Observación: Llamamos a M una cota superior de la sucesión. En las figuras anteriores las tres sucesiones son acotadas, puesto que

│3 + (-1)n│ ≤ 4, │2n/(1 + n)│ ≤ 2 y │n2/(2n – 1)│ ≤ 4/3

Una importante propiedad de los números reales es la de ser completos, lo cual significa geométricamente que no hay agujeros ni huecos en la recta real. El axioma de completitud de los reales puede ser utilizado para concluir que si una sucesión tiene cota superior, entonces ha de existir una mínima cota superior. Así, la cota superior mínima de la sucesión {an} = {n/(n + 1)},

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … , n/(n + 1), …

es 1, ya que la sucesión es monótona y converge hacia 1 y │n/(n + 1)│ ≤ 1. Esto nos lleva a decir que

Sucesiones monótonas acotadasSi una sucesión {an} es monótona y acotada, entonces es convergente.

Obviamente las sucesiones divergentes son no acotadas o no monótonas.

Ejemplo. Decir si la sucesión 1/2, 4/3, 9/4, 16/5, … , n2/(n + 1), … es o no convergente.

Evidentemente la sucesión es creciente, lo cual implica que es monótona; pero a la vez se puede notar que no existe un número real positivo tal que el n-ésimo término sea menor que dicho número real, es decir

lim an = ∞ n → ∞

por lo que la sucesión no es acotada. De acuerdo a la definición de sucesiones monótonas acotadas, podemos decir que la sucesión es divergente.

EjerciciosNadie dijo que esto sería totalmente fácil, pero ¿cuáles son las cosas fáciles de la vida? ¡A continuar con la lucha!

1. Escribir los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término general se indica.a. an = 2n

b. an = (-1/2)n

c. an = 3n/n!

d. an = (-1) n(n+1)/2 n!

e. an = n/(n + 1)

f. an = sen(nπ/2)

g. an = 5 – 1/n + 1/n2

h. an = 3n!/(n – 1)!

2. Escribir una expresión del n-ésimo términoa. 1, 4, 7, 10,…

b. 3, 7, 11, 15,…

c. -1, 2, 7, 14, 23,…

d. 1, 1/4, 1/9, 1/16,…

e. 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,…

f. 2, 3/3, 4/5, 5/7, 6/9,…

g. 2, -1, 1/2, -1/4, 1/8,…

h. 1/2, 1/3, 2/9, 4/27, 8/81,…

i. 2, 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, 1 + 1/5,…

j. 1/(2×3), 2/(3×4), 3/(4×5), 4/(5×6),…

k. 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120,…

l. 2, -4, 6, -8, 10,…

m.1, x, x2/2, x3/6, x4/24, x5/120,…

3. Determinar si es convergente o divergente cada sucesión. Si es convergente, hallar el límite.a. an = (n + 1)/n

b. an = 1/n3/2

c. an = (-1)n [n/(n + 1)]

d. an = (n – 1)/n – n/(n – 1), n ≥ 2

e. an = (3n2 – n + 4)/(2n2 + 1)

f. an = √n/(√n + 1)

g. an = [1 + (-1)n]/n

h. an = (n2 – 1)/(n + 1)

i. an = 1 + (-1)n

j. an = cos(nπ/2)

k. an = 3 – 1/2n

l. an = 3n/4n

m.an = 21/n

4. Determine si la sucesión dada es monótona.a. an = 4 – 1/n

b. an = 4n/(n + 1)

c. an = (cosn)/n

d. an = (2/3)n

e. an = (3/2)n

f. an = (-1)n (1/n)

g. an = (-2/3)n

h. an = sen(nπ/6)

i. an = n/2n+2

5. Considere la sucesión {An} con término general

An = P(1 + r/12)n

donde P es la inversión, An el capital tras n meses de interés compuesto y r el porcentaje anual de interés.

a. ¿Es convergente?b. Hallar sus tres primeros términos si P = C$ 9000 y r = 0.115

6. Un depósito de 100 córdobas mensual en una cuenta que recibe un 12% de interés compuesto mensualmente, produce tras n meses un capital de

An = 100(101)[(1.01)n – 1]

a. Calcular los primeros términos de la sucesión.b. Hallar el balance tras cinco años.

IV. PROGRESION ARITMETICA Y GEOMETRICA

Se llama progresión aritmética una sucesión de números, en la cual cada término siguiente se obtiene del anterior sumando a éste un mismo un número denominado diferencia de la progresión.

