transferencia de calor

TRANSFERENCIA DE CALOR

11

CAPTULO 2


2.1. Introduccin

Es aquella ciencia que busca predecir la transferencia de energa que

puede ocurrir entre cuerpos materiales, como resultado de una diferencia de

temperatura. La termodinmica ensea que esta transferencia de energa se

define como: calor. La ciencia de la transferencia de calor, no slo trata de

explicar cmo puede ser transferida la energa calorfica, sino tambin trata de

predecir la rapidez a la que se realizar ste intercambio, bajo ciertas condiciones especficas.

2.2. Definiciones preliminares

Se considera que la transferencia de calor se lleva a cabo, en general, por

tres procesos:

Conduccin: Es la transferencia de calor de una parte de un cuerpo a otra

o a otro cuerpo por la interaccin en un intervalo pequeo, de molculas o

electrones.

Conveccin: Es la transferencia de calor por la combinacin de

mecanismos de mezcla de fluidos y conduccin.

Radiacin: Es la emisin de energa en forma de ondas

electromagnticas. Todos los cuerpos irradian a temperaturas superiores al


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cero absoluto.la radiacin en un cuerpo puede ser absorbida, reflejada y transmitida.

2.3. Mecanismos y leyes fundamentales de la transferencia de calor.

2.3.1. Conduccin

La figura 2.1 muestra una pared plana de rea A y espesor L, cuya cara en

= 0 se mantiene a temperatura , mientras que el lado en = se mantiene a .

El flujo de calor a travs de la pared efecta en la direccin de la disminucin de la temperatura: si > , va en la direccin de positiva. La ley que rige este

flujo de calor es la ley de Fourier de conduccin de calor, la cual establece que, en una sustancia homognea, el flujo de calor local es proporcional a menos el gradiente de temperatura local:

=

(2.1)

Donde = es el flujo de calor por unidad de rea perpendicular a la direccin del flujo , es la temperatura local y es la coordenada en la direccin del flujo . Cuando es negativo, el signo menos de la ecuacin 2.1 da un valor positivo de en la direccin de las positivas. Introduciendo una

constante de proporcionalidad !,

Figura 2.1.Conduccin unidimensional estacionaria a travs de una pared plana.


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= ! (2.2)

Donde ! es la conductividad trmica de la sustancia, cuyas unidades ! se

deducen de la ecuacin.

Puesto que hay flujo de calor hacia # a travs de la cada en , y hacia el exterior de # a travs de la cada en + ,

%| = %| + Es decir = '()*+(*,

Sin embargo, de la Ley de Fourier (2.2)

= = ! = ! -./01 2 (2.3)

2.3.2. Conveccin

Sabemos muy bien que en una placa de metal caliente se enfra con

mayor rapidez cuando se le coloca frente a un ventilador, que cuando se le

expone a un aire en reposo. Decimos que el calor se disipo por conveccin y

llamamos al proceso transferencia de calor por conveccin.

Considrese la placa caliente que se muestra en la figura 2.2 la

temperatura de la placa es 3, y la temperatura de fluido es 4. La velocidad de

flujo aparecer como se muestra, siendo reducida a cero en la placa como resultado de la accin de viscosidad. Ya que la velocidad de la capa de fluido

sobre la pared ser cero, el calor deber transferirse en aquel punto slo por

Figura 2.2 Transferencia de calor por conveccin en una placa.


14

conduccin. De este modo podremos calcular la transferencia de calor, utilizando

la ecuacin = ! con la conductividad trmica y el gradiente de temperatura

del fluido sobre la pared.

Por qu, entonces, si en esta capa el calor fluye por conduccin,

hablamos de transferencia de calor por conveccin y necesitamos considerar la

velocidad de fluido? La respuesta es que el gradiente de temperatura depende de

la rapidez a la que el fluido conduce el calor; una velocidad alta produce un

gradiente de temperatura ms grande, y as sucesivamente. Por tanto, el

gradiente de temperatura sobre la pared depende del campo de flujo, y en nuestro ltimo anlisis debemos desarrollar una expresin que relacione las dos

cantidades. Sin embargo, debe recordarse que el mecanismo fsico de

transferencia de calor sobre la pared es un proceso de conduccin.

Para expresar el efecto total de la conveccin, utilizamos la ley de

enfriamiento de Newton:

= 63 47 (2.4) Aqu la rapidez de transferencia de calor est relacionada con la

diferencia de temperatura total entre la pared y el fluido, y el rea de la superficie

. A la cantidad se le llama el coeficiente de transferencia de calor por

conveccin, y la ecuacin 2.4 es la ecuacin que lo define.

2.3.3. Radiacin

En contraste con los mecanismos de conduccin y conveccin, en donde

est involucrada la transferencia de energa a travs de un medio material, el

calor tambin se puede transferir a regiones donde existe el vaco

este caso, el mecanismo es la radiacin electromagntica.

Espectro electromagntico: Toda materia emite constante radiacin

electromagntica que viaja por el vaco a la velocidad de la luz, radiacin puede presentar propie

de onda 8 de la radiacin se le relaciona con la frecuencia

propagacin ' a travs de la expresin:

La longitud de onda

metros; o angstroms 91

nmero de onda ; se relaciona con la longitud de onda y la frecuencia a travs de

la expresin

Las unidades de

En la siguiente figura (2.3




calor tambin se puede transferir a regiones donde existe el vaco

este caso, el mecanismo es la radiacin electromagntica.


electromagntica que viaja por el vaco a la velocidad de la luz, radiacin puede presentar propiedades ondulatorias o corpusculares. La longitud

de la radiacin se le relaciona con la frecuencia ;<

a travs de la expresin:

' = ;. La unidad para ;< es el hertz

se relaciona con la longitud de onda y la frecuencia a travs de

; @

ABC (2.6)

Las unidades de ; son usualmente '/. Por lo tanto, ;

2.3) se muestra el espectro electromagntico:

Figura 2.3 Espectro electromagntico

15



calor tambin se puede transferir a regiones donde existe el vaco perfecto. En


electromagntica que viaja por el vaco a la velocidad de la luz, '= 3E10F ) . La dades ondulatorias o corpusculares. La longitud

y la velocidad de

micrones 61G 10/H7;

es el hertz 61IJ 1)/7. El

se relaciona con la longitud de onda y la frecuencia a travs de

'/ 10K

8L G.

se muestra el espectro electromagntico:

Figura 2.3 Espectro electromagntico


16

Los efectos trmicos se asocian con la radiacin de longitudes de onda en

la banda de longitudes de onda de alrededor de 0.1+100G, mientras que la radiacin visible se encuentra en una banda muy angosta que va de alrededor de

0.4+0.7G. La radiacin electromagntica que es propagada como resultado de una

diferencia de temperaturas; a esto se le llama radiacin trmica.

Consideraciones termodinmicas muestran que un radiador ideal, o cuerpo

negro, emitir energa a una rapidez proporcional a la cuarta potencia de la

temperatura absoluta del cuerpo. Cuando dos cuerpos intercambian calor por

radiacin, el intercambio de calor neto es entonces proporcional a las diferencias

en K. As; = O6K K7 (2.5)

Donde O es la constante de proporcionalidad y se le llama constante de Stefan-Boltzmann con el valor de 5.66910/F !K. A la ecuacin 1.5 se le llama la ley de radiacin trmica de Stefan-Boltzmann, y se aplican solo a los cuerpos

negros.

