transformada de laplace

5/12/2018 Transformada de Laplace - slidepdf.com

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Transformadas de Laplace

Yoel E. Gutierrez T.

1. Introduccion

La transformada de Laplace es un ejemplo de una clase llamada transformacion in-tegral y transforma una funcion f (t) de una variable t (a la cual nos referiremos como

tiempo) en un funcion F (s) de otra variable s (la frecuencia). La atraccion de la transfor-mada de Laplace es que transforma ecuaciones diferenciales en el dominio t en ecuacionesalgebraicas en el domino s.

2. Definicion y notacion

La transformada de Laplace de una funcion f de valores reales o complejos y de variablereal t ≥ 0 es una funcion F definida mediante la expresion

F (s) = L[f (t)] = ∞0 e

−st

f (t)dt, (2.1)

siempre que la integral converja.

Observaciones

1. La variable s es compleja. Por simplicidad, trataremos, la mayorıa de las veces a s

como real.

2. e−st es llamado el nucleo de la transformacion.

3. El sımbolo L denota el operador transformada de Laplace; cuando opera en unafuncion f (t) la transforma en una funcion F (s).

4. Con frecuencia ocurre en la practica que existe un numero real s0 tal que la integralen (2.1) converge si s > s0, pero no converge si s ≤ s0. El conjunto de valores reales s,tal que s > s0, recibe el nombre de rango de convergencia o de existencia de L[f (t)].Puede ocurrir que la integral en (2.1) no exista para ningun valor de s.

5. Cuando tomamos la transformada de Laplace, el comportamiento de f (t) para valoresnegativos de t es ignorado o suprimido. Esto significa que F (s) contiene informacionsobre el comportamiento de f (t) solo par t ≥ 0, ası que la transformada de Laplace no

1



Transformadas de Laplace Yoel Gutierrez - 2008 2

es una herramienta conveniente para investigar problemas en los que sean relevanteslos valores de f (t) para t < 0. en la mayorıa de las aplicaciones a la ingenierıa estono causa ningun problema, ya que estamos interesados en sistemas fısicos para los

cuales las funciones con las que estamos tratando varıan con el tiempo t. Un atributode los sistemas fısicos realizables es que no son anticipantes en el sentido de que nohay una salida (o respuesta) hasta que se aplica una entrada (o excitacion).

6. Si el comportamiento de f (t) para t < 0 es de interes entonces necesitamos la trans-formada de Laplace bilateral o de dos lados de la funcion f (t) definida por

LB[f (t)] =

∞

−∞

e−stf (t)dt. (2.2)

La transformada de Laplace definida por (2.1) con lımite inferior cero es algunas veces

llamada la transformada de Laplace unilateral o de un lado de la funcion f (t).Nos ocuparemos solamente de estas ultimas transformadas y nos referiremos a ellassimplemente como la transformada de Laplace de la funcion f (t).

3. Condiciones suficientes para la existencia de la trans-formada de Laplace

Para poder establecer ciertas condiciones sobre f (t) de manera que garantice la existen-cia de L[f (t)], introduciremos los conceptos de convergencia, continuidad parcial y orden

exponencial.

Definicion 3.1 La integral ∞

0

f (t)dt (3.3)

se dice que es convergente si existe

lımr−→0

r0

f (t)dt, (3.4)

en cuyo caso el valor de (3.3) es, por definici´ on, el valor de (3.4).

Definicion 3.2 Una funci´ on f (t) discontinua en un punto t0, tiene una discontinuidad

de salto en ese punto si

lımt−→t0+

f (t) = f (t0+) y lımt−→t0−

f (t) = f (t0−)

existen.

Definicion 3.3 Una funci´ on f (t) es parcialmente continua en el intervalo [0,∞) si f (0+) existe y f (t) es continua en todo intervalo finito (0, b) excepto, posiblemente, en un n´ umero finito de punto de (0, b) en los cuales f (t) tiene una discontinuidad de salto.




Definicion 3.4 Una funci´ on f (t) es de orden exponencial α si existen constantes realesα, M > 0 y T ≥ 0 tales que

|f (t)| ≤ M eαt

siempre que t ≥ T .

Lo que nos dice esta definicion es que una funcion f (t) es de orden exponencial si no crecemas rapido que una funcion exponencial de la forma M eαt. Afortunadamente la mayorıade las funciones de significado practico satisfacen este requerimiento, y por tanto son deorden exponencial.

