trabajocalculovectorial-121118104742-phpapp02
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Observación General: la mayoría de las integrales que no requieran ningún análisis con respecto al Cálculo Vectorial se resolverán usando un sistema algebraico por computadora o tablas de integrales y sólo aparecerá su resultado.
Ejercicio 13.2.12. Evalúe la integral de línea, donde C es la curva dada.
� � �� + � �� + ����
: � = � , � = �� , � = � , 0 ≤ � ≤ 1
Solución.
Se expresa todo en términos de t
� = � , � = ��, � = � , �� = 2�, �� = 3� , �� = 2�
� (� )(2���) +�
�(� )(3� ) + (��)(2���)
= � (2�� + 3�� + 2��)�� = � (2�� + 5��)�� = 12 �� + ���
�
�= 12 + 1 = 3
2�
�
�
�
Ejercicio 13.3.5. Determine si F es un campo vectorial conservativo. De ser así, halle una función f tal que F = ∇�.
!(�, �) = �"#$!+ �"%&! Solución.
Sean '(�, �) = �"# y ((�, �) = �"% . Si )*)+ =
),)-, entonces, F es conservativo.
.'
.� = �"# ≠ �"% = .(.�
Entonces F no es conservativo.
Ejercicio 13.3.19. Determine si la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.
� tan ��
�� + �3"4 ���
C es cualquier trayectoria de (1, 0) a (2, 5/4).
Solución.
Sea !(�, �) = tan �$!+ �3"4 �&! Sean '(�, �) = tan � y ((�, �) = �3"4 � ; entonces, como
.'
.� = 3"4 � = 3"4 � = .(.�
Este campo es conservativo. Así que la integral es independiente de la trayectoria, ya que, las integrales de línea para campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria.
Como F es un campo vectorial conservativo, existe una función f tal que = 8�. Se tiene que
(�, �) = ∇�(�, �) = .�.� $!+
.�
.� &! = tan �$! + �3"4 �&!
Entonces 9:9% = tan � y
9:9# = �3"4 � ; de modo que
�tan ��� = ��;<� + = ��3"4 � ��
Así �(�, �) = ��;<� ; entonces, por el Teorema Fundamental para Integrales de Línea:
� tan ��� + �3"4 ��� = � =2, 54> − �(1,0) = 2 tan 54 − 1 tan 0 = 2 − 0 = 2�
Ejercicio 13.4.5. Compruebe el teorema de Green utilizando un sistema algebraico por computadora con el fin de evaluar la integral de línea y la integral doble.
'(�, �) = ����, ((�, �) = −�@�A, "3B;4CD4E<�"D"<4C;� + � = 1
Solución.
C debe parametrizarse: � = cos I, � = 3"<I. Entonces. � + � = 3"< I + 4K3 I = 1, 0 ≤ I ≤ 25.
La integral de línea es:
� '�� + (���
= � 4K3�I3"<�I(−3"<I)�I + L
�� −4K3@I3"<AI(cos I��I L�� ? 2951024
La integral doble es:
NO.(.� ? .'.�P�Q � � � �?7�A�A ? 5��������� � ? 2951024√�T%UT√�T%U
�T�V
Entonces
� '�� � (�� � ? 2951024 � NO.(.� ? .'.�P�QV�
De manera que se ha verificado el teorema de Green.
Ejercicio 13.4.15. Aplique el teorema de Green con el objeto de evaluar W X ∙ �Z� .
(Antes de aplicar el teorema verifique la orientación de la curva.)
X��, �� � ⟨"% � � �, "# ? �� ⟩, "3B;4CD4E<�"D"<4C;� � � � 25 orientadaenelsentidodelasmanecillasdelreloj.
Solución.
Sean '��, �� � "% � � � y (��, �� � "# ? ��
Figura 1. Circunferencia de radio 5.
La integral de línea es
d�"% � � ���� � �"# ? �� ���� � [Q]
?Ng ..� �"# ? �� � � ..� �"% � � ��� �QV
� ?N�?� ? � ��Q �V
N�� � � ��QV
� [h]� � D D�D�I��
L�
� � �I ∙ � D��D = 25 g14 D����= 52 (5�) =
62552
�
�
L
�
Nota: Se aplicaron los procedimientos [A]:=Aplicación del teorema de Green, [B]:=Cambio a coordenadas polares.
13.5.18. ¿Existe un campo vectorial G sobre ℝ� tal que DK�klll! = ��$!+ ���&!+ ��ml! ? Explique su respuesta.
Solución.
Se sabe que si ! = '$!+ (&!+ nml! es un campo vectorial sobre ℝ�, y P, Q y R tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces
�CoDK� ! = 0
Aplicando este resultado al DK�k! del ejercicio se tiene
�CopDK�k!q = ..� (��) +
..� (���) +
..� (��) = 0 + �� + 0 = �� ≠ 0
Así que G no existe.
Ejercicio 13.5.21. Demuestre la identidad, suponiendo que existen las derivadas parciales adecuadas y que estas son continuas.
�Cop ! + k!q = �Co ! + �Cok! Solución.
Sean ! � '$!� (&!� nml! y k! � r$!� s&!� tml!, entonces
! � k! � �' � r�$! � �( � s�u!� �n � t�ml! Se tiene que:
�Cop ! � k!q � .�' � r�.� � .�( � s�.� � .�n � t�.� � .'.� � .(.� � .n.� � .r.� � .s.� � .t.�� O.'.� � .(.� � .n.�P � O.r.� � .s.� � .t.�P � �Co ! � �Cok!
Así queda demostrado.
Ejercicio 13.6.14. Evalúe la integral de superficie dada.
� ���rv
S es la frontera de la región delimitada por el cilindro � � � � 1 y los planos � � 0 y � � � � 2.
Solución.
A continuación, varias vistas de la región del problema.
Sean r�, r , r�, la parte del cilindro que pertenece a la superficie S, el plano � � � � 2, y el plano � � 0, respectivamente.
r�: D!�I, �� � 3"<I$! � �&!� cos Iml! , 0 � I � 25, 0 � � � 2 ? 3"<I
wD!x y D!#w � z $! &! ml!cos I 0 ?3"<I0 1 0 z � w�3"<I�$!? 0&! � cos Iml!w � {3"< I �4K3 I� 1
Entonces
N���r � � � �3"<I T|}~x�
L�v�
���I� 12� 3"<I�2 ? 3"<I� �I � 12 L
� � 43"<I ? 43"< I L� � 3"<�I�I
� 25
r :D!��, �� � �$!� �2 ? ��&!� �ml! ‖D!% y D!�‖ � ‖?$!? &!‖ � √2, � � � � 1.
N���r � N��2 ? ��√2�QV
� � � √2�2D3"<I ?D 3"< I��I � ?√24��
L� 5
vU
';D;r� :N���r � N0�rv�v�
� 0
Entonces:
� ���rv
� 25 ? √254 � ?54 �8 � √2� Ejercicio 13.6.26. Evalúe la integral de superficie ∬ ! ∙ �r!v para el vector de
campo F dado y la superficie orientada S. En otras palabras, calcule el flujo de F a lo largo de S. Para superficies cerradas, utilice la orientación positiva (hacia afuera).
!��, �, �� � �$!� �� ? ��&!� �ml! S es la superficie del tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
Solución.
Figura 2. Región vista por un observador en el primer octante.
Figura 3. Región vista por un observador desde el origen.
Sean r�: B;4;D;3E�"DCKD�"B�B;<K� � � � � � 1�, r :B;4;D;�E""3�á3K�D""B�B;<K��, r�:B;4;D;�E""3�á3K�D"�B;<K��, r�: B;4;D;�E""3�á3K�D""B�B;<K��.
Como la superficie 1 está dada por � � ���, �) = 1 − � − �, se puede considerar x y y como parámetros y utilizar la siguiente ecuación:
N ! ∙ �r!v
=NO−' .�.� − ( .�.� + nP�Q =V
'(�, �, �) = �, ((�, �, �) = � − �.
Pero: � = 1 − � − �. Entonces: ((�, �, �) = 1 − � − 2�.
n(�, �, �) = �.
.�
.� = −1
.�
.� = −1
';D;r�:
N ! ∙ �r!v�
=N−�(−1) + 1 − � − 2� + ��QV
=N(� + 1 − � − 2� + �)�Q = � � (1 − �)���� = 13
#T%
�
�
�V
';D;r : Está orientado a la izquierda por lo que <l! = &!.
N ! ∙ �r!vU
=N ! ∙ (−&!)�r = N(−� + �)�Q = � � (−�)�����T%
�=−16
�
�Vv�
Nota: en la integral doble y=0 porque la superficie está sobre el eje xz.
';D;r�: Está orientado hacia el eje x negativo por lo que <l! = −$!.
N ! ∙ �r!v�
=N ! ∙ (−$!)�r = N(−�)�Q = � � (−�)�����T�
�= −16
�
�Vv�
';D;r�: Está orientado hacia abajo por lo que <l! = −ml!.