TRABAJO FINAL CALCULO DIFERENCIAL Presentado por: ANDRES FELIPE MARIN CASTAO Presentado a: BERNARDO PATIO Tema: MAXIMOS Y MINIMOS UNIVERSIDAD LIBRESECCIONAL PEREIRA2012 1). Se desa construir una caja rectangular con una pieza de carton de 24 pulgadas delargopor9deanchocortandocuadradosidnticosenlascuatroesquinas;y doblandoloslados.Encuentrelasdimensionesdelacajademximovolumen. Cul es ese volumen? Solucin:sco x cl loJo Jcl cuoJroJo quc sc :o o cortor; I cl :olumcn Jc lo co]o rcsultontc lucgo: I = x(9 -2x)(24 -2x) = 216x -66x2+4x3 x no pucJc scr mcnor quc u ni moyor quc 4.S o sco quc Jcbc moximizor I sobrc cl intcr:olo |u,4.S]. los puntos cstocionorios sc cncucntron iguolonJo o ccro lo Jcri:oJoddxy rcsol:icnJo lo ccuocion rcsultontc: I(x) = 216 -1S2x +12x2= 12(18 -11x +x2) => I(x) = 12(9 -x)(2 -x) = u= (9 -x) = u= x = 9y(2 -x) = u=x = 2 como 9 no csto cn cl intcr:olo solo sc tomo 2. lucgo boy trcs puntos criticos qucson: u,2,4.Scn los puntos rontcro I(u) = uyI(4.S) = u; cn 2 cl :olumcnI = 2uu. sc incluyc quc lo co]o ticnc un :olumcn moximo Jc 2uu pulgoJos cubicos cuonJo x = 2 o sco quc lo co]o ticnc 2u pulgoJos Jc lorgo, S pulgoJos Jc oncbo y 2 pulgoJos Jc olto o prounJiJoJ 2)Unvolantedebecontener50pulgadascuadradasdematerialimpresocon4 pulgadasdemargenarribayabajoy2pulgadasdemargenaloslados.Qu dimensiones debe tener el volante para que parta menos papel?

sco x lo oncburo y y lo olturo Jcl :olontc su orco A = xy. Ios Jimcnsioncs Jcl tcxto scron: x -4 Jc oncbo y y -8 Jc lorgo. El orco cs Jc Su pulgoJos cuoJroJocntonccs cl orco scro Su = (x -4)(y -8) = Jcspc]o y y qucJo: y =50x-4+8 por lo tonto cl orco scro: A =50x-4+8xlos :olorcs pcrmitiJos scron: x > 4 o sco (4, ). Jcri:onJo A:dAdx=(x-4)50-50x(1)(x-4)2+8 =8(x+1)(x-9)(x-4)2; iguolonJo ou8(x+1)(x-9)(x-4)2= u= x = -1yx = 9como x ticnc quc scr moyor quc cuotro (x > 4)cl :olor Jcx = -1no cs pcrmitiJo; cntonccs cl orco olconzo su minimo :olorcuonJo x = 9 por lo tonto y = 18 o si quc los Jimcnsioncs Jcl :olontc cn quc scusoro lo minimo contiJoJ Jc popcl son9 x 18 pulgoJos 3). Se tienen 100m de tela de alambre con la cual se planmea construir dos corrales adyacentes idnticos. Cules son las dimensiones del cercado total para el que es mxima el area Solucin:sco x cl oncbo y y lo longituJ Jcl ccrcoJo totol; cntonccs 2y +Sx = 1uuy =1002 - 3x2 => y = Sux -3x2 comoA = xyA = x(Su -3x2)=Sux -3x2; oJcmosu x 1003 boy quc moximizor cn[0,1003] Jcri:onJo A qucJo dAdx= Su -Sx;lucgo Su -Sx = u=> x =503 => los puntos criticos son u,503,1003 porox = uyx =1003 cl orco A = u; poro x =503

proJucc A = 416.67 por lo tonto los Jimcnsioncs sonx =503y y = 2Sm 4). Se va a cortar una viga rectangular de un tronco de seccin transversal circular. Si la resistencia de una viga es proporcional al productom de su anchura por el cuadrado de su altura; encuentre las dimesiones de la seccin transversal que da la viga de mayor resistencia . Solucin: cl Jiomctro Jcl tronco cs o, lo oncburo Jc lo :igo cs x y olturo y. sc moximizo o S, o sco lo rcsistcncio Jc lo :igo quc csto JoJo por S = Hxy2JonJc k cs unoconstontc Jc proporsionoliJoJ. lo rcsistcncio JcpcnJc Jc los 2 :orioblcs x y y cn JonJc o2=x2+y2 .: y2=o2- x2lucgo S=k x (o2- x2) => S= kxo2 kx3 los :olorcs oJmisiblcs Jc x son: u< x < a => dsdx= ko2- Skx2=0 => k(o2- Sx2)= u => x2=u23 => x =u3 comou3 cs cl unico punto critico Jc (u, o) cs proboblc quc Jc cl moximo Jc S, ol sustituir o:x =u3cn y2+ x2= o2 => y = 2.u3

5).Sequierecercarunlotede 8uum2 dearea.Siunodelosladosestasobrela orilla de un rio. Cules son las dimensiones del lote para q la longitud de la cerca sea minima? Solucin:supongomos quc x cs cl oncbo Jc lo ccrco. como A = x y y A = 8uu= 8uu = xy =>y =800x cs cl lorgo. lo longituJ Jc lo ccrco totol csto JoJo por I = 2x +800x csto sc pucJc cxprcsor: I =2x+800x y cs lo quc sc minimizo x2= u => x = u;sc Jcscorton los :olorcs uy-2uporo comprobor qucx = 2u cs cl :olorminimo rcloti:o. sc bollo lo scgunJo Jcri:oJo, o sco: Iii(2u) > u.si x = 2u =>800x=80020= 4u 6). Sen quiere construir un envase cilndrico de base circular cuyo volumen es de 12Scm3 hallarlasdimensionesquedebotenerparaquelacantidaddelamina empleada (area total) sea la minima. h

Solucin: R cs cl roJio Jc lo bosc cn cm b lo olturo Jcl cilinJro cn cm A cs cl motcriol gostoJo A = 2nRb +2nR21.I = nr2b = 12Scm3 cntonccs lo uncionquc quc sc minimizo cs lo 1.quc ticnc :orioblcs (R, b); Jcspc]omos b Jc lo ccuocion Jcl :olumcn y rccmplozomos bb =12SnR2=> A = 2nR.12SnR2+2nR2; => A =2SuR+2nR2=> A =2Su +2nR3R. sc minimizo osi: Ai=R. 6nR2-(2Su +2nR3)(1)R2=4nR3-2SuR2= u => 4nR3-2Su = u R =52n3, R2= u => R = u , sc Jcscorto o R = u => R =52n3 => b = 5 4n23n

quc sc JcJucc Jc b =12SnR2 7).Culessonlasdimensionesdeunconoconreadesuperficie10n que encierraelmayorvolumen?[Indicacin:rea=nr(b2+r2) .12; :olumcn = 1S nr2b] Solucin: lo contiJoJ quc sc Jcbc moximizor cs cl :olumcn => I =13nr2b 1. cl orco Jc lo upcricic cs:1un = nr(b2+r2)12 , sc rcsucl:c poro b cn tcrminos Jc r y qucJo: b = (1002-r2)12 y lucgo sc rccmplozo o b cn 1. osi: I =1Snr2(100 2-r2)12=1Snr(1uu - r4)12 sc Jcri:o y sc iguo o ccro os: Ii(r) =nS(1uu -Sr4)(1uu -r4)-12 => Ii(r) =2n(1uu -Sr4)S(1uu - r4)12= u => 1uu -Sr4= u=> r = (1003)14

=> r2= (1uuS)12= 1uSS; b = (1uuxS1uS-1uSS)12 => b = | 1uS (1 -13)]12= (2033)12= 2(5103)12 , lucgo los Jimcnsioncs Jc r y b son: r =1033= 10034 y b = 22534 8). Un silo consta de un cilindro con una parte superior hemisfrica. Hallar las dimensiones del silo con un volumen en fijo de I = 4unS que tiene la menor area de superficie. Inclyase al piso. Solucin: sc tomo cl :olumcn Jcl bcmiscrio y Jcl cilinJro y los orcos Jc coJo uno. cl :olumcn Jc uno cscro cs: I =34nr3 y su orco cs A = 4nr2 cl :olumcn Jc un cilinJro csto JoJo pr Ic= nr2b;y cl orco Jc lo supcricic Jcl cilinJro incluycnJo su bosc cs: Ac=2nrb +nr2. lucgo cl :olumcn Jcl silo csto JoJo por: I =23nr3+nr2by su orco por: A = 2nr2+2nrb +nr2=> A = n(Sr2+2rb) boy quc minimizor cl orco y Jcspc]or b Jcl :olumcn quc cs i]o cntonccs: 40n3=23nr3+nr2b => 403r-2-23rysc sustituyc cn cl orco: A = n _Sr2+2r [403r-2-23r] = n [Sr2+803r-1-43r2 = n [53r2+803r-1 ;sc Jcri:o Ai(r) = n [103-803r-2 si Ai(r) = u =>103r -803r-2= u 103r3-803= u => 103-803= u => 1ur3-8u = u => 1ur3= 8u r3= 8 => r = 83= 2; lucgo b =403(2)-2-23(2) =4012-43=40-1612=2412= 2 => b = 2yr = 2 R: lucgo cl silo ticnc roJio 2 y olturo 2 9). Se va a fabricar un recipiente cilndrico abierto, de volumen de 1 pic3. Hallar las dimensiones que minimizan el area del material usado en su construccin. Solucin: cl orco Jcl motcriol scro = 2nrb +nr2poro bollor b cn uncion Jc r si ticnc qucI = nr2byI = 1 => b =1n2=> A = 2nr [1n2 +nr2=2+nr2 sc Jcri:o A con rcspccto o "i" => Ai(r) =-22+2nr => Ai(r) = 2 [n3-12 sc iguolo o ccro => 2 [n3-12 = u =>nr3-1 = u=> r3=1n=> r = 1n3 pics; rccmplozo cn b y qucJo b =1n|(1n).-13]2 = 1|n (1n)2 3= 1n3.1n2 3= 1n 3= (n)-13 pics 10). Hallar las dimensiones del cono circular recto de area mxima de superficie que puede inscribirse en una esfera de radio r=1 Solucin: cl orco Jcl cono cs: A = nrs JonJc "s" es la geneiatiiz => ue acueiuo a la figuias=b2+ r2 => A = nr. (b2+r2)12como lo cscro ticnc roJio 1 cntonccs. b = 1 +x = 1 +(1 - r2)12 oqui boy Jos posibiliJoJcs: cscogcr como :orioblc o "x"o o lo :orioblc i. ol rccmplozor cl orco cn uncion Jc i sc bocc mos complc]opor lotonto: sc rccmplozo cm uncion Jc "x"lucgo. x2= 1 -r2=>r2= 1 -x2