Teorema 3.1 (Existencia de la transformada de Laplace) Si la funci´ on f (t) es par-cialmente continua en [0,∞) y de orden exponencial α, entonces la transformada de Laplaceexiste existe para Re(s) > α.

Las condiciones dadas en la hipotesis del teorema anterior son suficientes para garantizar

la existencia de la transformada de Laplace de una funcion. Sin embargo, no constituyencondiciones necesarias.

4. Propiedades de la transformada de Laplace

Consideraremos algunas de las propiedades de la transformada de Laplace que nosayudaran a encontrar las transformadas de Laplace de algunas funciones.

Teorema 4.1 (Linealidad) Si L[f (t)] existe para Re(s) > α y L[g(t)] existe para Re(s) > β, entonces tambien existe L[af (t) + bg(t)] para Re(s) > max α, β, y

L[af (t) + bg(t)] = aL[f (t)] + bL[g(t)], (4.5)donde a y b son constantes arbitrarias.

Teorema 4.2 (Primer teorema de traslacion) Si f (t) es una funcion que tiene una transformada de Laplace F (s) con Re(s) > α, entonces la funci´ on eatf (t) tambien tieneuna transformada de Laplace dada por

L[eatf (t)] = F (s− a), Re(s) > α + a.

5. La transformada inversa

En la practica es de mucha importancia la capacidad de recuperar f (t) a partir de sutransformada de Laplace F (s). Ası, es natural hablar de la transformada inversa de Laplacede una funcion F (s), esto es, de una funcion f (t) tal que L[f (t)] = F (s). Escribimos

f (t) = L−1[F (s)]. (5.6)

Aunque es claro que siempre que exista una transformada de Laplace, esta es unica, nose puede afirmar lo mismo respecto a la transformada inversa de Laplace. Restringiremosnuestra atencion a las funciones que son continuas en [0,∞).

Teorema 5.1 Distintas funciones continuas en [0,∞) tienen distintas trasformadas deLaplace.




Observaciones

1. El sımbolo L−1 se llama operador de la transformada inversa de Laplace.

2. La propiedad de linealidad para la transformada de Laplace establece que si a y bson constantes cualesquiera,

L[af (t) + bg(t)] = aL[f (t)] + bL[g(t)] = aF (s) + bG(s).

Entonces se sigue que

L−1[aF (s) + bG(s)] = af (t) + bg(t) = aL−1[F (s)] + bL−1[G(s)],

ası que el operador inverso de la transformada de Laplace L−1 tambien es un operadorlineal.

3. Uno de los metodos mas importantes para buscar la transformada inversa de Laplacees el metodo de la fracciones parciales.

4. En el primer teorema de traslacion vimos que para un escalar a,

L[f (t)] = F (s) −→ L[eatf (t)] = F (s− a).

Expresado en forma inversa, el teorema se convierte en

L−1[F (s)] = f (t) −→ L−1[F (s− a)] = eatf (t).

6. Derivada e integral de la transformada de Laplace

Teorema 6.1 (Derivada de la transformada de Laplace) Si f (t) es parcialmente con-tinua en [0,∞), de orden exponencial α y L[f (t)] = F (s), entonces si n = 1, 2, . . .,

dn

dsnF (s) = (−1)nL[tnf (t)] s > α. (6.7)

Del mismo modo, si L−1[F (s)] = f (t), entonces

L−1[dn

snF (s)] = (−1)ntnf (t). (6.8)

Teorema 6.2 (Integral de la transformada de Laplace) Si f (t) es parcialmente con-

tinua en [0,∞), de orden exponencial α, L[f (t)] = F (s) y lımt−→0+f (t)t

existe, entonces ∞

s

F (x)dx = L[f (t)

t] s > α. (6.9)




7. Ecuaciones diferenciales ordinarias

La transformada de Laplace es util para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias,

para ello es necesario conocer las transformadas de Laplace de derivadas e integrales deuna funcion.

7.1. Transformadas de Laplace de las derivadas de una funcion

Teorema 7.1 Si f (t) es una funci´ on continua en [0,∞) y de orden exponencial α, y su derivada es parcialmente continua en [0,∞), entonces

L[f ′(t)] = sF (s)− f (0) s > α. (7.10)

Prueba. Integrando por partes se tiene que

L[f ′(t)] =

∞

0

e−stf ′(t)dt = e−stf (t)

∞

0

+ s

∞

0

e−stf (t)dt.

