TRABAJO N1

1. CALCULAR

a) Con 6 decimales.

b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2

c) Resolviendo con la regla de Simpson: h 0, h = 1/4

d) Encontrar la relacin entre X n + 1, X n al aplicar el mtodo de Newton a la ecuacin f(x) = 0 Qu frmula se obtienen al hacer f(x) = x2 - c?

SOLUCIN

a) Con 6 decimales.

Redondeando a 6 decimales:

a) b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2

Regla del trapecio:

Aplicamos la regla del trapecio:

Reemplazando:

Redondeando a 6 decimales:

c) Resolviendo con la regla de Simpson: h 0, h = 1/4

Regla del Simpson:

Aplicamos la regla del Simpson:

Reemplazando:

Redondeando a 6 decimales:

TRABAJO N21. CALCULAR

Obtenga una aproximacin a las races complejas de la siguiente ecuacin algebraica con dos cifras decimales exactos, aplicando el mtodo de LIN (mtodos de los factores cuadrticos), con una tolerancia de 0,01 en los valores de p y q.

SOLUCIN

a) Sea la ecuacin P(x) = 0, donde P(x) tiene la forma:

Se obtiene un factor cuadrtico de la forma:

Con lo cual la ecuacin anterior resulta:

Donde: Rx + S es el residuo

Multiplicando la ecuacin anterior:

Tomamos como valores: p* = - 0.5 y q* = 0.67

Tomamos como valores: p* = - 0.53 y q* = 0.79

Tomamos como valores: p* = - 0.53 y q* = 0.81

a) b) c) Reemplazando los valores en:

Resulta:

Como el residuo es muy pequeo se puede despreciar:

Resolviendo mediante la frmula de segundo grado:

TRABAJO N3

1. CALCULAR

En estudios sobre polimerizacin inducida por radiacin, se us una fuente de rayos gamma para obtener dosis medidas de radiacin. No obstante, la dosificacin vara con la posicin en el aparato, donde se registraron las siguientes cifras:

POSICIN AL

PUNTO BASE00.51.01.52.03.03.54.0

(pulgadas)

DOSIFICACIN

(105 rads/h)1.902.392.732.983.203.202.982.74

Por alguna razn, no se inform la lectura en 2.5 pulg, pero se requiere el valor de la radiacin ah. Ajuste polinomios de interpolacin de varios grados a los datos para obtener la informacin faltante. Cul considera que es la mejor estimacin para el nivel de dosificacin a 2.5 pulgadas? SOLUCIN

a) Lo ordenamos en una funcin tabular y mediante el mtodo de Neville calcularemos el valor de f(x) correspondiente para x = 2.5 pulg.

ixf (x)

001.90 = Q0.0

10.52.39 = Q1.0

21.02.71 = Q2.0

31.52.98 = Q3.0

42.03.20 = Q4.0

53.03.20 = Q5.0

63.52.98 = Q6.0

74.02.74 = Q7.0

b) Ahora utilizando el algoritmo:

Hacemos: i = 1, j = 1

Hacemos: i = 2, j = 1

Hacemos: i = 3, j = 1

Hacemos: i = 4, j = 1

Hacemos: i = 5, j = 1

Hacemos: i = 6, j = 1

Hacemos: i = 7, j = 1

Hacemos: i = 2, j = 2

Hacemos: i = 3, j = 2

Hacemos: i = 4, j = 2

Hacemos: i = 5, j = 2

Hacemos: i = 6, j = 2

Hacemos: i = 7, j = 2

Hacemos: i = 3, j = 3

Hacemos: i = 4, j = 3

Hacemos: i = 5, j = 3

Hacemos: i = 6, j = 3

Hacemos: i = 7, j = 3

Hacemos: i = 4, j = 4

Hacemos: i = 5, j = 4

Hacemos: i = 6, j = 4

Hacemos: i = 7, j = 4

Hacemos: i = 5, j = 5

Hacemos: i = 6, j = 5

Hacemos: i = 7, j = 5

Hacemos: i = 6, j = 6

Hacemos: i = 7, j = 6

Hacemos: i = 7, j = 7

TRABAJO N4

1. CALCULAR

En un experimento se obtuvo 7 puntos como informacin en donde se da los valores:

T-1-0,96-0,86-0,790,220,50,936

Y-1-0,1510,8940,9860,8960,985-0,306

a) Trace los puntos y luego interpole con la curva suave.

b) Trace el polinomio de 6 grado que interpole esos puntos.

