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Trabajo Final de Estructuras Algebraicas:

Anillos conmutativos

Noelia Rocıo Agaras

Diciembre 2016

Resumen

El Algebra Conmutativa, el estudio de los anillos conmutativos y los concep-tos relacionados, se origino con los estudios de Kummer y Dedekind acercade las propiedades aritmeticas de los enteros algebraicos, y crecio velozmentecon el surgimiento de la geometrıa algebraica. En este trabajo se ahonda enalgunas propiedades de los anillos conmutativos, para luego estudiar sus exten-siones, marcando las similitudes (y diferencias) con las extensiones de cuerposy la Teorıa de Galois, repasada en los Preliminares. Como cierre, en el ultimocapıtulo se da una aplicacion del estudio de los anillos conmutativo, con todaslas herramientas vistas en los capıtulos anteriores, en la Teorıa de Galois.

Indice general

Preliminares 2

0.1. Anillos, Ideales y Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.1. Factorizacion en anillos conmutativos . . . . . . . . . . . 70.1.2. Cuerpo cociente y localizacion . . . . . . . . . . . . . . . 90.1.3. Anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.2. Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.2.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.2.2. Condiciones de Cadena y Modulos Noetherianos . . . . . 13

0.3. Teorıa de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.3.1. Elementos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.3.2. Cuerpos de descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.3.3. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.3.4. Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.3.5. Teorema de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1. Descomposicion primaria 26

1.1. Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2. Descomposicion primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. Extensiones de anillos 36

2.1. Elementos enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Extensiones enteras 40

3.1. Ideales primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Dominios enteramente cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Dominios de Dedekind 48

4.1. Biografıa(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2. Ideales fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3. Enteros Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. Grupo de Galois 59

U.N.L.P-Departamento de Matematica 2

Preliminares

En este capıtulo recordaremos algunos conceptos y resultados ya conocidosde la teorıa sobre grupos, anillos y cuerpos ([1]), para luego introducir algunosconceptos y resultados (sin demostracion, ya que ese tema no es lo que atanea este trabajo) de la Teorıa de Galois ([6] y [3]), pues en los subsiguientescapıtulos trabajaremos con ideas similares, reemplazando los cuerpos por anillosconmutativos con unidad, y al final del trabajo resentaremos una aplicacion delas extensiones de anillos en el calculo de grupos de Galois.

0.1. Anillos, Ideales y Cuerpos

Definicion 0.1.1.

Un Anillo es un conjunto R junto a dos operaciones binarias

+R : R×R→ R (suma) ∧ ·R : R×R→ R (producto)

que satisfacen las siguientes condiciones:

1. (R,+) es un grupo abeliano, con identidad 0R

2. ∀r1, r2, r3 ∈ R : r1 ·R (r2 ·Rr3) = (r1 ·Rr2)·Rr3 (Asociatividad del producto)

3. ∀r1, r2, r3 ∈ R : r1 ·R (r2 +R r3) = (r1 ·R r2) +R (r1 ·R r3) (Distributividaddel producto respecto a la suma a derecha y a izquierda)

Ademas, diremos que:

(R,+R, ·R) es un anillo con identidad si y solo si R 6= 0R ∧ ∃1R ∈R/∀r ∈ R : r1R = 1Rr = r, es decir, existe el elemento neutro para elproducto en R, al que llamaremos identidad.

(R,+R, ·R) es un anillo conmutativo si y solo si ∀r, s ∈ R : rs = sr, esdecir, si el producto conmuta en R.

Diremos que (R,+R, ·R) es un ACI si y solo si es un anillo conmutativo conidentidad.

Observacion 0.1.1.

1. Al igual que para los grupos, a menos de ambiguedad, notaremos rs en vezde r ·R s para el producto de dos elementos r, s ∈ R.


Anillos Conmutativos Trabajo Final de Estructuras Algebraicas

2. Tambien como en el caso de los grupos, a menos de ambiguedad, notaremosR para los anillos, en vez de (R,+R, ·R).

3. A menos de ambiguedad, notaremos + en vez de +R para la suma de R.

Proposicion 0.1.2. Sea R un anillo, y sean r1, r2, r3 ∈ R. Entonces:1. r10R = 0Rr1 = 0R

2. (−r1)r2 = r1(−r2) = −(r1r2)

3. (−r1)(−r2) = r1r2

4. r1(r2 − r3) = r1r2 − r1r3 ∧ (r1 − r2)r3 = r1r3 − r2r35. Si R es un anillo con identidad, entonces (−1R)r1 = −r1, y 1R 6= 0R

Definicion 0.1.2.

1. Si r1 6= 0R ∧ r2 6= 0R ∧ r1r2 = 0R entonces diremos que r1 y r2 sondivisores de cero del anillo R

2. Si R es un anillo con identidad, diremos que r ∈ R es una unidad sii∃s ∈ R : rs = sr = 1R.Definimos, entonces, R× = U(R) = r ∈ R | r es una unidad de R

Observacion 0.1.3.

R× es un grupo, llamado el grupo de unidades de R

Definicion 0.1.3.

1. Un anillo R es un dominio de integridad (o dominio ıntegro) si ysolo si es un ACI sin divisores de cero. En este caso, diremos simplementeque R es ıntegro o un dominio.

2. Un anillo R es un anillo de division si y solo si R tiene identidad yR× = R \0R, es decir, si todo elemento no nulo de R tiene inversomultiplicativo.

3. Un cuerpo es un ACI tal que R× = R \0R.Teorema 0.1.4. (Teorema del Binomio)Sean R un anillo con identidad, n ∈ N y a, b ∈ R tales que ab = ba.

Entonces, (a+ b)n =

n∑

k=0

(n

k

)

akbn−k.

Observacion 0.1.5. En particular, si R es conmutativo, el Teorema anteriorvale para cualesquiera dos elementos de R.

Definicion 0.1.4.

Si R es un anillo con identidad, entonces definimos la caracterıstica de Rcomo el menor natural n tal que n · 1R = 0R, y la denotaremos char(R).Si ∀n ∈ N : n · 1R 6= 0R entonces definimos char(R)=0.

Definicion 0.1.5.

Diremos que un subconjunto S de R es un subanillo de R si es un anillo conlas operaciones de R.

4 U.N.L.P-Departamento de Matematica

Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Anillos Conmutativos

Observacion 0.1.6.

S ⊆ R es un subanillo ⇔ S es un subgrupo aditivo de R que es cerrado por lamultiplicacion.

Definicion 0.1.6.

Dados dos anillos R y S, un homomorfismo de anillos (o, simplemente,morfismo de anillos) es una aplicacion f : R→ S tal que ∀r1, r2 ∈ R :

f(r1 +R r2) = f(r1) +S f(r2)

f(r1 ·R r2) = f(r1) ·S f(r2)Si f es invertible, es decir, ∃g : S → R un homomorfismo de anillos tal quef g = IdR ∧ g f = IdS entonces diremos que f es un isomorfismo deanillos. En ese caso diremos que R y S son isomorfos.Y si f : R → R es un isomorfismo de anillos, entonces diremos que f es unautomorfismo.

Observacion 0.1.7.

La definicion de morfismo de cuerpos es igual a la de anillos, es decir, unaaplicacion entre cuerpos que conserva las operaciones. Por ende, si f : K → Fes un morfismo de cuerpos no nulo, f(1K) = 1F∧ ∀x ∈ K\0 : f(x−1) =(f(x))−1.

Definicion 0.1.7.

Como para el caso de grupos, dado un morfismo de anillos f : R→ S, definimoslos conjuntos:

Ker(f) = r ∈ R | f(r) = 0S

Im(f) = s ∈ S | ∃r ∈ R : f(r) = sObservacion 0.1.8.

Nuevamente, como para el caso de grupos, se tiene que: dado un morfismo deanillos f : R→ S, por definicion de morfismo:

1. Im(f) es un subanillo de S.

2. Ker(f) es un subgrupo aditivo de R y, ademas ∀r ∈ R : rKer(f) ⊆Ker(f) ∧ Ker(f)r ⊆ Ker(f). Esta condicion mas fuerte que cumple elKer(f) motiva la siguiente definicion:

Definicion 0.1.8.

Sea R un anillo y a ⊆ R. Diremos que a es un ideal de R si y solo si:

1. a es un subgrupo aditivo de R

2. ∀r ∈ R : ra ⊆ a

3. ∀r ∈ R : ar ⊆ a

Si un subconjunto a ⊆ R satisface 1. y 2., diremos que es un ideal a izquierda,y si satisface 1. y 3., diremos que es un ideal a derecha.

Observacion 0.1.9.

Si R es un anillo conmutativo, entonces ∀r ∈ R : ra = ar, por lo cuala es un ideal a izquierda si y solo si a es un ideal a derecha.



Ejemplo 0.1.10.

(i) Para cada n ∈ Z, (n) = kn | k ∈ Z es un ideal de Z

(ii) Dado un anillo R, dos ideales de R son R mismo y el ideal trivial 0R.

Lema 0.1.11.

1. La interseccion arbitraria de ideales es un ideal.

2. La union de una familia de ideales encajados es un ideal.

Lema 0.1.12.

1. Si f : R → S es un morfismo de anillos, entonces Ker(f) es un ideal deR .Mas aun, f es inyectiva si y solo si Ker(f) es el ideal trivial.

2. Si R es un anillo de division, entonces los unicos ideales de R son R y elideal trivial.

3. Si R es un anillo de division y f : R → S es un morfismo de anillos,entonces f es inyectiva o f ≡ 0.En particular, si R y S son cuerpos, entonces f es inyectiva o f ≡ 0.

Definicion 0.1.9. Sea R un anillo conmutativo y T ⊆ R un subconjunto.

1. Sea ai | i ∈ I la familia de todos los ideales en R que contienen a T.

Entonces, (T ) =⋂

i∈I

ai es el ideal generado por T, y los elementos de

T son los generadores del ideal (T ).

2. Si T es un subconjunto finito, es decir, T = tj | j ∈ N∩ [1, n] para cierton ∈ N, entonces (T ) = (t1, · · · , tn) es finitamente generado.En particular, un ideal (t) generado por un unico elemento t ∈ R es lla-mado un ideal principal.

3. Un dominio ıntegro donde cada ideal es principal es llamado dominio deideales pricipales (DIP).

Ejemplo 0.1.13. Z es un DIP.

Observacion 0.1.14.

Si R es un anillo conmutativo, entonces (a) = ra+ma | r ∈ R ∧m ∈ Z.Si ademas R tiene identidad, es, decir, es un ACI, (a) = aR = Ra.

Definicion 0.1.10. Dado un ACI R, diremos que:

1. Un ideal p es primo si y solo si:

a) p 6= R

b) ∀x, y ∈ R : xy ∈ p⇒ (x ∈ p ∨ y ∈ p).

2. Un ideal m es maximal si y solo si∀a ideal de R: (m ⊆ a⇒ (a = R ∨ a = m))



Observacion 0.1.15.

Dado un ACI R, un ideal p es primo si y solo si ∀a, b ideales de R:ab ⊆ p⇒ (a ⊆ p ∨ b ⊂ p).

Lema 0.1.16.

Sean f : R→ S un epimorfismo de anillos con nucleo K, y p un ideal primo deR que contiene a K. Entonces, f(p) es un ideal primo de S.

Lema 0.1.17.

Dado un ACI R, si a 6= R es un ideal de R, entonces existe un ideal maximalm de R tal que a ⊆ m.

Proposicion 0.1.18 (Teorema Chino del Resto).Sean n ∈ N y I = aj | j ∈ In un conjunto de ideales de un ACI R tales que∀i, j ⊆ In, i 6= j : ai + aj = R.Sea X = xj | j ∈ In ⊆ R.Entonces, ∃x ∈ R : ∀j ∈ In : x+ aj = xj + aj.

Corolario 0.1.19.

Sean n ∈ N y M = mj | j ∈ In ⊆ Z un conjunto de enteros tal que loselementos deM son coprimos de a dos.Entonces, para cualquier X = xj | j ∈ In ⊆ Z, ∃x ∈ Z/ ∀j ∈ In : x ≡mj

xj.

Observacion 0.1.20.

Dado a un ideal de R, y dados r1, r2 ∈ R, como a es un subgrupo (normal)del grupo (abeliano) aditivo R, la siguiente relacion de equivalencia esta biendefinida en R : r1 ≡a r2 ⇔ r1−r2 ∈ a. Entonces, el grupo cociente R/a = R/ ≡a

resulta un anillo con las operaciones:

∀r1, r2 ∈ R : (r1 + a) + (r2 + a) = (r1 + r2) + a

∀r1, r2 ∈ R : (r1 + a)(r2 + a) = (r1r2) + a

Lema 0.1.21. Dado un ACI R:

1. Un ideal p de R es primo si y solo si R/p es un dominio ıntegro.

2. Un ideal m de R es maximal si y solo si R/m es un cuerpo.

Corolario 0.1.22. Dado un ACI R, todo ideal maximal es primo.

Lema 0.1.23. Dado un DIP R, un ideal es primo si y solo si es maximal.

Observacion 0.1.24.

La vuelta del lema anterior estaba dado por el corolario que le precede. Sinemargo, lo interesante del lema anterior es que si es primo, ya es maximal,hecho que usaremos (y sera mas que importante) al final del trabajo.

0.1.1. Factorizacion en anillos conmutativos

Claramente, consideraremos R un anillo conmutativo

Definicion 0.1.11.

Sea a, b ⊆ R. Diremos que a divide a b, y lo notaremos a|b si y solo si∃r ∈ R : ar = b.Diremos que a y b son asociados si a|b ∧ b|a.



Proposicion 0.1.25. Sean R un ACI, y a, b, u ∈ R. Entonces

1. a|b si y solo si (b) ⊆ (a).

2. a y b son asociados si y solo si (a) ⊆ (b).

3. u es una unidad de R si y solo si ∀r ∈ R : u|r.

4. u es una unidad de R si y solo si (u) = R.

5. La relacion “a es un asociado de b” es una relacion de equivalencia en R.

6. Si a = br con r ∈ R una unidad, entonces a y b son asociados. Si R es undominio ıntegro, entonces la recıproca es cierta.

Definicion 0.1.12.

Sean R un ACI, y r ∈ R un elemento no nulo. Diremos que

1. r es irreducible si y solo si:

(i) r no es una unidad;

(ii) r = ab→ a es una unidad, o b es una unidad.

2. r es primo si y solo si:

(i) r no es una unidad;

(ii) r|ab→ r|a ∨ r|b

Definicion 0.1.13.

Sean R un dominio ıntegro, y p y c elementos no nulos de R. Entonces

1. p es primo si y solo si (p) es un ideal no trivial.

2. c es irreducible si y solo si (c) es un ideal maximal en el conjunto de todoslos ideales principales propios de R.

3. Todo elemento primo es irreducible.

4. Si R es un DIP, p es primo si y solo si p es irreducible.

5. Todo elemento asociado de un elemento primo [respectivamente irreduci-ble] de R, es un elemento primo [respectivamente irreducible] de R.

6. Los unicos divisores de un elemento irreducible de R son los asociados ylas unidades de R.

Definicion 0.1.14.

Diremos que un dominio ıntegro D es un dominio de factorizacion unica(DFU) si y solo si:

1. Todo elemento a ∈ D no nulo, que no sea una unidad, ∃c1, · · · , cn ∈ D

elementos irreducibles tales que a =

n∏

i=1

ci.



2. Si a =

n∏

i=1

ci y a =

m∏

j=1

dj donde ∀i ∈ In : ci es irreducible y ∀j ∈ Im : dj

es irreducible, entonces n = m y existe alguna permutacion σ ∈ Sn tal que∀i ∈ In : ci y dσ(i) son asociados.

Proposicion 0.1.26. Todo DIP es un DFU.

Definicion 0.1.15.

Sea T un subconjunto no vacıo de un anillo conmutativo R. Diremos que unelemento d ∈ R es el maximo comun divisor (mcd) de T si y solo si

1. ∀t ∈ T : d|t.

2. (∀t ∈ T : c|t)⇒ c|d.

Si R tiene identidad y d = 1R, entonces diremos que los elementos de T soncoprimos.

Observacion 0.1.27.

(a) El maximo comun divisor no siempre existe.

(b) En caso de existir, no es necesariamente unico, pues por el item 2. de ladefinicion, todo asociado del maximo comun divisor cumple con la defini-cion y, por ende, es tambien un maximo comun divisor.

Proposicion 0.1.28. Sean R un ACI, y T = ai | i ∈ In ⊆ R. Entonces

1. d ∈ R es un maximo comun divisor de T tal que ∃ri | i ∈ In ⊆ R :

d =

n∑

i=1

riai si y solo si (d) =

n∑

i=1

(ai).

2. Si R es un DIP, entonces existe el maximo comun divisor de T, y es de

la forma

n∑

i=1

riai con ri | i ∈ In ⊆ R.

3. Si R es un DFU, entonces existe el maximo comun divisor de T.

0.1.2. Cuerpo cociente y localizacion

Definicion 0.1.16.

Dado un ACI R, S ⊆ R es un subconjunto multiplicativo si y solo si:

1. 1R ∈ S

2. ∀s, t ∈ S : st ∈ S

Diremos que un subconjunto multiplicativo S de R es propio si y solo si 0R /∈ S

Observacion 0.1.29.

Si S ⊆ R es un subconjunto multiplicativo propio de R, un ACI, entonces S noposee ningun divisor de cero.En efecto, al ser propio, 0R /∈ S, y como S es multiplicativo, ∀s, t ∈ S : st 6= 0R,y, ergo, ∀s ∈ S : s no es un divisor de cero.



Lema 0.1.30.

Sea un ACI R y un subconjunto multiplicativo propio S de R. La relacion dadapor:

(a, s) ≡ (b, t)⇔ ∃u ∈ S : atu = bsu

es una relacion de equivalencia en R× S.Mas aun, S−1R = (R× S)/ ≡ es un anillo con las operaciones:

(a/s) + (b/t) = (at+ bs)/(st)

(a/s)(b/t) = (ab)/(st)

donde (a/s) es la clase de equivalencia de (a, s) en S−1R.

Definicion 0.1.17.

