trabajo final elasticidad

5/16/2018 Trabajo Final Elasticidad - slidepdf.com

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Vector deformación unitaria en una dirección cualquiera. Componentes Intrínsecas.-

La deformación que experimenta un vector viene definida por [ ]; si definimos como

vector deformación unitaria en la dirección determinada por ; en el punto P, el límite será:

[ ]

[ ] [ ]

Donde es el vector unitario en la dirección .

De esta definición podemos concluir que el vector unitario es un vector colineal con [ ], al

que denominaremos vector deformación unitaria y será representado por .

(

)

Las proyecciones del vector sobre la dirección definida por y sobre el plano que es

perpendicular a dicha dirección son sus componentes intrínsecas.

La primera en la dirección , en la dirección de , es la deformación longitudinal unitaria en esta

dirección. Podemos obtener su expresión por medio de las componentes de deformación , que se

obtiene a partir del producto escalar.



(

)

La componente que denotamos por representa la deformación transversal unitaria; dicha

deformación no es más que la variación angular que experimenta en P la dirección definida por el

vector ; en la deformación definida por la matriz .

Del análisis trigonométrico podemos decir que las componentes intrínsecas del vector

deformación unitaria están relacionadas mediante la ecuación:

Ley de dualidad entre los estados tensional y de deformación.-

Como se puede observar existe cierta analogía entre el estado tensional y el estado de

deformación, existentes en un sólido elástico.



Esto sugiere la existencia de una ley de dualidad entre los estados tensional y de deformaciones ,

por esta razón todo lo deducido para el estado tensional se puede aplicar al estado de

deformación sin más que sustituir.

Esta ley dual nos permitirá exponer importantes propiedades del estado de deformación

obtenidas de la analogía con el estado tensional.

Elipsoide de deformaciones.-

El lugar geométrico de los extremos de los vectores

en el punto P de un sólido elástico para las

infinitas direcciones del vértice P, supuestos con orígenes coincidentes en P, es un elipsoide

denominado elipsoide de deformaciones.

La ecuación de dicho elipsoide referido a un sistema cuyos ejes coinciden con las direcciones

principales es:



Las longitudes de los semiejes de este elipsoide son precisamente los valores de las deformaciones

principales.

Cuadráticas indicatrices de deformaciones.-

Considerando sobre la semirecta que pasa por el punto P, definida por el vector

, un punto M tal

que:

El lugar geométrico del punto M al variar está formado por dos cuadráticas cuyos ejes coinciden

con las direcciones principales de la matriz de deformación y que llamaremos cuadráticas

indicatrices de deformaciones.

Sus ecuaciones son:

La naturaleza de estas cuadráticas depende del signo de las deformaciones principales;

suponiendo que se encuentran ordenadas de mayor a menor, es decir, se pueden

presentar cuatro situaciones:

1° Las tres deformaciones principales son positivas: .

Las dos cuadráticas se reducen a un elipsoide real para , ya que para el

elipsoide es imaginario. Se deduce que la deformación longitudinal unitaria es positiva en

todas las direcciones.

2° Dos deformaciones principales son positivas y otra negativa: .

Para se tiene un hiperboloide de una hoja, y para un hiperboloide de dos

hojas.

Ambos hiperboloides tienen el mismo con asintótico, de ecuación.



Se produce un alargamiento si la deformación unitaria es positiva, caso que se da cuando

la dirección que se considera es exterior al cono asintótico, cortando su línea de acción al

hiperboloide de una hoja ( Se produce un acortamiento cuando la dirección es interior al con asintótico, corta al

hiperboloide de dos hojas (

).

La deformación longitudinal unitaria es nula si la dirección es coincidente con una

de las generatrices del cono asintótico, en este caso el vector deformación unitaria solo

tiene una componente transversal.

3° Una deformación Principal es positiva y las otras dos negativas: .

Se tiene el caso contrario al anterior para ( se genera un hiperboloide de dos

hojas y para ( un hiperboloide de una hoja.

Se produce un alargamiento si la deformación unitaria es positiva, caso que se da cuando

la dirección que se considera es interior al cono asintótico, cortando su línea de acción al

hiperboloide de dos hojas ( Se produce un acortamiento cuando la dirección es exterior al con asintótico, corta al

hiperboloide de una hoja ( ).

La deformación longitudinal unitaria es nula si la dirección es coincidente con una

de las generatrices del cono asintótico, en este caso el vector deformación unitaria solo

tiene una componente transversal igual que en el caso anterior.

4° Las tres deformaciones principales son negativas: .

Se produce un acortamiento en todas las direcciones ya que para las doscuadráticas se reducen a un elipsoide real.

Deformación volumétrica.-



Al someter a un cuerpo a tensión en todas las direcciones se producirán deformaciones en todas

las direcciones, tomando en cuenta un sistema de referencia de ejes coincidentes con las

direcciones principales, el volumen de un elemento diferencial del cuerpo será: . ,

volumen que después de la aplicación de la tensión se convertirá en . Si

sabemos que las deformaciones principales son:

La ecuación para la dilatación cubica unitaria, que se conoce como e, es:

Observamos que el primer invariante de [D] nos da el valor de e que se produce en el sólido.

Si obtenemos la media aritmética de los términos de la diagonal principal, tomando como

sistema de referencia el de ejes coincidentes con las direcciones principales.

Se puede expresar [D] de la forma siguiente:

La matriz denominada matriz esférica, es un estado de deformación en el que únicamente se

presenta un cambio de volumen; la deformación volumétrica es representada por la dilatación

cúbica unitaria.



Esto indica que la matriz [ representa el estado de deformación en el que no se produce un

cambio de volumen, sino que solo se presenta un cambio de forma.

Condiciones de compatibilidad entre las componentes de la matriz deformación.-

Para obtener la matriz de deformación [D] a partir del desplazamiento es necesario simplemente

derivar sus componentes; sin embargo dada la matriz [D] no es posible asegurar que se puedan

deducir de ella las funciones u,v,w.

El cálculo del vector desplazamiento se debe realizar a través de la matriz deformación mediante

la resolución del siguiente sistema:

{ }

Se tiene un compuesto de seis ecuaciones con dos incógnitas. Para obtener las componentes de la

matriz [D] se deben cumplir ciertas condiciones para que el sistema sea compatible y por tanto

integrable.

Despejando las anteriores ecuaciones:

{

}

Que equivale a:



{

}

Cuyas condiciones necesarias de integrabilidad se obtienen igualando las derivadas cruzadas:

{

}

Despejando las derivadas de

{

}

Equivalente a:

{

}

Cuyas condiciones de integrabilidad se conocen como condiciones de integrabilidad o de

compatibilidad de la matriz de deformación.

Las condiciones se reducen a las siguientes:



{

}

Estas son las condiciones que deben verificar las componentes de la matriz de deformación para

que esta pueda representar un estado deformacional físicamente posible.

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