SOLUCIN

a) Trace los puntos y luego interpole con la curva suave.

b) Trace el polinomio de 6 grado que interpole esos puntos.

POR DIFERENCIA DIVIDIDAS

Primera diferencia

Segunda diferencia

_ _

_ _ _

_ _ _

TERCERA DIFERENCIA

CUARTA DIFERENCIA

QUINTA DIFERENCIA

SEXTA DIFERENCIA

CALCULANDO EL POLINOMIO DE SEXTO GRADO

Redondeando a 3 decimales

P(X) = -1.01x6 + 13.48x5 1.039x4 18.062x3 + 1.807x2 + 5.193x 0.146

TRABAJO N5

1. CALCULAR

En la tabla siguiente, X es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de un can en t segundos. Encuentre la velocidad de la bala en t = 2 segundos y en t = 1.2 segundos:

X012345

t00.03590.04930.05960.07000.0786

SOLUCIN

a) Ajustando a un polinomio lineal de la forma:

Para lo cual:

Expresando con la forma matricial para un polinomio lineal:

Reemplazando:

Resolviendo la matriz:

El polinomio lineal que se ajusta a los datos:

Redondeando:

b) Calculando para t = 2 segundos.

c) Calculando para t = 1.2 segundos.

TRABAJO N6

1. CALCULAR

En la siguiente tabla se presentan los alargamientos de un resorte correspondientes a fuerzas de diferentes magnitudes que la deforman:

Fuerza (kg-f) X02367

Longitud del resorte (m) Y0.1200.1530.1700.2250.260

Determine por mnimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado que represente la funcin dada.

SOLUCIN

a) Hallar por mnimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado.

Ajustando al modelo:

Se aplica la siguiente ecuacin:

Para lo cual:

Reemplazando en la ecuacin:

La ecuacin de regresin de ajuste queda como:

TRABAJO N7

1. CALCULAR

En la tabla siguiente se muestran los pesos X1 con aproximacin de libras, alturas X2 con aproximacin de pulgadas y edades X3 con aproximacin de aos de 12 muchachos:

Peso(x1)6471536755 587757 56 517668

Peso(x2)575949625150554852426157

Peso(x3)81061187109106129

a) Halle la ecuacin de regresin de mnimos cuadrados de X1 sobre X2 y X3.

b) Determine los valores estimados de X1 de los valores de X2 y X3.

c) Estimar el peso de un muchacho de 9 aos y 54 pulgadas de alto.

SOLUCIN

a) Halle la ecuacin de regresin de mnimos cuadrados de X1 sobre X2 y X3.

Se realiza un cambio de variable.

X1 = Y

X2 = X1

X3 = X2

Ajustando al modelo:

Se aplica la siguiente ecuacin:

Para lo cual:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9

Reemplazando en la ecuacin:

La ecuacin de regresin de ajuste queda como:

b) Determine los valores estimados de X1 de los valores de X2 y X3.

1. Si: X2 = 57 y X3 = 8 X1 = 64.41464032

2. Si: X2 = 59 y X3 = 10 X1 = 69.13652482

3. Si: X2 = 49 y X3 = 6 X1 = 54.56509625

4. Si: X2 = 62 y X3 = 11 X1 = 73.20668693

5. Si: X2 = 51 y X3 = 8 X1 = 59.28698075

6. Si: X2 = 50 y X3 = 7 X1 = 56.92603850

7. Si: X2 = 55 y X3 = 10 X1 = 65.71808511

8. Si: X2 = 48 y X3 = 9 X1 = 58.22948328

9. Si: X2 = 52 y X3 = 10 X1 = 63.15425532

10. Si: X2 = 42 y X3 = 6 X1 = 48.58282675

11. Si: X2 = 61 y X3 = 12 X1 = 73.85840932

12. Si: X2 = 57 y X3 = 9 X1 = 65.92097264

c) Estimar el peso de un muchacho de 9 aos y 54 pulgadas de alto.

Utilizando la ecuacin de regresin:

Si: X2 = 54 y X3 = 9 X1 = 63.35714286

TRABAJO N8

1. CALCULAR

Un investigador reporta los datos tabulares que se indica a continuacin para explicar la tasa de crecimiento de un tipo de bacteria como funcin de concentracin de oxgeno dado en mg/L. estos datos se pueden modelar mediante:

Una transformacin para hacer lineal esta ecuacin, luego calcule C = 2 mg/L.

