UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 2

Presenta

Leandro Castro Hinestroza

Carlos Julio Prieto

Grupo: 100412-179

Tutor

CRISTINA MORALES

Director de curso

MIGUEL ANDRES HEREDIA

Bogotá

Marzo 2014

INTRODUCCION

El presente trabajo tiene como finalidad desarrollar competencias en la identificación, análisis y resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden, basado en los métodos de variación de parámetros, ecuaciones homogéneas, coeficientes indeterminados, y aplicación en problemas propuestos mediante la aplicación de conocimientos vistos en la segunda unidad del curso.

DESARROLLO

1. Resuelva la ecuación diferencial utilizando la ecuación de Bernoulli.

dxdy

+ 1xy=x3 y3

u= y1−nu= y1−3u= y−2

y=u−12

dydx

=−12u

−32 dudx

−12u

−32 dudx

+ 1xu

−12 =x3u

−32

Multiplicando por −2u32

dudx

−2 x−1u=−2 x3

Hallando factor integrante e∫−2xdxe−2 lnx e ln x

−2

x−2

x−2dudx

−2x−3u=−2x

ddx

(x−2 .u )=−2 x

x−2u=∫−2 xdx

x−2u=−x2+c

u=C1 x2−x4

y−2=−x4+C1 x2

y=√ 1C1 x

2−x4

2. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes y resuélvalas.

ED lineal homogénea

ED lineal homogénea

ED lineal no homogénea

ED lineal no homogénea

a. y ' '+ y'+ y=0m2+m+1=0

m=−12± √3 i2

y=C1 e−12

∗xcos(√32 ∗x)+C2 e

−12

∗xsen (√32 ∗x )

b. y ' '− y '−2 y=0m2−m−2=0m1=2m2=−1

y=C1 e2 x+C2 e

−x

c. y ' '− y=2m2−1=0m=±1

yh=C 1ex+C 2e−x

3. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros

y ' '+ y=tan ( x )m2+1=0m=±√−1

yh=C1 cos ( x )+C2 sen (x )

w (cos ( x ) , sen ( x ) )=| cos ( x ) sen ( x )−sen ( x ) cos ( x )|=cos2 ( x )+se n2 ( x )=1

w1=| 0 sen (x )tan ( x ) cos ( x )|=−se n2 ( x )

cos (x )

w2=| cos ( x ) 0−sen ( x ) tan ( x )|=sen ( x )

u1=∫w1w

=∫ cos ( x )−sec ( x )dx=sen ( x )−ln( tan( 2 x+π4 ))u2=∫

w2w

=∫ sen ( x )dx=−cos (x )

y p=u1 ( x ) y1+u2 ( x ) y2

y p=sen ( x )−ln( tan( 2x+π4 ))∗cos ( x )−(cos ( x )∗sen ( x ))

y= yh+ y p

CONCLUSIONES

Para solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden se dan casos característicos para encontrar la solución general. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente independientes. Donde la clave es la ecuación característica que se puede asignar a la ecuación diferencial según la estructura de la misma y la solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados.

Una ecuación homogénea tiene dos (2) soluciones independientes y por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos. Todo lo anterior según la estructura de la ecuación característica. Estos tres casos son: soluciones reales y distintas, soluciones iguales y reales, soluciones complejas y conjugadas.

BIBLIOGRAFÍA

ACERO, I. (s.f.). Ecuaciones diferenciales: teoria y problemas.

GOMEZ, R. (2012 ). ECUACIONES DIFERENCIALES. Palmira: Universidad Nacional Abierta y a Distancia.

STEWART, j. (2007). Calculo conceptos y contextos. Ixtapaluca: Thomson.

tareasplus. (s.f.). Tareasplus. Recuperado el 29 de Marzo de 2014, de https://www.youtube.com/watch?v=P4Y52_mBWEo

Zuñiga, C. (2008). algebra lineal. junio: Unidad de ciencias basicas UNAD.