A2= n2 r2 (b2+r2) A2= n2(1 -x2)|(1 + x)2+(1 -x2)] => A2= 2n2(1 +x -x2-x3) JA2Jx= 2n2(1 -2x - S x2) = u=>2n2(1 -Sx)(1 +x) = u => (1 -Sx) = u=> x =13 1 +x = u=> x = -1 cl :olor -1 no cs :oliJo por lo tonto sc tomox =13=> b = 1 +13 = 43 r = (1 -19)12= 223 11). Un hombre esta en un bote a 24km de distancia de una playa recta y desea un punto situado a 20km de la playa. Puede viajar a5km por hora en el bote y a 13kmporhoraentierra.enquepuntodeberatracarelboteconelobjetode minimizar el tiempo que se requiere para llegar al destino deseado? Solucin: timcsc x cl numcro Jc km JcsJc un punto P => lo Jistoncio quc Jcbc rccorrcr oSkmh cn J1= (242+ x2)12 o sco quc cl ticmpo scro: t =d11=> t = (242+x2)125;lo Jistoncio quc rccorrc o lo lorgo Jc lo ployo cs:J2= 2u -xo sco quc t2=d22 => t2=20-x13 cl ticmpo scro:tt=t1+t2 =>tt=(242+x2)125+20-x13 Jcri:onJo csto cxprcsion qucJo: dttdx=15x(242+x2)-12-13sc iguolo o ccro=> dttdx=15x(242+x2)-12-13= u => 1Sx = S(24x2+ x2)12=> 169x2= 2S( 242+x2) =>x2=25(24)2144

=>x2=14400144= 1uu=> x = 1uu = 1ukm

12). Un cartel deber tener un rea impresa de 150 cm2, con mrgenes de 3 cm en la parte superior e inferior, y 2 cm a cada lado. Hallar el rea mnima total Solucin: sc tomo x y o ylos Jimcnsioncs Jcl orco imprcso Jcl cortcl. lucgo cl orco totol csto JoJo por: A = (x +4)(y +6) pcro comoAI= 1Sucm2=> xy = Su =>150x

lucgo cl orcototol scro: A = (x +4) [150x+6 = 174 +6x +6uux-1sc Jcri:o poro minimizor y qucJo: Ai(x) = 6 -6uux-2sc iguolo o ccro=> Ai(x) = 6 -6uux-2= u => 6x2-6uu = u => x2=6006= 1uu => x = 1u lucgoy =150x=> y =15010= 1Slucgo cl cortcl mcJiro:x = 1u +4 = 14 Jc oncbo por = 1S +6 = 21 Jc lorgo 13).se necesita doblar un pedazo cuadrado de carton de un 1mt por cado lado para formar una caja que no tenga parte superior (habr que recortar pequeos cuadrados en cada esquina). Hallar las dimensiones de la caja que contenga el mayor volumen. Solucin: sc Jcbc moximizor cl :olumcn cl :olumcn: I = w2b JonJc b y w sc rclocionon osi: 2b +w = 1 => b =1-w2=> I = [1-w2 . w2=12w2-12w3 sc Jcri:o con rcspccto o w y qucJo Ii(w) = w -23w2sc iguolo o ccro => w -23w2= u=> w[1 -23w = u => w = uyw =23 cl moximo quc cs poro u < w cl :olor moximo Jc w =23