Nota: Si la diferencia de la progresión –que denotaremos con d– es positiva (d > 0), la progresión es creciente; si d < 0, es decreciente.

Ejemplos de progresiones aritméticasa. 1, 5, 9, 13, 17, …

Esta sucesión tiene una diferencia constante entre los términos consecutivos de la sucesión, además d = 5 – 1 = 9 – 5 = … = 4 (d > 0) por lo que ésta es una progresión aritmética ascendente.

b. 50, 43, 36, 29, …

La sucesión tiene diferencia constante y negativa; por lo tanto, es progresión aritmética descendente.

Para calcular cualquier término de una progresión aritmética se puede utilizar la expresión

an = a1 + (n – 1)d

la cual es fácilmente demostrable.

Ejemplo. Hallar el 13° término de la progresión: 3, 5, 7, 9,…Como el primer término es a1 = 3, n = 13 y la diferencia d = 2. Sustituimos en la fórmula anterior

a13 = 3 + 12×2 = 27

Media aritmética:Es la semisuma de dos números; por lo tanto, cualquier término de una progresión aritmética (excepto el primero) es la media aritmética de dos de sus términos contiguos, así

ak = (ak-1 + ak+1)/2

Ejemplo. Intercalar 7 medias aritméticas entre los números 8 y 20.Solución:El significado de lo que se nos pide, es que se deben hallar 7 números tales que junto con los números dados 8 y 20 formen una progresión aritmética; el primer término de esta progresión es el 8, el noveno, el 20. Tendremos que

a9 = a1 + 8d; 20 = 8 + 8d d = 1.5La progresión buscada será:

8, 9.5, 11, 12.5, 14, 15.5, 17, 18.5, 20.

Suma de los n primeros términos en una progresión aritmética.Algo simple, pero que a veces pasa desapercibido, es el hecho de que en una progresión de este tipo la suma de dos términos

equidistante de los extremos es igual a la suma de los términos extremos. Veamos la siguiente progresión aritmética

1, 2, 3, 4, 5, 61 + 6 = 7; 2 + 5 = 7; 3 + 4 = 7

Tal hecho lo podemos considerar y obtener una fórmula para sumar n términos de una progresión aritmética. Designemos la suma por Sn

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an

Como el orden de los sumandos no debe alterar la suma

Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1

Sumando miembro a miembro vemos que

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an-1 + a2) + (an + a1)

En cada paréntesis tenemos una suma de dos términos equidistantes de los extremos de la progresión; por lo tanto, todas estas sumas entre paréntesis son iguales entre si y cada una de ellas es igual a la suma de los términos extremos a1 + an; en total son n paréntesis, es decir tantos como términos tiene la progresión. Por eso,

Sn = (a1 + an)n/2

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicada por el número de términos.

Una forma alternativa de expresar la fórmula anterior esSn = [2a1 + (n – 1)d]n/2.

Ejemplo. Hallar la suma de 10 términos de una progresión: 18, 14, 10, 6,…Solución: La diferencia es d = -4, el primer término 18; n = 10. Utilizando la segunda fórmulaS10 = [2×18 + 9×(-4)](10)/2 = 0

Se llama progresión geométrica una sucesión de números, en la que cada término siguiente es igual al término anterior multiplicado por el mismo número, llamado razón de la progresión.

Nota: Si la razón de la progresión –que denotaremos por q– es mayor que 1 (q > 1), la progresión es creciente; si 0 < q < 1, la progresión es decreciente.

Ejemplos de progresiones geométricas a. 2, 4, 8, 16, 32, …

Vemos que la sucesión tiene una razón constante q = 4/2 = 8/4 = … = 2. Además q > 1, podemos afirmar que esta sucesión es una progresión geométrica creciente.

b. 9, 3, 1, 1/3, 1/9, …Siendo q < 1 y constante, la progresión es geométrica decreciente.

c. La sucesión 12, -6, 3, -3/2, 3/4, …,no es creciente ni decreciente; por que, aún cuando es geométrica, cada término consecutivo puede ser mayor o menor que el precedente.

Para calcular cualquier término de una progresión geométrica lo podemos hacer por medio de la expresión

an = a1qn-1

Ejemplo. Determinar el octavo término de la progresión: 1, 3, 9, 27,…En este ejemplo a1 = 1; q = 3; por eso

a8 = 1×37 = 2187

Media geométrica.Es el número cuyo cuadrado es igual al producto de dos números dados, así

ak2 = ak-1×ak+1

Recuerde de su curso de Matemática Básica, el número 6 es la media geométrica del 4 y 9.De este modo, todo término de una progresión geométrica es la media geométrica de dos términos equidistantes a él.

