

A

0

0

2

2

a gh

Ah

2

2i

K A

T

Transformaciones e Interconexión de Diagramas de Bloques

Sistema de Control SISO

Algebra de Bloques

11. Configuración típica de un sistema con retroalimentación negativa y su función de transferencia de lazo cerrado T(s)

Algebra de Bloques

Ejemplo de Reducción mediante Algebra de Bloques

Reducción mediante Algebra de Bloques

Conexión de Bloques con Matlab

Conexión de Bloques con Matlab (2)

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