b =1-232= 3-232=16=> b =16m 14).hallar el punto sobre la grafia de y = x2+ 1 que este mas cercano al punto (8,3/2) Solucin: tomosc un punto Jc lo porobolo P(x, y) = (x, 1 +x2) lo ormulo Jc lo Jistoncio cntrc Jos puntos cs J = S = (x2-x1)2+(y2-y1)2 o sco quc Jc P o_8,S2]sc ticnc: S = |(x -8)2+(x2+ 1 -23 )2]12= |(x -8)2+ (x2-12 )2]12 csto cs lo Jistoncio quc sc Jcbc minimizor => sc clc:o ol cuoJroJo y sc Jcri:o: S2= (x -8)2+(x2-12)2=>ddx(s2) = 2(x -8) +4x [x2-12 = 2x -16 +4x3-2x = u=> x3= 4=> x = 43 => cl punto P scrio (43, 1 + 163) = (43, 1 + 223 )15).elgrosordeunempaquedecartoneselpermetrodeunextremo.Las restriccionesdeembarquequelasumadelgrosorylalongitudnoexceda100 pulgadas. Hallar las dimensiones del emblaje con un extremo cuadrado que tenga el mayor volumen. Solucin: sc tomo un cxtrcmo como cuoJroJo Jc loJo x pulgoJos y l pulgoJos su longituJ Jc ocucrJo ol cnuncioJol +4x Jcbc scr mcnor o iguol o 1uu => l + 4x = 1uu o sco quc x Jcbc scr moyor quc ccro pcro mcnor quc 2S => I = 1uu -4x lucgo cl :olumcn scro:I = x2I = x2(1uu -4x) => I = 1uux2-4x3 ol Jcri:or sc ticnc: Ii(x) = 2uux -12x2 sc iguolo o ccro=> Ii(x) = 2uux -12x2= u => x(2uu - 12x) = u => x = u x =503 lucgox =503=> I = 1uu -4x503=1003 I =1003 pulgoJos 16).para el embalaje del cartn del problema anterior, suponga que el paquete es cilndrico (es decir, el extremo es un circulo) Solucin: sc tomo un cilinJro Jc roJio ry longituJ I. cl punto Jc lo circuncrcncio cs 2nr => 2nr +I = 1uu=> u < r A = 2nr(1uu -2nr) +2nr2= 2uunr -4n2r2+2nr2 sc Jcri:o y sc iguolo o ccro: Ai(r) = 2uun -8n2r +4nr = u Ai(r) = 4nr(1 -2n) +2uun = u =>r =502n-1pulgoJos I = 1uu -2n(50)2n-1=100(n-1)2n-1 => I =100(n-1)2n-1pulgoJos 17). Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que encajara dentro de un cono de radio 3 y de altura 5. Suponer que los ejes del cilindro y del cono coinciden. Solucin: sc Jcbc moximizor cl :olumcn Jcl cilinJro I = nr2b Jc ocucrJo o lo igurosc tomo: AABC~ABE =>LAC=LBAB E = b;EB = S -r ; AB = S; AC = S lucgo hS=3-r3=> b = S -Sr3 =>I = nr2[S -53 = Snr2-53nr3: u r Ssc Jcri:o: Ii(r) = 1unr -Snr2= Sn r(2 -r) sc iguolo o ccro: Sn r(2 -r) = u=>r = uyr = 2 sir = u => I = u y r = S => I = u => r = 2 y b =53 18). Considere un triangulo con sus catetos sobre los ejes coordenados, cuya hipotenusa pasa por (4,3) hallar el area que pueda encerrar el triangulo. Solucin: poro bollor cl orco, primcro sc obticnc lo longituJ Jc lo bosc. lo rccto quc poso por cl punto (u, b)y(4,S)cs y =3-b4x +b, csto rccto ticnc intcrscccioncon x cn [4bb -S , u. lucgo cl orco Jcl triongulo cs A =12(bosc)(olturo) A =12[4bb-3 . b =2b2b-3; lo :orioblc bJcbc scr moyor o iguol o So sco b S => Ai(b) =(b-3).4b-2b2(1)(b-3)2=2b(b-6)(b-3)2 sc iguolo o ccro 2b(b-6)(b-3)2= u=> 2b(b -6) = u => b = uyb = 6 => Ai(6) =2(6)26-3=723= 24 R: cl orco minimo Jcbc scr 24 19). considere crculos que tienen el centro sobre el eje positivo x, y que pasan por el punto (0,a) donde a>0. Entre tales crculos, Cul es el centro (x,0) que maximiza la razn entre x y el rea del circulo? Solucin: lo rozon cntrc x y l orco Jcl circulo cs R =xn2 pcro x y r cston rclocionoJos porlo ccuocion pitogorico o2+x2= r2 Jc ocucrJo o csto cxprcsion lo rozon csto JoJo por: R =xn(u2+x2) sc Jcri:o csto rozon y qucJo: Ri(x) =u2-x2n(u2+x2)2 sc iguolo o ccrou2-x2n(u2+x2)2= u=> o2-x2= u=> x2= o2=> x = o o sco quc x = oproJucc cl moximo :olor poro lo rozon Jc R. 20). qu numero positivo minimiza la suma entre l y su reciproco? Solucin: sco x cl numcro y1x cs su rcciproco=> lo sumo S = x +1xJonJcx u sc Jcri:o y sc iguolo o ccro. => Si(x) = 1 -1x2= u =>x2-1x2= u=> x2= 1=> x = 1 21). Hallar lasdimensiones de los tringulos issceles de rea mxima que podra inscribirse en un circulo de radio a. Solucin: cl orco Jcl triongulo cs: A12 b. b JonJc b = o +y => tomonJo lo iguro y =o2-x2u < x < oyb = 2x lucgo cl orco qucJo A = x(o +o2-x2= ox +xo2-x2sc Jcri:o y sc ticnc: Ai(x) = o +(o2-x2)12-x2(o2-x2)-12= u => Ai(x) = o(o2-x2)12+o2-x2-x2= u Ai(x) = o(o2-x2)12= 2x2-o2 => o2(o2-x2)4x2- 4o2x2+o4+4x4-So2x2= u=> x2(4x2- So2) = u => 4x2= Sx2=> x =u32 o sco quc cl orco moximo Jcl triongulo scro cuonJo. x =u32, sicnJo osi b = o +(o2-3u24)12=3u2yb = 2 [u32 o sco b = oS22).se necesita cortar un alambre de 100 pulgadas de longitud en dos pedazos. Un pedazo deber doblarse para formar un cuadrado, mientras que el otro formara un crculo. En donde debera hacerse el corte si la suma de las dos areas debe ser mnima?

Solucin: sc tomo un pcJozo Jc olombrc con quc sc ormoro cl circulo y quc llomomos x. lucgo cl cuoJroJo sc boro con 1uu -x, o sco cl pcrimctro Jcl circulo scro 2nr = x y pcrimctro Jcl cuoJroJo 4S o sco S =100-x44S = 1uu -x =>S =100-x4 cl orco Jcl circuloA1= nr2 y orco Jcl cuoJroJo A2= S2o scoA2= (100-x16)2 A1= n [x24n2 = x24ncs orco totol cs: A = A1+ A2=>x24n+(100-x)216 sc Jcri:o y sc iguolo occro: Ai=2x4n-2(100-x)16= u 4x -n(1uu -x) = u=> x(4 +n) = 1uun => x =100n4+n Ai=x2n- 100-x8= 4x-100n+nx8n= x(4+n)-100n8n= [4+n8n [ x -100n4+n o sco quc cn A, ticnc un minimo cn x =100n4+n

23).una bodega rectangular tendr dos cuartos rectangulares separados por una pared interior y el piso deber tener 5000 metros cuadrados de area. El costo de las paredes exteriores es de $150 por metro lineal y el costo de las paredes interiores es de $90 por metro lineal. Hallar las dimensiones de la bodega menos costosa. Solucin: sc tomo xmcl oncbo y lorgo ymo sco: cl orco scroA = xy = Suuum2 cl costo scroC = 1Su(2x +2y) +9ux cn tcrminos Jc x scro C = S9ux +Su [5000x Jcri:onJo Ci(x) = S9u -1Suuuuux-2= u => x2=1500000x => x = 1uuS1S lucgoy = Su1SS 24). Un automvil va por una autopista hacia el oeste. 90 metros al norte de ella esta estacionada una patrulla de la polica vial. El patrullero observa el radar y ve que el automvil esta a 150 metros de distancia de la patrulla y que la distancia que los separa esta aumentando a razn de 72 metros por segundo. Hallar la velocidad del automvil en ese instante. Solucin: cuonJo x = 1Su,JxJt = 72; sc busco JyJt y2+9u2= x2 sc Jcri:o con rcspccto ol ticmpo t implicitomcntc=> 2yddt=2xdxdt =>yddt= dxdt. x1. cuonJo x = 1Su, y2+9u2= 1Su2o si qucy = 12u Jcbc bollor sc JyJtcuonJo y = 12uyJxJt = 27ol boccr lo sustitucioncs cn 1. sc ticnc: 12uddt= 1Su(72) o12uddt= 72(1Su) =>ddt=72-150120=9umscg 25). Si y = -x2 y JxJt = 4 durante todo el tiempo t. hallar JxJt ; J2 y Jt2 cuonJo x = 2 Solucin: sc tomo lo iguro y sc Jcri:o implicitomcntc y = -x2=>dxdt= -2xdxdt;como dxdt= 4 =>ddt= -2x. 4 = -8xcuonJox = 2 ddt= -16 sc Jcri:o Jc nuc:o =>d2dt2= -8 dxdt