C6471536755

K5759496251

SOLUCIN

a) Ajustar a una ecuacin lineal.

Se tiene:

b) Clculo de a y b por mnimos cuadrados.

Haciendo cambio de variable:

Ajustando al modelo:

Se aplica la siguiente ecuacin:

Para lo cual:

Reemplazando en la ecuacin:

La ecuacin de regresin de ajuste queda como:

c) Calculando K.

Reemplazando en la ecuacin:

Dato:

El valor de K es:

TRABAJO N9

1. CALCULAR

En una tubera circular de 20 cm de dimetro se midi la velocidad del aire con un tubo de Pilot, y se encontr la siguiente informacin:

V (cm/s)600550450312240

r (cm)03578

Donde r es la distancia en cm medido a partir del centro del tubo.

a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxime a estos datos experimentales mediante una curva adecuada de regresin, para lo cual obtenga el ndice de correlacin.

b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm.

SOLUCIN

a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxime a estos datos experimentales mediante una curva adecuada de regresin, para lo cual obtenga el ndice de correlacin.

A partir de los datos obtenemos los siguientes resultados:

Calculando el ndice de correlacin (r)

b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm.

Ajustando al modelo:

Se aplica la siguiente ecuacin:

Para lo cual:

Reemplazando en la ecuacin:

La ecuacin de regresin de ajuste queda como:

Calculando para r = 7.5 cm.

TRABAJO N10

1. CALCULAR

Evaluar la integral siguiente:

a) Frmula analtica.

b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.

c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio.

d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.

SOLUCIN

a) Frmula analtica.

b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.

Regla del trapecio:

Aplicamos la regla del trapecio:

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

00919

1/2616

Ki f (Xi)15

Reemplazando:

c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio: k = 3

Considerando un trapecio

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

00919

1/2616

Ki f (Xi)15

Considerando dos trapecios

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

00919

1/48.1213216.2426

2/2616

Ki f (Xi)31.2426

Considerando cuatro trapecios

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

00919

1/88.7716217.5432

2/48.1213216.2426

3/87.1481214.2962

4/2616

Ki f (Xi)63.082

Considerando ocho trapecios

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

00919

1/168.9424217.8848

2/88.7716217.5432

3/168.4944216.9888

4/48.1213216.2426

5/167.6667215.3334

6/87.1481214.2962

7/166.5853213.1706

8/2616

Ki f (Xi)126.4596

Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuacin:

Luego se construye la siguiente tabla:

KAproximacionestrapezoidalesPrimeraExtrapolacinSegundaExtrapolacinTerceraExtrapolacin

0

1

2

3

d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.

Regla del Simpson:

Aplicamos la regla del Simpson:

iXif(Xi)KiKi f(Xi)

00919

1/48.1213432.4852

2/2616

Ki f(Xi)47.4852

Reemplazando:

TRABAJO N11

1. CALCULAR

Evaluar la integral siguiente:

a) Frmula analtica.

b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.

c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio.

d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.

SOLUCIN

a) Frmula analtica.

b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.

Regla del trapecio:

Aplicamos la regla del trapecio:

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

0- 299199

1- 23071- 2307

Ki f (Xi)- 2208

Reemplazando:

c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio: k = 3

Considerando un trapecio

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

0- 299199

1- 23071- 2307

Ki f (Xi)- 2208

Considerando dos trapecios

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

0-299199

11-62-12

2-23071-2307

Ki f (Xi)-2220

Considerando cuatro trapecios

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

0-299199

1-0.52.062524.125

2-62-12

32.5-259.31252-518.625

4-23071-2307

Ki f (Xi)-2734.5

Considerando ocho trapecios

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

0-299199

1-1.2516.1660232.3320

2-0.52.062524.125

30.685521.371

4-62-12

5-55.01372-110.0274

6-259.31252-518.625

7-864.74472-1729.4894

8-23071-2307

Ki f (Xi)-4540.3138

Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuacin:

Luego se construye la siguiente tabla:

KAproximacionestrapezoidalesPrimeraExtrapolacinSegundaExtrapolacinTerceraExtrapolacin

0

1

2

3

d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.

Regla del Simpson:

Aplicamos la regla del Simpson:

iXif(Xi)KiKi f (Xi)

0-299199

1-0.52.062548.25

2-62-12

32.5-259.31254-1037.25

4-23071-2307

Ki f (Xi)-3249

Reemplazando: