El trabajo W hecho sobre un objeto, por un agente

externo ejerciendo una fuerza constante en el objeto,

es el producto de la fuerza y de la magnitud del

desplazamiento:

W = F * l

BF

A

En SI: Wéë ùû =Nxm º Joule

En CGS: Wéë ùû =Dinaxcm º Ergio

W F l

DW = F x Dx

Dx

F x( )

DWi= F x

i( )Dxi

W » F xi( )Dx

ii=1

N

å

W = limN®¥Dx ®0

F xi( )Dx

ii=1

N

å = F x( )dxA

B

ò

Dxi

F x

i( ) A B

W = F x dx

A

B

Dxi

F x

i( ) A B

El trabajo W hecho sobre un objeto, por un agente

externo ejerciendo una fuerza constante en el objeto,

es el producto de la componente de la fuerza en la

dirección del desplazamiento y la magnitud del

desplazamiento:

= *W F cos l

l·

Si la fuerza F es paralela al desplazamiento;

es decir, =0, el trabajo es

W = Fl

W = Flcos

F

l

0

Si la fuerza F es perpendicular al desplazamiento;

es decir, =90, el trabajo es cero, W = 0, ya que

cos90 = 0

W = Flcos

F

l

90

El signo del trabajo depende de la dirección

de F en relación a

l .

El trabajo es positivo cuando

la componente de la fuerza

tiene la misma dirección que el desplazamiento.

El factor cos se encarga automaticamente del signo

correspondiente.

W = Flcos

Es importante notar que el trabajo

es una transferencia de energía.

Þ Si la energía es transferida al sistema,

W es positivo.

Þ Si es el sistema el que transfiere la energía,

W es negativo.

F

l

W = F cos * l

( )F x

lD

DW = F x cos * Dl

F

x( )

Dl

DW = F x × Dl

F

x( )

l

W = lim

N®¥

F

x

i( ) × Dli

i=1

N

å =F ×d

lò

X

Y

( )t

( )d t

dt

( )F r

Z

W F dl

= ×ò

X

Y

t

1( ) t

2( )

t

3( )

X

Y

t( )

( )d t

dt

F x, y( )

F

t( )éë

ùû ×

d t( )dt

dtò =

F

t( )éë

ùû

a

b

òd

t( )dt

cosdt

X

Y

t( )

d

t( )dt

F x, y( )

En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola variable.

Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesosdependen de varias variables.

Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirvenpara describir correctamente los procesos de la naturaleza.

Por motivos metodológicos las podemos dividir como:•Funciones vectoriales•Funciones escalares de un vector o campos escalares•Funciones vectoriales de un vector o campos vectoriales

( )( )

=

= 3

En el caso de 2, podemos "dibujar" la gráfica,

Gráfica , , ,v

n

x y x y

( )( )

® ® =

=

2

3

: , 1

Gráfica , ,1v

R R x x y x y

R x y x y

Gráfica

x Y φ(x,y)=1-x-y0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 -1

-1 -1 3

-1 1 1

1 -1 1

2 0 -1

3 -1 -1

• Ec vectorial o ecescalar?

• Ec. De una línea recta…..

Un plano….ec. de un plano?

f : R2 ® R f x, y( ) = z = 1 x2 y2

Gráfica = x, y, z( ) z = 1 x2 y2

Gráfica

x Y f(x,y)=1-x2-y2

0 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 -12 3 -12-4 5 -40

• Ec vectorial o ecescalar?

• Ec. De una curva…..

Una superficie …… 2D?

( )

( )

2:

, 1 sin cos

Gráfica , , 1 sin cos

x y z x y

x y z z x y

®

= =

= =

R R

• Ec. de curvas

en 1D…..

Una superficie 2D

( )

( )

( ) 2 3

, ,

, , sin cos sin

, ,

x y z x y z

x y z x y z

s x y z x y z

=

=

=

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

®

=

®

® =

3 3

1 2 3

3 3

3

:

, ,

Cada una de las componentes del campo vectorial

es una función de .

Es decir, cada una de las componentes del campo

vectorial es un campo escalar.

: 1,...,3

i

F

F x F x F x F x

F x

F i

F :R2 ® R2

x ®

F

x( ) = x y,y x( )

x Y x+y y-x0 0 0 01 0 1 -10 1 1 11 1 2 0-1 -1 -2 0-1 1 0 21 -1 0 -22 0 2 -23 -1 2 -4

F :R2 ® R2

x ®

F

x( ) = x y,y x( )

(x,y) F(x,y)

(0,0) (0,0)

(1,0) (1,-1)

(0,1) (1,1)

(1,1) (2,0)

(-1,-1) (-2,0)

(-1,1) (0,2)

(1,-1) (0,-2)

(2,0) (2,-2)

(3,-1) (2,-4)

F : R2 ® R2

x ®

F

x( ) = x y, y x( )

F : R3 ® R3 ;

F

x( ) =

y

x2 y2 z2,

x

x2 y2 z2,

z

x2 y2 z2

æ

èçç

ö

ø÷÷

F

x( )

l

W = lim

N®¥

F

x

i( ) × Dli

i=1

N

å =F ×d

lò

X

Y

( )t

( )d t

dt

( )F r

Z

W F dl

= ×ò

W =

F ×d

l

Gò

F = F

x,F

y.F

z( ) ; dl = dx,dy,dz( )

W =F ×d

l

Gò = F

xdx F

ydy F

zdz( )

Gò

W = Fxdx

xi

xf

ò Fydy

yi

yf

ò Fzdz

zi

zf

ò

¡¡¡El trabajo, en general,

depende de la trayectoria!!!

La energía cinética de un cuerpo es una

energía que surge en el fenómeno del

movimiento.

Se define como el trabajo necesario

para acelerar un cuerpo de una masa

dada desde su posición de equilibrio

hasta una velocidad dada.

=

= = = =

=

= × = ×

=

= =

ò ò ò

ò

ò

2 2

que

( . ) . v. = 2 .v

· · ·

·

1 1( )

2 212

12

Kdv dv dr

W F dr m dr m dtdt dt dt

dvm vdt

dt

dK W m v v dt mv v

d

note

d dv dv dvv v v

dt dt

t

m

t

v

d dt

mv

Es el trabajo necesario para acelerar un

cuerpo de una masa dada desde su

posición de equilibrio hasta una velocidad dada:

Es el trabajo necesario para acelerar

un cuerpo de una masa dada desde

su posición de equilibrio hasta una

velocidad dada:

K º1

2m

v

2

K º

1

2m

v

2

Una vez conseguida esta energía durante la

aceleración, el cuerpo mantiene su energía

cinética.

Un trabajo negativo de la misma magnitud

podría requerirse para que el cuerpo regrese

a su estado de equilibrio.

K º

1

2m

v

2

ÞLa energía cinética es una cantidad escalar.

Þ Sus unidades son las mismas que las del

trabajo, Joules y Ergios.

W =Fò  d

r = m

dv

dt d

r

vi

vf

ò = md

v

dt dr

dtdt

vi

vf

ò

= mv ×d

v

vi

vf

ò =1

2mv

f2

1

2mv

i2

Si una fuerza externa actua sobre una partícula,

causando que su energía cinética cambie

de Ki a K

f, entonces el trabajo mecánico está

dado por

W = DK º1

2mv

f2

1

2mv

i2

Se deben incluir todas las fuerzas

que hagan trabajo en la partícula en

el cálculo del trabajo neto hecho.

W = DK º

1

2mv

f2

1

2mv

i2

Con este teorema vemos que la velocidad

de una partícula crece si el trabajo neto

hecho en ella es positivo, porque la energía

cinética final es mayor que la energía

cinética inicial.

W = DK º

1

2mv

f2

1

2mv

i2

La velocidad de una partícula decrece

si el trabajo neto hecho en ella es negativo,

porque la energía cinética final es menor

que la energía cinética inicial.

W = DK º

1

2mv

f2

1

2mv

i2

Este teorema nos permite pensar en la energía

cinética como en el trabajo que puede hacer

la partícula cuando llegue al reposo, o como

la cantidad de energía almacenada en la

partícula.

W = DK º

1

2mv

f2

1

2mv

i2

º

Esto es equivalente a la velocidad de cambio

de energía en un sistema o al tiempo empleado

en realizar un trabajo; es decir,

PdW

dt

En Física, la potencia P es la cantidad de

trabajo efectuado por unidad de tiempo.

F

x( )

l

W =

F ×d

l

G

P º

dW

dt

De la definición del trabajo:

dW =F ×d

r

entonces

P =dW

dt=

F ×d

r

dt=

F ×

dr

dt=

F ×

v

P º

dW

dt

La unidad de potencia en el SI

es el Joule/segundo,

llamado Watt y denotado W.

Se tiene

1 W =1 J/s = 1 kg ×m2 / s3

P º

dW

dt