Dado S un subconjunto multiplicativo propio de un ACI R, diremos que S−1Res el anillo de fracciones de R con denominadores en S. En particular,si R es un dominio de integridad, entonces S=R\0R es un subconjunto multi-plicativo propio y S−1R es el cuerpo de fracciones o cuerpo cociente Q(R)de R.

Observacion 0.1.31.

1. Si S es un subconjunto multiplicativo propio de un ACI R, entonces existeun homomorfismo canonico ι : R → S−1R dado por r 7→ r/1R que esinyectivo si R es ıntegro.Mas aun, ι(s) = s/1R es una unidad de S−1R, con inversa 1R/s ∈ S−1R

2. Si bien los cuerpos cocientes poseen una propiedad universal, esta se puedegeneralizar al caso de los anillos de fracciones de la siguiente manera:

Proposicion 0.1.32 (Propiedad Universal).Sea R un ACI, y S un subconjunto multiplicativo propio de R. Entonces,∀ϕ : R→ R′ homomorfismo de anillos tal que ∀s ∈ S : ϕ(s) ∈ U(R′),∃!ψ : S−1R → R′ tal que ψ ι = ϕ, dada por ψ(r/s) = ϕ(r)ϕ(s)−1 para todor ∈ R ∧ s ∈ S, es decir, tal que el siguiente diagrama conmuta:

Rι //

ϕ""

S−1R

ψ

R′

0.1.3. Anillos de polinomios

Consideraremos R un ACI.Recordemos que el anillo de polinomios sobre R es el conjunto

R[X] =

n∑

i=0

aiXi | n ∈ N ∧ ∀i ∈ Z ∩ [0, n] : ai ∈ R

donde X0 = 1R, que resulta un anillo conmutativo con unidad 1R que contieneal mismo R.



Definicion 0.1.18.

Dado f(X) =n∑

i=0

aiXi ∈ R[X] un polinomio no nulo, ai | i ∈ Z ∩ [1, n] son

los coeficientes de f, y el grado de f es el mayor i ∈ N tal que ai 6= 0R, quelo notaremos gr(f). Si gr(f) = n, el coeficiente principal de f es an.

Ademas, dado r ∈ R[X] : rf(X) =n∑

i=0

raiXi es un polinomio asociado de f,

y diremos que f es irreducible si y solo si sus unicos divisores son los elementosde R y sus asociados.

Definicion 0.1.19.

Sean D un dominio de factorizacion unica y f(X) =

n∑

i=0

aiXi ∈ D[X].

Diremos que f es primitivo si el maximo comun divisor de los coeficientes def es una unidad de D.

Observacion 0.1.33.

Claramente, todo polinomio se puede escribir como un elemento del anillo porun polinomio primitivo.

Lema 0.1.34.

Sean D es un dominio ıntegro incluıdo en E, tambien ıntegro, y un polinomiof(X) ∈ D[X] de grado n. Entonces, f tiene a lo sumo n raıces diferentes en E.

Lema 0.1.35.

Sean D un dominio de factorizacion unica con cuerpo cociente Q, y f un poli-nomio primitivo de grado positivo en D[X]. Entonces, f es irreducible en D[X]si y solo si lo es en Q[X].

Proposicion 0.1.36. (Criterio de Eisenstein)Sean D un Dominio de factorizacion unica y Q su cuerpo cociente ,

f(X) =

n∑

i=0

aiXi ∈ D[X] con gr(f) ≥ 1 y p ∈ D un elemento irreducible tal que

p 6 |an∀i ∈ In−1 : p|aip2 6 |ao

Entonces, f es irreducible en Q[X].En particular, si f es primitivo, por el lema anterior es irreducible en D[X].

Proposicion 0.1.37. (Criterio para irreducibilidad en Z[X])

Si f(X) =n∑

i=0

aiXi ∈ Z[X] y p ∈ N es un primo, definimos el polinomio

f(X) =

n∑

i=0

aiXi ∈ Zp[X], donde ∀i ∈ In : ai es la imagen de ai vıa el epimor-

fismo canonico Z→ Zp.Si f es monico y f es irreducible en Zp[X] para algun p, entonces f es irreducibleen Z[X]



Proposicion 0.1.38.

Sean R un dominio ıntegro r ∈ R, f(X) =

n∑

i=0

aiXi ∈ R[X] y f(X − r) =

n∑

i=0

ai(X − r)i ∈ R[X].

Entonces, f(X) es irreducible si y solo si f(X − r) es irreducible.

Corolario 0.1.39.

Para cada primo p ∈ N, el polinomio ciclotomico f(X) =

p−1∑

i=0

Xi ∈ Z[X] es

irreducible

0.2. Modulos

Definicion 0.2.1.

Sea R un ACI. Un R-modulo es un grupo abeliano M junto a una accionR×M →M dada por (r, x) 7→ rx tal que, ∀r, s ∈ R, x, y ∈M :

1. r(x+ y) = rx+ ry ∧ (r + s)x = rx+ sx

2. r(sx) = (rs)x

3. 1x = x

Un submodulo de un R-modulo M es un subgrupo aditivo N de M tal que laaccion sea cerrada en N

Ejemplo 0.2.1.

(i) Si K es un cuerpo, entonces un K-modulo es lo mismo que un K-espaciovectorial.

(ii) Si A es un grupo abeliano, entonces A es un Z-modulo.

Definicion 0.2.2.

Sea R un anillo conmutativo, y M,N dos R-modulos. Una funcion f : M → Nes un morfismo de R-modulos si y solo si ∀x, y ⊆M, r ∈ R :f(x+ y) = f(x) + f(y) ∧ f(rx) = rf(x).Si R es un anillo de division, entonces los morfismos de R-modulos se denomi-nan con la familiar expresion de tranformacion lineal.

Observacion 0.2.2.

(a) Claramente, valen los conocidos resultados:

(i) f :M → N es un monomorfismo de R-modulos si y solo si Ker(f) =0.

(ii) f :M → N es un isomorfismo de R-modulos si y solo si ∃g : N →Mmorfismo de R-modulos tal que gf = 1M ∧ fg = 1N .

(b) Para cualquier par de R-modulos M y N, el morfismo nulo 0 : M → Ndado por x 7→ 0N es un morfismo de R-modulos.



(c) Todo morfismo de grupos abelianos es un morfismo de R-modulos.

Definicion 0.2.3.

Sea M un R-modulo. El submodulo de M generado por un conjunto Xde M es el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de X concoeficientes en R.Un submodulo de M es finitamente generado si y solo si es generado por unsubconjunto finito de M (como un submodulo).

Observacion 0.2.3. Recordemos que los modulos heredan de los grupos la es-perada propiedad que el cociente de un R-modulo por un submodulo es un R-modulo.

Proposicion 0.2.4.

Sea N un submodulo de un R-modulo M. El grupo cociente M/N es un R-modulo, en el cual ∀x ∈M, r ∈ R : r(x+N) = rx+N .Ademas, el morfismo π : M → M/N dado por x 7→ x + N es un epimorfismode R-modulos cuyo nucleo es N .

Definicion 0.2.4. Llamaremos al morfismo π la proyeccion canonica.

0.2.1. Teoremas de Isomorfismos

Sean R un anillo conmutativo, M un R-modulo y N1, N2 dos submodulosde M .

Proposicion 0.2.5 (Primer Teorema de Isomorfismos).Sea N un R-modulo y f : M → N un homomorfismo de R-modulos. Entonces,M/Ker(f) ∼= Im(f).

Proposicion 0.2.6 (Segundo Teorema de Isomorfismos).Hay un isomorfismo de R-modulos N1/(N1 ∩N2) ∼= (N1 +N2)/N2.

Proposicion 0.2.7 (Tercer Teorema de Isomorfismos).Si N2 ⊆ N1, entonces N1/N2 es un submodulo de M/N2, y hay un isomorfismode R-modulos (M/N2)

/(N1/N2) ∼=M/N2.

Observacion 0.2.8.

Estos teoremas valen tambien, mutatis mutandis, para anillos.

0.2.2. Condiciones de Cadena y Modulos Noetherianos

Definicion 0.2.5.

Sea M un R-modulo. Diremos que M satisface la condicion de cadena as-cendente (CCA) si y solo si para toda cadena de submodulos de M orde-nados por la inclusion, es decir, para todo conjunto I = Nj | j ∈ N tal que∀j ∈ N : Nj ⊆ Nj+1 se cumple que ∃n ∈ N : ∀k ∈ N, k ≥ n : Nk = Nn.En tal caso, diremos que M es Noetheriano (por Emmy Noether).Diremos que un anillo R es Noetheriano si lo es como R-modulo, es decir, sisus ideales cumplen la CCA.

Proposicion 0.2.9.

M es un R-modulo Noetheriano si y solo si cada submodulo deM es finitamente



generado.En particular, un anillo conmutativo R es Noetheriano si y solo si cada ideal deR es finitamente generado.

Observacion 0.2.10.

Si R es un DIP, entonces todo ideal es principal, y, ergo, R es Noetheriano.

Ejemplo 0.2.11.

(i) El anillo Z es un DIP y por lo tanto es Noetheriano.

(ii) Si K es un cuerpo, sus unicos dos ideales son finitamente generados, puesK = (1K). Luego, K es Noetheriano.

Proposicion 0.2.12. (Noether [1926])Sea R un anillo Noetheriano y M un R-modulo finitamente generado. EntoncesM es Noetheriano.

Ejemplo 0.2.13.

Si K es un cuerpo, es Noetheriano.Entonces, por la proposicion anterior, K[X] es Noetheriano.Por induccion, resulta que ∀n ∈ N : K[X1, · · · , Xn] es Noetheriano.En general, si R es Noetheriano, se tiene que ∀n ∈ N, R[X1, · · · , Xn] es Noet-heriano.

Proposicion 0.2.14.

Si R es un anillo Noetheriano y φ : R→ S es un epimorfismo de anillos entoncesS es Noetheriano.

Proposicion 0.2.15.

Sea S un subanillo de R. Si S es Noetheriano y R es finitamente generado comoS-modulo entonces R es Noetheriano (como anillo).

Definicion 0.2.6.

Sea R un anillo conmutativo, M un R-modulo y m ∈M .

1. El aniquilador de m es el ideal de R Ann(m) = r ∈ R | rm = 0;

2. El aniquilador de M es el ideal de R

Ann(M) = r ∈ R | ∀x ∈M : rx = 0 =⋂

m∈M

Ann(m).

Entonces,diremos que:

(a) m es de torsion si y solo si Ann(m) 6= 0, es decir, cuando exister ∈ R\0 : rm = 0;

(b) m de libre de torsion si y solo si Ann(m) 6= 0;

(c) M es de torsion cuando todos sus elementos son de torsion;

(d) M es libre de torsion cuando todos sus elementos son libres de torsion.



0.3. Teorıa de Galois

En esta seccion veremos algunos conceptos y resultados de la teorıa de Galois,necesarios para entender la segunda parte del trabajo, e indispensables para elultimo capıtulo.Seguiremos el desarrollo de [3] y de [1], pero usaremos la notacion de [2], en elcual estan basados el resto de los capıtulos.

Definicion 0.3.1.

Sea K un cuerpo. Diremos que un cuerpo E es una extension de K si y solosi K es un subcuerpo de E, y lo notaremos E/K.

Observacion 0.3.1.

Si E/K, entonces 1E = 1K . Mas aun, E es un espacio vectorial sobre K, cuyadimension denotaremos [E : K] en vez de dimkE. Dependiendo si [E : K] esfinito o infinito, diremos que E es una extension finita o una extensioninfinita de K.

Proposicion 0.3.2.

Sea K un cuerpo, E/K y F/E. Si [F : K] <∞ entonces [F : K] = [F : E][E : K]

Observacion 0.3.3.

La situacion de la proposicion anterior la graficaremos de la siguiente manera:

F

[F :E]

E

[E:K]

K

y diremos que E es un cuerpo intermedio de F y K.

Definicion 0.3.2.

1. Si F es un cuerpo, y X ⊆ F , entonces el subcuerpo [respectivamentesubanillo] generado por X es la interseccion de todos los subcuerposque contienen a X .

2. Si F/K y X ⊆ F , entonces el subcuerpo [respectivamente subanillo] gene-rado por K∪X es llamado el subcuerpo [respectivamente subanillo] ge-nerado por X sobre K, y lo escribiremos K(X ) [respectivamente K[X ]].

3. Si X = α1, · · · , αn, entonces el subcuerpo K(X ) = K(α1, · · · , αn) [res-pectivamente subanillo K[X ] = K[α1, · · · , αn]] es una extension de K fi-nitamente generada.

4. Si X = α, entonces K(X ) = K(α), y la llamaremos una extensionsimple de K.

Observacion 0.3.4.

(a) K[X ] es necesariamente un dominio ıntegro.



(b) Una extension finitamente generada no necesariamente es de dimensionfinita.

(c) Ni K(α1, · · · , αn) ni K[α1, · · · , αn] dependen del orden de los αi, yK(α1, · · · , αn−1)(αn) = K(α1, · · · , αn), ası como tambienK[α1, · · · , αn−1][αn] = K[α1, · · · , αn].

Proposicion 0.3.5. Si F/K, m ∈ N, α, α1, · · · , αm ⊆ F y X ⊆ F , entonces:

1. El subanillo K[α] consiste en elementos de la forma f(α), con f ∈ K[X];

2. El subanillo K[α1, · · · , αm] consiste en todos los elementos de la formag(α1, · · · , αm), donde g es un polinomio en m indeterminadas con coefi-cientes en K, es decir, g ∈ K[X1, · · · , Xm];

3. El subanillo K[X ] consiste en los elementos de la forma h(β1, · · · , βn),donde n ∈ N, β1, · · · , βn ⊆ X , h es un polinomios en n indeterminadascon coeficientes en K, es decir, h ∈ K[X1, · · · , Xn];

4. El subcuerpo K(α) consiste en elementos de la forma f1(α)/f2(α) =f1(α)(f2(α))

−1 donde f1, f2 ∈ K[X] y f2(α) 6= 0K ;

5. El subcuerpo K(α1, · · · , αm) consiste en todos los elementos de la forma

g1(α1, · · · , αm)/g2(α1, · · · , αm) = g1(α1, · · · , αm)(g2(α1, · · · , αm))−1

donde g1, g2 ∈ K[X1, · · · , Xm] tal que g2(α1, · · · , αm) 6= 0K ;

6. El subcuerpo K(X ) consiste en todos los elementos de la forma

h1(β1, · · · , βn)/h2(β1, · · · , βn) = h1(β1, · · · , βn)(h2(β1, · · · , βn))−1

donde n ∈ N, β1, · · · , βn ⊆ X y h1, h2 ∈ K[X1, · · · , Xn] tal queh2(β1, · · · , βn) 6= 0K ;

7. ∀β ∈ K(X ) [respectivamente K[X ], hay un subconjunto finito Y ⊆ X talque β ∈ K(Y) [respectivamente K[Y]].

Definicion 0.3.3.

Dados un cuerpo K y dos extensiones E/K y F/K, diremos que:

1. Un morfismo de cuerpos σ : F → E es un K-morfismo (o un morfis-mo de extensiones) si y solo si es un morfismo de K-modulos, que esequivalente a un morfismo de cuerpos K-lineal, es decir, σ|K = idK ;

2. Si σ : F → F es biyectiva, entonces diremos que es un K-automorfismo.

Lema 0.3.6.

Si n, ℓ ∈ N, y K = Fpn , entonces la aplicacion ϕpℓ : K → K dada por x 7→ xpℓ

es un Zp-automorfismo de K.

Nota 0.3.7. Notaremos

(i) Hom(F/K,E/K) = ϕ : F → E de cuerpos | ϕ|K = 1K;

(ii) HomK(F,E) = ϕ : F → E | ϕ es K-lineal



(iii) Gal(F : K) = σ : F → F | σ es un K-automorfismo el grupo deGalois de E/K, que efectivamente es un grupo con la composicion.

Observacion 0.3.8.

(a) Claramente, con la notacion anterior, resulta que:

Hom(E/K,F/K) // HomK(E,F )

(b) El grupo de Galois actua sobre la extension de la siguiente manera:Si F/K es una extension, y G = Gal(F : K), ∀α ∈ F, ∀σ ∈ G : σ · α =σ(α). Ası:

a) ∀α ∈ F se tiene el concepto de orbita de α en F, que es G · α =OGα = β ∈ F | ∃σ ∈ G : σ · α = β;

b) G induce una relacion de equivalencia en F, dada por:

α ∼ β ⇔ β ∈ OGαque como G es grupo es equivalente a pensarla como

α ∼ β ⇔ OGα = OGβ

0.3.1. Elementos algebraicos

Definicion 0.3.4.

Sea E una extension de un cuerpo K.Dado un elemento α ∈ E diremos que

1. α es algebraico si existe un polinomio f ∈ K[X] tal que f(α) = 0.

2. α es trascendente en caso contrario.

3. E es algebraico sobre K si y solo si todo elemento de E es algebraico

Teorema 0.3.9. Sea K un cuerpo y E/K. Si α ∈ E es algebraico sobre K,entonces

1. K(α) = K[α];

2. K(α) ∼= K[X]/(f) donde f ∈ K[X] es un polinomio monico irreducible degrado n ≥ 1 unıvocamente determinado por las condiciones:

f(α) = 0

g(α) = 0 si y solo si f divide a g.

3. [K(α) : K] = n

4. αj | j ∈ Z ∩ [0;n − 1] es base del K-espacio vectorial K(α), dondeα0 = 1K .

5. ∀β ∈ K(α) : ∃!g ∈ K[X] de grado menor que n tal que β = g(α)

Definicion 0.3.5.

Sea E una extension algebraica de un cuerpo K y α ∈ E algebraico sobre K. Elpolinomio monico irreducible del Teorema 0.3.9 se llama el polinomio irredu-cible de α, y lo notaremos f(α,K).El grado de α sobre K es gr(f(α,K)) = [K(α) : K].



Proposicion 0.3.10. Sea F/K una extension de grado finito. Entonces, F/Kes algebraico y ∀α ∈ E : gr(f(α,K))|[F : K].

Proposicion 0.3.11 (Dos de tres).Sean F/K y E un cuerpo intermedio. Se tiene que:F/K es algebraico si y solo si E/K y F/E son algebraicos.

