Colegio San José – Agustinas Misioneras (León)

Departamento de Matemáticas

LOS ACERTIJOS DE

SAM LOYD

Realizado por la alumna Dña. Eva López Santín

Para el Profesor D. Oliver Fernández González

Enero 2016

ÍNDICE

1. Biografía de Sam Loyd.2. Problemas de aritmética y álgebra.3. Problemas de probabilidades y teorías de juegos.4. Problemas con fichas y piezas móviles.5. Problemas de geometría plana.6. Problemas geométricos de disección.7. Problemas topológicos, de recorridos y trazados.8. Problemas de geometría espacial.9. Problemas lógicos y de investigación operativa.10.

1. BIOGRAFÍA DE SAM LOYD.

Sam Loyd, el más grande creador de acertijos de los Estados Unidos, nació en Filadelfia el 30 de Enero de 1841. Aprendió a jugar al ajedrez a los diez años, a las catorce publicó su primer problema de ajedrez, y en pocos años se le reconocía como el mejor compositor de problemas de ajedrez de todo el país.

A partir de 1870, su interés por el ajedrez empezó a disminuir, y se centró más en acertijos matemáticos y en objetos promocionales novedosos, ideándolos con originalidad y gracia. Unos de sus acertijos más destacados fueron “Los asnos engañosos”, “rompecabezas 14-15”, “Caballo de otro color” y “Cerdos en el trébol”.

Loyd sólo publicó un libro llamado “Cyclopedia of Puzzles” (del cual se extraen los acertijos del libro) pero, tras su muerte, su hijo Samuel Loyd Jr. siguió editando los acertijos de su padre bajo el seudónimo de Sam Loyd.

Loyd basaba sus acertijos en fuentes comunes: acertijos tradicionales a los que les imprimía un nuevo giro, y nuevos acertijos de origen anónimo que pasaban de una persona a otra a la manera de las bromas y retruécanos.

2. PROBLEMAS DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.

2.1 DE BIXLEY A QUIXLEY.

Durante un viaje de Bixley a Quixley, el guía le dijo a Pedro que entrarían en Pixley para tomar un refresco, y a partir de ahí no pudo pensar en nada más que en Pixley. Cuando llevaban cuarenta minutos de viaje, Pedro le preguntó al guía que cuánto camino habían recorrido, y éste le respondió: “La mitad de la distancia que hay hasta Pixley”. Cuando habían recorrido siete millas más, le volvió a preguntar al guía la distancia que había hasta Quixley, y le respondió que la mitad de la distancia que hay hasta Pixley. Llegaron a Quixley una hora más tarde. Con estos datos, ¿cuál es la distancia de Bixley a Quixley?

Solución: Supongamos que “x” es el punto entre Bixley y Pixley, e “y” el punto entre Pixley y Quixley. La distancia entre “x” e “y” es 7 millas. Como la distancia de “x” a Pixley es 2/3 de la distancia entre Bixley y Pixley, y la distancia de “y” hasta Pixley es 2/3 de la distancia de Pixley hasta Bixley, se deduce que la distancia entre “x” e “y”, o 7 millas, es de 2/3 del camino. Esto hace que la distancia total sea de 10 millas y media.

2.2 ¿CÚAL FUE LA GANANCIA?

Un comerciante vendió una bicicleta por 50$, después la compró por 40$, ganando 10$. Tras haberla comprado por 40$, la vendió por 45$ ganando así 5$ más, 15$ en total. Un contable asegura que empieza con una bicicleta de 50$, y con la segunda venta sólo tiene 55$. La venta de la bicicleta a 50$ es sólo un intercambio que no da ni ganancia ni pérdida, pero cuando la compra a 40$ y la vende a 45$, gana 5$. Un tenedor de libros afirma que cuando la vende a 50$ y vuelve a comprarla por 40$ ha ganado 10$, pero cuando la vende a 45$, no tiene ni ganancia ni pérdida; es decir, ha ganado 10$. ¿Quién tiene razón?

Solución: El problema tiene solución ambigua, a menos que sepamos cuánto ha pagado el comerciante por la bici originalmente.

2.3 LA CARRERA DEL GATO Y EL PERRO.

Un gato y un perro corren una carrera de ida y vuelta de 100 pies. El perro avanza 3 pies cada salto, y el gato sólo 2, pero el gato da 3 saltos por cada 2 saltos del perro. ¿Cuáles son los posibles resultados de la competición?

Solución: Gana el gato, que tiene que dar exactamente 100 pies para poder completar la ida y así regresar. Sin embargo, el perro tiene que dar 102 pasos para completar la ida y poder regresar, por lo que su salto número 33 lo dará a 99 pies de distancia, y estará obligado a dar uno más, recorriendo así 2 pies más en lo que el gato ya habría empezado su regreso.

2.4 LA CADENA DEL RELOJ DEL TÍO SAM.

Una cadena de reloj consistía en cuatro monedas y la efigie de un águila. Las monedas tenían cinco, cuatro, tres y dos perforaciones, de modo que se podían formar una variedad de diseños. ¿Cuántos diseños distintos hay?

Solución: Por permutaciones, existen 92160 diseños posibles; la moneda de 5 agujeros y con las 2 caras, daría 10 posibilidades. La siguiente moneda puede estar colocada en 8 posiciones, y estas dos monedas combinadas dan 80 posibilidades, que multiplicadas por las 6 posiciones de la siguiente moneda, y por las 4 de la siguiente y las 2 del águila, dan 3.840 y como existen 24 variantes en el orden de las monedas, 3840 veces 24 da como resultado 92.160.

2.5 MULTIPLICACIÓN Y ADICCIÓN.

Adjudique valores diferentes que hagan que A x B = Y, y A + B = Y.

Solución: Existen infinitos pares de números cuya suma y producto den el mismo número. Si un número es “a”, el otro puede obtener dividiendo “a” por “a – 1”. Por ejemplo: 3 x 1,5 = 4,5, y 3 + 1,5 = 4,5.

2.6 EL ACERTIJO DEL ORÁCULO.

“Se reproducirán”, dijo el oráculo a los campesinos, “hasta que las ovejas multiplicadas por las cabras den un producto que, reflejado en el sagrado espejo, muestre el número del rebaño completo”. ¿Cuántas ovejas y cabras van a haber?

Solución: 9 ovejas y 9 cabras; el producto de la multiplicación es 81, y reflejado en el espejo es 18, que es el número total del rebaño.

2.7 RECUENTO DE VOTOS.

En una elección hubo 5.219 votos y cuatro candidatos. El ganador superó a sus ponentes por 22, 30 y 73 votos. ¿Cuál es la regla para obtener el número de votos de cada uno?

Solución: Hay que sumar las diferencias con el ganador al total de votos y dividir por le número de candidatos. El cociente dará los votos del ganador, del que por sustracción de los votos de los demás dará, 1.336, 1.314, 1.306 y 1.263.

3. PROBLEMAS DE PROBABILIDADES Y TEORÍAS DE JUEGOS.

3.1 EL GRAN PROBLEMA DE COLÓN.

Se deben situar alternativamente huevos de tamaño uniforme sobre un paño cuadrado. Cuando se ha puesto un huevo, este no puede der rozado ni movido por otro. El juego prosigue hasta que el paño esté tan colmado que resulte imposible colocar otro huevo. La persona que colocó el último huevo es el ganador. El primer jugador puede ganar siempre gracias a una estrategia, ¿cuál es esa estrategia?

Solución: El secreto está en poner el primer huevo de pie en el centro, de manera que donde coloque el contrincante un huevo, se podrá duplicar la jugada en el lado opuesto y en línea recta a través del huevo nª1.

4. PROBLEMAS CON FICHAS Y PIEZAS MÓVILES.

4.1 CUEVOS EN EL MAIZAL.

Solución:

5. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PLANA.

5.1 LA ESTRELLA OCULTA.

Solución:

6. PROBLEMAS GEOMÉTRICOS DE DISECCIÓN.

6.1 BUENA SUERTE.

Solución:

6.2 EL ACERTIJO DEL PONI.

Solución:

7. PROBLEMAS TOPOLÓGICOS, DE RECORRIDOS Y DE TRAZADOS.

7.1 ALICIA EN EL PAIS DE LAS MARAVILLAS.

Solución: Las rutas laterales ofrecen 252 maneras de llegar al centro C, y como hay igual número de maneras de regresar a W, el cuadrado de 252 es la respuesta correcta; hay 63.504 maneras diferentes.

8. PROBLEMAS DE GEOMETRIA ESPACIAL.

8.1 LOS CUBOS DE PLATÓN.

Hay un cuadrado construido con un cierto número de cubos más pequeños. El monumento descansa en el centro de una plaza cuadrada pavimentada con similares bloques cúbicos de mármol. En ese pavimento hay tantos cubos como en el monumento, y todos de ellos con la misma medida. ¿Cuántos cubos son necesarios para construir el monumento y la plaza?

Solución: El problema requiere un número que elevado al cubo dé un número cuadrado. El cuadrado más pequeño (aparte de 1) es 4, por lo que el monumento podría estar formado por 64 cubos (4 x 4 x 4) que se alzaría en un cuadrado de 8 x 8. Pero este resultado no se adecúa a la ilustración, por lo que probamos con 9, que nos da un monumento de 729 cubos erigido sobre un cuadrado de 27 x 27.

9. PROBLEMAS TOPOLÓGICOS Y DE INVESTIGACIÓN.

9.1 EL SOBRINO ENFERMO.

El tío Reuben fue a visitar a su hermana Mary Ann. Reuben le dijo a su hermana que le gustaría visitar a su sobrino enfermo, a lo que Mary añadió que le ella volvía a casa porque no tenía ningún sobrino enfermo. ¿Qué parentesco tiene Mary con el sobrino enfermo?

Solución: Mary Ann era la madre del sobrino enfermo.

9.2 EL ACARREADOR DE LADRILLOS.

Empiece desde el suelo, después suba y baje alternativamente la escalera, sin saltarse peldaños, hasta que llegue hasta el último peldaño. Debe usted subir y bajar de tal modo que llegue otra vez al suelo sólo una vez, pisar sólo dos veces el último peldaño de arriba y pisar todos los otros igual número de veces.

Solución: La acción puede llevarse a cabo en 19 pasos de la siguiente manera: Peldaño 1, luego se baja al suelo y se sigue después por peldaños 1,2,3,2,3,4,5,4,5,6,7,6,7,8,9,8,9.