2.4. Conduccin unidimensional en estado estable pared plana.

Consideremos primero la pared plana en donde se puede llevar a cabo una

aplicacin directa de la Ley de Fourier - = ! 2. Integrando se obtiene = S 6 7 (2.6)

Cuando la conductividad trmica se considera constante. El espesor de la

pared , y son las temperaturas de la cara de la pared. Si la conductividad


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trmica vara con la temperatura de acuerdo con alguna relacin lineal ! =!=61 + U7, la ecuacin resultante para el flujo de calor es

= SV W6 7 + X 6 7Y (2.7)

Si se encuentra presente ms de un material, como ocurre en la figura

2.4.1., el anlisis proceder de la siguiente manera: se muestra los gradientes de

temperatura en los tres materiales, y el flujo de calor puede escribirse como:

= ! 0/.Z[ = !\ ]/0Z^ = !_ ` /]Za (2.8) Obsrvese que el flujo de calor debe ser el mismo a travs de todas las

secciones. Resolviendo simultneamente las tres ecuaciones, el flujo de calor se escribe

= ./`Z[ S[ bZ^ S^ bZa Sa (2.9) La rapidez de transferencia de calor puede considerarse como un flujo y a

la combinacin de conductividad trmica, espesor de material y rea, como una

resistencia a este flujo. La temperatura es la funcin de potencial o motriz para el flujo de calor, y la ecuacin de Fourier puede escribirse como

cdef ,'+dg = hi,g,('h+ ,j*,('h+d*gh'g,)h)*,('h+*gh'+ En la figura siguiente se muestra el circuito elctrico equivalente a lo

anterior.

Figura 2.4.1Transferencia de calor unidimensional a travs de una pared compuesta


18

La analoga elctrica puede usarse para resolver problemas ms complejos que involucran las resistencias trmicas en series y en paralelos. La figura 2.4.3

muestra un problema tpico y su circuito elctrico anlogo. La ecuacin de flujo de calor unidimensional para este tipo de problemas puede escribirse como

= Zlml[npq (2.10)

2.3.3.

En donde las rs son las resistencias trmicas de los diferentes materiales.

Es deseable mencionar que en algunos sistemas como los de la figura 1

puede ocurrir un flujo de calor bidimensional si la conductividad trmica de los

Figura 2.4.2 Anlogo elctrico

2.4.3 Transferencia de calor unidimensional en serie o en paralelo a travs de una pared compuesta y anlogo elctrico


19

materiales t, v difieren de manera apreciable. En este caso, para efectuar la resolucin se deber emplear otras tcnicas.

2.5. Conduccin unidimensional en estado estable pared cilndrica

Considrese un cilindro largo con un radio interno gw, un radio externo gx y una longitud , tal como el que se muestra en la figura. Exponemos este cilindro a una diferencia de temperaturas w x y preguntamos cul ser el flujo de calor. Se puede suponer que el calor fluye en una direccin radial, de manera que g es la nica coordenada espacial necesaria para especificar el sistema. Una vez ms se

utiliza la Ley de Fourier introduciendo la relacin de rea adecuada. El rea para

el flujo de calor en el sistema cilndrico es y = 2{g As la Ley de Fourier se escribe y = !y y

O y = 2{!g y

Figura 2.5.1 Flujo de calor unidimensional a travs de un cilindro hueco

Figura 2.5.2 Anlogo elctrico de un cilindro hueco


20

Con condiciones de frontera

= w ,(g = gw = x,(g = gx

La solucin de la ecuacin y = 2{!g y es = |S16}/~76y~ y} 7 (2.11)

Y en este caso la resistencia trmica es rs = 6y~ y} 7|S1 El concepto de resistencia trmica puede usarse para paredes cilndricas

multicapas tal como se us para paredes planas. Para el sistema de tres capas

que se muestra en la siguiente figura 2.5.3 a) la solucin es:

= |6./` 76y0 y. 7 S[ b6y] y0 7 S^ b6y` y] 7 Sa (2.12)

En la figura 2.5.3 b) se muestra el circuito trmico. Los sistemas esfricos tambin pueden tratarse como unidimensionales, cuando

la temperatura es nicamente una funcin del radio. Entonces el flujo de calor es

= K|S6}/~7 y} / y~ (2.13)

Figura 2.5.3 Flujo de calor unidimensional a travs de secciones cilndricas mltiples y su anlogo elctrico.


