PROBABILIDADES

La probabilidad es una razón que parte del número 0 y llega

hasta el número 1Se calcula con la fórmula:

Donde A es un suceso o caso

Veamos un ejemplo:

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado?Solución:

Para calcular la probabilidad solo debemos encontrar el número de casos posibles y el número de casos favorables

Al lanzar un dado tenemos 6 casos posibles, los cuales son: {1, 2, 3, 4, 5, 6}Y los números mayores que 2 son: {3, 4, 5, 6}Por lo tanto el resultado es:Ejemplo2:En una urna hay 6 bolitas blancas, 3 bolitas amarillas y una bolita roja. Extraemos al azar una bolita y nos fijamos solamente en su color. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita extraída sea de color blanco?

Solución– Igual que en el primer ejemplo debemos encontrar el

numero de casos posibles y el numero de casos favorables, el numero de casos posibles son 10, ya que hay 10 posibilidades de sacar una bolita.Ahora bien de sacar una bolita blanca solo tengo 6 posibilidades de un total de 10.

– Por lo tanto casos favorables:6 y casos posibles:10

El resultado es:

Ejemplo 3:

• Un mecánico tiene en su maletín llaves planas de las medidas 9 al 17 mm inclusive. Necesita soltar una tuerca de 11 mm para una reparación. Si elige una de sus llaves al azar, ¿Cuál es la probabilidad que sea de la mediad exacta de la tuerca?

Solución:

Al ver la figura nos damos cuenta de que hay 9 llaves y solo 1 es de 11 mm.

Por lo tanto casos favorables: 1 y casos posibles: 9El resultado es:

Para el caso de lanzar dos dados o un dado dos veces se tienen en total 36 combinaciones de números, las cuales

podemos ver así:Entonces gracias a este gráfico podemos calcular ejemplos

como:Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de

que la suma de puntos sea divisible por tres

Solución:

• Usemos el grafico para encontrar todas las combinaciones que pide el ejemplo, se tienen: total de 36

Por lo tanto el resultado es

Ejemplo 4:

• Se lanzan dos dados usuales, uno amarillo y uno blanco, ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo el dado amarillo muestre menos puntos que el blanco?

Otro caso especial es cuando se lanzan dos o más monedas, se tiene que:

Y así sucesivamente

Ejemplo:

• José y Daniel juegan a lanzar una moneda. José dice: "Si lanzo dos veces seguidas una moneda al aire tengo más probabilidades de obtener 2 veces cara, que si la lanzo 3 veces". Daniel dice que José está equivocado.¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

Solución:Para saber quien tiene la razón solo debemos averiguar la probabilidad de sacar dos caras al lanzar dos veces la moneda , y al lanzar tres veces la moneda.

Veamos la figura anterior para encontrar las probabilidades:

Respuesta: la razón la tiene Daniel, ya que la probabilidad de sacar dos caras al lanzar

tres veces la moneda es mayor que al lanzarla dos veces.

•

Con ejemplos como:

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado el número que salga sea impar?

Solución:Sea A: salga número impar

P(A) = 3/6 = 1/2

• Pero como calculamos la probabilidad de que al tirar el dado el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4

• Solución: Sean• A: salga menor que 3• B: salga mayor que 4

P(de que el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4) es:

P(A ó B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6¿Por qué? Veamos el siguiente dibujo:

Casos posibles = 6 Casos favorables = 4Menores que 3 o Mayores que 4

Veamos otro ejemplo

• De una baraja de naipe inglés, con sus 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar un 4 o un 5?

• Solución: Sea• A: sacar un 4 ------> P(A) = 4/52

B: sacar un 5 ------> P(B) = 4/52

Por lo tanto: P(A ó B) = P(A) + P(B) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13

Ejemplo 3:

• ¿Qué tal si consideras de nuevo el mazo de naipe inglés del ejemplo anterior y sacas una carta? Supón que ganas apenas sale una figura o un corazón.

• Entonces ¿Cuál es tú probabilidad de éxito?

Solución:Del total de 52 cartas, las cartas ganadoras son todas las de corazones, las cuales son 13

• Y a éstas hay que añadirles las figuras de las otras tres pintas, las cuales son 9

• Por lo tanto la probabilidad que tenga éxito será:

EJERCICIOS

1) Claudia participa en una rifa de 150 números. Si se venden todos los números y Claudia tiene una probabilidad de ganar, ¿cuántos

números compró?2) Daniela tiró 8 veces un dado no cargado y en todos los tiros obtuvo

un 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento obtenga un 5?

3) Un dado está trucado para que el 6 tenga una probabilidad de salir de 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 6?

4) La probabilidad porcentual de sacar un trébol de un naipe de 52 cartas es:

5) Rayén recibe un llavero con 7 llaves, de las cuales sólo abre la puerta des Paraíso. Como no sabe cual es esa llave, comienza a

intentar abrir la puerta eligiendo sucesivamente al azar llaves de su llavero, pero teniendo cuidado de no repetir ninguna. ¿Cuál es la

probabilidad que logre entrar al Paraíso al tercer intento?Hasta el momento hemos calculado probabilidades solo dividiendo el

número de casos favorables, por el número de casos posibles.