F

algebraico

algebraico

E

algebraico

K

Definicion 0.3.6.

Un subcuerpo E de un cuerpo F se dice relativamente algebraicamente ce-rrado en F si y solo si ∀α ∈ F : α algebraico sobre E ⇒ α ∈ E.

Proposicion 0.3.12.

Sea F/K, y definimos KF = α ∈ F | α algebraico sobre K . Entonces, KF esun cuerpo, que es una extension algebraica sobre K, y es relativamente algebrai-camente cerrado.

Observacion 0.3.13. Por construccion, KF es la extension algebraica de Kmas grande contenida en F .

Ejemplo 0.3.14.

Si F = C y K = Q, entonces KF = QC que notaremos Q u OQ es el conjuntode los enteros algebraicos que veremos mas adelante.

Teorema 0.3.15.

Sean F/K, E un cuerpo intermedio y H un subgrupo de G = Gal(F : K).Entonces:

1. HF = α ∈ F | ∀σ ∈ H : σ(α) = α es un cuerpo intermedio de laextension F/K;

2. Gal(F : E) = σ ∈ G | ∀α ∈ E : σ(α) = α es un subgrupo de G.

Definicion 0.3.7.

Sea F/K, G = Gal(F : K) su grupo de Galois, y H un subgrupo de G. El cuerpoHF del Teorema anterior es el cuerpo fijo de H en F.

Observacion 0.3.16. Con la notacion anterior:

(a) Gal(F : F ) = 1 pues el unico morfismo que deja fijo todo F es la identidad,y, por ende, 1F = F ;

(b) No es necesariamente cierto, sin embargo, que GF = K

Definicion 0.3.8.

Diremos que F/K es una extension de Galois de K (o simplemente que esGalois sobre K) si y solo si GF = K, es decir, si y solo si el cuerpo fijo de Gen F es K.



Lema 0.3.17.

Sean F/K con cuerpos intermedios E y L; y H y J subgrupos de G = Gal(F : K).Entonces:

1. E ⊆ L⇒ Gal(F : L) < Gal(F : E);

2. H < J ⇒ JF ⊆ HF ;

3. E ⊆ Gal(F :E)F ∧H < Gal(F : HF );

4. Gal(F : E) = Gal(F : Gal(F :E)F ) ∧ HF = Gal(F :HF )F .

Observacion 0.3.18.

Se tiene por definicion que F es de Galois sobre un cuerpo K si y solo si GF = K.Entonces, F es de Galois sobre K si y solo si K = Gal(F :K)F . Analogamente, Fes de Galois sobre un cuerpo intermedio E si y solo si E = Gal(F :E)F .

Nota 0.3.19. Recordemos que dado un grupo G y un subgrupo H, [G : H] es elındice de H en G.

Lema 0.3.20.

Sean F/K, E y L cuerpos intermedios tales que E ⊆ L y H y J subgrupos delgrupo de Galois G = Gal(F : K) tales que H < J .

1. Si [L : E] es finito, entonces [Gal(F : E) : Gal(F : L)] ≤ [L : E]. Enparticular, si [F : K] es finito, entonces |Gal(F : K)| ≤ [F : K].

2. Si [J : H] es finito, entonces [HF : JF ] ≤ [J : H].

0.3.2. Cuerpos de descomposicion

Lema 0.3.21.

Sea K un cuerpo y f(X) ∈ K[X], gr(f(X)) > 0. Entonces, existe una extensionE/K tal que f tiene una raız en E.

Proposicion 0.3.22.

Sean n ∈ N ∧ ∀i ∈ In : fi ∈ K[X] es un polinomio de grado positivo. Entonces,existe una extension E/K tal que ∀i ∈ In : ∃αi ∈ E/fi(αi) = 0.

Demostracion. Por induccion sobre n, y el caso base n = 1 es el lema anterior.

Definicion 0.3.9.

Sean K un cuerpo, y (fi)i∈I una familia de polinomios de grado positivo (i.e,no constantes) en K[X]. Un cuerpo de descomposicion de (fi)i∈I es unaextension E/K tal que:

(i) ∀i ∈ I : fi se descompone en E[X] como producto de polinomios de grado1;

(ii) ∀i ∈ I : Z(fi) = α ∈ E | fi(α) = 0 ⇒ E = K

(⋃

i∈I

Z(fi))



Proposicion 0.3.23.

Sean K un cuerpo, y (fi)i∈I una familia de polinomios no constantes en K[X].Entonces existe una extension de K que es el cuerpo de descomposicion de(fi)i∈I .

Definicion 0.3.10.

Sean K un cuerpo y f(X) ∈ K[X]. LLamaremos grupo de Galois de f sobreK, y lo notaremos Gal(f : K), a Gal(E:K), donde E es el cuerpo de descompo-sicion de f que existe por la proposicion anterior.

Proposicion 0.3.24.

Sean K un cuerpo, (fi)i∈I una familia de polinomios no constantes en K[X],E/K una extension, F y F ′ dos subextensiones de E que son cuerpos de descom-posicion de (fi)i∈I . Entonces, F = F ′.

Corolario 0.3.25.

Sean K un cuerpo, y (fi)i∈I una familia de polinomios no constantes en K[X].Si F y F ′ son dos extensiones que son cuerpos de descomposicion de (fi)i∈I ,F ∼= F ′.

Teorema 0.3.26.

Dados un primo p ∈ N y un natural n, entonces existe, salvo isomorfismos,exactamente un cuerpo Fpn de orden pn, que es el cuerpo de descomposicion delpolinomio Xpn−X ∈ Zp[X], y todos sus elementos son raıces de este polinomio.

Demostracion.Es el corolario anterior para K = Zp y la familia de polinomios que consiste enel unico polinomio Xpn −X ∈ Zp[X].

Definicion 0.3.11.

Sea K un cuerpo. Una clausura algebraica de K es una extension de K quees algebraica y algebraicamente cerrada.

Observacion 0.3.27.

Recordemos que se dice que un cuerpo F es algebraicamente cerrado si sa-tisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

(i) Todo polinomio no constante en F [X] se escribe como producto de polino-mios de grado 1;

(ii) Todo polinomio no constante tiene una raız en F;

(iii) Todo polinomio irreducible en F [X] tiene grado 1;

(iv) Toda extension algebraica de F tiene grado 1.

Proposicion 0.3.28.

Sean Ω/K una clausura algebraica, α, β ∈ Ω y G = Gal(Ω : K). Entonces, conla notacion de 0.3.8, α ∼ β ⇔ f(α,K) = f(β,K).En particular, ∀α ∈ Ω : |OGα | es finito.

Corolario 0.3.29.

Sean F/K y f ∈ K[X]. Si α ∈ F es una raız de f y σ ∈ Gal(F : K), entoncesσ(α) ∈ F es tambien una raız de f .



Corolario 0.3.30.

Sea f ∈ K[X] irreducible. Entonces, todas las raıces de f en Ω tienen la mismamultiplicidad.

En particular, si α es una raız, f(X) =∏

β∈OGα

(X − β)m.

Observacion 0.3.31.

Si car(K) = 0 o |K| es finito, entonces todo polinomio irreducible tiene raıcessimples.En efecto, dado un polinomio irreducible f ∈ K[X], si f tuviese una raız de mul-tiplicidad m ∈ N,m ≥ 2, por el corolario, todas sus raıces tendrıan multiplicidadm, por lo que el polinomio derivado f ′ tendrıa las mismas raıces que f , perocomo (f) ⊆ K[X] es maximal por ser f irreducible, resultarıa que f ′|f . Ahı,analizando los casos car(K) = 0 y |K| finito, en ambos se llega a un absurdo.

Proposicion 0.3.32.

Sea K un cuerpo. Entonces existe una clausura algebraica de K. Mas aun, si Ωy Ω′ son dos clausuras algebraicas de K, existe un isomorfismo de K-algebrasΩ ∼= Ω′.

Corolario 0.3.33.

Si K1 y K2 son dos cuerpos, Ω1 y Ω2 sus respectivas clausuras algebraicas y∀j ∈ 1, 2 : ιj : Kj → Ωj es la inclusion canonica, entonces ∀ς : K1 → K2

isomorfismo de cuerpos, ∃!µ : Ω1 → Ω2 isomorfismo que extiende a ς, es decir,tal que:

Ω1∃!µ //❴❴❴ Ω2

K1

?

ι1

OO

ς// K2

?

ι2

OO

0.3.3. Extensiones normales

Sea K un cuerpo y Ω una clausura algebraica.

Proposicion 0.3.34.

Sea F/K algebraico y σ : F → F un morfismo de extensiones. Entonces, σ esun automorfismo.

Definicion 0.3.12.

Sea F/K algebraica. Diremos que F/K es una extension normal si y solo si∀Ω clausura algebraica de K que contiene a F se tiene que ∀σ ∈ Gal(Ω : K) :σ(E) ⊆ E.

Observacion 0.3.35.

(a) Basta ver que existe una clausura algebraica Ω0 de K que contenga a F yque satisfaga la hipotesis de la definicion de normalidad. La demostracionde esto es por el corolario 0.3.33.

(b) Si F/K es normal, y Ω/K es una clausura algebraica que contiene a F,entonces HomK(F,Ω) = Gal(F : K).



(c) Toda clausura algebraica es normal.

(d) Si F/K es normal y α ∈ F , entonces OGal(F :K)α = OGal(Ω:K)

α . Esto quieredecir que casi todos los morfismos de Gal(Ω : K) dejan fijo a α.

Proposicion 0.3.36. Sea F/K una extension. Entonces, son equivalentes:

1. F/K es normal

2. Si f(X) ∈ K[X] es irreducible sobre K y tiene una raız en F , entoncestodas sus raıces estan en F.

3. F/K es el cuerpo de descomposicion de una familia de polinomios irredu-cibles en K[X]

Corolario 0.3.37. Sea F/K normal. Entonces, F/K es finito si y solo si F esel cuerpo de descomposicion de un polinomio.

Proposicion 0.3.38.

Sea F/K normal y E/K una subextension. Entonces, F/E es normal.

F

normal

normal E

algebraico

K

Teorema 0.3.39 (Teorema de Dedekind).Sean K un cuerpo, F/K, E/K dos extensiones y (σi)i∈I una familia de elementosdistintos en Hom(F/K,E/K). Entonces, (σi)i∈I son linealmente independien-tes sobre E en HomK(F,E).

Observacion 0.3.40.

Sean F/K algebraico, y Ω/K una clausura algebraica de K que contiene a F .Entonces, |Hom(F/K,Ω/K)| no depende de Ω/K

Nota 0.3.41. Con la notacion de la observacion, denotaremosγ(F/K) = |Hom(F/K,Ω/K)|Corolario 0.3.42 (del Teorema de Dedekind).

1. |Hom(F/K,E/K)| ≤ dimE(HomK(F,E));

2. Si [F : K] es finito, entonces |Hom(F/K,E/K)| ≤ [F : K] = dimKF ;

3. Si α es algebraico sobre K, |Hom(K[α]/K,F/K)| ≤ gr(f(α,K)).

Proposicion 0.3.43.

Sean Ω/K una clausura algebraica y α ∈ Ω.

Entonces, γ(K[α]/K) = |OGal(Ω:K)α |.

Proposicion 0.3.44.

Sea F/K finita (y, por ende, algebraica).Entonces, F/K es de Galois si y solo si |Gal(F : K)| = γ(F/K).



Proposicion 0.3.45 (Torres de cuerpos).Sean K ⊆ E ⊆ F extensiones algebraicas, con F/K finita.Entonces, γ(F/K) = γ(F/E)γ(E/K).

F

γ(F/E)

γ(F/K) E

γ(E/K)

K

Observacion 0.3.46.

Toda extension de grado 2 es normal, al igual que todo subgrupo de ındice 2 esun subgrupo normal. Esta relacion no es casual, y queda evidente con el Teoremade Galois.

0.3.4. Extensiones separables

Definicion 0.3.13.

Sean F/K algebraico y α ∈ F .Decimos que α es separable sobre K si y solo si f(α,K) tiene todas sus raıcessimples

Observacion 0.3.47.

(a) Si α es separable sobre K, Ω/K es una clausura algebraica que contiene a

α y G = Gal(Ω : K), entonces f(α,K) =∏

β∈OGα

(X − β).

(b) Si carK = 0 o |K| es finito, entonces todo elemento α algebraico sobreK es separable. En efecto, como ∀α algebraico sobre K, f(α,K) ∈ K[X]es irreducible, por la Observacion 0.3.31, ∀α algebraico sobre K, f(α,K)tiene todas sus raıces simples

Proposicion 0.3.48.

Sean α un elemento algebraico sobre K, Ω/K una clausura algebraica que con-tiene a α y G = Gal(Ω : K). Son equivalentes:

1. α es separable;

2. α es raız simple de un polinomio en K[X]

3. γ(K[α]/K)︸︷︷︸

=|OGα | por 0.3.43

= [K[α] : K] = gr(f(α : K))

Definicion 0.3.14. Sea K un cuerpo.

1. Diremos que una extension F/K es una extension separable si y solo sitodo elemento de F es separable.

2. Diremos que un polinomio f ∈ K[X] es separable si todas las raıces def en alguna clausura algebraica de K son simples.



Observacion 0.3.49.

Si car(K) = 0 o |K| es finito, entonces toda extension algebraica es separable.

Lema 0.3.50. Sea F un cuerpo finito. Entonces U(F ) es un grupo cıclico.

Corolario 0.3.51.

Sea F/K una extension finita con K un cuerpo finito, entonces existe α ∈ F talque F = K[α].

Definicion 0.3.15.

Dada una extension F/K, un elemento α ∈ F que cumple con el corolario an-terior se llama elemento primitivo

Proposicion 0.3.52. Sea F/K una extension finita. Entonces,F/K es separable ⇔ γ(F/K) = [F : K].

Corolario 0.3.53. Sea F/K ua extension. Entonces,F/K es normal y separable ⇔ |Gal(F : K)| = γ(F/K) = [F : K].

Proposicion 0.3.54 (Dos de tres). Sea K ⊆ E ⊆ F extensiones. Entonces:F/K es separable si y solo si F/E y E/K son separables.

F

separable

separable

E

separable

K

Proposicion 0.3.55.

Sea F/K finita y separable. Entonces, F tiene un elemento primitivo.

Teorema 0.3.56.

Sea F/K finita. Entonces, F/K tiene un elemento primitivo si y solo si F tieneun numero finito de subextensiones.

Corolario 0.3.57.

Si F/K es finita y separable, entonces F tiene una cantidad finita de subexten-siones.

0.3.5. Teorema de Galois

Consideremos F/K una extension algebraica y G = Gal(F : K).Recordemos que para cualquier subextension K ⊆ L ⊆ F se tiene queGal(F : L) → Gal(F : K), en particular se tiene la inclusion para E = GF .Pero en este caso, si H = Gal(F : E), lo esperado es que F/E sea de Galois, esdecir, que HF = E = GF . Bueno, esto es lo que afirma el Teorema de Artin queveremos en esta seccion.

Proposicion 0.3.58.

Una extension F/K es de Galois si y solo si F/K es normal y separable.

Corolario 0.3.59.

Sean F/K una extension algebraica y G = Gal(F : K). Son equivalentes:



(i) F/K es de Galois y finita;

(ii) F es el cuerpo de descomposicion de un polinomio separable;

(iii) |G| = [F : K]

Observacion 0.3.60.

Sean K un cuerpo, Ω/K una clausura algebraica y G = Gal(Ω : K).

(a) Si |K| es finito, o car(K) = 0, entonces Ω/K es separable y, por tanto,de Galois

(b) Si α ∈ GE, entonces OGα = α.

(c) Si car(K) 6= 2, entonces toda extension cuadratica es de Galois.

(d) Si F/K es de Galois y E/K una subextension, entonces F/E es de Galois:

F

normal∧separable

normal∧separable E

separable

K

Lema 0.3.61. Sea F/K separabale tal que ∃n ∈ N/∀α ∈ E : gr(f(α,K)) ≤ n.Entonces, F/K es finito y [F : K] ≤ n.Teorema 0.3.62 (Teorema de Artin).Sean F un cuerpo, y H un subgrupo finito de Aut(F ). Sea K = HF . Entonces,F/K es de Galois finito y Gal(F : K) = H.

Teorema 0.3.63 (Teorema Fundamental de Galois).Si F es una extension de Galois de dimension finita sobre un cuerpo K, entoncesexiste una biyeccion entre el conjunto de todos los cuerpos intermedios de F/Ky el conjunto de todos los subgrupos del grupo de Galois G = Gal(F : K), dadapor E 7→ Gal(F : E), y su inversa HF ← [ H, satisfaciendo que:

(i) Si K ⊆ E1 ⊆ E2 ⊆ F , entonces [E2 : E1] = [Gal(F : E1) : Gal(F : E2)].En particular, [F : E] = [Gal(F : E) : 1F ] = |Gal(F : E)|;

(ii) F es de Galois sobre todo cuerpo intermedio E, pero E/K es de Galoissi y solo si E/K es normal si y solo si Gal(F : E) ⊳ G, en cuyo casoG/Gal(F : E) ≃ Gal(E : K).

F

[F :E]

7−→ Gal(F : F ) = 1F _

|Gal(F :E)|

F = 1F F

[F :HF ]

←− [ 1F _|H|

E

[E:K]

7−→ Gal(F : E) _

[G:Gal(F :E)]

∧ HF

[HF :K]

←− [ H _

[G:H]

K 7−→ Gal(F : K) = G K = GF ←− [ G


Capıtulo 1

Descomposicion primaria

Hemos visto que la suma y la interseccion de una familia de ideales sobre unanillo R son ideales de R. Definiremos otras dos operaciones adicionales entreideales sobre R que tambien resultaran ideales de R.

Definicion 1.0.1.

Sea R un anillo conmutativo, S un subconjnto de R, y a, b ⊆ R ideales sobre R.Definimos:

1. El producto de ideales

ab =

n∑

k=1

akbk | n ∈ N ∧ ∀k ∈ N ∩ [1, n] : ak ∈ a ∧ bk ∈ b

.

2. El transportador de S en a,

a : S = r ∈ R | ∀s ∈ S : rs ∈ a

.En particular, a : b = r ∈ R | rb ⊆ a

Observacion 1.0.1.