21

2.5.1. Radio crtico de aislamiento

Supongamos que se tiene una tubera de vapor que se deseamos aislar

para evitar la prdida de energa y proteger a la gente de las quemaduras. Si el

vapor no est sobrecalentado, se condensara algo de vapor en el interior de la

tubera. Toda la superficie interior de la tubera estar a una temperatura

constante,sws aproximadamente igual a la temperatura de saturacin s , que corresponde a la presin del vapor, ya que la resistencia convectiva bajo dichas condiciones es demasiado pequea y por tanto despreciable. Tenemos

sws s La temperatura de la interface tubera-aislante es aproximadamente igual a

la temperatura de saturacin del vapor ya que la resistencia trmica a travs de la

pared de la tubera tiende a ser pequea y a desaparecer. Esto es, ya que

rsyw = 0.|S1 (2.14)

Donde

g = Radio interior de la tubera en ,(; jh, g = Radio exterior de la tubera en ; jh,

2.5.1.1. Tubo de vapor para ilustrar el radio critico de aislamiento


22

!j = Conductividad trmica del material que constituye la tubera en

W Y ; W \ywY = Longitud de la tubera en ; jh, Es posible concluir que rsywes demasiado pequeo y por tanto

despreciable cuando !j es grande y ln6g g 7 es pequeo. En consecuencia, la cada de temperatura a travs de la pared de la tubera ser muy pequea. De

hecho, se considera despreciable a dicha cada y se tomara la temperatura en la

superficie interior del aislante como s. La siguiente figura (2.5.1.2) muestra un anlogo elctrico que se construye

para este problema simplificado

Se conserva que a travs de todos y cada uno de los resistores de la figura

fluye la misma cantidad de calor, de tal modo que se pueda determinar o

dividiendo la diferencia de la temperatura a travs de cualquiera de los resistores,

o cualquier conjunto de ellos entre las resistencias apropiadas, es decir,

= q/pq}bp}qbp~ (2.15) O bien

= B}}/p~ (2.16)

2.5.1.2. Anlogo elctrico para flujo de calor a travs de un tubo de vapor aislado


23

O bien

= q/B}}p}q (2.17) Considere que sy 46*,j,g+*eg+,(,d'e+g*7permanecen constantes.

Sean gy g. Los radios interior y exterior del aislante. Entonces, al agregarse aislante, gaumenta y rws aumentara tambin, ya que rws = 6y0 y. 7|S1 .

Sin embargo, ya que rCxA o igual a 61 2{g 7, la resistencia convectiva decrecer al crecer g. Es posible que rCxA pueda decrecer ms rpido de lo que

rwcrece, provocando un incremento en , como indica la ecuacin = q/pq}bp}qbp~ (2.18)

Tambin sabemos que si se agregara una cantidad infinita de aislante, tendera a cero, lo cual lleva a la conclusin de que puede haber un valor de

gpara el cual es mximo. Este valor o g se conoce como gCy, el radio critico del aislamiento.

Procedemos de la siguiente manera para determinar el radio crtico de

aislamiento. El calor total que se pierde de la temperatura aislada se calcula

segn = ~q~qp} en cuya expresin xysxs = s 4

rw = rsyw + rws + rCxA


24

Donde rsyw 0. Recurriendo a la tabla 2.5.1.3 tenemos

rws = |S1 ln y0y. (2.19) Y

rCxA = = |y01 (2.20) As que

= q/.0n 0.b

.00n

(2.21)

Para determinar el valor de gpara el cual es mximo, encontramos el valor de g para el cual 6 g 7 = 0. Entonces, substituyendo este valor de g en 6 g 7, estamos capacitados para verificar si hemos encontrado las condiciones para un mximo.

y0 =

=/6q/7 .0n0/.