Notese que como f (t) es de orden exponencial α, entonces

|e−stf (t)| ≤ e−stM eαt = M e(α−s)t −→ 0 si t −→∞.

Esto esL[f ′(t)] = sF (s)− f (0) s > α.

Mediante la aplicacion sucesiva de la regla (7.10) se obtienen reglas para hallar lastransformadas de Laplace de derivadas de orden superior, por ejemplo

L[f ′′(t)] = sL[f ′(t)]− f ′(0) = s2F (s)− sf (0)− f ′(0)

yL[f (3)(t)] = sL[f ′′(t)] − f ′′(0) = s3F (s)− s2f (0)− sf ′(0)− f ′′(0).

En general, se obtiene el siguiente resultado

Teorema 7.2 Si f (t), f ′(t), . . ., f (n−1)(t) son funciones continua en [0,∞) y de orden exponencial α, y f (n)(t) es parcialmente continua en [0.∞), entonces

L[f (n)(t)] = snF (s)− sn−1f (0) − sn−2f ′(0) − . . .− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0). (7.11)

La ventaja de usar la transformada de Laplace cuando tratamos con ecuaciones difer-enciales ordinarias puede verse rapidamente ya que nos permite reemplazar la operacionde diferenciacion en el dominio tiempo por una operacion algebraica sencilla en el dominios.




7.2. Transformada de Laplace de la integral de una funcion

En algunas aplicaciones, el comportamiento de un sistema puede ser representado por

una ecuacion integro diferencial, que es una ecuacion que contiene tanto derivadas co-mo integrales de una incognita variable. Para resolver directamente tales ecuaciones esconveniente poder obtener la transformada de Laplace de integrales tales como

∫ t0

f (u)du.

Teorema 7.3 Si f (t) es una funci´ on parcialmente continua en [0,∞) y de orden expo-nencial α ≥ 0, entonces

L t

0

f (u)du

=1

sL[f (t)] s > α. (7.12)

Prueba. Escribiendo

g(t) = t0

f (u)du

tenemos g′(t) = f (t), excepto en los puntos de discontinuidad de f (t). Integrando porpartes se obtiene que

∞

0

e−stg(t)dt =e−stg(t)

−s

∞

0

+1

s

∞

0

e−stf (t)dt.

Pero,

|e

−st

g(t)| ≤ e

−st t0 f (u)du ≤ M e

−st t0 e

αu

du =

M

α (e

−(s−α)t

− e

−st

) −→ 0

cuando t −→∞ para s > α ≥ 0. Entonces

L[g(t)] =1

sL[f (t)] s > α.

7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Estamos ahora en posicion de usar el metodo de la transformada de Laplace pararesolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes. Para ilustrar

esto, consideremos la EDO lineal de segundo orden

ad2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = g(t) (t ≥ 0) (7.13)

sujeta a las condiciones iniciales y(0) = t0, y′(0) = t1.Al tomar la transformada de Laplace de cada termino en (7.13) se obtiene

aLd2y

dt2

+ bL

dy

dt

+ cL[y] = L[g(t)]

a[s2Y (s)− sy(0) − y′(0)] + b[sY (s)− y(0)] + cY (s) = G(s)




[as2 + bs + c]Y (s) = G(s) + at1 + [as + b]t0

ası que

Y (s) =

G(s) + at1 + [as + b]t0as2 + bs + c . (7.14)

Por ultimo, aplicamos la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuacion (7.14)para obtener la solucion

y = L−1[Y (s)].

Observaciones

1. Una ventaja distintiva al usar la transformada de Laplace es que nos permite reem-plazar la operacion de diferenciacion por una operacion algebraica. Consecuente-mente, al tomar la transformada de Laplace de cada termino de una EDO, esta es

convertida en una ecuacion algebraica en la variable s.

2. El metodo la transformada de Laplace produce la solucion completa de la EDO linealcon las condiciones iniciales automaticamente incluidas.

3. El metodo de la transformada de Laplace se adapta idealmente para resolver proble-mas con valor inicial, esto es, las EDO lineales en donde estan especificadas todas lascondiciones iniciales y(0), y′(0), y ası sucesivamente, en el tiempo t = 0. El metodoes menos atractivo para problemas con valores en la frontera, cuando no todas lascondiciones en y(t) y sus derivadas estan especificadas en t = 0, pero algunas estanespecificadas en otros valores de la variable independiente. Sin embargo, todavıa se

puede utilizar el metodo de la transformada de Laplace si se asignan constantes ar-bitrarias a una o mas de las condiciones iniciales y despues se determinan sus valoresusando las condiciones de frontera dadas.

4. Debe notarse que el denominador del lado derecho de (7.14) es el lado izquierdo de(7.13) reemplazando el operador d

dtcon s. El denominador igualado a cero tambien

corresponde a la ecuacion caracterıstica usada en el tratamiento clasico.

5. El metodo usado para resolver una EDO lineal de segundo orden con coeficientesconstantes puede ser aplicado facilmente a EDO lineales de orden superior. ParaEDO de orden superior el proceso de aplicar la inversi on puede resultar bastante

tediosa, y conviene usar metodos matriciales.

8. Funcion escalon unitario

En muchas aplicaciones de la ingenierıa se consideran problemas que involucran fun-ciones discontinuas. Para manipular tales funciones discontinuas usamos la funcion es-calon unitario U (t), definida por

U (t) =

{0 t < 0

1 t ≥ 0(8.15)




La funcion escalon unitario tambien se conoce como funcion de Heaviside. Una funcionque representa un escalon unitario en t = a puede ser definida por una traslacion horizontalde duracion a. Esta esta definida por

U (t− a) =

{0 t < a

1 t ≥ a(8.16)

La funcion producto f (t)U (t − a) toma valores

f (t)U (t− a) =

{0 t < 0

f (t) t ≥ 0(8.17)

ası la funcion U (t−a) puede ser interpretada como un mecanismo para encender la funcionf (t) en t = a. De esta manera, podemos construir una funcion discontinua, usando lafuncion escalon unitario.

Alternativamente, una funcion discontinua tambien puede ser construida usando lafuncion pulso unitario

U (t− a)− U (t− b) =

{1 a ≤ t < b

0 en otro caso(8.18)

8.1. Transformada de Laplace de la funcion escalon unitario

Por la definicion de la transformada de Laplace, la transformada de U (t − a), a ≥ 0,

esta dada por

L[U (t− a)] =

∞

0

U (t− a)e−stdt =

∞

a

e−stdt =e−st

−s

∞

a

=e−as

s, a ≥ 0, s > 0.

Esto es,

L[U (t− a)] =e−as

s, a ≥ 0, s > 0 (8.19)

y el caso particular de a = 0

L[U (t)] =1

s, s > 0. (8.20)

Notese que es apropiado escribir

L−1e−as

s

= U (t− a), a ≥ 0, s > 0. (8.21)

8.2. El segundo teorema de traslacion

Este teorema algunas veces es conocido como Teorema de Heviside o de retraso.

Teorema 8.1 si L[f (t)] = F (s) entonces para una constante no negativa a

L[f (t− a)U (t− a)] = e−asF (s). (8.22)




Prueba. Por definicion

L[f (t− a)U (t − a)] = ∞

0

f (t− a)U (t− a)e−stdt = ∞

a

f (t− a)e−stdt.

Haciendo la sustitucion T=t-a

L[f (t− a)U (t− a)] =

∞

0

f (T )e−s(T +a)dT = e−as ∞

0

f (T )e−sT dT.

Como F (s) = L[f (t)] =∫ ∞

0f (T )e−sT dT , se sigue que

L[f (t− a)U (t− a)] = e−asF (s).

Observaciones1. Es importante distinguir entre las dos funciones f (t)U (t−a) y f (t−a)U (t−a). Como

vimos antes f (t)U (t − a) simplemente indica que la funcion f (t) esta encendida enel tiempo t = a, ası que

f (t)U (t− a) =

{0 t < 0

f (t) t ≥ 0

Por otro lado, f (t− a)U (t− a) representa una traslacion a la derecha (ya que a ≥ 0)de la funcion f (t) a unidades, ası que

f (t− a)U (t− a) =

{0 t < 0

f (t− a) t ≥ 0

puede interpretarse como la representacion de la funcion f (t) retrasada en el tiem-po por a unidades. Ası, cuando consideramos su transformada de Laplace e−asF (s),donde F (s) denota la trasformada de Laplace de f (t), la componente e−as puede serinterpretada como el operador retraso en la transformada F (s). Esto indicara que larespuesta del sistema caracterizada por F (s) sera retrasada en el tiempo a unidades.Como muchos sistemas practicos importantes tienen alguna forma de retraso inher-

ente a su comportamiento, es claro que el resultado de este teorema es muy util.

2. En la practica, la importancia del segundo teorema de traslacion radica en determi-nar transformadas inversas, ya que, en muchos sistemas practicos los ingenieros estaninteresados en conocer como influyen los retrasos en la respuesta del sistema. con-secuentemente, para muchos, la forma mas usual del segundo teorema de traslaciones

L−1[e−asF (s)] = f (t− a)U (t− a). (8.23)




9. Funciones periodicas

Ya hemos determinado la transformada de Laplace de funciones periodicas tales como

cos ωt y sen ωt, que son funciones continuas suaves (derivables). Sin embargo, en muchasaplicaciones de la ingenierıa, frecuentemente encontramos funciones periodicas que tienenun comportamiento discontinuo. El siguiente teorema provee una expresion explıcita parala transformada de Laplace de una funcion periodica.

Teorema 9.1 Si f (t) es continua por tramos en [0,∞),de orden exponencial y peri´ odica con periodo T , esto es f (t + nT ) = f (t) para todo entero n, entonces

L[f (t)] =1

1− e−sT

T 0

e−stf (t)dt.

Prueba. La transformada de Laplace de f (t) existe y puede ser expresada como una seriede integrales sobre periodos sucesivos; esto es,

L[f (t)] =

∞

0

f (t)e−stdt =∞r=0

(1+r)T rT

f (t)e−stdt.

Si hacemos la sustitucion t = v + rt, entonces

L[f (t)] =∞

r=0 (T 0

f (v + rT )e−s(v+rT )dv.

Como f (t) es periodica con periodo T ,

f (v + rT ) = f (v) r = 0, 1, 2, . . . ,

ası que

L[f (t)] =∞r=0

(T 0

f (v)e−sve−srtdv =

( ∞r=0

e−srt) (T

0

f (v)e−svdv.

La serie

∑∞

r=0 e−srt es una progresion geometrica infinita cuyo primer termino es 1 y razoncomun e−sT . Su suma esta dada por 1

1−e−sT , ası que

L[f (t)] =1

1− e−sT

(T 0

f (v)e−svdv.

Como, dentro de la integral, v es una variable nula, la podemos reemplazar por t paraobtener el resultado deseado.




10. La funcion delta de Dirac

Con frecuencia, sobre los sistemas mecanicos actuan fuerzas externas (o bien sobre los

circuitos electricos) de gran magnitud solo durante un lapso muy breve; por ejemplo, enun ala de aeroplano que se encuentra oscilando, puede caer un rayo, se puede dar un golpebrusco a una masa en un resorte con un martillo, o una bola de beisbol, podrıa mandarsevolando golpeandola violentamente con un bate. La funcion de pulso δa(t− t0) definida por

δa(t− t0) =

0 t < t0 − a

1

2at0 − a ≤ t < t0 + a

t t ≥ t0 + a,

(10.24)

cuando a > 0, t0 ≥ 0 podrıa servir como modelo matematico de este tipo de fuerzas.Para valores pequenos de a, δa(t − t0) es, esencialmente, una funcion constante de granmagnitud que se encuentra encendida solo durante un lapso muy pequeno, alrededor de t0.Esta funcion δa(t−t0), se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integracion,

∞

−∞

δa(t− t0)dt = 1.

En la practica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con la expresi on

δ(t− t0) = lıma−→0

δa(t− t0). (10.25)

Esta ultima expresion, llamada funcion delta de Dirac, se puede caracterizar mediantelas dos propiedades siguientes:

1. δ(t− t0) =

{∞ t = t0

0 t = t0

2.∫ ∞

−∞δ(t− t0)dt = 1.

La funcion delta de Dirac no es una funcion en el sentido usual. Sin embargo, sus propiedades,son tales que, usadas con cuidado pueden conducir a resultados que tienen significado fısico

o practico y que en muchos casos no se pueden obtener por ningun otro metodo. En estecon texto, provee a los ingenieros de una herramienta matematica importante.

10.1. La propiedad del filtrado

Es posible, bajo condiciones adecuadas, multiplicar una funcion ordinaria por la funciondelta de Dirac. Ası

δ(t− t0)f (t) = f (t)δ(t− t0) = f (t0)δ(t − t0) (10.26)

siempre que la funcion f (t) sea continua en t = t0.




La expresion (10.26) establece que si f (t) es continua en t = t0 entonces

∞

−∞

f (t)δ(t− t0)dt = f (t0). (10.27)

La propiedad importante (10.27) de la funcion delta de Dirac es de significado practico y esllamada propiedad de filtrado, porque provee un metodo que permite aislar, o separar,el valor de una funcion en cualquier punto particular.

Por razones teoricas es conveniente usar lımites infinitos en (10.27), aunque en realidadpueden ser sustituidos por lımites finitos. Esto es cierto ya que para α < t0 < β, donde α

y β son constantes βα

f (t)δ(t− t0)dt = f (t0). (10.28)

10.2. La transformada de Laplace de la funcion delta de DiracLa transformada de Laplace de la funcion del de Dirac se puede deducir facilmente de

la propiedad (10.27). Como δ(t − t0)=0 para t = t0, si hacemos f (t) = e−st en (10.27),vemos que para t0 ≥ 0,

L[δ(t− t0)] =

∞

−∞

e−stδ(t − t0)dt = e−t0s.

Ası, para t0 ≥ 0L[δ(t− t0)] = e−t0s. (10.29)

o, en terminos de la transformada inversa,

L−1[e−t0s] = δ(t − t0). (10.30)

10.3. Relaciones entre la funcion escalon unitario y la delta deDirac

De las definiciones de u(t) y δ(t) se puede argumentar que

u(t) = t

−∞

δ(t)dt, (10.31)

ya que el intervalo de integracion contiene al cero si t > 0 pero no si t < 0. Inversamente,(10.31) puede escribirse como

δ(t) =d

dtu(t) = u′(t), (10.32)

que expresa el hecho de que u′(t) es cero en todas partes excepto en t = 0, cuando ocurreel salto en u(t).

Igualmente se puede argumentar que

δ(t− t0) =d

dtu(t− t0) = u′(t− t0) (10.33)




11. Convolucion

La convolucion de dos funciones f (t) y g(t) parcialmente continuas en (0,∞], tiene

muchas aplicaciones en varios campos de la ingenierıa, esta denotada por (f ∗ g)(t) ydefinida como

(f ∗ g)(t) =

t0

f (µ)g(t− µ)dµ. (11.34)

Sustituyen α = t− µ en (11.34) obtenemos

(f ∗ g)(t) =

t0

g(α)f (t − α)dα = (g ∗ f )(t).

Esto es, la convolucion es conmutativa. Otras propiedades basicas de la convolucion sonlas siguientes:

1. c(f ∗ g) = cf ∗ g = f ∗ cg c constante

2. f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h

3. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h),

las cuales se demuestran facilmente a partir de la definicion.La importancia de la convolucion en la teorıa de la transformada de Laplace es que nos

permite obtener la transformada inversa de un producto de dos transformadas. El resultadonecesario para hacer esto esta contenido en el siguiente teorema.

Teorema 11.1 Si f (t) y g(t) son dos funciones parcialmente continuas en [0,∞), de orden exponencial α y tienen transformadas de Laplace F (s) y G(s) respectivamente, entonces

L

[ t0

f (µ)g(t− µ)dµ

]= L[(f ∗ g)(t)] = F (s)G(s) (11.35)

o, en la forma inversa m´ as usual,

L−1[F (s)G(s)] = (f ∗ g)(t). (11.36)

Prueba. Por definicion

F (s)G(s) = L[f (t)]L[g(t)] =[ ∞

0

e−sxf (x)dx][ ∞

0

e−syg(y)dy]

,

donde hemos usado, en las integrales, las variables ficticias x e y, en lugar de t, para evitarconfusiones. Ahora, esto puede ser expresado mediante la integral doble como

F (s)G(s) =

∞

0

∞

0

e−s(x+y)f (x)g(y)dxdy =

R

e−s(x+y)f (x)g(y)dxdy,

donde R es el primer cuadrante en el plano (x, y). Haciendo la sustitucion

x + y = t y = µ,




la integral doble se transforma en

F (s)G(s) = R1

e−stf (t− µ)g(µ)dtdµ,

donde R1 es la region semi-infinita en el plano (µ, t) acotada por la recta µ = 0 y µ = t.Esto puede escribirse como

F (s)G(s) =

∞

0

e−st( t

0

f (t− µ)g(µ)dµ

)dt =

∞

0

e−st(g ∗ f )(t)dt = L[(g ∗ f )(t)]

y como la convolucion es conmutativa, podemos escribir

F (s)G(s) = L[(f ∗ g)(t)],

lo cual concluye la demostracion.

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