Ejemplo. Intercalar entre los números 2 y 1458 cinco medias geométricas.La condición es encontrar cinco números tales que junto con los números dados 2 y 1458 formen una progresión geométrica cuyo primer término sea 2 y el 7° término 1458.

a7 = a1×q6, 1458 = 2q6; lo que implica que q6 = 729 y q = ±3 ¿por qué?

Nos encontramos con dos posibles progresiones2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458Ó2, -6, 18, -54, 162, -486, 1458.

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica.Designemos por Sn la suma de los primeros n términos de la progresión geométrica

Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an

Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por q, obtendremos:

Snq = a1q + a2q + … + an-1q + anq

Puesto que a2 = a1q; a3 = a2q; …; an = an-1q

Snq = a2 + a3 + a4 + … + an + anq

Restando miembro a miembro y simplificandoSnq – Sn = anq – a1

Sn(q – 1) = anq – a1

Sn = (anq – a1)/(q – 1) q ≠ 1

Una forma alternativa de la fórmula anterior es

Sn = a1(1 – qn)/(1 – q)

Ejemplo. En la progresión geométrica 2, 4, 8, 16, 32, …. Halle la suma de los primeros 8 términos.Solución:Siendo a1 = 2, q = 2 y n = 8

S8 = 2(1 – 28)/(1 – 2) = 510

EjerciciosSi alcanzó llegar hasta la universidad, no puede ser posible que usted se diga a sí mismo: “Yo no puedo con la Matemática, es muy difícil”. ¡Claro que puede con la, maravillosa y extraordinariamente útil, Matemática!

1. Cuáles de las sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas. Encontrar la suma de los primeros 15 términos, si es alguna de las progresiones. Justifique su respuesta.a. 3, 6, 9, 12,…

b. 1, 8, 27, 64,…

c. 1, 3, 7, 15, 31,…

d. 5, 3, 1, -1, -3,…

e. 1/2, 7/10, 9/10, 11/10, 13/10,…

f. 4, 12, 48, 192, 768,…

g. 0.6, 1.2, 2.4, 4.8, 9.6,…

h. 1/6, 1/8, 3/32, 9/128, …

i. -7, 28, -84, 336, -1008,…

2. Dada la progresión 3, 7, 11, 15,… hallar el 7° y k-ésimo término.

3. Intercalar 8 medias aritméticas entre los números 4 y 40.

4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66.

5. El sexto término de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halle el vigésimo término.

6. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640, el más pequeño vale 20. Halle los otros dos.

7. Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y que uno de ellos mide 100°, calcula los otros dos.

8. Se ha dado la progresión 3, 3.2, 3.4, 3.6,… ¿Comenzando de qué número sus términos serán mayores de 1000?

9. ¿A qué es igual la razón de la progresión geométrica 2, √2, 1,…?

10. Intercalar tres medias geométricas entre los números 12 y 972.

11. Dos cuerpos que se encuentran a la distancia de 153 m uno del otro, se mueven al encuentro mutuo. El primero recorre 10 m por segundo, y el segundo recorrió 3 m en el primer segundo; en cada segundo siguiente recorre 5 m más que en el anterior. ¿Después de cuántos segundos los cuerpos se encuentran?

12. Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos.

UNIDAD III. SUCESIONES Y SERIES

Contenido:

1. Series infinitas.

2. El criterio integral y las p-series.

3. Criterio de comparación directa

4. Criterio de comparación en el límite.

5. Criterio de D¨lambert o de la razón.

6. Criterio de Gauchy o de la raíz.

7. Criterio para series alternas y convergencia absoluta.

8. Series de potencias.

9. Serie de Taylor.

10. Serie Binomial.

11. Serie de Fourier.

I. SERIES INFINITAS

Una importante aplicación de las sucesiones infinitas radica en la representación de sumas infinitas.

Si {an} es una sucesión infinita, entonces

∑n=1

∞

an=a1+a2+…+an+…

se llama una serie infinita (o simplemente serie). Los términos a1, a2,… se les llama términos de la serie.

Nota: Para algunas series conviene empezar el índice en n = 0.