d2dt2= -8 - 4 = -S2 26). Un hombre de 5 pies de estatura se aleja de un poste de alumbrado a rezon de 7 pies/seg. El farol del poste esta a 20 pies del suelo. Hallar la tasa a la cual se mueve el extremo de la sombra del hombre cuando este se encuentra a 8 pies del poste. Solucin: tomonJo lo iguro y ck problcmo Jicc quc dxdt= 7 y piJc bollor dzdt. poro rclocionor x y y sc tomo lo scmc]onzo cntrc los triongulo Jc lo iguro:z20= z-x5 lucgo Sz = 4x y S [dzdt = 4 [dxdt como dxdt= 7 cntonccs Sdzdt= 4 - 7 y dzdt=283 picsscg 27).cadaunodelosladosdeun estadiode beisbol mide 90 pies. Silapelotase boteaporlalneahacialatercerabaseconunavelocidadde100piespor segundo.Conquerapidezestcambiandoladistanciaentrelapelotayla primera base cuando la pelota se halla a mitad del camino hacia la tercera base? Solucin: cl cnuncioJo plontco quc: dxdt= 1uuypiJc bollor ddt cuonJo x = 4S por pitogoros sc ticnc: x2+9u2= y2 sc Jcri:o con rcspccto ol ticmpo:2xdxdt= 2yddt; cuonJo x = 4S=> 4s2+9u2= y2 osi quc y = 4SS => 2(4S)(1uu) = 2(4SS)ddt => cuonJox = 4S ddt= 4SS picsscg 28).Unavisorectangularquetiene24mdeanchoyunaprofundidadno pertinente. Da vueltas sobre un eje vertical que pasa por su centro. A razn de 5 revoluciones por minuto. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como unrectngulodeanchovariable.conquerapidezestacambiandoelancho aparente del aviso cuando este tiene 12 m de ancho, segn lo ve el observador, y su ancho esta aumentado? Solucin: w cs cl oncbo Jcl o:iso. El cnuncioJo plontco quc cl o:iso giro o rozon Jc Src:min lucgo d0dt= 1un roJmin. Sc bollo lo rclocion cntrc 0 y w scgun lo igurow = 24 sin0 . Sc Jcri:o con rcspccto ol ticmpo implicitomcntc => dwdt= 24 cos 0d0dt cuonJo w = 12sin 0 =12 . oJo quc cl oncbo Jcl o:iso csto oumcntonJo, 0 Jcbc cstor cntrc n2yu, o si quc0 =n6cn consccucncio: dwdt= 24 [cosn6 . (1un) = 12unSrc:min 29).Seestvaciandoarenasobreunmontndeformacnicaaraznde 20 m3min. la altura del montn es siempre igual al radio de su base. Cuando el montn tiene 3 metros de altura, con que rapidez est aumentando su altura? Solucin: cl :olumcn Jcl cono cs : =13nr2b; como r = b cntonccs: =13nb2b =13nb3. Sc Jcri:o:ddt= nb2.dhdt como ddt= 2ucuonJo b = S=> 2u = nS2dhdt =>dhdt=209n mmin 30).considereuntriangulorectngulovariableenunsistemadecoordenadas rectangulares.ElelvrticeAeselorigen,elngulorectoestaenelvrticeB sobre el eje y el vrtice C esta sobre la parbolay = [74 x2+1. Si el punto B comienza en (0,1) y se mueve hacia arriba a una tasa constante de 2 unidades/segundo. Con que rapidez est aumentando el rea del triangulocuando t=7/2 segundos? Solucin: cunoJo B csto cn (u, y), C Jcbc Jc cstor cn cl punto (x, y), cn JonJc (7 4 )x2+1 = ycsJccir: x = |47(y -1)]12cl orco Jcl triongulo cs A =12y |47(y -1)]12 Jcri:onJo con rcspccto osc ticnc: dAdt=12 y.ddt |4 (y -1)]12 + [4(-1)]12. ddt(12 y)=12 .12|4(y -1)]12 (4)djdt+|4(y -1)]12(12)djdt =7 |47(y -1)]12

