1 NJJ

PRACTICA DE TRANSFORMACIONES LINEALES

1. Sea 44: T una transformacin lineal definida por:

wzyx

wzyx

wzyx

zyx

w

z

y

x

T

323

432

2

7

Halle el ncleo y la imagen de T, halle una base para cada uno de estos subespacios y verifique el teorema de las dimensiones.

Solucin. Nu(T)=(x,y,z,w) )0,0,0,0(),,,(/4 wzyxTR

)(5,5,1,25,5,1,25

,,,

5

25

1

00000

01100

05

1010

00171

01100

01100

01050

00171

031100

041150

01050

00171

03231

04312

01121

00171

0323

0432

02

07

TNurw

wzyx

wx

wy

wz

wzyx

wzyx

wzyx

zyx

1))((5,5,1,2 TNuDimB ),,,(),,,(/,,,)Im( 4 wzyxdcbaTRwzyxT

HPzywRwzyxT

zyw

yxz

xyx

yxw

yxz

xy

x

xyxw

xyxz

xy

x

xw

xz

xy

x

w

z

y

x

wdcba

zdcba

ydcba

xcba

0/),,,()Im(

0000

3110055

1010

0171

21100

31100

1050

0171

)(21100

)(321100

1050

0171

31100

241150

1050

0171

3231

4312

1121

0171

323

432

2

7

4

3))(Im(1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1

1,1,0,00,1,1,00,0,0,1,,,,,,

TDimB

wyxwwyyxwzyx

)(431))(Im())(( 4RDimTDimTNuDim

2. Sea )(gen AV el espacio vectorial generado por el conjunto F xexA x sen;2 . Determine las dimensiones del ncleo y de la imagen de la transformacin lineal FVT : definida por ')( ffT . Determine una base para la imagen de T.

Solucin.

2 NJJ

)Im()(,),(),(

,,,,EG Lineal.cion Transforma unaW V:T

21

21

TxTxTxTEG

entoncesVxxxSea

n

n

3))(Im(cos21)Im(

cos,21)(),()Im(

0))((

)0,0()(00cos2

0cos21:)(

cos21

sen;)(

2

22

2

2

22

22

TDimxterT

xeEGsenxTexTEGT

TNuDim

TNutrxtrer

xterTNu

xtertsenxexrT

tsenxexrxexCLAgenV

x

xx

x

x

xx

xx

3. Encuentre los valores y vectores propios de la matriz

411

210

112

A . Determine si se puede encontrar un

conjunto de 3 vectores propios linealmente independientes.

4. Encuentre los valores y vectores propios de la matriz

6101

3203

2252

1106

B . Determine si se puede

encontrar un conjunto de 4 vectores propios linealmente independientes.

5. Una matriz A de orden tres tiene valores propios 2, 3 y -1. Halle el polinomio caracterstico de A3 y sus valores propios Cules son sus vectores propios?

6. Se sabe que

0

2

b

v es un vector propio de la matriz

102

111

21 a

A .

a. Determine el valor propio asociado a v. b. Determine los otros valores y vectores propios

7. Dada la transformacin lineal 23: RRT que cumple la condicin:

yx

zyx

z

y

x

Ty

x

T34

1282

3

0

Determine

z

y

x

T e )(img T .

8. Sean kv ,v ,...,v1 2 vectores propios de una matriz A de orden n asociados a un mismo valor propio .

Explique si toda combinacin lineal no nula de los vectores kv ,v ,...,v1 2 es tambin un vector propio de A

asociado al mismo valor propio. 9. Verifique si las siguientes funciones son transformaciones lineales:

a)

x yx

xT : R R , T y

zz

y z

3 4 2

3

b) T : P P , T a bx cx a b x c x 2 22 2 1 1 1 10.Determine una transformacin lineal T : R R3 3 de modo que:

T ,T ,T . 1 2 2 3 3 1e e e e e e

Si E ; ; 1 2 3e e e es la base cannica de .3R

3 NJJ

11.Determine una transformacin lineal 22: PRT que cumpla :

2

2

1,2

1

1xxTxT

12.Sea 22: PPT es una transformacin lineal que cumple

T x x, T x x x , T x x x . 2 2 23 6 2 2 2 4 4 16 8 4 Determine T x x 27 4 3 .

13.Sea

tzx

zy

tzyx

t

z

y

x

TRRT

32

,: 34 , determine Ker T , una base de Ker T y su dimensin.

14.Determine una base para el ncleo de la transformacin lineal.