Convergencia y divergencia de seriesPara la serie infinita Σan, la n-ésima suma parcial viene dada por

Sn = a1 + a2 + … + an

Si la sucesión de sumas parciales {Sn} converge a S, diremos que la serie Σan converge. Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos

S = a1 + a2 + … + an + …

Si {Sn} diverge, diremos que la serie diverge.

Observación: Al hablar de sucesión de sumas parciales me refiero a:S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

.

.Sn = a1 + a2 + … + an

Propiedades de las series infinitasSi Σan = A, Σbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen a las sumas que se indican.

1.

∑n=1

∞

can=cA

2.

∑n=1

∞

(an+bn)=A+B

3.

∑n=1

∞

( an−bn )=A−B

Criterio del término n-ésimo para la divergenciaSi la sucesión {an} no converge a 0, entonces la serie Σan, diverge.

Observación: Consideremos el criterio anterior tal y como se especifica; es decir, que éste nada dice sobre la convergencia de {an}.

Ejemplo. Determinar mediante el criterio del término n-ésimo, cuáles de estas series divergen

a.

∑n=0

∞

2n

Para observar lo que ocurre con el límite de la sucesión 2n, hacemoslimn → ∞

2n=∞

de acuerdo al criterio del n-ésimo término, la serie diverge.

b.

∑n=0

∞

1 /2n

Tenemos quelimn → ∞

1

2n=0

Por lo que no podemos aplicar el criterio del n-ésimo término, no podemos sacar conclusión sobre la posible convergencia.

Serie geométricaLlamamos serie geométrica de razón r, la dada por

∑n=0

∞

a rn=a+ar+a r 2+…+a rn+…

Convergencia de una serie geométrica:Una serie geométrica de razón r diverge si │r│ ≥ 1. Si 0 < │r│ < 1, entonces la serie converge con suma

∑n=0

∞

a rn= a1−r

,0<│r │<1

Ejemplo. Analizar si es serie geométrica y su posible convergencia.1.

∑n=0

∞32n

Podemos observar que a = 3 y r = 1/2 -observe que 1/2n = (1/2)n – por lo que podemos decir que es una serie geométrica. Siendo r = 1/2, es convergente y

∑n=0

∞32n =

3

1−12

=6

2.

∑n=0

∞

( 32)

n

De lo que vemos que equivale a 1 + 3/2 + 9/4 +… y tiene la razón r = 3/2. Como │r│ > 1, la serie diverge.

EjerciciosHay hombres que luchan un día y son buenos, hay otros que luchan un año y son mejores, hay quienes luchan muchos años y son muy buenos; pero hay los que luchan toda la vida… ¡esos son los imprescindibles!

1. Para la serie dada hallar sus cinco primeras sumas parciales.a. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …b. 1/6 + 2/12 + 3/20 + 4/30 + …c. 3 – 9/2 + 27/4 – 81/8 + 243/16 +…d. 1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 +…e.

∑n=1

∞3

2n−1

f.

∑n=1

∞ (−1)n+1

n!

2. Verificar que la serie es divergentea. 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 +…b. 3 – 9/2 + 27/4 – 81/8 + 243/16 – .…

c. 3/2 + 6/3 + 9/4 + 12/5 + …d. 1/5 + 2/7 + 3/9 + 4/11 + …e.

∑n=1

∞n2

n2+1

f.

∑n=1

∞n

√n2+1

g.

∑n=0

∞

(4 /3 )n

h.

∑n=0

∞

1000 (1.055 )n

3. Verificar que la serie dada converge.a. 2 + 3/2 + 9/8 + 27/32 + 81/121 + …b. 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + 1/8 – …c. 1 + 0.9 + 0.81 + 0.729 + …d.

∑n=0

∞

(−0.6 )n

4. Hallar la suma de la serie convergente que se indicaa.

∑n=0

∞

(1 /2 )n

b.

∑n=0

∞

2 (2/3 )n

c.

∑n=0

∞

(−1/2 )n

d. 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …e. 3 – 1 + 1/3 – 1/9 + …f. 4 – 2 + 1 – 1/2 + …g.

∑n=2

∞1

n2−1

5. Una empresa espera vender 8000 unidades de un producto nuevo al año. Supongamos que en cualquier periodo de un año el 10% de las unidades (independientemente de su edad) quedarán fuera de uso. ¿Cuántas unidades seguirán en uso tras n años?

6. Se deja caer una bola desde 16 m de altura. Cada vez que cae desde h metros, rebota hasta 0.81h metros. Hallar la distancia vertical total que recorrerá.

7. Probar que todo decimal periódico es un número racional.