El producto como ideales ab es mucho mas grande que su producto como subcon-juntos ab | a ∈ a ∧ b ∈ b. Mas aun, por la siguiente proposicion, el productocomo ideales ab es el ideal generado por el producto como subconjuntos.

Lema 1.0.2.

Los subconjuntos de R ab y a : S son ideales de R.Mas aun, considerando R como un ideal de sı mismo, Ra = a ∧ ab ⊆ a ∩ b.

Demostracion.

1. Veamos que ab es un ideal de R.

a) Como a y b son ideales, 0R pertenece a ambos, por lo que, por defi-nicion de ab, el elemento 0R pertenece a ab.



b) Dados dos elementos de ab ,∑nk=1 a

1kb

1k ∧

∑mk=1 a

2kb

2k, entonces

n∑

k=1

a1kb1k +

m∑

k=1

a2kb2k =

n+m∑

k=1

akbk ∈ ab

donde ∀k ∈ N ∩ [1, n+m]:

si k ≤ n entonces ak = a1k ∧ bk = b1k; y

si k ≥ n+ 1 entonces ak = a2k ∧ bk = b2k.

Por lo tanto, la suma es cerrada en ab, y, ergo, ab es un subgrupoaditivo.

c) Dados r ∈ R y∑nk=1 akbk ∈ ab :

r ·n∑

k=1

akbk =

n∑

k=1

r · akbk =

n∑

k=1

(r · ak)bk ∈ ab

pues como a es un ideal, ∀k ∈ N ∩ [1, n] : r · ak ∈ a.

Luego, ab es un ideal de R.

2. Veamos que a : S es un ideal de R.

a) Dado s ∈ S, 0R · s = 0R ∈ a pues a es un ideal, por lo que 0R ∈ a : S.

b) Dados dos elementos r1, r2 ∈ a : S , entonces∀s ∈ S : (r1 ∈ a ∧ r2 ∈ a)⇒ ((r1 + r2) · s = r1 · s+ r2 · s ∈ a) pues lasuma es cerrada en a por ser un ideal de R.Entonces, (r1 + r2) ∈ a : SLuego, la suma es cerrada en a : S, y, ergo, a : S es un subgrupoaditivo.

c) Dados r1 ∈ R y r2 ∈ a : S, como R es un anillo conmutativo y a esun ideal sobre R, entonces ∀s ∈ S : (r1 · r2) · s = r1 · (r2 · s) ∈ a, porlo que (r1 · r2) ∈ a : S

Luego, a : S es un ideal de R.

3. Mas aun,

a) Veamos que Ra = a.Claramente, por la definicion de ideal, Ra ⊆ a.Recıprocamente, como R es un anillo con unidad,∀a ∈ a : a = 1R · a ∈ Ra, por lo cual a ⊆ Ra. Luego, Ra = a.

b) Veamos que ab ⊆ a ∩ b.Como a y b son ideales bilateros de R, dado

∑nk=1 akbk ∈ ab, resulta

que:

∀k ∈ N ∩ [1, n] : [(ak ∈ a ∧ bk ∈ R)⇒ (akbk ∈ a)] y

∀k ∈ N ∩ [1, n] : [(bk ∈ b ∧ ak ∈ R)⇒ (akbk ∈ b)]

por lo cual ∀k ∈ N ∩ [1, n] : akbk ∈ a ∩ b.Pero la interseccion de dos ideales es un ideal, y la suma es cerradaen todo ideal. Entonces,

∑nk=1 akbk ∈ a ∩ b y esto vale para todo

elemento arbirario de ab.Luego, ab ⊆ a ∩ b.



Proposicion 1.0.3.

Dado un ACI R, S ⊆ R, I un conjunto de ındices, a, b, c ⊆ R ideales de R∧∀i ∈ I : ai, bi ideales de R:

1. a ⊆ a : S, donde a : S = R⇔ S ⊆ a;

2. c ⊆ a : b⇔ bc ⊆ a;

3. (a : b) : c = a : bc;

4.

(⋂

i∈I

ai

)

: S =⋂

i∈I

(ai : S);

5. a :

(∑

i∈I

bi

)

=⋂

i∈I

(a : bi)

Demostracion.

1. Sea a ∈ a.Como a es ideal y S ⊆ R, entonces ∀s ∈ S : sa ∈ a.Por ende, a ∈ a : SLuego, a ⊆ a : S.Ademas,

Veamos que a : S = R⇒ S ⊆ a

Sea s ∈ S.Por hipotesis, a : S = R. por lo que ∀r ∈ R : rs ∈ a. En particulars = 1Rs ∈ a, pues R tiene identidad.Luego, S ⊆ a

Veamos que S ⊆ a⇒ a : S = RPor definicion, a : S ⊆ R. Para la otra inclusion, sean r ∈ R.Entonces, ∀s ∈ S : S ⊆ a⇒ s ∈ a⇒ rs ∈ a.Luego, r ∈ a : S, y, ergo R ⊆ a : S.

Luego, a : S = R⇔ S ⊆ a.

2. Veamos que c ⊆ a : b⇒ bc ⊆ a.Sea x ∈ bc.Por definicion de bc, ∃n ∈ N tal que ∀j ∈ N ∩ [1;n] :

∃bj ∈ b ∧ cj ∈ c

/

x =n∑

j=1

bjcj .

Como c ⊆ a : b por hipotesis, ∀j ∈ N∩ [1;n] : bj , cj ⊆ a, por lo quex ∈ a.Luego, bc ⊆ a.

Veamos que bc ⊆ a⇒ c ⊆ a : bSea c ∈ c.Como R es conmutativo, bc = cb, por lo que cb = bc ⊆ a por hipote-sis.Luego, c ⊆ a : b

Luego, c ⊆ a : b⇔ bc ⊆ a.



3. Veamos que (a : b) : c ⊆ a : bcSea y ∈ (a : b) : c.Entonces, como R es conmutativo,

∀x =n∑

j=1

bjcj ∈ bc : yx = yn∑

j=1

bjcj =n∑

j=1

bj(ycj) =n∑

j=1

(ycj)bj ∈ a

pues ycj |j ∈ N ∩ [1;n] ⊆ yc ⊆ a : b.Por ende, y ∈ a : bc.Luego, (a : b) : c ⊆ a : bc.

Veamos que a : bc ⊆ (a : b) : cSea x ∈ a : bc.Entonces, ∀c ∈ c : b ∈ b⇒ xbc ∈ a.Como R es conmutativo, ∀c ∈ c : xcb ⊆ a, es decir,∀c ∈ c : xc ⊆ a : b, por lo cual, x ∈ (a : b) : c.Luego, a : bc ⊆ (a : b) : c.

Luego, (a : b) : c = a : bc

4. x ∈(⋂

i∈I

ai

)

: S ⇔(

∀s ∈ S : xs ∈⋂

i∈I

ai

)

⇔ (∀s ∈ S : i ∈ I ⇒ xs ∈ ai)

⇔ (∀i ∈ I : x ∈ ai : S) ⇔ x ∈(⋂

i∈I

ai : S

)

Luego,

(⋂

i∈I

ai

)

: S =⋂

i∈I

(ai : S)

5. x ∈ a :

(∑

i∈I

bi

)

⇔ x

(∑

i∈I

bi

)

⊆ a⇔(∑

i∈I

xbi

)

⊆ a⇔ ∀i ∈ I : xbi ⊆ a ⇔

∀i ∈ I : x ∈ a : bi ⇔ x ∈⋂

i∈I

(a : bi)

Luego, a :

(∑

i∈I

bi

)

=⋂

i∈I

(a : bi).

1.1. Radicales

Definicion 1.1.1.

Dado un anillo conmutativo R, definimos el radical Rad a de un ideal a

como la interseccion de todos los ideales primos de R que contienen a a.

Observacion 1.1.1.

Por 0.1.11, entonces Rad a es un ideal.

Si a = R, entonces no hay ideales primos de R que contengan a, por lo quedefinimos la interseccion vacıa Rad a como el mismo R. Esta definiciones inmediata por la siguiente proposicion:

Proposicion 1.1.2. Rad a = r ∈ R | ∃n ∈ N : rn ∈ a

Demostracion.



Veamos que R\r ∈ R | ∃n ∈ N : rn ∈ a ⊆ R\Rad a

Sea x ∈ R tal que ∀n ∈ N : xn /∈ a.Consideremos el conjunto J = b ⊆ R ideal | a ⊆ b ∧ ∀n ∈ N : xn /∈ bparcialmente ordenado por la inclusion.Claramente, a ∈ J , por lo que J 6= ∅.Ademas, dada una cadena no vacıa de ideales en J , por 2. de 0.1.11,entonces dicha cadena tiene un elemento maximal en J .Entonces, por el Lema de Zorn, J tiene un ideal maximal p.Veamos que p es un ideal primo:Sean a, b ∈ R\p.Por la construccion de p, ∃m,n ∈ N : xm ∈ p+ (a) ∧ xn ∈ p+ (b).Entonces, ∃p, q ∈ p, r, s ∈ R : xm = p + ra ∧ xm = q + sb por lo quexm+n = pq + psb + qra + rsab ∈ p + (ab), donde p ( p + (ab) es unsubconjunto estricto pues, de lo contrario, xm+n ∈ p, lo que es absurdo.Por ende ab /∈ p, y esto implica que p es primo.Entonces, Rad a ⊆ p.Ahora bien, p ∈ J ⇒ x /∈ p.Luego, x /∈ Rad a, y, ergo, R\r ∈ R | ∃n ∈ N : rn ∈ a ⊆ R\Rad a.

Veamos que R\Rad a ⊆ R\r ∈ R | ∃n ∈ N : rn ∈ aSean x /∈ Rad a.Entonces, ∃p ideal primo de R tal que a ⊆ p ∧ x /∈ p.Como p es primo, entonces ∀n ∈ N : xn /∈ p.Pero a ⊆ p⇒ R\p ⊆ R\a, por lo cual ∀n ∈ N : xn /∈ a.Luego, x /∈ x ∈ R | ∃n ∈ N : xn ∈ a, y, ergo,R\Rad a ⊆ R\r ∈ R | ∃n ∈ N : rn ∈ a.

Observacion 1.1.3.

1. El conjunto Rad 0 = r ∈ R | ∃n ∈ N : xn = 0 de todos los elementosnilpotentes de R es un ideal de R, y es la interseccion de todos los idealesprimos de R.

2. De la proposicion anterior surge la notacion√a para el radical de a.

Proposicion 1.1.4.

Dado un ACI R, e ideales ai | i ∈ N ∩ [1;n] de R, entonces

Rad

(n⋂

i=1

ai

)

=

n⋂

i=1

Rad ai.

Demostracion.

Por 1.1.2, x ∈ Rad

(n⋂

i=1

ai

)

⇔ ∃m ∈ N : xm ∈(

n⋂

i=1

ai

)

⇔ ∃m ∈ N :

(i ∈ N ∩ [1;n]⇒ xm ∈ ai)⇔ ∀i ∈ N ∩ [1;n] : x ∈ Rad ai ⇔ x ∈n⋂

i=1

Rad ai.

Luego, Rad

(n⋂

i=1

ai

)

=

n⋂

i=1

Rad ai



Proposicion 1.1.5.

Si el ideal Rad a es finitamente generado, entonces ∃n ∈ N : (Rad a)n ⊆ a.

Demostracion.Como Rad a es finitamente generado como R-modulo, ∃I ⊆ N de cardinal kfinito, tal que ∃S = xi | i ∈ I conjunto de generadores de Rad a.Entonces, por definicion de Rad a, ∀i ∈ I : ∃mi ∈ N/xmi

i ∈ a.Como I es finito, ∃M = max

i∈Imi ∈ N, por lo cual ∀i ∈ I : xMi ∈ a

Sean n = kM ∧ y ∈ (Rad a)n

Entonces, y es un polinomio homogeneo de grado n f ∈ R[X1, · · · , Xn] valuadoen S, por lo que en cada termino de f hay algun xj ∈ S cuya potencia es mayoro igual a M y, por ende, cada termino de y esta en a, con lo cualy ∈ a.Luego, (Rad a)

n ⊆ a para n = kM .

Definicion 1.1.2.

Un ideal s de un ACI R se dice semiprimo si y solo si es una interseccion deideales primos.

Observacion 1.1.6.

Por la definicion de radical de s. entonces s es semiprimo cuando Rad s = s o,equivalentemente, si se cumple que, dado x ∈ R, ∃n ∈ N : xn ∈ s⇒ x ∈ s.

Lema 1.1.7.

Un ideal s ⊆ R es semiprimo si y solo si ∀a ⊆ R ideal :∃n ∈ N/an ⊆ s⇒ a ⊆ s.

Demostracion.

Supongamos que s es un ideal semiprimo, y veamos que, dado un ideala ⊆ R, si existe n ∈ N tal que an ⊆ s, entonces a ⊆ s.Supongamos que existe tal n ∈ N.Entonces, ∀a ∈ a : an ∈ s, y, por ende, por la observacion anterior,∀a ∈ a : a ∈ s

Luego, a ⊆ s

Supongamos que ∀a ⊆ R ideal : ∃n ∈ N/an ⊆ s ⇒ a ⊆ s, y veamos que s

es semiprimo.Por la observacion anterior, basta con ver que, dado x ∈ R, si existe n ∈ N

tal que xn ∈ s, entonces, x ∈ s.Supongamos que existe tal n ∈ N, y consideremos el ideal (x) ⊆ R.Dado y ∈ (x), entonces y = rx para cierto r ∈ R, y comoR es conmutativo,yn = (rx)n = rnxn ∈ s.Entonces, (x)n ⊆ s, por lo que, por hipotesis, (x) ⊆ s

Luego, x ∈ s.

Definicion 1.1.3.

Dado un ACI R, diremos que un ideal q ( R es:

1. primario si y solo si ∀x, y ∈ R : xy ∈ q⇒ (x ∈ q ∨ ∃n ∈ N/yn ∈ q)

2. p-primario si y solo si q es primario y Rad q = p.



Observacion 1.1.8.

Por 1.1.2, es claro que un ideal q ( R es primario si y solo si∀x, y ∈ R : xy ∈ q⇒ (x ∈ q ∨ y ∈ Rad q).

Proposicion 1.1.9.

Sea R un ACI y p ( R un ideal.

1. El radical de un ideal primario es un ideal primo.

2. La interseccion finita de ideales p-primarios es un ideal p-primario.

3. Un ideal cuyo radical es un ideal maximal, es un ideal primario.

Demostracion.

1. Sea q ( R un ideal primario, y veamos que√q es primo.

Sean x, y ∈ R tales que xy ∈ √q.Entonces, como R es conmutativo, por 1.1.2, ∃n ∈ N : xnyn ∈ q.Como q es un ideal primario, xn ∈ q ∨ (yn)

m ∈ q para cierto m ∈ N.Si xn ∈ q, entonces x ∈ √q.Si (yn)

m ∈ q entonces ∃k = nm ∈ N / yk ∈ q, por lo cual y ∈ √q.Entonces, x ∈ √q ∨ y ∈ √q.Luego,

√q es un ideal primo.

2. Sea n ∈ N, y para cada i ∈ I = N ∩ [1;n], sea qi un ideal p-primario.

Sea q =⋂

i∈I

qi

Veamos que q es p-primario.Como q ⊆ q1 ( R, entonces q 6= R.

Por 1.1.4, Rad q = Rad

(⋂

i∈I

qi

)

=⋂

i∈I

Rad qi =⋂

i∈I

p = p.

Luego, Rad q = p.Veamos ahora que q es primario.Sean x, y ∈ R tales que xy ∈ q.Entonces, ∀i ∈ I : xy ∈ qi.

Si ∀i ∈ I : x ∈ qi entonces x ∈⋂

i∈I

qi y, por ende x ∈ q.

Supongamos, entonces, que ∃j ∈ I : x /∈ qj .Como xy ∈ qj , entonces ∃mj ∈ N / ymj ∈ qj , por lo que, por 1.0.3,y ∈ Rad qj = p = Rad q, y, por ende, ∃m ∈ N : ym ∈ q.Luego, es cierto que, dados x, y ∈ R : xy ∈ q⇒ x ∈ q ∨ y ∈ p,y, ergo, q es un ideal primario.

3. Sea q ⊆ R un ideal tal que m = Rad q ( R es un ideal maximal de R.Como q ⊆ Rad q ( R entonces, q 6= R.Sean x, y ∈ R/xy ∈ q.Supongamos que y /∈ m, y sea a = m+ (y).Entonces, m ⊆ a ∧ (y) ⊆ a.Como m es maximal, entonces a = m ∨ a = R.Pero y /∈ m, por lo cual a = R, y, por ende, ∃u ∈ m, z ∈ R : 1R = u+ yz.Por 1.1.2, ∃m ∈ N : um ∈ q.



Como R es conmutativo, se tiene la igualdad 1R = 1mR =

(u+yz)m =

m∑

i=0

(m

i

)

um−i(yz)i = um+y

m∑

i=1

(m

i

)

um−iyi−1zi

︸︷︷︸

=w∈R

= um+yw

de lo cual resulta x = x1R = xum + xyw ∈ q, pues um, xy ∈ q.Luego, si y /∈ Rad q, entonces x ∈ q, y, ergo, por 1.1.8, q es primario.

1.2. Descomposicion primaria

En esta secion, consideraremos que R es un ACI Noetheriano.

Definicion 1.2.1.

Un ideal i ( R es irreducible por intersecciones o, simplemente, irreduci-ble, si y solo si i no es la interseccion de ideales a, b ) i.

Lema 1.2.1.

Todo ideal de un anillo Noetheriano R es la interseccion de una cantidad finitade ideales irreducibles.

Demostracion.Observemos que el termino intersecciones incluye la interseccion vacıa R, y lasintersecciones de un termino.Supongamos que ∃d ⊆ R un ideal desagradable, es decir, tal que d no es lainterseccion de una cantidad finita de ideales irreducibles.Entonces, el conjunto D = c | c es desagradable 6= ∅.Como R es Noetheriano, ∃m ideal maximal de D.Por lo observado al comienzo, dicho ideal desagradable m no es R y no esirreducible.Entonces,∃a, b ) m ideales de R tales que m = a ∩ b.Como m es maximal en D, entonces a y b /∈ D, y, por ende, son interseccionesde finitos ideales irreducibles. Pero esto implicarıa que m es una interseccion definitos ideales irreducibles, lo que es absurdo por definicion de m.Luego, todo ideal de R es la interseccion de finitos ideales irreducibles.

