Prof. Domingo de la Carda

Transformada de LaplaceLa transformada de Laplace es una herramienta muy importante en matemáticas en la cual una de las aplicaciones más usadas es en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Esta resolución de ecuaciones diferenciales se hace por medio de transformadas diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja en S.

F ' (S )→f (t)

Si la ecuación algebraica se resuelve en S. Entonces se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial, realizando la transformación inversa de Laplace.

F '(s)→f (t)

Definición

Si se tiene una función f(t) que exista en el intervalo de 0≤ t ≤∞ entonces la transformada de Laplace se puede representar en las siguientes formas:

L (f (t ) )

l {f ( t ) }

Se define como el resultado de evaluar la siguiente integral:

∫0

∞

e−stF (t )dt

En donde s es un nuevo parámetro que nos permite efectuar la transformada. Las funciones cuya transformada se desea calcular normalmente se representa con mayúsculas y dichas transformadas se representan con minúsculas. Por ejemplo:

L (f ( t ) )=∫0

∞

e− stF (t )dt=f (s )

EJERCICIOS

L {F (t ) }=∫0

∞

e− stF (t )dt=f ( s )

1. Si F(t)=1

L {F (1 ) }=∫0

∞

e−st (1 )dt= e−st

−st∫0∞e−s (∞ )

−s− e

−s (0)

−s=1s

2. Si F(t)=t

∫ x eaxdx= eax

a [ x−1a ]L {F ( t ) }=∫

0

∞

e− st ( t )dt= e−st

– st [ t−1−s ]=[ e−st−s− e

−st

s2 ]=¿

( e−s (∞)(∞)−s

− e−s (∞ )

s2 )−( e−s (0 )(∞)−s

− e−s (0)

s2 )= (0−0 )−(0− 1s2 )= 1

s2

3. Si F(t)=e−3 t

∫ eax dx= eax

a

L {F (e−3 t )}=∫0

∞

e−st (e−3 t )dt=∫0

∞

e−( s+3 ) tdt= e−(s+3) t

−s+3=¿¿

e−(s+3)∞

−s+3− e

−( s+3 )0

−s+3= 1s+3

4. Si F(t)=Sen 2t

∫ e−st bxdx=eax¿¿¿

L {F ( sen2t ) }=∫0

∞

e−st (sen2 t )dt=¿e−st ¿¿¿

¿

(0−0 )−(0− 2

S2+4 )= 2

S2+4

Condiciones de Existencia para la Transformada de Laplace

De acuerdo a la definición de la transformada de Laplace:

L {F (t ) }=∫0

∞

e− stF (t )dt=f ( s )

Se observa que para que exista la transformada de Laplace debe haber dos condiciones ya que involucra una integral continua de 0 a ∞, estas dos condiciones son:

a) Que el límite de f ( t )exista para t ≥0b) Que f ( t ) sea continua a trozos para t ≥0

Transformada Directa de Laplace

El uso de las transformadas de Laplace es muy práctico sobre todo cuando se utilizan las transformadas directas f (t) con su respectiva transformada f(s).

A continuación se muestran unas de las transformadas más utilizadas:

L {1 }=1s

L {(t n )}= n!

sn+1

L {(eat ) }= 1s−a

L {sen kt }= k

s2+k2

L {coskt }= s

s2+k2

L {Senhkt }= k

s2−k2

L {coshkt }= s

s2−k2

L {t Sen at }=2as¿¿

Propiedades de las Transformadas de Laplace

La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:

Propiedad de Linealidad:

Ésta propiedad afirma que la transformada de una suma es igual con la suma de sus transformadas y además si aparece una constante como factor la podemos dejar fuera de la operación de la transformada:

L {C1F 1(t)}+C2 L {f 2(t )}+…+CnL { fn(t )} =

C1 f ( s)+C 2 f (s )+…+Cnf (s )

Ejemplo:

