ESCUELA DE INGENIERÍA DE ALIMENTOS MATEMÁTICAS ESPECIALES

MODELAMIENTO DE UN PROCESO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Palacios, A (1032801); Prieto, J. M. (1036432)

INTRODUCCIÓN

La transferencia de energía calorífica es uno de los fenómenos de transporte primordiales en los procesos agroalimentarios. En prácticamente todos los procesos existen etapas en las que los elementos se enfrían o calientan, tanto en procesado primario, secundario o terciario.(1)

Por ésta razón la transferencia de calor se aborda en diferentes campos de la ingeniería. Uno de ellos, donde se consideran supuestos más o menos prácticos para el modelamiento y así poder ilustrar mecanismos de transferencia cómo también métodos de cálculo.

Una vez planteado el problema, en su resolución habrá diferentes métodos donde se aplicarán cada uno de los conocimientos matemáticos, para cuya aplicación se podrán utilizar gran variedad de herramientas, en éste caso la utilización de la hoja de cálculo de Excel. A continuación se presenta el planteamiento del problema, donde se muestra la aplicación de un modelo matemático a un tratamiento térmico bastante utilizado en la industria de alimentos, la cocción de albóndigas de carne de res.

Modelo matemático aplicado a la cocción de albóndigas

Se tiene una albóndiga de carne de res, y se quiere cocinar en un horno a 90 °C, se sabe que la temperatura de cocción de la carne de res es 71 °C (2). La difusividad térmica de la carne es α=0,13 x 10-6 m2/s. (3)

La velocidad de penetración del calor hacia el interior de los pedazos de los alimentos tiene gran importancia en la determinación del tiempo necesario para destruir las enzimas o bacterias, particularmente en los alimentos que se cuecen en grandes proporciones tales como las piezas de pan y trozos de carne. La mayoría de alimentos tienen baja conductividad térmica, del orden de 268x10-5J/seg cm °C. Los alimentos, especialmente los asados al horno son, en efecto, buenos aislantes. Esto trae como consecuencia que el centro del alimento, esté a menudo a temperatura muy inferior que el exterior del mismo (3).

A continuación se muestra el planteamiento matemático para deducir el modelo.

Primero, se consideran las albóndigas como esferas, y se desprecian los cambios de calor latente.

Condiciones iniciales

T (r ,0 )=T0T (R , t )=T ∞dTdr

(0 , t )=0

Con el planteamiento mostrado anteriormente, el modelo matemático para este proceso es el siguiente:

T=T ∞+∑n=1

∞

2(T ∞−T 0)Rnπr

(−1 )nsin( nπrR )e−∝(nπR )2

t

Donde T es la temperatura de las albóndicas en un tiempo t determinado, T ∞ es la temperatura

del horno, T 0 es la temperatura inicial de las albóndigas, R es el radio de las albóndigas, r es la

distancia desde el centro de las albóndigas hasta la superficie de las mismas y ∝ es la difusividad térmica del producto.

Luego de plantear el modelo matemático, utilizando el programa Excel, se graficó el comportamiento de la temperatura con las siguientes condiciones iniciales: la temperatura inicial de la carne 4°C, el diámetro de las esferas es 5 cm y el tiempo variable aumentando a razón de, esto para conocer el comportamiento del proceso de cocción, así como el tiempo de cocción en que la temperatura es apropiada para conseguir un producto terminado inocuo y sensorialmente aceptable.

Este comportamiento se muestra en la figura a continuación.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80R² = 0.945243672326621

Tiempo [seg]

Tem

pera

tura

[°C]

Figura 1. Temperatura vs. Tiempo, radio (r) constante.

En los hornos, como se puede observar, la temperatura en el centro de la pieza de alimento será inferior a la temperatura del aire exterior, a menos que se prolongue la cocción. Debido a que la temperatura de cocción establecida es 71°C, se advierte que el tiempo en que se alcanza este objetivo se encuentra en un rango entre 17-19 minutos, esto sucede porque las capas profundas en la carne se calientan desde las capas superiores hacia el interior, la carne tiene un alto contenido de contenido de agua, por ende, las condiciones dentro de la carne son similares a las del calentamiento del agua cualesquiera que sean las condiciones térmicas de la superficie de la misma, luego se puede decir que según el modelo matemático elegido la velocidad de calentamiento dependerá de la conductividad térmica y la temperatura de la superficie (4).

Para conocer el comportamiento de la temperatura radialmente en un tiempo constante, 10 minutos, y con las mismas características enunciadas anteriormente, se repitió el procedimiento anterior, la gráfica obtenida se muestra en la figura 2.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.02536

41

46

51

56

61

66

71

76

Radio [m]

Tem

pera

tura

[°C]

Figura 2. Temperatura vs. Radio. Tiempo (t) constante.

De la figura anterior se infiere que conforme se analiza la distancia del centro a la superficie en un tiempo determinado, la temperatura aumentará proporcionalmente al aumento de radio observado dentro de la esfera, esto ocurre debido a que, como se dijo anteriormente los alimentos no son buenos conductores, así que la temperatura cerca a la superficie estará más caliente que la temperatura en lugares cercanos al centro, pues aún en la cocción por vapor, en

donde la velocidad de transferencia de calor es mayor que aquella realizada por aire, el centro del producto será siempre más frío que la superficie, estas consideraciones son importantes en el momento de determinar la inocuidad de los alimentos. Dado que los cambios en las propiedades del alimento dependen mayormente de la temperatura de cocción que del tiempo, es conveniente realizar un control de cocinado por temperatura.

Conociendo el comportamiento de la temperatura en cada parte de las esferas y el tiempo en que éstas estarán cocinadas a la perfección, es posible establecer las variables de proceso, la capacidad del mismo y el costo. Luego, si se establece que el tiempo de cocción de las albóndigas es muy largo y se quiere conocer la temperatura a la cual se deba fijar el horno para disminuir en por lo menos el 50% el tiempo de cocción. Se utiliza el modelo matemático fijando el tiempo a 10 minutos de cocción, y variando el valor T∞ que corresponde a la temperatura del horno.

La gráfica que corresponde a estas nuevas condiciones se muestra en la figura 3.

80 90 100 110 120 130 14040

45

50

55

60

65

70

75

80

Temperatura del horno [°C]

Tem

pera

tura

[°C]

Figura 3. Temperatura vs. Temperatura del horno. Tiempo (t) y radio (r) constantes.

Según la figura anterior, para que se realice una cocción aceptable en un tiempo de 10 minutos, la temperatura del horno debería configurarse en 134°C, sin embargo este aumento implicaría un gasto energético adicional del 67% lo que implica que este no es un análisis concluyente, pues no se tienen en cuenta variables financieras.

En general se tiene que la cantidad de calor transferida a la carne durante la cocción depende de:

La diferencia de temperatura entre la superficie de la carne y el medio de cocción, esto es de la temperatura de cocción.

El tiempo de cocción total.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Corbín, J.B; Poins, A.M; Cárcel, J.A; Clemente, G. (2006). Transferencia de calor en ingeniería de alimentos: Formulación y resolución de casos prácticos. Editorial Universidad Politécnica de Valencia. Pág: 3.

2. Cengel, Y. (2004) Transferencia de Calor. Editorial McGraw Hill Interamericana. Segunda edición. Mexico D.F. Pág. 728.

3. 3. Nuffield Foundation (1984) Ciencia de la alimentación. Editorial Reverte S.A. Barcelona. Pág. 71.

4. 4. Bello, J. (1998) Tecnología Culinaria. Ediciones Díaz de Santos. Madrid, España. Pág. 163