Proposicion 1.2.2.

En un anillo Noetheriano R. todo ideal es la interseccion de finitos ideales pri-marios.

Demostracion.Por 1.2.1, solo necesitamos ver que todo ideal irreducible i ⊆ R es primario.Sean x, y ∈ R : xy ∈ i ∧ y /∈ Rad i.Sea an = i : yn.Entonces, x ∈ a1 ∧ ∀n ∈ N : i ⊆ an (⋆1) ∧ an es un ideal de R, por 1.0.3.Ademas, como ∀n ∈ N : r ∈ an ⇒ ryn ∈ i⇒ ryn+1 ∈ i⇒ r ∈ an+1,entonces ∀n ∈ N : an ⊆ an+1 (⋆2).Como R es Noetheriano, la cadena ascendente (an)n≥0 termina, por lo cual∃n ∈ N lo suficientemente grande tal que a2n = an.



Sea b = i+Ryn.Observemos que i ( b, pues yn /∈ i (⋆3), por lo que, por ⋆1, i ⊆ b ∩ an (⋆4).Sean r ∈ an ∩ b.Entonces ryn ∈ i ∧ ∃t ∈ i, s ∈ R : r = t+ syn, por lo cual tyn + sy2n = ryn ∈ i.Como t ∈ i, entonces tyn ∈ i, por lo que sy2n ∈ i, y esto implica que s ∈ a2n =an.Entonces, r = t+ syn ∈ i.Luego, an ∩ b ⊆ i, y, ergo, por ⋆4, an ∩ b = i.Entonces, por ⋆3, an = i, y, por ⋆2, a1 = i.Luego, x ∈ a1 = i, y, ergo, i es primario.

1.2.1. Unicidad

Dado un ACI R,m ∈ N e ideales primarios qi ⊆ R | i ∈ N∩[1;m], entonces

la interseccion

m⋂

i=0

qi puede ser simplificada de dos formas:

eliminando terminos superfluos qj tales que

m⋂

i=0

qi =

m⋂

i=0,i6=j

qi; o

reemplazando aquellos terminos con el mismo radical p por su interseccion,que, por 1.1.9, es un ideal p-primario.

Definicion 1.2.2.

Una interseccion de ideales primariosm⋂

i=0

qi es reducida cuando no hay termi-

nos superfluos y los radicales Rad q1, · · · ,Rad qm son todos distintos.

Definicion 1.2.3.

Dado un ACI R, y un ideal a ⊆ R, los ideales primos asociados a a son losideales primos de la forma a : r, con r /∈ a.

Nota 1.2.3. Una version mas debil del proximo Teorema fue planteado porEmanuel Lasker (1868-1941) en su trabajo mas importante “Zur Theorie dermoduln und Ideale” (Mathematische Annalen 60 (1), 20-116, 1905), que fue ge-neralizado luego por Emmy Noether.Emanuel Lasker, ademas de doctor en matematicas y filosofıa, fue jugador pro-fesional de ajedrez, y conservo el tıtulo de campeon del mundo de ajedrez de1894 a 1921. Se doctoro en 1900 en la Universidad de Erlangen-Nuremberg,con la tesis “Uber Reihen auf der Convergenzgrenze” realizada bajo la super-vision de Max Noether, el padre de Emmy Noether.Sus principales aportes enmatematicas se centraron en el campo del algebra abstracta.

Teorema 1.2.4. (Noether-Lasker)En un anillo Noetheriano R, todo ideal es una interseccion reducida de finitosideales primarios, cuyos ideales son unicos.

Demostracion.Por 1.2.2, como R es Noetheriano, todo ideal a ⊆ R es una interseccion de fini-tos ideales primarios. Por ende, solo resta ver que los radicales de dichos idealesprimarios son unicos (salvo orden).



Sea a =

m⋂

i=0

qi una descomposicion primaria reducida de un ideal a, y veamos

que los distintos ideales primos pi = Rad qi coinciden con los ideales primosasociados de a.

Veamos primero que ∀n ∈ N : Rad qi es un ideal primo asociado a a.

Dado j ∈ Im, sea b =m⋂

i=0,i6=j

qi.

Entonces, a = b ∩ qj ( b.Como R es Noetheriano, todo ideal es finitamente generado. En particular,pj lo es y, por 1.1.5, ∃n ∈ N : pnj ⊆ qj .Entonces, por 1.0.2, bpnj ⊆ b ∩ qj = a.Consideremos n el minimal tal que bpnj ⊆ a.

Entonces. n > 0, bpn−1j 6⊆ a, y, por ende, ∃r ∈ bpn−1

j \a.Observemos que r ∈ b ∧ r /∈ qj pues, en caso contrario, r ∈ a, lo que esabsurdo.Mostraremos que pj = a : r.Como qj es pj-primario, rx ∈ a ⊆ qj implica que x ∈ pj .Entonces, a : r ⊆ pj .Recıprocamente, rpj ⊆ bpnj ⊆ a, por lo que pj ⊆ a : r.Luego, pj = a : r

Veamos ahora que para cada ideal primo asociado a a , existe j ∈ Im talque dicho ideal es el radical de qj .Sea p = a : r un ideal primo asociado a a, con r /∈ a.Entonces, ∃j ∈ Im : r /∈ qj .

Sea b =∏

r/∈qi

qi.

Por 1.0.2, b ⊆⋂

r/∈qi

qi.

Ademas, ∀i ∈ N ∩ [1;m] : rqi ⊆ a, por lo que rb ⊆ a, y, por ende, b ⊆ p.Como p es primo, ∃i ∈ N ∩ [1;m] : qi ⊆ p ∧ r /∈ qi.Entonces, p es uno de los primos cuya interseccion da el radical de qi y,por ende, pi = Rad qi ⊆ p.Recıprocamente, como qi es pi-primario, ∀x ∈ R :x ∈ p⇒ rx ∈ a ⊆ qi ⇒ x ∈ pi.Entonces, p = a : r ⊆ pi.Luego, p = pi.

Luego, los radicales de los ideales primarios que forman parte de la descompo-sicion son unicos al ser los ideales primos asociados a a.


Capıtulo 2

Extensiones de anillos

En este capıtulo extenderemos algunas propiedades de las extensiones decuerpos a las extensiones de anillos, para volver a las extensiones de cuerpos alfinal del trabajo.

Definicion 2.0.1.

Dado un anillo conmutativo R, una extension de R es un anillo conmutativoE del cual R es un subanillo.

Observacion 2.0.1.

1. La identidad de R es la identidad de todas sus extensiones.

2. Una extension de R podrıa ser definida como en el caso de extensiones decuerpos, es decir, vıa una inyeccion de R en E. Esta definicon es equiva-lente, salvo isomorfismos.

Proposicion 2.0.2.

Sea E un anillo extension de R, y sea S ⊆ E. El subanillo de E, R[S] generadopor R ∪ S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de productos depotencias de elemenetos de S con coeficientes en R.

Demostracion.Sea (Xs)s∈S una familia de indeterminadas, una por cada s ∈ S.Sea ψ : R[(Xs)s∈S ]→ E dado por Xs 7→ s el morfismo de evaluacion:

ψ

(∑

k

(

ak∏

s∈S

Xkss

))

=∑

k

(

ak∏

s∈S

sks

)

Entonces, Im ψ es un subanillo de E que contiene a R y a S, y consiste entodas las combinaciones lineales con coeficientes en R de productos finitos depotencias de elementos en S.Recıprocamente, toda combinacion lineal con coeficientes en R de productosfinitos de potencias de elementos en S pertenece a cada subanillo de E quecontenga a R y a S.

Corolario 2.0.3. En las condiciones de la proposicion anterior,

1. α ∈ R[s1, · · · , sn]⇔ ∃f ∈ R[X1, · · · , Xn] : α = f(s1, · · · , sn)



2. α ∈ R[S]⇔ α ∈ R[s1, · · · , sn] para ciertos s1, · · · , sn ∈ S.

Demostracion.

1. Se deduce de la proposicion anterior, debido a que la aplicacion ψ es unabiyeccion.

2. Nuevamente, por la demostracion de la proposicion anterior, ya que laaplicacion ψ es una biyeccion.

Definicion 2.0.2.

Una extension E del anillo R es finitamente generado sobre R si y solo si∃n ∈ N, ∃Sn = αj ∈ E | j ∈ N ∩ [1;n] : E = R[Sn].

Observacion 2.0.4.

1. Recordemos que toda extension de cuerpos sobre un cuerpo K resulta unespacio vectorial sobre K. Las extensiones de anillos conmutativos conidentidad resultan, como es de esperar, R-modulos.

2. Todo anillo intermedio R ⊆ S ⊆ E es un submodulo de E.

2.1. Elementos enteros

Definimos los elementos algebraicos para extensiones de cuerpos, y vimos al-gunas propiedades. En esta seccion ampliaremos esa definicion para extensionesde anillos.

Lema 2.1.1.

Sea M un R-modulo, n ∈ N y mj | j ∈ N ∩ [1, n] ⊆ M . Sean A = (xij) 1≤i≤n

1≤j≤n

una matriz con entradas en R, y D = det(A).

Si ∀i ∈ N ∩ [1, n] :n∑

j=1

xijmj = 0, entonces ∀i ∈ N ∩ [1, n] : Dmi = 0.

Demostracion.Observemos que si R es un cuerpo, entonces el resultado es de Algebra Linealestandar.En general, calculando D por columnas, obtenemos los cofactores cik tales que

∀i, j ∈ N ∩ [1, n] :

n∑

k=1

cikxkj = δijD. Entonces, ∀i ∈ N ∩ [1, n] :

Dmi =

n∑

k=1

cikxkimi =

n∑

k=1

n∑

j=1

cikxkjmj

= 0

Proposicion 2.1.2. Sea E una extension de anillos de R, y α ∈ E. Son equi-valentes:

1. ∃f ∈ R[X] monico : f(α) = 0

2. R[α] es un submodulo finitamente generado de E.



3. α pertenece a un subanillo de E que es finitamente generado.

Demostracion.

Veamos que 1. implica 2.Por hipotesis, ∃f ∈ R[X] monico tal que f(α) = 0. Sea n = gr(f).Mostraremos que G = αj | j ∈ N∩[0, n−1] genera R[α] como submodulode E, con α0 = 1.Sea β ∈ R[α].Por 2.0.3, ∃g ∈ R[X] : β = g(α).Como f es monico, g puede ser dividido por f , por lo cual ∃q, r ∈ R[X] :g = fq + r, donde gr(r) < n.Entonces β = g(α) = r(α) es una combinacion lineal de los elementos deG con coeficientes en R.Luego, G genera R[α], y, ergo, R[α] es un submodulo de E finitamentegenerado.

Que 2. implica 3. es trivial, ya que R[α] ⊆ E es el subanillo de E que esfinitamente generado.

Veamos que 3. implica 1.Sea α ∈ F ⊆ E donde F es finitamente generado como un submodulo deE por G = βj | j ∈ N ∩ [1, n] para cierto n ∈ N.Entonces, ∀i ∈ N ∩ [1, n] : αβi ∈ F por lo cual ∀i ∈ N ∩ [1, n] :

∃xij ∈ R | j ∈ N ∩ [1, n] : αβi =n∑

j=1

xijβj .

Por ende, ∀i ∈ N ∩ [1, n] :n∑

j=1

(δijα− xijβj) = 0.

Entonces, por el lema 2.1.1, el determinante D = |αId−A|, dondeA = (xij) 1≤i≤n

1≤j≤n

, satisface que ∀j ∈ N ∩ [1;n] : Dβj = 0

Como G genera F , esto implica que ∀β ∈ F : Dβ = 0. En paticular, comoF tienen identidad 1, D = D1 = 0. Pero el calculo de D muestra queD = f(α) para cierto polinomio monico f ∈ R[X].Luego, α es la raız de algun polinomio monico de R[X].

Definicion 2.1.1.

Diremos que un elemento α de una extension de anillos E de R es entero si ysolo si satisface alguna de las condiciones de la proposicion 2.1.2

Proposicion 2.1.3.

Si R es un dominio ıntegro, Q es su cuerpo cociente y E es una extension (decuerpos) de Q, entonces α ∈ E es algebraico sobre Q si y solo si ∃r ∈ R\0 : rαes entero sobre R.

Demostracion.

Supongamos que ∃r ∈ R\0 : rα es entero sobre R, y veamos que α esalgebraico sobre Q.Primero observemos que, como Q es el cuerpo cociente de R, entoncesR[X] ⊆ Q[X].Como rα es entero sobre R, ∃g(X) ∈ R[X] monico tal que g(rα) = 0.



Entonces g(X) =

n∑

k=0

skXk ∈ R(X) con n ∈ N ∧ sn = 1, por lo que

0 = g(rα) =n∑

k=0

sk(rα)k =

n∑

k=0

skrkαk.

Entonces, el polinomio f(X) =n∑

k=0

(skrk−n)Xk ∈ Q[X] es monico y cum-

ple que f(α) =

n∑

k=0

(skrk−n)αk = r−n

n∑

k=0

(skrk)αk = r−ng(rα) = 0

Luego, α es algebraico sobre Q.

Supongamos que α es algebraico sobre Q, y veamos que ∃r ∈ R\0 : rαes entero sobre R.

Como α ∈ E es algebraico sobre Q, entonces ∃f(X) =

n∑

k=0

qkXk ∈ Q[X]

monico, es decir, con qn = 1, tal que f(α) = 0.Como Q es el cuerpo de cocientes de R, ∀k ∈ In : ∃rk ∈ R, sk ∈ R\0tales que qk = rk/sk.Como R es un dominio ıntegro, puedo definir m = mcm0≤k≤nsk, y porende ∀k ∈ In : m/sk ∈ R.

Entonces, g(X) =

n∑

k=0

mn−k rkskXk ∈ R[X] es monico, puesto que

mn−n rnsn

= 1qn = 1 y satisface que g(mα) =n∑

k=0

mn−k rksk

(mα)k =

n∑

k=0

mn−k rkskmkαn =

n∑

k=0

mn rkskαk = mn

n∑

k=0

rkskαk = mnf(α) = 0.

Luego, mα es entero sobre R.

∴ α ∈ E es algebraico sobre Q⇔ ∃r ∈ R\0 : rα es entero sobre R.


Capıtulo 3

Extensiones enteras

En este capıtulo, extenderemos las propiedades vistas de las extesiones alge-braicas a las extensiones enteras, prestando atencion a la existencia de idealesno triviales, en particular estudiaremos los ideales primos.

Definicion 3.0.1.

Una extension de anillos R ⊆ E es entera, o E es entero sobre R, cuandotodo elemento de E es entero sobre R.

Observacion 3.0.1.

R como extension de R es trivialmente entero sobre R, pues dado r ∈ R, elpolinomio fr(X) = X − r ∈ R[X] tiene a r como raız.

Proposicion 3.0.2. Sea E una extension de anillos de un ACI R. Entonces:

1. Si E es finitamente generado como R-modulo, entonces E es entero sobreR.

2. Si E = R[α1, · · · , αn], donde α1, · · · , αn son enteros sobre R, entonces Ees un R-modulo finitamente generado y, por ende, es entero sobre R.

3. Si E = R[S] y todo elemento de S es entero sobre R, entonces E es enterosobre R.

Demostracion.

1. Si E es finitamente generado como R-modulo, entonces todo elemento deE cumple con la parte 3. de la Proposicion 2.1.2.

2. Por induccion sobre n.

Si n = 0, entonces E = R, y es trivialmente entero sobre R.

Fijemos E un R-modulo finitamente generado, y sea F = E[α], dondeα es entero sobre R. Por la parte 2. de la Proposicion 2.1.2, α es enterosobre E.Entonces, todo elemento de F es combinacion lineal de algunosβ1, · · · , βℓ ∈ F , con coeficientes en E, que a su vez son combinacionlineal entera de algunos α1, · · · , αk ∈ R.Luego, todo elemento de F es una combinacion lineal con coeficientesen R de αiβj | 0 ≤ i ≤ k ∧ 0 ≤ j ≤ ℓ, y, ergo, F es un R-modulofinitamente generado.



3. Se sigue de 2., ya que 1.0.2 implica queα ∈ R[S]⇒ α ∈ R[α1, · · · , αn] para ciertos α1, · · · , αn ∈ S.

Proposicion 3.0.3.

En una extension de anillos E de R, los elementos de E que son enteros sobreR forman un subanillo de E.

Demostracion.Sea S = α ∈ E | α es entero sobre R.Sean α, β ∈ S.Entonces, α, β ∈ R[α, β], y como R[α, β] es un anillo, α− β, αβ ∈ R[α, β].Como α, β son enteros sobre R, entonces por la Proposicion 3.0.2, el anilloR[α, β] es una extension entera de R.Entonces, R[α, β] ⊆ S, y, por ende, α− β, αβ ∈ S.Luego, S es un subanillo de E.

Proposicion 3.0.4. Sean R ⊆ E ⊆ F anillos conmutativos. Entonces:

1. (Propiedad de la Torre) F es entero sobre R si y solo si F es enterosobre E y E es entero sobre R.

2. Si E es entero sobre R y ϕ : E → S es un homomorfismo de anillos,entonces ϕ(E) es entero sobre ϕ(R).

3. Si E es entero sobre R y R es un cuerpo, entonces E es un cuerpo algebraicosobre R.

Demostracion.

1. Veamos que si F es entero sobre R, entonces F es entero sobre E, yE es entero sobre R.Veamos primero que F es entero sobre E.Dado β ∈ F , como F es entero sobre R, ∃f [X] ∈ R[X] monico talque f(β) = 0. Pero R[X] ⊆ E[X] implica que f(X) ∈ E[X] y, porende, F es entero sobre E.Veamos que E es entero sobre R.Dado β ∈ E, como E ⊆ F y F es entero sobre R, entonces β ∈ F esentero sobre R y, por ende, E es entero sobre R.