ddt+12|47(y -1)]12 ddt como b comicnzo cn (u,1)y sc muc:c bocio orribo JyJt = 2cuonJo t =72 y = 1 +[72 2 = 8cn cstc instontc: dAdt=87 |47(8 -1)]-12(2) +12|47(8 -1)]12(2) R => JAJt=227 uniJoJcsscg31). Una particular se mueve a lo largo de la parbola y = x2. En qupunto de surecorridoestalaabscisaylaordenadadelapartculacambiandoalamisma velocidad? Solucin: poro quc lo :clociJoJ sco lo mismo cn "y"y cn x Jcbc cumplircc quc: ddt=dxdtlucgo tcrminoJo lo uncion y = x2=>ddt= 2xdxdt poro quc sc cumplo lo conJicion 2x Jcbc scr iguol o "1" (uno). o sco, 2x = 1 => x =12=> y = x2=> y = (12)2=14lucgo los coorJcnoJosscron: [12,14 32).considereunaarandeladecauchoqueestacomprimida.Enundeterminado momentoseobtienenlassiguientesmedidas:eldimetroexternodelaarandela esde3cm;sudimetrointernoesde1cm;elgrosordelaarandeladisminuyea una tasa de 14cm/min; y el dimetro externo est aumentando a una tasa de 12cm/min.Sielvolumendelaarandelasemantieneen n cm3 entodomomento.a quetasaestcambiandoeldimetrointernoenelinstanteenquesetomanlas medidas? Solucin: sco I cl :olumcn, cl grosor 0, cl Jiomctro intcrno E y cl Jiomctro cxtcrno Jc lo oronJclo cston rclocionoJos por: I = 0| n (2)2-n(h2)2] = nu4(2-E2) sc Jcri:o con rcspccto ol ticmpo dvdt=n40.ddt(2-E2) +n4 (2-E2).dudt=n4 0 [2.ddt-2EdHdt +4n(2- E2)dudt dudt= -14; ddt=12 = S;E = 1cs ncccsorio bollor 0 lucgo qucJo quccomo cl :olumcn sicmprc cs iguol o ncm3cn toJo momcnto=>dvdt= uy0 sc pucJc bollor tomonJo: I =nu4(2-E2) => n =n4 0(S2-12) =n4 0(8) =>n =n4 0(8) => 0 =4n8n=12 => 0 =12 lucgo rccmplozomos cn lo Jcri:oJo: dvdt=n4 0 [2ddt-2EdHdt +n4(2-E2)dudt=> u =n4.12[2(S)12-2(1).dHdt + n4 (S2-12) [-14 => u =3n8-n4 dHdt+ [-n2=>n4 dHdt=3n8-n2=>dHdt=128-42= -48= -12 R: dHdt= -12

cmmin 33).sean A,D,C y r el area, la circunferencia y el radio de un circulo, respectivamente. En un punto determinado instante, r=6 y JrJt = S cmscg Hallar la tasa de variacin con A respecto a:a)r; b) D; y c) t Solucin: cl orco Jc un circulo csto JoJo por: o)A = nr2Jcri:oJo =>dAdt= 2nr=> cuonJo r = 6 =>dAd= 12ncm2min b) cl Jiomctro cs iguol o 2r => A = n(2)2=14 n2 =>dAd=12n =12 n(12) = 6ncm2cm c) lo longituJ Jc lo circuncrcncioC = 2nr yA = nr2 sc Jcri:on ombos con rcspccto o C. =>dAdC= 2nr ddC y1 = 2n ddC =>ddC=12n =>dAdC= 2nr.12n= r; cuonJor = 6, dAdC= 6cm2cm J) Jcri:omos A = nr2rcspccto o t =>dAdt= 2nr ddt; pcror = 6ddt= S y dAdt= 2n - 6 - S = S6n cm2scg 34). Dos motocicletas que viajan en direccin opuesta por una carretera de doble vaestnaproximndoselaunaalaotra.Cadamotovaporelcentrodesu respectivo carril y los centros de los carriles estn a 10 metros de distancia uno del otro.Lamotocicleta,queviajahaciaeloesteestadesplazndosearaznde25 m/seg. La motocicleta que viaja hacia el este se desplaza a razn de 30 m/seg, y la luz de su faro proyecta la luz de la otra motocicleta sobre la cerca que bordea la carretera, a 20metros del centro del carril contrario. Con que rapidez se mueve la sombra que proyecta sobre la cerca la motocicleta que viaja en direccin oeste? Solucin: sc bollo dxdt.cl cnuncioJo Jicc qucdzdt= Su y ddt= 2S. por scmc]onzo Jc triongulos cn lo iguro sc ticnc: z-x30=-x20=> 27 = Sy -xsc Jcri:o y sc sustituyc los contiJoJcs conociJos => 2 dzdt= S.ddt-dxdt => 2(-Su) = S(2S) -dxdt =>dxdt= 1SS mscg R: lo sombro sc muc:c o rozon Jc 1SSmscg 35).Unfaroldealumbradopblicotiene20piesdealturasyestaa5piesdela acera. Si un polica que mide 6 pies de estatura camina sobre la acera a razn de 4 pies/seg. con que rapidez est cambiando la longitud de su sombra cuando l est a 13 pies de distancia de la base del poste de alumbrado? Solucin: sc bollo dzdt cuonJo x = S. El cnuncioJo Jicc quc ddt= 4.sc :criico quc y y zcstcn rclocionoJos por Jos ccuocioncs, lo 1ro Jc los cuolcs cs por pitogoros y2= x2-2Soy2+ 2S = x2por scmc]onzo Jc triongulosz6=x-z20=> 72 = Sx => x =7z3 rccmplozomos o x2cn cl Jc pitogoros qucJo y2+2S = (7z3)2=> y2+2S =49z29Jcri:oJo con rcspccto o t qucJo: 2y ddt=989 z dzdt; tombicn sc bollo yyz cuonJo x = 1S => y2+2S = 1S2=> y = 12;72 = S(1S) => Z =397 como ddz= 4=> rccmplozonJo cn lo Jcri:oJo qucJo2(12)(4) =989 .397

dzdt dzdt=14491

picsscg36). Hallar las dimensiones del cono circular recto de volumen minimo que se puede circunscribir en una esfera de 8 cm de radio Solucin: sco x cl roJio Jc lo bosc Jcl cono y +8 lo olturo Jcl cono. como lostriongulos AE y ABC son scmc]ontcs, sc pucJc cstoblcccrlos siguicntcs rclocioncs:BCL=ABAL=>x8=+82-64 X8=+82-64