0n00W .0n 0.b

.0n0Y

0 = 0 (2.22)

Si la solucin es diferente de la trivial, el denominador no se puede hacer

infinitamente grande ni puede ser 6s 47 igual a cero. Por lo tanto

Tabla 2.5.1.3 Resistencia trmica


25

|S1y0 |1y00 = 0 (2.23)

Y

g = S = gCy (2.24) Donde gCy =el radio critico de aislamiento. Se obtiene el mismo resultado si se minimiza rw variando g. La sustitucin

de g = 6! 7 en 6 g 7 da por resultado una cantidad negativa, verificando as que gCy = S es el valor de gpara el cual la perdida de calor es mxima.

Esto demuestra que si ges menor que gCy y se agrega aislante a la tubera, las prdidas de calor crecen y llegan a un mximo en gCy y luego decrecen. Sin embargo, si ges mayor que gCy y se agrega aislante, la prdida de calor decrece continuamente.

2.6. Conduccin radial de calor a travs de una esfera hueca

Haciendo un balance de energa en un elemento diferencial de

volumen, con el fin de determinar la ecuacin diferencial apropiada.

Observando que la conduccin trmica es constante, que existen

Figura 2.6.1 Conduccin de calor a travs de una esfera hueca


26

condiciones de estado estable estacionario y que no hay fuentes de calor,

escribimos el balance de energa:

g = g + g En cuya expresin

g = Calor que se conduce hacia adentro de una cascara esfrica en g = g g + g = Calor que se conduce a fuera de una cascara esfrica en g = g + g = g + y 6g7 g

Entonces es posible escribir la derivada ordinaria6 g 76g7 ya que la temperatura es funcin nicamente de g (o sea que tiene una sola variable independiente, g).

La cantidad, gest dada por g = !y y Donde y = 4{g

Obsrvese que el rea y que aparece en la ecuacin anterior no es una constante, si no una funcin de g. Sustituyendo g en la ecuacin g = g + g, obtenemos

!y y = !y y + y -!y y2 g (2.25) Ahora, ! es una constante diferente de cero y g no puede tener el

valor cero. Adems, la superficie del rea esfrica,y, est dada por 4{g, y el balance de energa se puede escribir en la forma

y -g y2 = 0 (2.26)

La ecuacin anterior es la ecuacin diferencial apropiada para la

distribucin de temperatura en una esfera hueca.

Las dos condiciones en la frontera asociadas a este problema son las

siguientes:

1. Condicin en la frontera: en g = gw = w


27

2. Condicin en la frontera: en g = g= = =

Integrando una vez, se obtiene

g y = (2.27) Y separando las variaciones, tenemos

= yy0 (2.28) Una segunda integracin nos lleva a

= y + (2.29) Aplicando la primera condicin de la frontera, tenemos

w = y} + (2.30) Aplicando la segunda condicin de la frontera, se tiene

= = yV + (2.31) Resolviendo las dos ecuaciones para y , y substituyendo las

expresiones que resultan, en la ecuacin g y = 6g7 = yVy - y/y}yV/y}2 6= w7 + w (2.32) Puesto que sabemos que = !y6 g 7, podemos probar entonces

que

= K|yVy}S6}/V7yV/y} (2.33) Una forma sencilla de resolver el problema anterior sera la de

comenzar utilizando la ecuacin de Fourier en la forma siguiente

= !y g Sustituyendo y, se obtiene

= 4{!g g Puesto que es constante (estado estacionario), se puede integrar

de inmediato para obtener


28

ggyVy}

= 4{! V}

Y as

1g= 1gw = 4{!6= w7

O bien

gw g=g=gw = 4{!6= w7

Y

= K|yVy}6V/}7yV/y} (2.34) La ecuacin anterior es la misma que la ecuacin 1, que nos da la

razn del flujo de calor que pasa a travs de la esfera hueca.

2.6.1 Radio crtico

Cuando se tiene una superficie plana, se sabe que si se recubre con

un material aislante, disminuye su transferencia de calor. Porque entre ms

grueso es el aislante ms baja es la velocidad de transferencia de calor, ya que el rea de la pared es constante y al aislarla aumenta la resistencia

trmica sin aumentar la resistencia de la conveccin.

Pero, con cilindros y esferas pasa algo diferente al aislarlo. El aislar

un tubo tambin provoca el crecimiento de la superficie exterior del

aislante, y esto quiere decir que hay mayor transferencia, segn la ley de

enfriamiento de Newton.

=

Al considerar

que T1 se mantiene constante. Se asla con un material con conductividad

trmica k y radio r

tienen una Tinf, con un coeficiente de transferencia

conveccin.

La velocidad del tubo aislado hacia el aire de los alrededores es:

En la grafica de variacin de Q contra r

El valor de r

g = 0 , es decir, la pendiente es cero. Si se deriva y despeja robtiene el radio crtico de un cilindro;

Figura 2.6.1.1 Radio critico en una esfera


Al considerar un tubo cilndrico como el de la figura, de radio r

se mantiene constante. Se asla con un material con conductividad

trmica k y radio r2.se pierde calor del tubo hacia los alrededores que

, con un coeficiente de transferencia


4

rw $ rCxA

4ln 6g g72{! $

1562{g7

En la grafica de variacin de Q contra r2

El valor de r2 en que Q alcanza su valor mximo se calcula con

, es decir, la pendiente es cero. Si se deriva y despeja robtiene el radio crtico de un cilindro; gCy,Cwwyx !/5

Figura 2.6.1.1 Radio critico en una esfera

29

un tubo cilndrico como el de la figura, de radio r1 en el

se mantiene constante. Se asla con un material con conductividad

.se pierde calor del tubo hacia los alrededores que

de calor h por


en que Q alcanza su valor mximo se calcula con

, es decir, la pendiente es cero. Si se deriva y despeja r2 se


30

Para r2 menor que el radio critico de aislamiento el aumento del

espesor mejorara la transferencia de calor del cilindro. Para r2 igual a rcr se alcanza la mxima transferencia, y disminuye con r2 es mayor que rcr.

El radio crtico para un casco esfrico es:

gCy,


31

Para encontrar la distribucin de temperatura en la placa, debemos

conocer la ecuacin diferencial apropiada. Esto se consigue haciendo un balance

de energa en una placa de espesor , y rea transversal,, como se muestra en la figura. La ecuacin de balance de energa que nos resulta es

+ = + En cuya expresin es el calor conducido hacia adentro del elemento de

volumen en = y + es el calor conducido hacia afuera del elemento de volumen en = + y es el calor generado por unidad de tiempo en la placa de espesor , rea transversal, , y representa un incremento de energa en el elemento de volumen. La cantidad es diferente del calor que se conduce hacia adentro o hacia afuera del elemento de volumen. Esta representa la energa

calorfica generada a travs del elemento de volumen y depende solamente de y el volumen del elemento. As que

= En consecuencia, tenemos

! + = ! !

Que nos da

+

! = 0

Puesto que se trata de una ecuacin de segundo orden, se requieren dos

condiciones de frontera para tener una solucin. Debido a que es uniforme a travs del material de la pared, y ya que = 3 en = + y en = , esperamos que la distribucin de temperatura sea simtrica con respecto al plano central de

la pared. Debe notarse que ste es el coeficiente convectivo de transferencia de

calor que se especifica para ambas superficies. Sin embargo, una vez que se


32

conoce, el valor 3 se hace fijo y es el 3 resultante que se usa como condicin en la frontera para este problema.

