Canvis en l’espai: transformacions geomètriques

CEIP El Roure Gros

Santa Eulàlia de Riuprimer

Curs 2003/2004

Any Dalí 2004

Amb el conte “El petit Dalí”introduïm el tema

Que treballem des de diferents àrees

I a matemàtiques, com ho treballem?

Moltes imatges de Dalí

són figures diferents a la

realitat

Nosaltres també hem transformat figures.

Us explicarem com hem descobert algunes

d’aquestes transformacions i les seves propietats

Maneres de transformar les figures

•Es deformen•Es projecten

•Giren•Es fan

simètriques•Es traslladen

Com canvien les figures?

Investiguem amb el cos

Investiguem amb objectes

Podem deformar figures planes de plastilina

Ara juguem amb el mirall

cilíndric

Ja sabem com fer sortir una línia recte en el mirall cilíndric.

Deformem imatges

Què els passa a les figures quan els fem

una deformació elàstica?

De vegades s’allarguen les figures.

Algunes línies rectes

es fan corbes.

Algunes línies s’escurcen.

La copa de l’arbre és quasi rodona i quan l’hem deformat s’ha tornat quasi rectangular.

Després de deformar el dibuix s’ha fet més ample i s’ha allargat cap el cantó dret.

1

2

3

4

56

78

9

1

2

3

4

56

78

9

Amb les deformacions no podem aconseguir que dues línies que no es toquen ho arribin a

fer.

També deformem figures fetes amb plastilina

I canvia la forma, però es conserven les seves

propietats

Aquestes dues figures tan diferents tenen el mateix nombre

de regions, interseccions i segments.

Amb el mirall cilíndric les formes canvien molt

Si et poses dret davant del mirall et veus molt llarg i si et poses estirat et veus molt

curt.

Les rodones semblen ous i les el·lipses semblen cercles

Les meves cames s’han

corbat i escurçat

però els peus s’han fet llargs...

M’han crescut les cames...

Nosaltres provem d’enganyar el mirall...

I ho aconseguim!

Investiguem davant el mirall cilíndric

Fem la deformació inversa i en el mirall ens surt la imatge inicial, la línia

corba es torna recta.

Si davant del mirall hi fem línies rectes,

verticals i paral·leles...

en el mirall no es veuen ni

rectes ni paral·leles.

Hem anat provant com teníem de fer les línies davant del mirall perquè en el mirall

sortissin verticals, rectes i paral·leles.

Ja ho sabem!!

Hem trobat com fer una quadrícula que surti recte en el mirall.

Dibuixem en el paper la quadrícula deformada, perquè es vegi bé en el mirall.

Fem un dibuix seguint les línies.

Hem aconseguit

dibuixar una casa.

Hem fet un

anamorfisme

Tots hem dibuixat anamorfismes

LA

SIMETRIA

LA

SIMETRIA

Amb el calidoscop

i:

Si hi posem

una cosa, es veuen estrelles, triangles, hexàgons.

..

Si enfoquem una cara, se’n veuen moltes, si enfoquem un dibuix se’n veuen molts de

diferents

Amb el prisma

de miralls:

Quan entrem a dins ens

veiem...100 cops

Quan la Laura es posa dreta al costat dels miralls, des de dins veiem una

estrella

Quan acostem una paraula escrita a un dels miralls del prisma ho veiem al

revés.

Però, què els passa a les figures quan els fem una simetria?

Surten figures iguals però girades. Ho podem fer amb un mirall...

Podem escriure al revés i llegir-ho del dret en el mirall

Hi ha formes que tenen eix de simetria

Podem fer dibuixos amb eix de simetria

Podem fer simetries amb dos miralls formant angle recte...llavors surt el dibuix quatre vegades però girat.

Hi ha figures que tenen més d’un eix de simetria

N’hi ha que en tenen molts.

Les figures regulars tenen tants eixos com costats o com vèrtex.

Aquest polígon és regular perquè té 9 vèrtex, 9 costats i 9 eixos de simetria

Aquest, en canvi , és isòsceles perquè

només té un sol eix de simetria.

Si volem fer un quadrat amb dos miralls units en forma de llibre i un pal,

hem d’obrir els miralls 90º, un angle recte.

Si volem fer un hexàgon, els hem d’obrir 60º

Si volem fer un dodecàgon, els hem d’obrir 30º, perquè l’angle central del

dodecàgon regular és de 30º

Si hi posem el pal

vertical i tanquem molt els

miralls pot sortir un cilindre

Si hi posem el pal inclinat, sortirà una estrella

• Dues figures simètriques tenen la mateixa forma però estan orientades de forma diferent.

• Les rectes que uneixen dos punts simètrics són perpendiculars a l’eix de simetria.

• Tots els punts de la figura inicial estan a la mateixa distància de l’eix que els seus simètrics.

Hem descobert les propietats de la simetria de les figures planes

• Un eix de simetria és una recta que parteix una figura plana en dues parts que tenen igual forma i superfícies iguals.

• La figura simètrica està col·locada al revés de la figura inicial, els únics punts que estan al mateix lloc són els de l’eix de simetria.

• Una figura regular té tants eixos com costats i com vèrtex. Una figura isòsceles té un sol eix de simetria.

• El cercle és la figura amb més eixos de simetria.

• Si fem girar la figura inicial, la figura simètrica també gira però en sentit contrari.

Investiguem els girs

Girar sobre un mateix• Si fas un quart de volta

es veu la porta de l’entrada.

• Si fas un quart més veus el pati petit.

• Si fas un quart més es veu l’església i si fas un altre quart es veu el contenidor.

• Si fas tota una volta tornes a veure el mateix que abans de girar.

Girar al voltant d’una cosa

• En donar una volta no sempre es veu el mateix.

• Quan girem al voltant d’una cosa la coneixem des de tots els cantons.

Les baldufes giren

Investiguem les baldufes

• Les baldufes tenen formes diferents però quan giren totes es veuen circulars.

• La forma i el material de què estan fetes les baldufes condicionen força el temps que triguen girant.

• Aquesta baldufa és la que gira més estona, amb molta diferència de les altres. És de metall i molt baixa i ampla

• Quan la baldufa gira els colors formen rodones concèntriques.

• Quan la baldufa gira surten colors nous perquè es barregen: vermell i groc fan taronja.

• Totes les baldufes tenen un centre.

• Totes les baldufes giren sobre si mateixes.

• Cada volta recorre 360º

• Algunes baldufes roden sobre si mateixes i a la vegada es mouen fent cercles.

• Quan gira la baldufa totes les formes i dibuixos de dins es tornen circulars

Podem fer girar les figures:Al voltant d’un punt exterior a elles

Al voltant d’un punt interior

• En fer un gir, tots els punts del pla canvien de posició menys el punt del centre de gir. El centre de gir pot estar dins o fora de la figura.

• Per fer el gir invers i tornar a la posició inicial, cal girar, en sentit contrari, el mateix angle que s’havia girat abans o el que falta per 360º.

• Qualsevol figura quan gira 360º torna a la figura inicial.

Hem descobert les propietats dels girs de les figures planes

• Si repetim un gir diverses vegades, podem tornar a la figura inicial quan la suma dels girs dona 360º o un múltiple de 360.

• Quan fem un gir les mides de la figura no canvien, només canvia la seva posició.

• La figura que resulta quan fem girar un punt al voltant d’un altre punt, una volta sencera, és una circumferència.

• Quan fem girar un segment recte al voltant d’un dels seus extrems, una volta sencera, la figura que en resulta és un cercle.

• Les figures que tenen centre són aquelles que en fer-les girar sobre un punt concret del seu interior els seus costats i els seus vèrtex coincideixen dues o més vegades.

• Les figures regulars són aquelles que en girar sobre el seu centre una volta sencera, coincideixen tantes vegades com costats o vèrtex tenen.

INVESTIGUEM LES TRANSLACIONS

Per poder traslladar una figura, cal un vector que marqui la direcció, el sentit

i la distància.

• En fer una translació no hi ha cap punt del pla que no canviï de posició.

• En haver fet una translació, el vector que necessitaríem per tornar a la posició inicial seria el mateix del principi però en sentit contrari.

Hem descobert les propietats de les

translacions

• En fer una translació, les mides de la figura no canvien, tampoc canvia la seva forma, però sí la seva posició.

• Repetint diverses vegades una mateixa translació, no tornaríem mai a la posició inicial, a no ser que la féssim sobre una esfera.

• Aquest treball l’hem realitzat tota l’escola.

• Queda molt més per investigar sobre les transformacions i la seva aplicació al coneixement de les figures planes, sobretot les projeccions