Transformaciones Lineales De Reflexión

Considere el operador T: R2 -> R2, definido por T([x, y]) = [x, -y], que transforma un punto en su imagen especular en el eje x. T recibe el nombre de reflexión.

Primero se puede mostrar fácilmente que T es líneal, determine ahora su matriz canónica. Luego el efecto de T en la base canónica es:

A menudo, las aplicaciones implican una sucesión de transformaciones lineales. Una sola transformación compuesta T = T n … T 1 se encuentra descrita por el

producto matricial de las transformaciones de los componentes, An … A1.

Transformaciones Lineales De Rotación

Transformaciones Lineales de Contracción

Decimos que   es una contracción si existe un producto interno en   tal que:

El ejemplo clásico es la siguiente matriz:

Que define una contracción de   pero no para el producto interno usual.

Se puede demostrar el siguiente lemita:

Lemita de las contracciones.Una transformación   es una contracción si y solamente si se cumple:

La inversa de una contracción es una expansión, damos la definición obvia.

Transformaciones Lineales de Dilatación

Dilatación o escalamiento en R2

El escalamiento 2D implica el cambio de tamaño de un polígono, donde cada punto p=(x1 , x2) es transformado por la multiplicación de dos factores de

escalamiento: s1 y s2 a lo largo de los ejes X1 y X2 respectivamente, de esta forma,

las coordenadas del nuevo punto p '=(x1' , x2

' ) se obtienen como:

x1'=x1∙ s1

x2'=x2∙ s2

Sea s= (s1 , s2 ) el vector de factores de escalamiento, y S (s ) la matriz de

escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en R2

se puede expresar como el producto matricial p'=p ∙S (s ) , es decir:

[ x1 ' x2 ' 1 ]= [x1 x2 1 ] ∙[s1 0 00 s2 00 0 1]

Dilatación o escalamiento en R3

Extendiendo la idea anterior aR3, el escalamiento implica el cambio de tamaño de

un poliedro, donde cada punto p=(x1 , x2 , x3) es transformado por la multiplicación

de tres factores de escalamiento: s1, s2 y s3 a lo largo de los ejes X1, X2 y X3

respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto p '=(x1' , x2

' , x '3) se obtienen como:

x1'=x1∙ s1

x2'=x2∙ s2

x3'=x3∙ s3

Sea s= (s1 , s2 , s3 ) el vector de factores de escalamiento, y S (s ) la matriz de

escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en R3

se puede expresar como el producto matricial p'=p ∙S (s ), es decir:

[ x1 ' x2 ' x ' 3 1 ]=[ x1 x2 x3 1 ] ∙[ s1 0 0 00 s2 0 00 0 s3 00 0 0 1

]

Escalamiento o dilatación Rn

De esta forma, el escalamiento en Rn implica el cambio de tamaño de un politopo nD en todas sus dimensiones, como se observó anteriormente, se puede representar el escalamiento en R3 en su forma matricial, donde los factores de escalamiento se localizan en la diagonal principal, cada uno colocado en la columna que le corresponde a su respectivo eje. Así, se obtiene la expresión matricial de escalamiento para cualquier dimensión:

[ x1 ' x2 ' x ' 3 ⋯ x ' n 1 ]=[ x1 x2 x3 ⋯ xn 1 ] ∙[s1 0 0 ⋯ 0 00 s2 0 ⋯ 0 00 0 s3 ⋯ 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ sn 00 0 0 ⋯ 0 1

]

En general, la matriz de escalamiento S(s) para nD en coordenadas homogéneas

tendrá un tamaño de (n+1 )×(n+1), en la cual, si se sustituyen los valores para n=2 y n=3, se obtienen las matrices de escalamiento 2D y 3D respectivamente.

Transformaciones de Translación

Translación en R2

La translación en R2 implica el desplazamiento de un polígono, donde cada punto p=(x1 , x2) es trasladado d1 unidades en el eje X1 y d2 unidades en el eje X2, de

esta forma, las coordenadas del nuevo punto p '=(x1' , x2

' ), se obtienen como:

x1'=x1+d1

x1'=x1+d2

Sea d=(d1 , d2) el vector de distancias, y T (d ) la matriz de translación, en

coordenadas homogéneas la translación de un punto p en R2 se puede expresar

como el producto matricial p'=p ∙T (d ), es decir:

[ x1 ' x2 ' 1 ]= [x1 x2 1 ] ∙[ 1 0 00 1 0d1 d2 1]

Translación en R3

Basándose en la idea anterior, se tiene que la translación en R3 implica el

desplazamiento de un poliedro, donde cada punto p=(x1 , x2 , x3) es trasladado d1

unidades en el eje X1, d2 unidades en el eje X2 y d3 unidades en el eje X3, de esta

forma, las coordenadas del nuevo punto p '=(x1' , x2

' , x '3) se obtienen como:

x1'=x1+d1

x1'=x2+d2

x1'=x3+d3

Sea d=(d1 , d2 , d3) el vector de distancias, y T (d ) la matriz de translación, en

coordenadas homogéneas la translación de un punto p en R3 se puede expresar

como el producto matricial p'=p ∙T (d ), es decir:

[ x1 ' x2 ' x ' 3 1 ]=[ x1 x2 x3 1 ] ∙[ 1 0 0 00 1 0 00 0 1 0d1 d2 d3 1 ]

Translación en Rn

De esta forma, la translación en Rn implica el desplazamiento de un politopo nD sumando parámetros de distancias a todas sus dimensiones, como se observó anteriormente, se puede representar la translación en Rn en su forma matricial, donde los parámetros de distancia se localizan en el último renglón de la matriz, cada uno colocado en la columna que le corresponde a su respectivo eje, y colocando valores de 1 en la diagonal principal.

Así, se obtiene la expresión matricial de translación para cualquier dimensión:

[ x1 ' x2 ' x ' 3 ⋯ x ' n 1 ]=[ x1 x2 x3 ⋯ xn 1 ] ∙[1 0 0 ⋯ 0 00 1 0 ⋯ 0 00 0 1 ⋯ 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 1 0d1 d2 d3 ⋯ dn 1

]En general, la matriz de translación T (d ) para nD en coordenadas homogéneas tendrá un tamaño de (n+1 )×(n+1), en la cual, si se substituyen los valores para n=2 y n=3 , se obtienen las matrices de escalamiento 2D y 3Drespectivamente