transformada de fourier
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INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
"SANTIAGO MARIÑO"
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
Transformada de Fourier
AMBAR STEPHANY LÓPEZ DUARTE
C.I. V-21.001.737
ESCUELA ING. DE SISTEMAS
MATEMATICA IV
SAN CRISTÓBAL, 01 DE AGOSTO DE 2016
Jean-Baptiste Joseph FourierJean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, Francia, 21 de marzo de 1768-París, 16 de mayo
de 1830) fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la
descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes
llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor.
La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una
explicación científica al efecto invernadero en un tratado.
Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que
le permitieron modelar la evolución de la temperatura a través de series
trigonométricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemático de fenómenos
físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica.
Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy
debatida, principalmente por sus maestros Laplace y Lagrange.
Publicó en 1822 su Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor), tratado
en el cual estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor
solucionándola mediante el uso de series infinitas de funciones trigonométricas, lo que
establece la representación de cualquier función como series de senos y cosenos,
ahora conocidas como las series de Fourier. El trabajo de Fourier provee el impulso
para trabajar más tarde en las series trigonométricas y la teoría de las funciones de
variables reales. Los dos primeros capítulos de la obra citada tratan problemas sobre
difusión de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita. Fourier en esta obra
dedujo la ecuación en derivadas parciales que rige tal fenómeno, la cual es conocida
como la ecuación del calor. En el capítulo III de la obra, titulado Difusión del calor en
un cuerpo rectangular infinito Fourier introduce su método original de trabajo con
series trigonométricas.
Transformada de FourierDenominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para
transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la
frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible,
siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término
se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical
continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede
simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado
coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la
señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función.
Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda
auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que
finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida
que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las
frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de
Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f de
valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera
siguiente:
Donde f es L1, es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la
integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el
enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier.
Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente
adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y ξ suelen estar asociadas a
dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —herzios— respectivamente,
si se utiliza la fórmula alternativa:
La constante β cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un
exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de
continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e
incluso a espacios de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría
de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría
de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En
procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la
descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g
corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí
algunas de ellas:
Propiedades elementalesLa palabra “transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para
transformar un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de
Fourier será útil para simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones
diferenciales, convirtiendo el problema de la solución de una ED en un problema de
solución de ecuaciones algebraicas. La motivación para dicho estudio está en el hecho
de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades algebraicas cuando se
aplica a las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal, etc.
EJEMPLOS
Fuentes
http://www4.ujaen.es/~jmalmira/transformada_fourier_almira.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
https://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourier