trabajo para bonificacion

TRABAJO PARA LA TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

NOMBRE: ROLANDO GARAY SALAZAR

CÓDIGO: 20120259F

SECCIÓN: A

PROFESOR: EMILIO LUQUE B.

NOVIEMBRE-2012

ALGEBRA LINEAL MB 165 1



PROBLEMAS

1. Dados los subespacios de R3:

S1 = {(X1, X2, X3) є R3 / X1 - 2X2 + 3X3 = 0}S2 = {(X1, X2, X3) є R3 / X1 – X2 + X3 = 0}

Hallar dim (S1+S2)

SOLUCION:

a) Hallando una base para S1: X1 - 2X2 + 3X3 = 0

X1 = 2X2 - 3X3

Luego se tiene:

(X1, X2, X3) = (2X2 - 3X3, X2, X3)

= X2 (2, 1, 0) + X3 (-3, 0, 1)

Entonces:

S1 = L {(2, 1, 0), (-3, 0, 1)}

Dim S1 = 2

b) Hallando una base para S2: X1 - X2 + X3 = 0

X1 = X2 – X3

Luego se tiene:

(X1, X2, X3) = (X2 - X3, X2, X3)

= X2 (1, 1, 0) + X3 (-1, 0, 1)

Entonces:

S2 = L {(1, 1, 0), (-1, 0, 1)}

Dim S2 = 2




c) Hallando una base para S1 ∩ S2

De S1: X1 - 2X2 + 3X3 = 0X1 = 2X2 - 3X3…… (1)

De S2: X1 - X2 + X3 = 0…… (2)

(2) en (1):

(2X2 - 3X3) - X2 + X3 = 0X2 - 2X3 = 0 X2 = 2X3

X1 = 2X2 - 3X3 4X3 - 3X3 = X3

X1 = X3

Luego para S1 ∩ S2 se tiene:

(X1, X2, X3) = (X3, 2X3, X3)

= X3 (1, 2, 1)

Entonces:

S1 ∩ S2 = L {(1, 2, 1)}

Dim S1 ∩ S2 = 1

Por el teorema: Dim (S1+S2) = Dim S1 + Dim S2 - Dim (S1 ∩ S2)

Dim (S1+S2) = 2 + 2 - 1

Dim (S1+S2) = 3

2. Sean los subespacios en R4:

V = {(x, y, z, t) є R4 / x – y + z - t = 0}




U = {(x, y, z, t) є R4 /2x + y + 2z + t = 0}

Hallar la base y dimensión de V ∩ U

SOLUCION:

De V: x – y + z - t = 0 x = y - z + t…… (1)

De U: 2x + y + 2z + t = 0…… (2)

(2) en (1):

2(y - z + t) + y + 2z + t = 03y + 3t = 0

y = -t

x = y – z + t (-t) – z + t = -zx = -z

Luego para V ∩ U se tiene:

(x, y, z, t) = (-z, -t, z, t)

= z (-1, 0, 1, 0) + t (0,-1, 0, 1)

Entonces:

S1 ∩ S2 = L {(-1, 0, 1, 0), (0,-1, 0, 1)}

Dim S1 ∩ S2 = 2

3. Dado T : R4 R3 tal que:

T (x, y, z, t) = (x – y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w)

a) Probar que T es una transformación lineal.




b) Hallar N (T), Im (T) y sus respectivas dimensiones.

SOLUCION:

a) Sea: x = (x1, x2, x3, x4), y = (y1, y2, y3, y4)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4)

Por probar: T (x + y) = T (x) + T (y)

I. T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4) = T (x1 + y1 - x2 - y2 + 2x3 + 2y3 +3x4 + 3y4,

X2 + y2 + 4x3 + 4y3 +3x4 + 3y4,

x1 + y1 + 6x3 + 6y3 +6x4 +6y4) = (x1 – x2 + 2x3 + 3x4, x2 + 4x3 + 3x4, x1 + 6x3 + 6x4) +

(y1 – y2 + 2y3 + 3y4, y2 + 4x3 + 3x4, x1 + 6x3 + 6x4)

= T (x) + T (y)

Por lo tanto: T (x + y) = T (x) + T (y)

II. λ є R, x є R4, T (λ x) = λ T (x) T (λ x) = T λ (x1, x2, x3, x4) = T (λx1, λx2, λx3, λx4) = (λx1 - λx2 + 2λx3 + 3λx4, λx2 + 4λx3 + 3λx4, λx1 + 6λx3 + 6λx4) = λ (x1 – x2 + 2x3 + 3x4, x2 + 4x3 + 3x4, x1 + 6x3 + 6x4) = λ T(x)

Por lo tanto: T: R4 R3 es una transformación lineal

b) Calculando el N(T)

N(T) = {(x, y, z, w) є R4 /T (x, y, z, w) = (0,0,0)}




T (x, y, z, w) = (0, 0, 0), de donde se tiene:

(x – y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w) = (0, 0, 0)

Por igualdad se tiene:

y + 4z + 3w = 0 y = - 4z - 3w

x + 6z + 6w = 0 x = - 6z - 6w

Si (x, y, z, t) є N(T) (x, y, z, t) = (- 6z - 6w, - 4z - 3w, z, w)

(x, y, z, t) = z(-6, -4, 1 ,0)+ w(-6, -3, 0, 1)

Luego: N(T) = L {(-6, -4, 1, 0), (-6,-3, 0, 1)}

Dim N(T) = 2

Calculando el Im(T)

Im(T) = {(x, y, z) є R3 /(a, b, c, d) є R4 y T(a, b, c, d) = (x, y, z)}T(a, b, c, d) = (x, y, z) (a – b +2c + 3d, b + 4c + 3d, a + 6c + 6d) =(x, y, z).

Igualando: a – b +2c + 3d = x …… (1) b + 4c + 3d = y…… (2) a + 6c + 6d = z…… (3) a + 6c + 6d = z

(1) + (2): a + 6c + 6d = x+ y…… (4)

(4) = (2): x + y = z

Luego para Im(T) se tiene:

(x, y, z) = (x, y, x + y) === x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)

Luego: Im(T) = L {(1, 0, 1), ( 0, 1, 1)}

Dim Im(T) = 2

4. Determine si el conjunto R2 es o no un espacio vectorial, para el cual se define la suma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) y la


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multiplicación por un escalar definida por (x, y) = ( + x -1, + y - 1)

SOLUCION:

Sea W = R2

Sea la suma (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1)

Sea el producto por un escalar (x, y) = ( + x -1, + y - 1)

Axiomas para la suma: Sea U=(a,b), T=(c,d), V=(e,f) є W ^ ,β є K

1) Si U=(a,b), T=(c,d) є W → U + T є W

U + T = (a,b) + (c,d) = (a+c+1, a+d+1) є W

2) U + (V+T) = (U+V) + T

U + (V+T) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)] = (a,b) + (c+e+1, d+f+1) = (a+c+e+2,b+d+f+2)

(U+V) + T = [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a+c+1, b+d+1) + (e,f) = (a+c+e+2,b+d+f+2)

3) U + V = V + U

U + V = (a,b) + (c,d) = (a+c+1, b+d+1) = (c+a+1, d+b+1) = V + U

4) ¥ U є W, existe θ є W tal que U + θ = θ + U = U

Sea θ = (m,n)

U + θ = (a,b) + (m,n) = (a+m+1) + (b+n+1) = (a,b) → a+m+1 = a m = -1

b+n+1 = b n = -1

Por lo tanto: θ = (-1,-1) є W

5) ¥ U є W, existe -U є W tal que U + (-U) = θ

Si U = (a,b)

→ -1.U = -1.(a,b) = (-1-a-1, -1-b-1) → -U = (-2-a, -b-2)

→ U + (-U) = (a,b) + (-2-a, -b-2) = (-1,-1) = θ




Axiomas para el producto:

1) Si U є W ^ є K → U є W

U = (a,b) = (+a-1, +b-1) є W

2) (+β)U = U + βU

→ (+β)U = (+β+(+β)a-1, +β+(+β)b-1) = (+β+a+βa-1, +β+b+βb-1)

→ U+βU = (a,b) + β(a,b) = (+a-1, +b-1) + (β+βa-1,β+βb-1)

= (+β+a+βa-1, +β+b+βb-1) = (+β)U

3) (β)U = (βU)

(β)U = (β)(a,b) = (β+βa-1, β+βb-1)

(βU) = (β(a,b)) = (β+βa-1,βb+β-1) = (+β+βa--1, +βb+β--1)

No son iguales.

4) (V+U) = V + U

((a, b) + (c,d)) = (a+c+1, b+d+1) = ( + ( a+c+1) – 1, + ( b+d+1) – 1) = (( + a + c + – 1),(( + b + d + – 1))

V + U = (a,b) + (c,d) = (+a-1, +b-1) + (+c-1, +d-1) = (+a-1++c-1+1, +b-1++d-1+1) = ( + a + c + – 1, + b + d + – 1) = (V+U)

5) e.V = V.e = V

Sea “e” un escalar y V = (a, b)

e (a, b) = (e+ea-1, e+eb-1) = (a, b) e+ea-1 = a e+ea-1 = b e(a+1) = a+1 e(a+1) = a+1 e = 1 e = 1

Puesto que no se cumple el axioma 3 de la multiplicación, entonces W no es un espacio vectorial.




5. Demostrar que los siguientes vectores de R3 :

A = {(1, 0, -1), (0, -2, 1)}B = {(1, -2, 0), (2, -2, -1)}

generan el mismo subespacio. Obtener una base y la dimensión de dicho subespacio.

SOLUCION:

a) Si el conjunto genera un subespacio W, entonces cualquier vector (X1, X2, X3) є R3 es combinación lineal de los vectores (1, 0, -1) y (0, -2, 1).

Es decir : (X1, X2, X3) = 1 (1, 0, -1) + 2 (0, -2, 1)

= (1, -22, -1 + 2)

1 = X1 (1)

-22 = X2 2 = - 12x2 (2)

-1 + 2 = X3 (3)

Sustituir (1) y (2) en (3):

- x1 - 12x2 = x3

- 2x1 - x2 = 2x3 2x1 + x2 + 2x3 = 0

Esta igualdad implica que el conjunto A genera al subespacio:

W = {(X1, X2, X3) є R3 / 2X1 + X2 + 2X3 = 0}

b) Si el conjunto B genera un subespacio, entonces cualquier vector (X1, X2, X3) є R3 es combinación lineal de los vectores (1, -2, 0) y (2, -2, -1).

Es decir:

(X1, X2, X3) = β1(1, -2, 0) + β2(2, -2, -1)

(X1, X2, X3) = (β1 + 2β2, - 2β1 - 2β2, -β2)




β1 + 2β2 = X1 ……………. (1)

-2β1 - 2β2 = X2 ……………. (2)

- β2 = X3 ……………. (3)

De (2): -2β1 - 2(-X3) = X2

-2β1 + 2X3 = X2

- X2 + 2X3 = 2β1

β1 = 12(−x¿¿2+2 x3)¿ ……………. (4)

(4) y (3) en (1):

12(−x¿¿2+2 x3)¿ + 2(−¿X3) = X1

−x2+2x3 −¿ 4x3 = 2X1

−x2−2 x3 = 2X1(

2X1 +x2+2x3 = 0

Esta igualdad implica que el conjunto B genera al subespacio:

U = {(X1, X2, X3) є R3 / 2X1 + X2 + 2X3 = 0}

Como vemos los resultados obtenidos en a) y b) nos indican que los conjuntos A y B generan el mismo subespaio.

c) Hallando una base de W:

De 2X1 + X2 + 2X3 = 0, se tiene que: X2 = - 2X1 - 2X3

(X1, X2, X3) = (X1, - 2X1 - 2X3, X3)

= X1 (1, -2, 0) + X3 (0, -2, 1)

Luego

W = L {(1, -2, 0), ( 0, -2, 1)}




Dim W = 2.

6. Sean u, v, y w tres vectores, linealmente independientes, de un espacio vectorial. Demostrar que los vectores u + v, u − v, y u − 2v + w,también son linealmente independientes.

SOLUCIÓN :

Para cualquier combinación lineal de ellos igualada a cero:

(u + v) + β(u − v) + (u − 2v + w) = 0

Obtenemos:

( + β +θ)u + ( − β − 2θ)v + (θ)w = 0

y por ser u, v y w linealmente independientes se tiene que:

+ β + θ = 0

− β − 2θ = 0 = β = θ = 0

θ = 0

Por lo que los vectores u + v, u − v y u − 2v + w también son linealmente

independientes.


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