transformaciones de las secciones cónicas en el plano

5/16/2018 Transformaciones de las secciones c nicas en el plano - slidepdf.com

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Universidad de Costa Rica Viktor Solano

Lema 1 Dada la curva que tiene por ecuación

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

se puede trasladar a un nuevo origen (h, k) de manera que se eliminen los términos linieales, se pue

reescribir comoAx2 + Bxy + Cy2 + F = 0 (2)

donde F = Ah2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F y el nuevo origen es

2CD −BE

B2 − 4AC ,

2AE −BD

B2 − 4AC

.

Demostración:

Para trasladar la curva al nuevo origen (h, k), obtenemos las ecuaciones de transformación

x = x + h

y = y + k(3)

Al aplicar (3) en (1) obtenemos:

A(x + h)2 + B(x + h)(y + k) + C (y + k)2 + D(x + h) + E (y + k) + F = 0⇔ A(x2 + 2hx + h2) + B(xy + kx + hy + hk) + C (y2 + 2ky + k2) + Dx + Dh + Ey + Ek + F =⇔ Ax2 +2Ahx +Ah2 + Bxy +Bkx +Bhy +Bhk +Cy2 + 2Cky +Ck2 +Dx +Dh + Ey +Ek +F =⇔ Ax2+Bxy+Cy2+(2Ahx+Bkx+Dx)+(Bhy +2Cky +Ey )+(Ah2+Bhk+Ck2+Dh+Ek +F ) =

Ax2+Bxy+Cy2+(2Ah+Bk +D)x+(Bh +2Ck +E )y+(Ah2+Bhk +Ck2+Dh +Ek +F ) = 0 (

Ahora, tomando F = Ah2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F e igualando los coheficientes lineales a

obtenemos (2):

Ax2 + Bxy + Cy2 + F = 0 (2)

Finalmente, como los coheficientes de x y y son ambos nulos, podemos encontrar los valores de h

k mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

2Ah + Bk + D = 0Bh + 2Ck + E = 0

)

El cual, nos lleva a las siguientes soluciones:

h =2CD −BE

B2 − 4AC k =

2AE −BD

B2 − 4AC

QED

1




Lema 2 Dada la curva que tiene por ecuación

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

se puede rotar en un ángulo θ, con 0≤

θ < 90o, de manera que se elimine el término xy se pue

reescribir como

Ax2 + C y2 + Dx + E y + F = 0 (2)

donde

A = A cos2 θ + B sin θ cos θ + C sin2 θ

B = B(cos2 θ − sin2 θ) + 2(C −A)sin θ cos θ

C = A sin2 θ −B sin θ cos θ + C cos2 θ

D = D cos θ + E sin θ

E = E cos θ −D sin θ

(∗)

cos θ = 1

2+ A− C

B2 + (A − C )2∧ sin θ =

12− A − C

B2 + (A− C )2

Demostración:

Dado que queremos rotar la curva, sea θ el ángulo de rotación, que satisface 0 ≤ θ < 90o. Nuestrecuaciones de transformación serían:

x = x cos θ − y sin θ

y = x sin θ + y cos θ(3)

Al aplicar (3) en (1) obtenemos:

A(x cos θ − y sin θ)2 + B(x cos θ − y sin θ)(x sin θ + y cos θ) + C (x sin θ + y cos θ)2

+D(x cos θ − y sin θ) + E (x sin θ + y cos θ) + F = 0

⇔ A(x2 cos2 θ−2xy sin θ cos θ +y2 sin2 θ)+B(x2 sin θ cos θ +xy cos2 θ−xy sin2 θ−y2 sin θ cos θ)C (x2 sin2 θ + 2xy sin θ cos θ + y2 cos2 θ) + Dx cos θ −Dy sin θ + Ex sin θ + Ey cos θ + F = 0

⇔ Ax2 cos2 θ−2Axy sin θ cos θ+Ay2 sin2 θ+Bx2 sin θ cos θ+Bxy cos2 θ−Bxy sin2 θ−By 2 sin θ cCx2 sin2 θ + 2Cxy sin θ cos θ + Cy2 cos2 θ + Dx cos θ −Dy sin θ + Ex sin θ + Ey cos θ + F = 0

⇔ (Ax

2 cos2 θ + Bx

2 sin θ cos θ + Cx

2 sin2 θ) + (−2Ax

y

sin θ cos θ + Bx

y

cos2 θ + 2Cx

y

sin θ cos θBxy sin2 θ)+(Ay2 sin2 θ−By 2 sin θ cos θ +Cy2 cos2 θ)+(Dx cos θ +Ex sin θ)+(Ey cos θ−Dy sin θ)F = 0

⇔ (A cos2 θ + B sin θ cos θ + C sin2 θ)x2 + (B(cos2 θ − sin2 θ) + 2(C −A)sin θ cos θ)xy + (A sin2 θ

B sin θ cos θ + C cos2 θ)y2 + (D cos θ + E sin θ)x + (E cos θ −D sin θ)y + F = 0 (4)

2




Sustituyendo (∗) en (4), obtenemos la forma buscada:

Ax2 + Bxy + C y2 + DxE y + F = 0 (2)

Ahora, como queremos que la rotación θ elimine el término xy, igualamos su coheficiente a 0. E

decir:

B cos2 θ − sin2 θ + 2(C −A)sin θ cos θ = 0 (5)

Por las fórmulas del doble ángulo, podemos reescribir (5) como:

B cos2θ + (C −A)sin2θ = 0

Tomando cos2θ = 0,B + (C −A)tan2θ = 0

⇔ (C −A)tan2θ = −B

⇔ tan2θ = BA − C

⇔ sin2θ

cos2θ=

B

A − C

De lo anterior podemos deducir que cos2θ = A−C √ B2+(A−C )2

y con las fórmulas de medio ángul

sin θ =

1−cos2θ2

y cos θ =

1+cos2θ2

, podemos determinar cos θ y sin θ en términos de A,B y C .

cos θ =

1

2+

A− C B2 + (A − C )2

∧ sin θ =

1

2− A − C

B2 + (A− C )2

QED

3




Teorema 1 Dada la curva que tiene por ecuación

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

se puede trasladar a un nuevo origen (h, k) y rotar en un ángulo θ, con 0≤

θ < 90o, de manera que

puedan eliminar los términos lineales y el término xy y se puede reescribir como

Ax2 + C y2 + F = 0 (2)

DondeA = A cos2 θ + B sin θ cos θ + C sin2 θ


F = Ah2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F

(∗)

(h, k) =

2CD −BE

B2 − 4AC ,

2AE −BD

B2 − 4AC

cos θ = 1

2+ A− C

B2 + (A − C )2∧ sin θ =

12− A − C

B2 + (A− C )2

Demostración:

Primero aplicaremos una traslación al nuevo origen (h, k). Tomando (1) y aplicando el Lema

obtenemos:Ax2 + Bxy + Cy2 + F = 0 (2)

donde F = Ah2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F y el nuevo origen es 2CD −BE

B2 − 4AC ,

2AE −BD

B2 − 4AC .

Ahora rotaremos la ecuación (2) en un ángulo θ, con 0 ≤ θ < 90o. Al aplicar el Lema 2, obtenemo

Ax2 + C y2 + F = 0 (3)

donde

A = A cos2 θ + B sin θ cos θ + C sin2 θ


(∗)

cos θ = 1

2+

A

−C

B2 + (A − C )2 ∧sin θ = 1

2 −A

−C

B2 + (A− C )2

QED

4

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