Veamos que si F es entero sobre E, y E es entero sobre R, entoncesF es entero sobre R.Sea α ∈ F .Como F es entero sobre E, ∃n ∈ N, βj | j ∈ Z ∩ [0, n− 1] ⊆ E tal

que αn +

n−1∑

k=0

βjαj = 0.

Entonces, si R′ = R[β0, · · · , βn−1] ⊆ E, α es entero sobre R′, y comoE es entero sobre R, 3.0.2 implica que R′ es un R-submodulo de Efinitamente generado.Entonces, nuevamente por 3.0.2, y por la demostracion del item 2.en 2.1.2, R′[α] es un R′-modulo finitamente generado y, por ende, esun R-modulo finitamente generado.



Entonces, como R[α] ⊆ R′[α] y este ultimo es un R-modulo finita-mente generado, R[α] es un R-modulo finitamente generado.Luego, α es entero sobre R y, ergo, F es entero sobre R.

∴ F es entero sobre R⇔ F es entero sobre E y E es entero sobre R.

2. Sea β ∈ ϕ(E), y veamos que β es entero sobre ϕ(R).Por definicion, ∃α ∈ E : ϕ(α) = β.

Como E es entero sobre R, ∃f [X] =

n∑

j=0

rjXj ∈ R[X] donde rn = 1R tal

que f(α) =

n∑

j=0

rjαj = 0R.

Ahora bien, como ϕ es un homomorfismo de anillos, 0S = ϕ(0R) =

ϕ

n∑

j=0

rjαj

=

n∑

j=0

ϕ(rj)(ϕ(α))j =

n∑

j=0

ϕ(rj)βj , con ϕ(rn) = ϕ(1R) =

1S .

Entonces, g[X] =

n∑

j=0

ϕ(rj)Xj ∈ ϕ(R)[X] es monico y satisface que g(β) =

0S .Luego, β es entero sobre ϕ(R), y, ergo, ϕ(E) es entero sobre ϕ(R).

3. Como E es un anillo conmutativo con 1E = 1R, solo debemos ver que∀α ∈ E\0R : ∃α−1 ∈ E.Sea α ∈ E\0R.Si α ∈ R, como R es cuerpo, entonces ∃α−1 ∈ R ⊆ E.Si α /∈ R, por 2.1.2, R[α] es un R-submodulo de E finitamente generado.Entonces, α es algebraico sobre R y R[α] = R(α), que es cuerpo, por locual ∃α−1 ∈ R[α] ⊆ E.Luego, E es un cuerpo y, al ser entero sobre R, es un cuerpo algebraicosobre R.

3.1. Ideales primos

En esta seccion veremos que los ideales primos de las extensiones de u anilloestan ıntimamente relacionados con los ideales primos de de R.

Definicion 3.1.1.

En una extension E de un ACI R, un ideal A de E yace sobre un ideal a de Rsi y solo si A ∩R = a.

Proposicion 3.1.1.

Si E es una extension de un ACI R y A ⊆ E yace sobre a ⊆ R, entonces R/a seidentifica con un subanillo de E/A. Mas aun, si E es entero sobre R, entoncesE/A es entero sobre R/a.

Demostracion.El morfismo inclusion R → E compuesto con la proyeccion E → E/A induceun morfismo R → E/A cuyo nucleo es A ∩ R = a, y un morfismo inyectivo



R/a→ E/A dado por r + a 7→ r + A.Luego, R/a puede ser identificado con un subanillo de E/A.Mas aun, si E es entero sobre R, por la parte 2. de la proposicion 3.0.4 resultaque, dado α ∈ E,α+ A ∈ E/A es entero sobre R/a .

Proposicion 3.1.2.

Sea E una extension entera de un ACI R. Para todo p ⊂ R ideal primo de R,existe P ⊂ E un ideal primo de E que yace sobre p. De hecho, para todo ideal Ade E tal que A ∩ R ⊆ p, existe un ideal primo P de E tal que A ⊆ P y P yacesobre p.

Demostracion.Sea p ⊂ R un ideal primo de R.Observemos que, si A ⊆ E es el ideal trivial A = 0, entonces A ∩ R ⊆ p, y,por ende, siempre existe un ideal A de E tal que A ∩R ⊆ p.Sea A un ideal de E tal que A ∩R ⊆ p.Sea S = B ⊆ E ideal | A ⊆ B ∧B ∩R ⊆ p ordenado por la inclusion.Como A ∈ S, S 6= ∅.Entonces, por el Lema de Zorn, S tiene un elemento maximal P.

Veamos que P es un ideal primo de E.Primero observemos que, como 1 /∈ p y P ∩R ⊆ p, entonces 1 /∈ P.Sean α, β ∈ E\P.Si (P+Eα) ∩ (R\p) = ∅, entonces (P+Eα) ∩R ⊆ p contradiciendo queP es un elemento maximal.Entonces, existe s ∈ (P+ Eα) ∩ (R\p).Analogamente se obtiene que existe t ∈ (P+ Eβ) ∩ (R\p).Por ende, existen π, ρ ∈ P ∧ γ, δ ∈ E tales que s = π + γα ∈ R\p ∧t = ρ+ δβ ∈ R\p.Como p es primo, st = (π + γα)(ρ+ δβ) ∈ R\p.Entonces, P+ Eαβ 6= P y, por ende, αβ /∈ P.Luego, P es un ideal primo de E.

Veamos que P yace sobre p, es decir, que P ∩R = p.Por construccion de P, se tiene que P ∩ R ⊆ p, por lo cual solo restaprobar que p ⊆ P ∩R.Como p ⊆ R, entonces basta con ver que p ⊆ P.Supongamos que existe p ∈ R tal que p ∈ p y p /∈ P.Analogamente a lo realizado en el ıtem anterior, se obtiene que s = π+γp ∈R\p para ciertos π ∈ P y γ ∈ E.

Como E es entero sobre R, existe n ∈ N∧ f(X) = Xn+

n−1∑

j=0

rjXj ∈ R[X]

tal que f(γ) = 0, es decir, γn +

n−1∑

j=0

rjγj = 0.

Multiplicando esta igualdad por pn, como para todo k ∈ Z∩ [0, n] vale quepkγk = (s− π)k, y aplicando el Teorema del Binomio, se tiene

0 = pnγn +

n−1∑

j=0

pn−jrjpjγj = (s− π)n +

n−1∑

j=0

pn−jrj(s− π)j =



= sn− πn−1∑

j=0

(n

j

)

sj(−π)n−1−j + p

n∑

k=1

pk−1rn−k

n−k∑

l=0

(n− kl

)

sl(−π)n−k−l

Entonces, sn = p

[

−n∑

k=1

pk−1rn−ksn−k

]

︸︷︷︸

=r∈R

+π

n−1∑

j=0

(n

j

)

sj(−π)n−1−j +

p

n∑

k=1

pk−1rn−k

n−1−k∑

ℓ=0

(n− kℓ

)

sℓ(−π)n−k−ℓ−1

]

Por ende, sn = pr + δπ, con δ =n−1∑

j=0

(n

j

)

sj(−π)n−1−j+

p

n∑

k=1

pk−1rn−k

n−1−k∑

l=0

(n− kℓ

)

sℓ(−π)n−k−ℓ−1 ∈ E.

Como π ∈ P, entonces sn − pr = δπ ∈ P.Pero sn − pr ∈ R, por lo cual sn − pr =∈ P ∩R = p.Ahora bien, como p ∈ p, entonces de lo anterior resulta que sn ∈ p.Como p es un ideal primo, esto implica que s ∈ p, lo que contradice ques ∈ R\p.Luego, p ⊆ P y, ergo, P yace sobre p.

∴ Para todo ideal A de E tal que A ∩ R ⊆ p, existe un ideal primo P de E talque A ⊆ P y P yace sobre p.

Observacion 3.1.3.

La demostracion de la proposicion anterior nos dice que un ideal que es maximalentre los ideales que yacen sobre p es necesariamente un ideal primo.

Proposicion 3.1.4.

Sea E una extension entera de R. Sean P,Q ⊆ E ideales primos que yacen sobrep un ideal primo de R. Si P ⊆ Q, entonces P = Q.

Demostracion.Solo debemos probar que Q ⊆ P.Sea α ∈ Q.Como E es entero sobre R y Q ⊆ E, entonces existe f(X) ∈ R[X] monico talque f(α) = 0 ∈ P.Por ende, existe un polinomio de grado mınimo en R[X] tal que al evaluarlo enα se obtiene un elemento de P.

Sea g(X) = Xn +

n∑

j=1

rn−jXn−j ∈ R[X] dicho polinomio, es decir, el polinomio

de grado mınimo n ∈ N (positivo) tal que g(α) ∈ P ⊆ Q.

Como α ∈ Q, entonces r0 = g(α)− α

αn−1 +

n−1∑

j=2

rn−jαn−j−1

∈ Q.

Esto implica que r0 ∈ Q ∩R = p = P ∩R.



Entonces, α

αn−1 +

n−1∑

j=2

rn−jαn−j−1

= g(α)− r0 ∈ P.

Pero como g(X) es de grado mınimo, entonces

αn−1 +

n−1∑

j=2

rn−jαn−j−1

/∈ P,

y como P es un ideal primo, resulta que α ∈ P.Luego, Q ⊆ P.

Proposicion 3.1.5.

Sea E es una extension entera de R y P ⊆ E el ideal primo que yace sobre elideal primo p ⊆ R. Entonces, P es un ideal maximal de E si y solo si p es unideal maximal de R.

Demostracion.Por la Proposicion 3.1.1, se puede identificar R\p con un subanillo de E\P, ypor la misma Proposicion, E\P es entero sobre R\p.

Veamos que si p es maximal en R, entonces P es maximal en E.Si p es maximal, entonces R\p es un cuerpo.Entonces, por la parte 3. de la Proposicion 3.0.4, E\P es un cuerpo.Luego, P es maximal en E.

Para probar que siP es maximal en E entonces p es maximal en R, veremosque si p no es maximal en R, entonces P no es maximal en E.Como p no es maximal y R es un ACI, entonces p ( m donde m es unideal maximal de R.Por la Proposicion 3.1.2, existe un ideal primo M de E que yace sobre m

y tal que P ⊆M.Pero como M es primo, P ( M ( E.Luego, P no es maximal.

∴ P es un ideal maximal de E si y solo si p es un ideal maximal de R.

3.2. Dominios enteramente cerrados

Un anillo, por lo general, no tiene una extension entera ”mas grande”. Sinembargo, un dominio tiene una extesion entera mayor, incluıda en su cuerpocociente, que, por 3.0.3, es similar a una clausura algebraica.

Definicion 3.2.1.

La clausura entera de un anillo R en una extension E de R es el subanilloR de E formado por todos los elementos de E que son enteros sobre R. Loselementos de R ⊆ E son enteros algebraicos de E (sobre R).

Definicion 3.2.2.

Un dominio R es enteramente cerrado cuando su clausura entera en su cuer-po cociente es el mismo R, es decir, cuando ningun α ∈ Q(R)\R es entero sobreR.

Observacion 3.2.1.

Como R ⊆ R ⊆ Q(R), entonces Q(R) = Q(R). Mas aun, si α ∈ Q(R) es entero



sobre R, entonces por 3.0.4, α es entero sobre R, por lo cual R es enteramentecerrado.Entonces, todo dominio R tiene una extension entera R ⊆ Q(R) que es entera-mente cerrada.Los dominios enteramente cerrados tambien reciben el nombre de dominiosnormales, y R ⊆ Q(R) es la normalizacion de R.

Proposicion 3.2.2.

Todo dominio de factorizacion unica es enteramente cerrado.

Demostracion.Sea R un DFU y a/b ∈ Q(R) integral sobre R.Podemos asumir que ningun elemento ireducible de R divide a a y a B ensimultaneo (que a y b son relativamente primos).Como a/b es integral sobre R, entonces existe

f(X) = Xn +

n∑

j=1

rn−jXn−j ∈ R[X] tal que f(a/b) = 0.

Por ende, an +

n∑

j=1

rn−jan−jbj = bnf(a/b) = 0,

y esto implica que −an = b

n∑

j=1

rn−jan−jbj−1

.

Entonces, si un elemento irreducible p ∈ R divide a b, p debe dividir a an, y,al ser p irreducible, resulta que p divide a a, lo que contradice que a y b sonrelativamente primos.Por ende, ningun elemento irreducible de R divide a b.Ahora bien, como R es un DFU, b tiene una factorizacion unica en irreduciblessalvo unidades y asociados, pero si ningun irreducible de R divide a b, entoncesb debe ser una unidad.Luego, a/b ∈ R y, ergo, R es enteramente cerrado.

Ejemplo 3.2.3.

Por la proposicion anterior, Z es enteramente cerrado, ası como tambien lo esK[X1, · · · , Xn] para todo cuerpo K y todo natural n.

Proposicion 3.2.4.

Sea R un dominio, y E una extension algebraica de su cuerpo cociente Q. En-tonces, la clausura entera R de R en E es un dominio enteramente cerrado cuyocuerpo cociente es E.

Demostracion.

Veamos que el cuerpo cociente de R es E.Sabemos que todo α ∈ E es algebraico sobre Q, y por 2.1.3, existe rα ∈ Rtal que rαα es entero sobre R.Luego, E = Q(R).

Veamos que R es enteramente cerrado.Sea α ∈ E entero sobre R.Entonces R es entero sobre R por el item 1. de 3.0.4, y debido a que α ∈ R.Luego, R es enteramente cerrado.



Ejemplo 3.2.5. Muchos ejemplos de dominios enteramente cerrados provienende las extensiones cuadraticas de Q, que son cuerpos Q(

√m) ⊆ C, con

m ∈ Q. Se puede asumir que m ∈ Z y que m es libre de cuadrados (es decir,que si n2 divide a m, entonces n = 1). En efecto, Q(

√

a/b) = Q(√ab) pues√

ab = b√

a/b; y Q(√m) = Q(

√

m/n2) si n2 divide a m.


Capıtulo 4

Dominios de Dedekind

Kummer y Dedekind estudiaron los anillos de enteros algebraicos y descu-brieron, algo antes de 1871, que sus ideales tienen mejores propiedades aritmeti-cas que sus elementos. Los dominios con estas propiedades son llamados Domi-nios de Dedekind. En esta seccion los definiremos y daremos algunas propiedadesbasicas, que utilizaremos mas adelante.

4.1. Biografıa(s)

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de octubre de 1831 - 12 de febrero de1916) nacio en Brunswick y en 1850 entro en la Universidad de Gotinga consolidos conocimientos de matematicas.Recibio su doctorado en 1852, siendo elultimo alumno de Gauss. Sus campos de trabajo principales fueron el algebray la teorıa de numeros algebraicos, area que en buena medida creo. Se dicede el que fue el primero en impartir clases universitarias sobre la teorıa delas ecuaciones de Galois. Fue ademas el primero en comprender el significadofundamental de las nociones de grupo, cuerpo, Ideal en el campo del algebra,la teorıa de numeros y la geometrıa algebraica. Con su trabajo en la teorıade numeros algebraica sento muchos de los metodos caracterısticos del algebramoderna, hasta el punto de que Emmy Noether solıa repetir que “todo esta yaen Dedekind”.

Ernst Eduard Kummer (29 de enero de 1810 en Sorau, Brandeburgo, Prusia -14 de mayo de 1893 en Berlın, Alemania) fue un matematico aleman. Altamentecapacitado para la matematica aplicada, Kummer entreno en balıstica a oficialesde la armada alemana. Kummer probo el ultimo teorema de Fermat para unaclase considerable de exponentes primos. Fue durante su estudio de lo que luegose llamarıan extensiones de Kummer de cuerpos que estudio los anillos de enterosalgebraicos. Las extensiones de Kummer resultan significativas en la teorıa deextensiones cuadraticas, y la teorıa predecesora de las formas cuadraticas. Comotal, aun es el fundamento de la teorıa de cuerpos de clases.



4.2. Ideales fraccionarios

Definicion 4.2.1.

Un ideal fraccionario de un dominio R es un subconjunto de su cuerpo co-ciente Q de la forma a/c = a/c | a ∈ a, donde a es un ideal de R y c ∈ R\0.Llamaremos F(R) al conjunto de todos los ideales fraccionarios de R.

Observacion 4.2.1.

1. Los ideales fraccionarios de R son submodulos de Q.

2. Todo ideal a de R es un ideal fraccionario, pues a = a/1.Estos ideales reciben el nombre de ideal fraccionario enteroRecıprocamente, un ideal fraccionario a/c contenido en R es un ideal deR pues es un submodulo de R. Entonces, a/c = a : c = x ∈ R | cx ∈ a.

3. Claramente, no todos los ideales fraccionarios de R estan contenidos enR.

Lema 4.2.2.

Sea R un dominio y Q su cuerpo cociente. Entonces, A ⊆ Q un R-submoduloes un ideal fraccionario si y solo si existe c ∈ R\0 tal que cA ⊆ R.

Demostracion.

Veamos que si A ⊆ Q es un ideal fraccionario, entonces existe c ∈ R\0tal que cA ⊆ R.Por definicion, existen a ⊆ R un ideal y c ∈ R\0 tales que A = a/c.Entonces, todo elemento de A es de la forma a/c para cierto a ∈ a ⊆ R,por lo que c(a/c) = a ∈ R.Luego, cA ⊆ R.

Veamos que si existe c ∈ R\0 tal que cA ⊆ R, entonces A es un idealfraccionario de R.Como A es un R-submodulo de Q y cA ⊆ R con c 6= 0, entonces a = cAes un ideal de R no nulo.Luego, A = a/c y, ergo, A es un ideal fraccionario de R.

∴ A es un ideal fraccionario si y solo si existe c ∈ R\0 tal que cA ⊆ R.

Proposicion 4.2.3.

Sea R un dominio y Q su cuerpo cociente. Todo submodulo finitamente generadode Q es un ideal fraccionario de R.Si R es Noetheriano, entonces todo ideal fraccionario es finitamente generadocomo submodulo.

Demostracion.Sean M ⊆ Q un submodulo finitamente generado.Entonces, existen n ∈ N y ∀j ∈ N ∩ [1, n] : qj = aj/cj ∈ Q\0 los generadores

de M , es decir, tales que M =

n∑

j=1

Rqj .

Ahora bien, como R es un dominio, c =

n∏

j=1

cj 6= 0 y si ∀j ∈ N ∩ [1, n] :



bj = aj

n∏

k=1

k 6=j

ck 6= 0.

Entonces, se tiene quen∑

j=1

Rqj =n∑

j=1

Rbj/c =

n∑

j=1

Rbj

/

c.

Luego, M es un ideal fraccionario de R.

Supongamos que R es Noetheriano, y sea a/c un ideal fraccionario de R.Por 0.2.9, como a es un ideal de R, es finitamente generado y, por ende, existe

G = bj | j ∈ N ∩ [1, n] tal que a =

n∑

j=1

Rbj .

Luego, a/c =n∑

j=1

Rbj/c es un submodulo de Q finitamente generado.

Definicion 4.2.2.

Sea R un dominio, Q su cuerpo cociente y A un ideal fraccionario de R.

1. Diremos que A es finitamente generado cuando es finitamente generadocomo un submodulo de Q.

2. Diremos que A es principal si y solo si existe q ∈ Q tal que A = qR.

Observacion 4.2.4.

Dado R un dominio, sean Q su cuerpo cociente y A un ideal fraccionario enterode R. Entonces, se tiene que A es principal como ideal fraccionario si y solo sies principal como ideal de R.

Proposicion 4.2.5. Sean A,B ideales fraccionarios de un dominio R.

1. A ∩B es un ideal fraccionario de R.

2. A+B = a+ b | a ∈ A ∧ b ∈ B es un ideal fraccionario de R.

3. AB = n∑

j=1

ajbj

∣∣∣ n ∈ N ∧ ∀j ∈ N ∩ [1, n] : aj ∈ A, bj ∈ B

es un ideal

fraccionario de R.

4. La multiplicacion de ideales fraccionarios en 3. es conmutativa y asocia-tiva.

5. Si A 6= 0 es finitamente generado, entonces B :Q A = q ∈ Q | qA ⊆ B esun ideal fraccionario de R; en particular, A′ = R :Q A = q ∈ Q | qA ⊆ Res un ideal fraccionario de R.

6. Si A = a/c es un ideal fraccionario de R, entonces A = ac′ donde c = Rc.

Demostracion.Como A,B son ideales fraccionarios, por el lema 4.2.2, entonces existen a, b ∈R\0 tales que aA ⊆ R y bB ⊆ R.

1. Observemos que a(A ∩B) ⊆ aA ⊆ R.Luego, por 4.2.2, A ∩B es un ideal fraccionario de R.



2. Observemos que, como R es conmutativo, por la definicion de A+B setiene que ab(A+B) = baA+ abB ⊆ bR+ aR ⊆ R+R ⊆ R.Luego, por 4.2.2, A+B es un ideal fraccionario de R.

3. Observemos que, como R es conmutativo, por la definicion de AB, se tieneque abAB = b(aA)B ⊆ bRB = bB ⊆ R.Luego, por 4.2.2, AB es un ideal fraccionario de R.

4. Observemos que A,B ⊆ Q, donde Q es el cuerpo de cocientes de R, y Res un dominio.

Como la definicion del producto AB es por sumas finitas (en Q) deproductos (en Q) entre un elemento de A y otro de B, y Q es uncuerpo, entonces AB = BA.Luego, la multiplicacion es conmutativa.

Nuevamente, como la definicion del producto AB es mediante ope-raciones en Q que es cuerpo, la multiplicacion esulta asociativa.

Luego, la multiplicacion definida en 3. es conmutativa y asociativa.

5. Como A es finitamente generado, procediendo de igual forma que en la

demostracion de 4.2.3 se obtiene que A =

n∑

j=1

Rbj

/

c

para ciertos bj ∈ R y c ∈ R\0.Como R es un dominio, tiene un elemento identidad, por lo cual d/c ∈ A,

donde d =

n∑

j=1

bj ∈ R.

Entonces, por definicion de B :Q A, como R es conmutativo resulta quebd(B :Q A) = cb(d/c)(B :Q A) ⊆ cbB ⊆ cR ⊆ R.Luego, por 4.2.2 B :Q A es un ideal fraccionario de R.

6. Observemos que c′ = R : Rc = q ∈ Q | qc ∈ R = r/c | r ∈ R

Veamos que ac′ ⊆ A.Sea α ∈ ac′.

Por la observacion inicial, α =n∑

j=1

aj(rj/c), donde aj | j ∈ N ∩

[1, n] ⊆ a y rj | j ∈ N ∩ [1, n] ⊆ R.

Ahora bien, α =

n∑

j=1

aj(rj/c) =( n∑

j=1

ajrj

)

︸︷︷︸

∈a

/

c ∈ a/c = A.

Luego, ac′ ⊆ A.

Veamos que A ⊆ ac′.Sea a/c ∈ a/c = A un elemento arbitrario de A.Como R es un dominio, tiene identidad 1 ∈ R, por lo quea/c = a(1/c) ∈ ac′ = A.Luego, A ⊆ ac′.

∴ A = ac′.



Observacion 4.2.6.

1. En la proposicion anterior, si A y B son ideales fraccionarios enteros deR (es decir, son ideales de R), entonces el producto definido en 3. es elusual producto de ideales visto en el primer capıtulo.

2. Por los items 3. y 4. de la proposicion anterior, F(R) es un monoideconmutativo, con neutro el mismo R.

Definicion 4.2.3.

Sea R un dominio y A un ideal fraccionario de R. Diremos que A es inversiblesi y solo si existe un ideal fraccionario B de R tal que AB = R.Tal ideal fraccionario B recibe el nombre de inverso de A.

Observacion 4.2.7.

1. Por definicion, resulta que los ideales fraccionarios inversibles resultanaquellos elementos de F(R) que poseen inversa por el producto definidoen 4.2.5.

2. Sea A un ideal fraccionario de un dominio R.Entonces, A′ = R : A, por lo cual AA′ = A′A ⊆ R.Ahora bien, si A es inversible, AB = BA = R para cierto ideal fracciona-rio B, por lo cual B ⊆ A′.

Proposicion 4.2.8. Sea R un dominio, Q su cuerpo cociente. Entonces

1. Todo ideal fraccionario inversible es finitamente generado.

2. Un ideal fraccionario de R A es inversible si y solo si A es finitamentegenerado y AA′ = R.

3. Todo ideal principal no nulo es inversible.

Demostracion.

1. Sea A un ideal fraccionario inversible de R.Entonces, AB = R para cierto ideal fraccionario B de R.Entonces, existen aj | j ∈ N∩ [1, n] ⊆ A y bj | j ∈ N∩ [1, n] ⊆ B tales

que 1 =

n∑

j=1

ajbj .

Luego,n∑

j=1

Raj ⊆ A.

Recıprocamente, por el item 2. de la observacion 4.2.7, se tiene que A ∈ B′.Entonces, dado a ∈ A, resulta a ∈ B′, y ademas

a =

n∑

j=1

aj (bja)︸︷︷︸

∈R

∈n∑

j=1

Raj .

Luego, A ⊆n∑

j=1

Raj .

∴ A =

n∑

j=1

Raj , y, ergo, A es finitamente generado.



2. Supongamos que A es inversible, y veamos que A es finitamente ge-nerado y AA′ = R.Por el item anterior, A es finitamente generado.Por otro lado, como es inversible, AB = R para cierto ideal fraccio-nario B de R.Vimos en 4.2.7 que B ⊆ A′.Pero A′ = A′R = (A′A)B ⊆ RB = B.Luego, B = A′ y, ergo, AA′ = R.

Supongamos que A es finitamente generado y AA′ = R, y veamosque A es inversible.Por el item 5. de la Proposicion 4.2.5, A′ es un ideal fraccionario, ypor hipotesis AA′ = R.Luego, A es inversible.

∴ A es inversible ⇔ A es finitamente generado y AA′ = R

3. Si A es un ideal principal no nulo, entonces A = Ra para cierto a ∈ R\0.Entonces, A′ = R/a, por lo que AA′ = R.Luego, A es finitamente generado y AA′ = R y, ergo, por el item anterior,A es inversible.

Observacion 4.2.9.

Sea R un dominio y A un ideal fraccionario inversible de R.

1. Si B,C son dos ideales fraccionarios de R tales que AB = AC, entoncesB = C.En efecto, como A es inversible, por el item 2. de la proposicion 4.2.5,B = RB = A′AB = A′AC = RC = C.

2. Por la parte 2. de la Proposicion 4.2.5, resulta que el inverso de A esunico, y es A′.

Ejemplo 4.2.10.

Todo ideal principal en un dominio ıntegro es inversible.En efecto, si Q es su cuerpo cociente, y A = (a) donde a ∈ R\0, entoncesexiste b = 1/a ∈ Q, por lo que, si B = Rb ⊆ Q, resulta que B es un idealfraccionario tal que AB = R y, ergo, A es inversible.

Nota 4.2.11. Finalizaremos la seccion definiendo y caracterizando los espera-dos Dominios de Dedekind, en lo cual los ideales fraccionarios juegan un rolfundamental. Para ello, necesitaremos el siguiente Lema:

Lema 4.2.12.

Sean R un dominio, n,m ∈ N, P = pi | i ∈ In y Q = qj | j ∈ Im dosconjuntos de ideales primos de R, donde todo elemento de P es inversible.

Si a =

n∏

i=1

pi =

m∏

j=1

qj, entonces, m = n y es posible reenumerar los ındices tal

que ∀i ∈ N ∩ [1, n] : pi = qi

Demostracion. Por induccion en n.



Si n = 0, entonces a = R y m = 0, pues, de lo contrario, resultarıa que,por 1.0.2, a ⊆ q1 ( R, pues q1 es un ideal primo, lo que es absurdo.

Supongamos n ≥ 1. Entonces se puede elegir un elemento de P, quesin perdida de generalidad puede ser pn, que no contenga propiamentea ningun pi, para i ∈ N ∩ [1, n− 1].

Como a =

m∏

j=1

qj =

n∏

i=1

pi ⊆ pn, con pn primo, por la Observacion 0.1.15

existe jn ∈ N ∩ [1,m] tal que qjn ⊆ pn.

Ahora bien, a =n∏

i=1

pi =m∏

j=1

qj ⊆ qjn , con qjn tambien primo.

Aplicando nuevamente la Observacion 0.1.15, existe in ∈ N∩ [1, n] tal quepin ⊆ qjn ⊆ pn.Por la minimalidad de pn, resulta que in = n, y, por ende, qjn = pn.Reindexando, podemos tener que jn = m, y ası, por la parte 1. de 4.2.9,

como pn es inversible, se obtiene quen−1∏

i=1

pi =m−1∏

j=1

qj .

Por hipotesis inductiva, m− 1 = n− 1 y, reindexando, ∀i ∈ N∩ [1, n− 1] :pi = qi.Luego, m = n ∧ ∀i ∈ N ∩ [1, n] : pi = qi.

Definicion 4.2.4.

Diremos que un dominio R es un Dominio de Dedekind si y solo si satisfacealguna de las condiciones equivalentes del siguiente Teorema:

Teorema 4.2.13.

Sea R un dominio. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Todo ideal fraccionario entero no trivial de R es invertible;

2. Todo ideal fraccionario no nulo es inversible;

3. Todo ideal no trivial de R es un producto de ideales primos de R1;

4. Todo ideal no trivial de R puede ser escrito unicamente como un productode potencias positivas de distintos ideales primos de R1.

Luego, R es Noetheriano, y todo ideal primo de R es maximal.

Demostracion.

Veamos que 1. implica 2..Sea A = a/c un ideal fraccionario de R, y sea c = Rc.Por hipotesis, a es inversible.Ası, la parte 6. de 4.2.5 y 4.2.8 implican que aa′ = R.Entonces, Aa′c = ac′a′c = aa′c′c = R.Luego, A es inversible.

1En 3. y en 4., los productos son finitos y admiten tanto los productos de un unico termino

como el producto vacıo R.



Veamos que 2. implica que R es Noetheriano.Por hipotesis, todo ideal fraccionario de R es inversible.Y por el item 1. de la Proposicion 4.2.8, es finitamente generado.En particular, todo ideal fraccionario entero de R es finitamente generado.Luego, por 0.2.9, R es finitamente generado.

Veamos que 2. implica 3..Supongamos que 3. es falso.Entonces, B = a ⊂ R ideal | a no es producto de ideales primos 6= ∅.Por 2., R es Noetheriano, por lo que B tiene un ideal maximal (realmentemalo) b.Ahora bien, b no es un ideal primo ni es R, ya que, al estar en B, no esproducto de un unico termino ni el producto vacıo (que da R).Entonces, existe un ideal maximal de R (y, por ende, primo) p tal queb ( p.Por 2., p es inversible y, por ende, b = bp′p y bp′ ⊆ pp′ = R, por lo cualbp′ es un ideal de R.Ademas, b = bp′p ⊆ bp′ y b ( bp′ pues b′bp = p ⊆ R = b′bpp′.Por maximalidad de b, bp′ 6∈ B, por lo que b = bp′p es un producto deideales primos, lo que es absurdo.Luego, 3. es verdadero.

Veamos que 3. implica 4..Un producto de ideales primos es un producto de potencias positivas deideales primos distintos, cuya unicidad se deduce de 4.2.12.

Veamos que 4. implica 3..Claramente, un producto de potencias positivas de distintos ideales primoses un producto de ideales primos.

Veamos que 3. implica 1..

• Veamos primero que 3. implica que todo ideal primo invertible p deR es maximal.Sea a ∈ R\p, y veamos que es ideal p+Ra es el mismo R.Por 3., existen P = pi | i ∈ Ir y Q = qj | j ∈ Is dos conjuntosde ideales primos de R tales que:

p+Ra =r∏

i=1

pi ∧ p+Ra2 =s∏

j=1

qj .

Aplicando la proyeccion x 7→ x de R en el dominio R/p, se obtiene:

s∏

j=1

qj =

s∏

j=1

qj = p+Ra2 = Ra2 = (Ra)2 = (p+Ra)2 =

r∏

i=1

pi2

Dado que R/p es un dominio, por 4.2.8, Ra y Ra2 son inversibles,yde esto se sigue que ∀i ∈ Ir : pi es inversible.Entonces, por 4.2.12, s = 2r y todo elemento de Q puede reindexarsede tal manera que ∀i ∈ Is : pi = q2i−1 = q2i.Ahora bien, el nucleo de la proyeccion es p, y se tiene que ∀i ∈ Ir :



p ⊆ p+Ra ⊆ pi ∧ ∀j ∈ Is : p ⊆ p+Ra2 ⊆ qj .Entonces, por 0.1.16, ∀i ∈ Ir : pi es un ideal primo deRa y ∀j ∈ Is : qjes un ideal primo de Ra2.Como la proyeccion R → R induce una correspondencia biunıvocaentre los ideales de R que contienen p y los ideales primos de R,resulta que ∀i ∈ Is : q2i−1 = q2i = pi y, por ende, p+Ra

2 = (p+Ra)2.Entonces, p ⊆ p+Ra2 ⊆ (p+Ra)2 ⊆ p2 +Ra.Observemos que si tomamos un elemento de p2 + Ra que este en p,b = x+ ya con x ∈ p2 y r ∈ R, resulta que ya ∈ p, y como p es primoy a 6∈ p, esto implica que y ∈ p.Entonces, p ⊆ p2 + pa = p(p + Ra) ⊆ p por 1.0.2, por lo cual p =p(p + Ra). Luego, p + Ra = p′p(p + Ra) = p′p = R y, ergo, p esmaximal.

• Para finalizar la gracia, veamos ahora que efectivamente 3. implica1., esto es, que si p es un ideal fraccionario entero no trivial de R,entonces es inversible.Sea a ∈ p\0.Por 3., existe P = pi | i ∈ Ir un conjunto de ideales primos de R

tal que Ra =

r∏

i=1

pi.

Como p es un ideal primo y Ra ⊆ p, ∃k ∈ Ir tal que pk ⊆ p.Pero, por lo anterior, pk es un ideal maximal.Entonces, p = pk.Ahora bien, 4.2.8 implica que Ra es inversible y, por ende, ∀i ∈ Ir : pies inversible.En particular, pk = p lo es.Luego, p es inversible.

4.3. Enteros Algebraicos

En esta seccion, siguiendo los pasos de Dedekind, mostraremos que los en-teros algebraicos de cualquier extension de Q forman un Dominio de Dedekind.Recordemos que la clausura entera de un anillo R en una extension E de R esel subanillo R ⊆ E de todos los elemento de E que son enteros sobre R. Loselementos de R son los enteros algebraicos de E (sobre R).

Proposicion 4.3.1.

Sean R un dominio enteramente cerrado, y E una extension finita y separablede su cuerpo cociente Q. La clausura entera de R en E esta contenida en unsubmodulo finitamente generado.

Demostracion.Por el Teorema del elemento primitivo, E = Q(α) para cierto α ∈ E.Podemos considerar que α es entero sobre R. En efecto, si fuese algebraico (noentero) sobre Q, entonces por 2.1.3, existirıa r ∈ R\0 tal que rα es enterosobre R, y quedarıa E = Q(rα).Sea n = [E : Q].Como E es separable sobre Q, α tiene n conjugados distintos en la clausura



algebraica Q de Q, que denominaremos αj para j ∈ In, y que tambien sonenteros sobre R por ser todas las raıces del polinomio g(X) ∈ R[X] de grado ntal que g(α) = 0.Ademas, F = Q(α1, · · · , αn) es una extension de Galois de Q por ser el cuerpode descomposicion de g.

Sea δ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1α1 α2 · · · αn...

.... . .

...αn−11 αn−1

2 · · · αn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∏

i>j

(αi − αj) ∈ E\0

Calculando δ por filas, se obtienen cofactores γjk tales que:

si i = k, entonces

n∑

j=1

αijγik = δ;

si i 6= k, entoncesn∑

j=1

αijγik = 0.

Ademas, todo Q-automorfismo de F permuta los conjugados de α, enviando δa ±δ, y fijando δ2, lo que implica que δ2 ∈ Q.Sea β entero sobre R.

Entonces, β = f(α) para algun polinomio f(X) =

n−1∑

s=0

bsXs ∈ Q[X].