=> x =8(+8)2-64; cl :olumcn Jcl cono csto JoJo por: I =13nr2bJonJc r = xx2=64(+8)22-64

x2=64(+8)2(+8)(-8)=>x2=64(+8)-8 yb = y +8=> I =13nx2(y +8)lucgo I = 13n .64(+8)-8 . (y + 8) =1 n 64 (+8)23(-8) Jcri:onJo qucJo:Ii=64 n (+8)(-24)3(-8)2= u => y = -8 y y = 24 S(y -8)2= u => y = 8quc Jcbcn onolizorsc pucs Ii(8) Jcbc Jcscortorsc, lucgo sc tomoy = 2I lucgo lo olturo Jcl cono cs y +8 = 24 +8 = S2, cl roJio Jc lo bosc scro: x =8(+8)2-64=8(24+8)576-64=8(32)162= 82 37).eldepartamentodecarreterasplaneaconstruirunareadepicnicpara automovilistas al lado de una carretera principal. Serrectangular, tendr un area de 5000 yardas al cuadrado y estar cercada por los tres lados no adyacentes a la carretera. Cul es la menor cantidad de cerca que ser necesaria para completar el trabajo? Solucin: P = 2y +x A = xy = Suuu => y =5000x P = 2.5000x+x =10000x+xsc minimizo Jcri:onJ. Pi= 1 -10000x2= u => x2-1uuuu = u => x _1uuuu = _1uu 1uu cs cl unico :olor critico oJmitiJo. sc oplico lo scgunJo Jcri:oJo => P" =20000x3lo cuol cs positi:o poro x > u. lucgo 1uu cs un mismoobsoluto cn cl intcr:olo (1uu) =2-5000100+1uu = 2uu yorJos 38). Una escalera de 3m descansa contra un muro sobre el nivel del suelo. Si se aleja el extremo inferior de la escalera a una velocidad de 1.2 mscg a qu velocidad desciende el extremo superior, en el instante en que est a 2.4 metros del suelo? Solucin: sco y lo olturo sobrc cl suclo; x lo Jistoncio quc lo scporo Jcl muro. cunoJoy = 2.4 => x = 1.8 por pitogoros, pucs x2+y2= 9 Jcri:onJo implcitomcntc sc ticnc quc: 2xdxdt+2yddt= u=>dxdt= 1.2x = 1.8y y = 2.4 => 2(1.8)(1.2) +2(2.4) djdt= u =>djdt= -4.324.8= -u.9mscg ddtcs lo :clociJoJ con quc JcscicnJc lo cscolcro :crticolmcntc cuonJo csto o lo olturoJc 2.4 mctros 39). Un hombre est parado en un muelle y hala un bote por medio de una cuerda. Susmanosestna3mporencimadelamarredelbote.Elboteesta3.6mdel muelle.Sielhombrehalalacuerdaaunavelocidadde0.9mscg aqu velocidad se aproxima el bote al muelle? Solucin: sco x lo Jistoncio Jcl botc ol mucllc y z lo longituJ Jc lo cucrJo. cuonJo x = S.6yz = 4.7por pitogorosx2+9 = z2 Jcri:onJo sc ticnc: 2x dxdt= 2z dzdt =>dxdt=2z-0.92xmscg =4.7(0.90)3.6= 1.17S dxdt cs lo :clociJoJ con quc sc occrco cl botc ol mucllc 40).Unhombrede1.8m deestaturase alejaaunavelocidad3kmbdeunaluz que est a 4.5m sobre el nivel del piso. Cuando su distancia horizontal de la luz es 3.6ma)aquvelocidadcrecelasombra?b)aquvelocidadsemuevela parte ms alejada de la sombra con respecto a la luz? Solucin: o) sco x lo Jistoncio Jcl limitc o lo proycccion Jc lo luz. "y" lo longituJ Jc lo sombro. Por scmc]onzo Jc triongulos:x+4.5=1.8=> 1.8 = 2.7y Jcri:onJo qucJo:1.8 dxdt= 2.7 ddt=>dxdt= Skmh=> 1.8 - S = 2.7 ddt =>ddt=5.42.7= 2 kmh b) sc ncccsito sobcr con quc ropiJcz combiox +yo sco: ddt (x +y) =dxdt+ddt= S +2 = S kmh 41).Unestudioambientaldeciertacomunidadsuburbanasealaqueel nivelmediodiariodemonxidodecarbonoenelaireser C(p)= u.Sp2+ 17 partes por milln cuando la poblacin sea de p miles. Se estima que dentro de t aos la poblacin de la comunidad ser: P(t)=3.1+0.1t2 miles. a qu tasa cambiara el nivel de monxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 3 aos? Solucin: cl ob]cto Jcl problcmo cs bollor,dcdtcuonJo t = Slo rcglo Jc lo coJcnoJcJucc quc: dcdt=dcdp .dpdt=>dcdp=P20.5p2+17ydpdt= u.2 t dcdt=P20.5p2+17 . u.2 t => poro=>t = SP(S) = S.1 + u.1(S)2 P(S) = S.1 + u.1(9) = S.1 + u.9 = 4 rccmplozonJo cn dcdt qucJo: dcdt=4-0.2-320.5(4)2+17=2.4225=2.410= u.24 portcs por milloncs ol oo 42).unamanchadepetrleoseexpandecircularmenteenelagua;de maneratalqueelradioaumentaaunavelocidadde4piesporsegundo, cuando el radio es de 20 pies. a qu velocidad aumenta el rea del circulo de agua contaminada? Solucin: como ddt= 4 pcsscg sc Jcbc Jcri:or cl orco con rcspccto ol ticmpo; y cl orco Jc un circulo cs A = n r2 =>dAdt= 2nr ddt; cuonJor = 2u pics,dAdt= 2n - 2u - 4 = 2n. 2u pics - 4 =>dAdt= 16unpcs2scg quc cs lo :clociJoJ o quc oumcnto cl orco Jc oguocontomiJo 43).Aunconorectoinvertido(circular)leentraaguaaraznde 2cm3 por segundo. La altura del cono es 2 veces su dimetro. a que rapidez sube la superficiedelaguacuandolamismaalcanzaunaprofundidadde10cmen el cono? Solucin: sco I cl :olumcn Jcl cono; b = lo olturo o su prounJiJoJ .r = cl roJio supcrior.t = ticmpo cn scgunJos. El :olumcn Jcl cono csI =13nr2. bJonJcb = 4r r =h4 => I =13n. (h4)2. b => I =nh348