De la fsica del problema, si prevalecen condiciones de estado estacionario,

todo el calor que se genera dentro de la pared debe transferirse por conveccin al

fluido que lo rodea. Obsrvese que la temperatura en cada cara es 3. Ahora, al acercarnos al plano medio de la pared, yendo desde una de las caras, la

temperatura debe aumentar continuamente, de tal modo que se puede conducir el

calor generado hacia las superficies y as se puede transferir hacia el exterior.

Como consecuencia, la mxima temperatura debe ocurrir en la lnea media de la

pared, con la mitad del calor total generado en la pared fluyendo hacia cada cara.

Matemticamente significa que

,( = 0, = 0 (2.7.1) Y que

%+! /1 = 6 27 (2.7.2)

%+! /1 = 6 27 (2.7.3)

Adems, como se vio antes

En = , = 3 (2.7.4) En = , = 3 (2.6.5)

En las ecuaciones anteriores expresan el hecho de que la distribucin de

temperatura es simtrica con respecto al eje 6 = 07. Para encontrar los valores de las constantes incgnitas en la solucin de nuestra ecuacin diferencial de

segundo orden, necesitaremos dos condiciones en la frontera. Una de estas

condiciones en la frontera debe expresar el valor de la temperatura en la frontera;


33

esto es, se debe usar la ecuacin 2.7.4 o 2.7.5. La otra condicin en la frontera

debe ser, para este problema, la ecuacin 2.7.1,2.7.2 o 2.7.3.

De las condiciones dadas, usaremos las ecuaciones 2.7.1 y 2.7.4 como

nuestra condicin en la frontera. Esto significa que

Primera condicin en la frontera: en = 0, s = 0 Segunda condicin en la frontera: en = , = 3 Refirindonos de nuevo a la ecuacin 00 + S = 0, podemos separar variables

e integrar una vez para obtener

=

! +

Separando variables de nuevo e integran do se tiene

= 2! + + Aplicando la primera condicin en la frontera resulta

0 = 607! + O bien

= 0 As que

= 2! + Ahora, aplicando la segunda condicin en la frontera tenemos

3 =

2! + O bien

= 3 +

2! Esto da por resultado la siguiente distribucin de temperatura:


34

3 = 2! 6 7 Ahora, se puede determinar la temperatura a lo largo de la lnea central, C,

haciendo = 0 en la ecuacin 3 = S 6 7. Esto da por resultado:

C = 3 +

2! Se puede probar que C es la temperatura mxima en la pared.

2.7.2 Cilindro slido y largo

En esta seccin se tratara la generacin de calor uniforme en un cilindro

slido y largo, que tiene una prdida de calor despreciable en los extremos, como

se muestra en la figura 2.7.2.1. Se supone que la conductividad trmica del

material es constante. La superficie exterior del cilindro se mantiene en una

temperatura conocida 3.

Igual que el caso de la pared plana, es necesario, tambin, determinar la

ecuacin diferencial que describa la distribucin de temperatura. Esto se consigue

haciendo un balance de energa en cada cascara cilndrica de espesor g. La ecuacin diferencial que resulta es:

Figura 2.7.2.1 Generacin de calor uniforme en un cilindro slido y largo


35

1g g g

g +

! = 0

Se observa que, mientras que el rea de la cscara esfrica fue 4{gel rea de la cscara cilndrica es de 2{g.

Las dos condiciones en la frontera que se usan al resolver la ecuacin

yy -g y2 + S = 0 para 6g7 son:

En g = g=, = 363 ,)'('h 7 En g = 0, y = 06jg)h,*g+7 Se debe observar que en g = 0, la temperatura es finita. Esto es importante

al evaluar las constantes de integracin.

La solucin de la ecuacin yy -g y2 + S = 0, est sujeta a citadas condiciones

en la frontera, es:

3 = 4! 6g= g7 Y

C = 3 + g=

4! En cuya expresin C es la temperatura mxima en el cilindro, y ocurre en el centro del mismo.

transferencia de calor

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