Veamos ahora que los conjugados de β son βj = f(αj) ∀j ∈ Z ∩ [0, n− 1].Sea ∀ℓ ∈ In : σℓ un Q-automorfismo de Q.Entonces ∀ℓ ∈ In : βℓ = σℓ(β) es un conjugado de β.

Dado ℓ ∈ In, como σℓ es un Q-automorfismo, βℓ = σℓ(f(α)) = σℓ

(n−1∑

s=0

bsαs

)

=

n−1∑

s=0

σℓ(bs)σℓ(αs) =

n−1∑

s=0

bs(σℓ(α))s = f(σℓ(α)) donde σℓ(α) es un conjugado

de α y, por ende, σℓ(α) = αj para algun j ∈ In.Luego, reindexando, los conjugados de β son f(αj) = βj ∀j ∈ Z ∩ [0, n− 1].

Observemos que ∀j ∈ Z ∩ [0, n− 1] : βj es, como β, entero sobre R.

Entonces,n∑

j=1

βjγjk =n−1∑

i=0

n∑

j=1

biαijγjk = bkδ y, por ende, bkδ

2 =n∑

j=1

βjγjkδ.

Ahora bien, como ∀j ∈ In : αj y βj son enteros sobre R, δ y γjk lo son.Entonces, ∀k ∈ In : bkδ

2 ∈ Q es entero sobre R.Pero, por hipotesis, R es enteramente cerrado, con lo cual resulta que ∀k ∈ In :bkδ

2 ∈ R.

Entonces, β =

n−1∑

s=0

bsαs pertenece al submodulo de E generado por

A = αj/δ2 | j ∈ Z ∩ [0;n − 1], que tambien contiene a todo elemento de Eque es integral sobre R.

∴ La clausura algebraica de R en E esta contenida en un submodulo de Efinitamente generado.



Teorema 4.3.2.

Sea R un dominio de Dedekind con cuerpo cociente Q. Entonces, la clausuraentera de R en cualquier extension finita de Q es un dominio de Dedekind.

Demostracion. Por 3.2.4 y 4.3.1, la clausura entera R de R en una extensionfinita de Q es enteramente cerrada y esta contenida en un R-modulo finitamentegenerado M .Entonces, los ideales de R son submodulos de M , por lo que R es Noetheriano,debido a 0.2.9 y 0.2.12.Si P es un ideal primo no nulo de R, entonces p = P ∩ R es un ideal primo deR, y es no nulo ya que, si lo fuera, por 3.1.4, implicarıa que P lo es.Entonces, p es maximal, y P es maximal por 3.1.5.Luego, R es Dedekind.

Corolario 4.3.3.

En toda extension de cuerpos finita de Q, los enteros algebraicos forman undominio de Dedekind.

Demostracion.Como Z es un dominio de Dedekind, el corolario se deduce de 4.3.2.

Observacion 4.3.4. Debido a este corolario, los ideales de cualquier anillo deenteros algebraicos (sobre Z) se factorizan como producto de potencias positivasde ideales primos de forma unica.


Capıtulo 5

Grupo de Galois

En este capıtulo usaremos las propiedades de los enteros algebraicos paraobtener elementos de Grupos de Galois (sobre Q) con conocidas estructurascıclicas.

Proposicion 5.0.1.

Sean R un DIP, Q su cuerpo cociente, y J el anillo de enteros algebraicos deuna extension de cuerpos E de Q. Existe una base de E sobre Q que genera Jcomo un R-modulo. Luego, J ∼= Rn (como R-modulo), donde n = [E : Q], yRn es el R-modulo de todas las n-uplas (r1, · · · , rn) de elementos de R, con lasuma componente a componente y la accion r · (r1, · · · , rn) = (rr1, · · · , rrn).

Demostracion.Por 4.3.1, J esta contenido en un R-submodulo M de E finitamente generado.Entonces, M es un R-modulo libre de torsion y finitamente generado, por locual debe existir n ∈ N tal que J ⊂M tiene una base B = βj | j ∈ In.Esto implica que cada elemento de J se puede escribir como una unica com-binacion lineal de elementos de B, por lo que el morfismo Rn → J dado por(r1, · · · , rn) 7→ r1β1 + · · ·+ rnβn es un isomorfismo de R-modulos.Veamos que B es tambien una base de E sobre Q.Para probar la independencia lineal, supongamos que existen q1, · · · , qn ∈ Q ta-les que q1β1+· · ·+qnβn = 0. Entonces, al ser una cantidad finita de elementos deQ, existe r ∈ R\0 tal que ∀j ∈ In : rqj ∈ R, por lo cual rq1β1+· · ·+rqnβn = 0es una combinacion lineal de los elemento de B con coeficientes en R igualadaa 0. Entonces, ∀j ∈ In : rqj = 0 por lo cual ∀j ∈ In : qj = 0. Luego, sonlinealmente independientes.Para terminar, debemos ver que B genera E.Dado α ∈ E, por 2.1.3, exister ∈ R\0 tal que rα ∈ J , y como B es base de J como R-modulo, existenr1, · · · , rn ∈ R tales que rα = r1β1 + · · · + rnβn. Luego, α = (r1/r)β1 + · · · +(rn/r)βn y, ergo, B genera a E.

Lema 5.0.2.

Sea R un anillo conmutativo, n ∈ N y P = pj | j ∈ In un conjunto de

ideales primos de R. Si un ideal a ⊆ R esta contenido en

n⋃

j=1

pj, entonces existe

i ∈ In : a ⊆ pi



Demostracion.Observemos que si n = 1, el resultado es trivial.Supongamos, entonces, que n > 1 y ∀j ∈ In : a 6⊂ pj .Podemos suponer que n es minimal, en el siguiente sentido:

∀j ∈ In : a 6⊂⋃

i∈In\j

pi

En efecto, si n no es minimal, podemos sacar los ideales de P superfluos, y asıobtener n′ minimal.

Entonces, ∀j ∈ Ij : ∃aj ∈ a

∖⋃

i∈In\j

pi, obteniendo que

a1 +

n∏

j=2

aj ∈ a =

n⋃

j=1

pj y, por ende, ∃k ∈ In : a1 +

n∏

j=2

aj ∈ pk.

Pero si k > 1, como ak ∈ pk por definicion, entoncesn∏

j=2

aj ∈ pk, con lo cual

a1 ∈ pk, contradiciendo la definicion de a1.

Entonces, k = 1. Sin embargo, esto implicarıa quen∏

j=2

aj ∈ p1, y como p1 es un

ideal primo, existirıa ℓ > 1 tal que aℓ ∈ p1, contradiciendo la definicion de aℓ.Luego, debe existir i ∈ In : a ⊆ pi.

Proposicion 5.0.3.

Sea R un dominio enteramente cerrado, Q su cuerpo cociente, J el anillo detodos los enteros algebraicos de una extension de Galois finita E de Q, y seap un ideal primo de R. Entonces, existen solo finitos ideales primos de J queyacen sobre p, y son todos conjugados en E.

Demostracion.Por 3.1.2 sabemos que existe P ideal primo de J que yace sobre p.Sea G = Gal(E : Q)Si α es entero sobre R, entonces ∀σ ∈ G : σ(α) es entero sobre R, por lo cual la

norma N(α) =∏

σ∈G

σ(α) es entero sobre R.

Como N(α) ∈ Q, esto implica que N(α) ∈ R.

Sean P y Q ideales primos de J que yacen sobre p.Dado α ∈ Q, entonces N(α) ∈ Q ∩ R ⊆ P y, por ende, σ(α) ∈ P para algun

σ ∈ G, lo cual implica que Q ⊆⋃

σ∈G

σP.

Por 5.0.2, Q esta contenido en algun σP.Entonces, como σP y Q yacen ambos sobre p, por 3.1.4 se obtiene que σP = Q.Luego, P y Q son conjugados en E. Mas aun, como G es finito, hay solo finitosideales primos de J que yacen sobre p.

Nota 5.0.4. Ahora nos enfocaremos en R = Z, conocido DIP.



Proposicion 5.0.5.

Sea J el anillo de los enteros algebraicos de una extension de Galois finita Ede Q, y sean P1, · · · ,Pr los ideales primos que yacen sobre pZ, donde r es unnatural y p es un primo dado. Entonces:

Todos los J/Pi son isomorfos;

∀i ∈ Ir : E ∼= J/Pi es una extension de Galois finita de Zp

Gal(E : Zp) es cıclico;

|E| = pk, donde, kr ≤ n = [E : Q].

Demostracion.Observemos que si σ ∈ Gal(E : Q), entonces σJ = J .Luego, por 5.0.3, todos los J/Pi son isomorfos, y queda probado el primer punto.

Como pZ es un ideal primo de Z, por 0.1.23, es maximal, por lo cual, debidoa 3.1.5, ∀i ∈ Ir : Pi es maximal en E.Entonces, ∀i ∈ Ir : E ∼= J/Pi es un cuerpo.Ahora bien, las proyecciones J → J/Pi inducen un homomorfismo de anillosψ : J → J/P1 × · · · × J/Pr dado por ψ(α) = (α+P1, · · · , α+Pr).Por 0.1.18, ψ resulta suryectivo.

Ademas, A = Kerψ =

r⋂

i=1

Pi.

Luego, por el Primer Teorema de Isomorfismo (para anillos), J/A = Er.

Como p ∈ pZ ⊆ A, entonces pJ ⊆ A.Por 5.0.1, J ∼= Zn como grupo abeliano (Z-modulo).Entonces, J/pJ ∼= Zn/pZn ∼= (Z/pZ)n es finito, con pn elementos.Pero por el Tercer Teorema de Isomorfismos, J/A ∼= (J/pJ)

/(A/pJ , por lo cual

J/A es finito (con a lo sumo pn elementos) y, por ende, E es finito con pk

elementos para cierto k ∈ N.Luego, como E

r ∼= J/A tiene a lo sumo pr elementos, kr ≤ n, y con estoprobamos el ultimo punto.

Por 0.3.26, el cuerpo finito E de pk elementos es el cuerpo de descomposicion

del polinomio (separable) Xpk −X ∈ Zp[X].Luego, E es una extension de Galois finita de Zp.

Para finalizar la demostracion, veamos que Gal(E : Zp) es cıclica, que es eltercer ıtem.Por el Lema 0.3.6, la aplicacion ϕp : Fpk → Fpk dada por x 7→ xp es un

Zp-automorfismo de Fpn , y, por ende, ϕp ∈ Gal(E : Zp).Como E es de Galois sobre Zp, entonces |Gal(E : Zp)| = [E : Zp] = k.Veamos, entonces, que ϕp tiene orden k en este grupo, y esto implicarıa lo quequeremos.Con la notacion del Lema 0.3.6, observemos que ϕℓp = ϕpℓ .

Si ϕℓp es la identidad en Fpk , esto quiere decir que ∀x ∈ Fpk : xpℓ

= x.

Entonces, ∀x ∈ Fpk : x es raız del polinomio Xpℓ −X ∈ Zp, que tiene grado pℓ

y, por ende, tiene como maximo pℓ raıces en el cuerpo Fpk .



Pero como este polinomio se anula en los pk elementos de Fpk , entonces pk ≤ pℓ,

con lo cual k ≤ ℓ.Entonces, el orden de ϕp es mayor o igual que k en Gal(E : Zp).Ahora bien, |Gal(E : Zp)| = k, y de esto resulta que el orden de ϕp es k.Luego, todo elemento de Gal(E : Zp) es una potencia de ϕp y, ergo, Gal(E : Zp)es cıclico, tal y como querıamos probar.Ası, con este punto, queda probada toda la proposicion.

Ahora, por fin, probare el resultado principal de este trabajo, por el cual hedesarrollado todo el contenido previo.

Teorema 5.0.6.

Sean q ∈ Z[X] un polinomio monico irreducible de grado n ∈ N, y p ∈ N unnumero primo. Sean q la imagen de la proyeccion de q en Zp[X], y q1, · · · , qs ∈

Zp[X] de grados d1, · · · , ds respectivamente, tales que q =s∏

j=1

qj. Entonces, para

casi todo primo p, los polinomios q1, · · · , qs son distintos en Zp[X], y el grupode Galois de q sobre Q contiene un producto de ciclos disjuntos de ordenesd1, · · · , ds.Demostracion.Observemos que, como q es monico, las n raıces de q en C son enteras sobre Z.Sean α1, · · · , αn dichas raıces, y E = Q(α1, · · · , αn) el cuerpo de descomposicionde q.Sean J, r,P1, · · · ,Pr, E y k como en 5.0.5, P = P1, y α 7→ α = α + P laproyeccion J → E = J/P.Entonces, Zp ⊆ E, y q, q1, · · · , qs ∈ E[X].

Como q(X) =n∏

j=1

(X−αj) en J [X], entoncess∏

i=1

qi = q =n∏

j=1

(X−αj) en E[X].

Por ende, todo qi es el polinomio ireducible de algun αℓ ∈ E.

Si q1, · · · , qs no son todos distintos, entonces el discriminante de q,

D =∏

i<j

(αi−αj)2, es cero, y, por ende, el discriminante de q, D =∏

i<j

(αi−αj)2,

es un elemento de P.Entonces D ∈ P ∩ Z = pZ, por lo que D es un multiplo entero de p.Luego, hay solo finitos primos p ∈ N tales que q1, · · · , qs no son distintos.

Ası, podemos suponer que q1, · · · , qs son distintos.Observemos que, por 5.0.5, E es Galois sobre Zp, q1, · · · , qs son separables, y notienen raıces multiples en E. Mas aun,q1, · · · , qs no tienen raıces es comun enE, por ser los polinomios irreducibles de elementos de E.Luego, α1, · · · , αn son todos distintos.

Sean G = Gal(E : Q), G = Gal(E : Zp) y H = σ ∈ G | σP = P elestabilizador de P.

Observemos que si β ∈ J , por definicion de J existe f =

n−1∑

ℓ=0

aℓXℓ ∈ Z[X]



monico tal que f(β) = 0.

Entonces, ∀σ ∈ H ⊆ G : f(σ(β)) =ℓ∑

i=0

ai(σ(β))i =

ℓ∑

i=0

ai(σ(βi)) =

ℓ∑

i=0

σ(aiβi))

= σ

( ℓ∑

i=0

aiβi)

)

= σ(f(β)) = σ(0) = 0, por lo que ∀σ ∈ H : σ(β) es tambien

raız de f . Por ende, ∀σ ∈ H : σ(β) ∈ J .

Sea σ ∈ H.Por la observacion anterior, σJ = J . Ademas, por definicion de H, σP = P.Entonces, σ induce un automorfismo σ : E → E dado por α 7→ α = α+P.Entonces, ϕ : H → G dado por σ 7→ σ es un homomorfismo.Veamos que ϕ es un isomorfismo.Si σ = 1G, entonces ∀i ∈ In : αi = σαi = σαi, y como α1, · · · , αn son todosdistintos, resulta que αi = σαi, por lo que σ = 1G.Luego, ϕ es inyectiva, por lo que |H| ≤ |G| = k.Pero por 5.0.3 la orbita de P por la accion de G es P1, · · · ,Pr, por lo cual[G : H] = r, implicando que |H| = n/r ≥ k y, por ende, |H| = k.Luego, ϕ es un isomorfismo y, ergo, cada τ ∈ G esta inducido por un unicoσ ∈ H como τ = σ.

Identificando cada σ ∈ H con la permutacion de α1, · · · , αn que induce, ycada σ ∈ G con la permutacion similar de α1, · · · , αn, resulta que σ y σ tienenla misma estructura cıclica.Por 5.0.5, sabemos que G es cıclico.Entonces, existe τ el generador de G.Dicho τ permuta las raıces de cada qj , β

j1, · · · , βjdj , debido a que la accion de τ

sobre qj esτqj = qj .

Pero τ no puede permutar βj1, · · · , βjtj un subconjunto propio de βj1, · · · , βjdj.

En efecto, en caso contrario, hj(X) =

tj∏

i=1

(X − βi) y gj(X) =

dj∏

i=tj+1

(X − βi)

quedan fijos bajo τ , lo que implica que gj , hj quedan fijos bajo G, por lo cualgj , hj ∈ Zp[X], pero hjgj = qj , insultando la irreducibilidad de qj .

Entonces, τ tiene una restriccion a βj1, · · · , βjdj que es un dj-ciclo.Entonces, τ es un producto de ciclos disjuntos de ordenes d1, · · · , ds.Luego, τ es inducido por algun τ ∈ H con la mismo estructura cıclica y, ergo,G contiene un producto de ciclos disjuntos de ordenes d1, · · · , ds, tal my comose querıa probar.

Ejemplo 5.0.7.

Veamos una aplicacion del Teorema 5.0.6 para calcular facilmente el grupo deGalois de un polinomio. Sea q(X) = X5 − X + 1 ∈ Z[X]. Observemos que,considerando q(X) = X5 + 2X + 1 ∈ Z3[X],

q(0) = 1 6= 0

q(1) = 1 + 2 + 1 = 1 6= 0.

q(2) = 2 + 2 + 1 = 2 6= 0.



por lo cual, q(X) no tiene raıces en Z3.Ademas, los polinomios irreducibles de Z3[X] de grado menor o igual a 3 son:

Grado 1: X; X + 1; X + 2

Grado 2: X2 + 1; X2 +X + 2; X2 + 2X + 2.

Grado 3: X3+2X2+1; X3+X2+2X+1; X3+2X2+X+1; X3+2X+1;X3 + 2X2 + 2X + 2; X3 +X2 + 2; X3 +X2 +X + 2; X3 + 2X + 2.

y como ninguno de ellos divide a q(X), q(X) es irreducible en Z3[X].Luego, q(X) es irreducible en Z[X].

Por otro lado, considerando q(X) ∈ Z2[X], se tiene queq(X) = (X2 +X + 1)(X3 +X2 + 1) ∈ Z2[X]Entonces, por 5.0.6, el grupo de Galois G de q sobre Q, visto como un subgrupode S5, contiene un 5-ciclo, y el producto de un 2-ciclo con un 3-ciclo disjuntoal 2-ciclo.Luego, G contiene un 5-ciclo y una trasposicion y, ergo, G = S5.


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