dvdt=116 nb2 dhdt ddt= 2 cm3scg => 2 cm3scg=116 nb2 dhdt

=>dhdt=32n.h2 b = 1ucm=>dhdt=32100n=0.32n= u.1u2cmscg 44). En una cisterna cnica fluye agua a razn de 8 pies cbicos por minuto. Si la altura de la cisterna es de 12 piesy el radio de su base circular es de 6 pies si su base esta hacia arriba, con qu rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 pies de profundidad? Solucin: cl :olumcn ddt= 8pcs3mnylo quc sc quicrc sobcr cs dhdt cn momcnto b = 4 cl :olumcn Jc un cono cs: I23 nr2b.tomonJo lo iguro boy scmc]onzoJc triongulos y sc pucJc Jor lo rclocion6=h12 => 12r = 6bb = 2ror =h2

=> I =13 n h24 . b ;I =nh312quc sc cumplc poro toJot > u =>ddt=3n212

dhdt=>ddt=nh24

dhdt => 8 =n(4)24

dhdt =>dhdt=3216n dhdt= u,6S7 o sco quc ol oguo subc o rozon Jc u,6S7 pics por minuto 45). Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de mximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto dado. Solucin: scoolo olturo Jcl cono ybcl roJio Jcl cono JoJo, ombos constontcs.b ; ry:lo olturo, cl roJio, y cl :olumcn Jcl cilinJro. I = nr2[o -ub = onr2-un3bporqucu-h=ub b = o -uby sc rccmplozo b cn I = nr2bquc cs cl :olumcn Jcl cilinJro HoximizomosoIcn |u, b] dd= 2onr -3un2b= onr [2 -3b = u=> Sr = 2b=> r =2b3 como b = o -ub=> b = o -u .2bb3=o -2u3

=> b =u3 46). Encuentre las dimensiones del rectngulo de mxima rea que se puede inscribir en un semicrculo de radio r. Solucin: A = x bJonJcr2=x24+ b2 => 4r2= x2+ 4b2=> 4b2= 4r2- x2=> x2= 4r2- 4b2 => x = 4(r2- b2) x = 2r2- b2=>A = b. 2r2- b2 sc Jcri:o poro moximizoru b r=>dAdh=-8h2+4222-h2= u - 8b2+ 4r2= u => u => 4r2= 8b2 r2=84 b2=> r = 2 47). Cul es el rea mxima posible de un rectngulo cuya base reposa sobre el ejexcon sus dos vrtices superiores sobre la grafica y = 4 - x2 Solucin: scon los :crticcs supcriorcs JoJos por (x, 4 - x2) y (-x, 4 - x2) cntonccs cl orco csto JoJo por: A = 2x(4 - x2) A = 2x(4 - x2) = 8x - 2x3u < x < 2 cl orco moximo ocurrc cuonJo Ai= u => dAdx= 8 - 6x2=> Ai= u =>43= x2 => x =233 , por lo tontoy = 4 - (233)2= 4 -4-39=83. JoJo quc Aii< u sc ticnc quc cl orco moximo csA = 2.233 .83=3239

48).Laresistenciadeunavigarectangularvarasegnelanchodeesta. Cuandolavigaesapuntaladacuidadosamenteenlosextremos,la resistencia es proporcional al cuadrado del espesor de la viga. Cules son las dimensiones de la viga ms resistente que pudiera cortarse de un tronco cilndricoderadiode3pies(lavigatieneunaresistencias = kxy2) Solucin: k cs uno constontc Jc proporcionoliJoJ Jc ocucrJo o lo iguro: (x2)2+ (2)2= 9 por pitogoros x24+24= 9 =>x2+24= 9 => x2+ y2= S6Jcspc]onJo y2qucJo: y2= S6 - x2=> s = kx. (S6 - x2) => u x 6s = S6kx - kx3=>dsdx= S6k - Skx2sc iguolo o ccro => S6k - Skx2= u=> Skx2= S6kx = 363= 2S pics como y2= S6 - x2yx2=366 => y2= S6 -366=>y2= S6 - 12 = 24 => y = 24 = 26.los Jimcnsioncs sonx = 2Sy = 26 cl orco scroA = xy => A = 2S . 26 = 4 - S2 = 122 => A = 122 49). Al derretirse una bola de nieve con radio inicial de 12cm, su radio decrece a razn constante de 0.5 cm/h. si si comienza a derretirse cuando t=0, Cul ser la tasa de disminucin del volumen de la bola de nieve al cabo de 12 horas? Solucin: scrorcl roJio Jc lo bolo Jc nic:c. cl :olumcn Jc lo bolo cs I =43nr3

sc Jcri:o cl :olumcn cn: ddt=43n. Sr2 ddtcomoddt= u.S cmhcl roJio quc iniciolmcntc cs Jc 12cm, cn 12 boros Jccrccc u.S cmh- 12b = 6cm =>ddt=43n. S(6)2. u.S = 72n cm3h

lucgo lo toso Jc Jisminucion Jcl :olumcn uc Jc 72n.cm3h