T : P R; T p x p 3 1 15.Determine una base para la imagen de la transformacin lineal 2 3:T R R definida por

2

3

x yx

T x yy

x

16.Sea ,: 42 PPT la transformacin lineal definida por T p x xp' x x p x 2 . Determine una base

para la imagen de T.

17. Dadas las matrices

76000

01000

00100

33010

11001

A y

76000

01000

00100

33010

11101

B , determine en cul de ellas se puede

encontrar un conjunto de 5 eigenvectores linealmente independientes. Encuentre dicho conjunto.

18. a) Dada la matriz

c

db

a

A

02

0

20

, determine d,c,b,a sabiendo que:

2

4

1

1v es un

vector propio asociado al valor propio 61 y

0

1

0

2v es un vector propio asociado al valor propio . 42

b) Determine x si 0 es un valor propio de la matriz

110

08

234

xA

19. a) Dada la matriz

a

A b

2 0

0 2

0 0 2

, determine los valores de a,b para que la matriz sea diagonalizable

4 NJJ

b) Determine los valores y vectores propios de

10

211

121

112

A .

20. Determine una matriz que tenga valores propios 211 321 y, con vectores propios respectivos

0

1

1

1v ,

1

1

1

2v y

1

0

1

3v .Es diagonalizable dicha matriz?

21. Sea A una matriz de nn cuyos valores propios son 11 , 12 y 23 . Diga si las siguientes

afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).

i) Si 3n , entonces se puede asegurar que A es diagonalizable. ii) Si 4n , entonces se puede asegurar que A es diagonalizable. iii) )det()det( IAIA

22. Dada la matriz

a

A

a

1 0

1 1 0

0 1

determine el valor del parmetro a para que 1 sea un eigenvalor con

multiplicidad 2.

23. Sea V el espacio vectorial de soluciones ( )(xfy ) de la EDOL '' 0y y y sea 3:T V R la transformacin

lineal definida por

0

)1(

)0(

))(( f

f

xfT . Una base para la imagen de T es:

a)

0

1

;

0

11ee b)

0

1

0

c)

0

;

0

11e

e

e d)

0

1

1

e)

1

0

0

;

0

1

0

;

0

0

1

24. Si v es un vector propio de una matriz invertible A , entonces cuales de las siguientes afirmaciones son

necesariamente verdaderas:

I. v es tambin un vector propio de A2

II. v es tambin un vector propio de 2A

III. v es tambin un vector propio de 1A a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y III e) I, II, y III

25. Cul de los siguientes conjuntos representa a la imagen de la transformacin lineal T : R 32P , definida

por 22

3

a b

T a bx cx a b c

b c

? a) 3R b)

x

y R / x y z

x

3 0 c)

x

y R / x y z

z

3 0

d)

x

y R / x y z

z

3 0 e)

x

y R / x y z

z

3 0

26. Si 35: RRT es una transformacin lineal cuyo ncleo es un subespacio de

Dimensin tres de 5R , entonces la imagen de T es:

5 NJJ

a) El subespacio

0

0

0

b) Una recta que pasa por el origen. c) Todo 3R .

d) Un plano que pasa por el origen. e) No puede determinarse con la informacin dada.

27. Una transformacin lineal T : R R2 4 tiene ncleo

0

0, una de las posibles imgenes de dicha

transformacin es: a) R3 b) R4

c)

0/4 zyxR

w

z

y

x

d)

00/4 wyzyxR

w

z

y

x

e)

0

0

0

28. Un vector propio de 2 1

0 2

es v con valor propio correspondiente . Cul es el vector u que satisface la

igualdad 2 1

0 2u v

?

a) 1

0

b) 1

0

c) Raa

;

1

0 d)

1

2

e) Raa

;

1

29. Si 1

1

1

1

v

es un vector propio de la matriz

0

3 0 2

a b

A

c d e

, entonces a b c d e ser:

a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

30. Indique las proposiciones verdaderas:

I. Si el ncleo de una transformacin entre espacios vectoriales es el conjunto vaco entonces dicha

transformacin no es lineal.

II. Si 2 es un valor propio doble de una matriz cuadrada que posee dos vectores

propios:

1 1

2 ; 0

1 1

, entonces

3 1

2 ; 7

5 6

tambin son vectores propios de 2 .

III. Si una matriz cuadrada tiene un valor propio nulo entonces no es invertible

IV. La transformacin 2 2:T P P definida por ( ( )) '( )T p x p x tiene valores propios nulos.

a) Ninguna b) Todas c) I y II d) I, II y III e) II y III

31. Calcule la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz A25 , siendo A

4 3

1 2.

6 NJJ

a) 251 5 b) 251 2 5 c) 251 10 d) 0 e) 1