1. L {4 cos3 t−4 t 2+5 t }=4 L {cos3 t }−4 L {t2 }+5 L {t }=

4 [ s

s2+9 ]−4[ 2s2 ]+5 [ 1s2 ]= 4 s

s2+9− 8s2

+ 5s2

2. L {4 cos3 t−2 sen3 t }=4 L {cos3 t }−2L {sen3 t }=

4 [ s

s2+9 ]−2[ 3

s2+9 ]=4 s−6s2+9

3. L {2−3e−2 t }=2L {1 }−3 L {e−2 t }=2[1s ]−3 [ 1s−(−2 ) ]=2s− 3

s+2

Otra propiedad importante de la transformada de Laplace es la propiedad de traslación.

Propiedad de Traslación:

Si L {f (t ) }=F (s) entonces L {eatF (t ) }=f ( s−a )

Ejemplo:

1. L {e−t cos2 t }= s

s2+(2)2= s

(s−a)2+4= s+1

(s+a)2+4

2. L {e2 t ¿

Transformada Inversa de LaplacePara estudiar este tema no hace falta agregar ningún concepto ya que contiene la misma base, solo que ahora tendríamos una función f ( s )→f ( t) de tal forma que la transformada inversa quedaría:F ( t )=L−1 { f ( s ) }.

A continuación se muestran las principales transformadas inversas de Laplace con su correspondiente función de s a función de f.

F(s) f(t)1s

11

s2t

n!

sn+1t n

1s−a

eat

a

s2+a2Sen at

s

s2+a2Cos at

a

s2−a2Sen hat

s

s2−a2Cos hat

2as

(s¿¿2−a2)¿t Sen at

k

(s−a)2+k2

eat sen kt

s−a(s−a)2+k2

eat coskt

Ejemplo:

1. F ( s )= 1s5

∴L−1 { 1s5 }= 14 !t 4= t

4

24

2. L−1 {3 s+5s2+7 }=3L−1{ s

s2+7 }+5 L−1{ 1

s2+7 }=3cos √7 t+ 5

√7sen√7 t

Fracciones Parciales de la Transformada de Laplace

El uso de las fracciones parciales es muy importante en la búsqueda de las transformadas de Laplace.

A continuación se verá el primer caso en donde el denominador contiene solamente factores lineales distintos. Estas transformadas se resuelven de una manera algebraica obteniendo ecuaciones lineales con sus respectivas soluciones.

Ejemplo:

1. F ( s )= 1( s−1 ) (s+2 ) ( s+4 )

=L−1{ 1( s−1 ) (s+2 ) ( s+4 ) }= A

s−1+ Bs+2

+ Cs+4

s=1; s=−2; s=−4

1=A ( s+2 ) ( s+4 )+B (s−s ) ( s+4 )+C (s−1 ) (s+2 )

1=A (1+2 ) (1+4 ) ∴1=A15∴ A= 115

1=B (−2−1 ) (−2+4 ) ∴1=B−6∴B=−16

1=C (−4−1 ) (−4+2 ) ∴1=C10∴C= 110

L−1 { 15s−1 +

−16s+2

+

110s+4 }=15 e t−16 e−2t+ 110 e−4 t

Ejercicios

1. 5e−3 t=L {5e−3 t }=5 L[ 1s+3 ]= 5s+3

2. L {f (t ) }=3 Lcos5 t= 3 ss2+52

=3(s−5)

(s−5)2+25

3.2 s+1

(s2−2 )(s+2)=¿ 2L

−1( s−1(s−1 )2+12 )+3 L−1( 1

(s−1 )2+12 )=2et cos t+3e t

4. L−1 { 7

(s−3 ) ( s+2 ) }s=3; s=−2

L−1 { 7(s−3 ) ( s+2 ) }= A

s−3+ Bs+2

7=A (s+2 )+B ( s−3 )

7=A (3+2 ) ∴7=A5∴ A=75

7=B (−2−3 ) ∴7=B−5∴B=−75

L−1 { 75s−3 +

−75s+2 }=75 e3t−75 e−2 t