Cátedra: Estadística Aplicada

MEDIDAS DE ASIMETRÍA

Facilitador: Participante:

Puerto Ayacucho, Mayo de 2013

CONTENIDO

1. Medidas de asimetría.

2. Etimología de la palabra simetría.

3. Tipos de asimetría.

4. Distribuciones simétricas. Fórmula para calcular el coeficiente de

asimetría.

5. Estadístico de curtosis.

6. Tipos de curtosis.

INTRODUCCIÓN

Es esencial señalar que cuando dos distribuciones coinciden en sus

medidas de posición y dispersión, se obtienen datos analíticos para ver si

son distintas. De allí, la importancia de una forma para compararlas, ya que

es necesario realizarlo a través; de su forma. Por lo cual, bastará con

comparar la forma de sus histogramas o diagramas de barras para ver si se

distribuyen o no de igual manera.

En este sentido, el objetivo de la medida de la asimetría es, sin necesidad

de dibujar la distribución de frecuencias, estudiar la deformación horizontal

de los valores de la variable respecto al valor central de la media. Las

medidas de forma pretenden estudiar la concentración de la variable hacia

uno de sus extremos.

Dentro de este marco, es loable manifestar que estas medidas describen

la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia

con que se hallen dentro de la información. Su utilidad radica en la

posibilidad de identificar las características de la distribución sin necesidad

de generar el gráfico. Sus principales medidas son la Asimetría y la Curtosis.

Es pertinente acotar, que la investigación pretende que los investigadores,

conozcan los indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o

asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable

aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica, importante para

analizar las descripciones de un conjunto de datos, donde se incluye como

un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto

de valores posible, como se explica a continuación.

1. Medidas de asimetría:

Cabe señalar, que la Eumed (2010) cita: “las medidas de forma permiten

comprobar si una distribución de frecuencia tiene características especiales

como simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de

apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución” (2010).

De allí, que las medidas de forma sean necesarias para determinar el

comportamiento de los datos y así, poder adaptar herramientas para el

análisis probabilístico.

Dentro de este marco, Oliva (2003) define a las medidas de asimetría,

como: “son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o

asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable

aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica” (p. 2). Además, el

mismo autor indica que el objetivo de la medida de la asimetría es, sin

necesidad de dibujar la distribución de frecuencias, estudiar la deformación

horizontal de los valores de la variable respecto al valor central de la media.

Por la cual, las medidas de forma pretenden estudiar la concentración de

la variable hacia uno de sus extremos. Por lo tanto, una distribución es

simétrica cuando a la derecha y a la izquierda de la media existe el mismo

número de valores, equidistantes dos a dos de la media, y además con la

misma frecuencia.

2. Etimología de la palabra simetría:

Para Angelaki (2006) la etimología de la palabra simetría Es la unión de

dos palabras ∑YN que significa CON y METPO que significa MEDIDA.

Asimismo, el Diccionario de la Real Academia Española (citado por Lafarga,

2010) señala, que la raíz etimológica de la palabra simetría, es la siguiente:

(Del subs. gr. summetriva, reducción a una medida común, justa proporción, simetría, de la prep. gr. suvn, con (indicando comunidad) y del subs. gr. mevtron, medida, y de ahí que el verbo summetrevw signifique “medir por comparación, proporcionar”): es la proporción adecuada de las partes de un todo entre sí y con el todo; la regularidad en la disposición de las partes o puntos de un cuerpo o figura, de modo que posea un centro, un eje o plano de simetría (p. 395).

De lo anteriormente expuesto se puede inferir que la simetría tiene como

característica que un objeto, hace que su apariencia se mantenga sin alterar

aunque éste, se mueva o cambie de posición.

3. Tipos de asimetría:

Según, Suárez (2004) la asimetría presenta las siguientes formas:

a. Asimetría Negativa o a la Izquierda.- Se da cuando en una distribución

la minoría de los datos está en la parte izquierda de la media. Este

tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la

izquierda, es decir, la distribución de los datos tiene a la izquierda una

cola más larga que a la derecha. También se dice que una distribución

es simétrica a la izquierda o tiene sesgo negativo cuando el valor de la

media aritmética es menor que la mediana y éste valor de la mediana

a su vez es menor que la moda, en símbolos 

Nota: Sesgo es el grado de asimetría de una distribución, es decir,

cuánto se aparta de la simetría.

b. Simétrica.- Se da cuando en una distribución se distribuyen

aproximadamente la misma cantidad de los datos a ambos lados de la

media aritmética. No tiene alargamiento o sesgo. Se representa por

una curva normal en forma de campana llamada campana de Gauss

(matemático Alemán 1777-1855) o también conocida como

de Laplace (1749-1827).También se dice que una distribución es

simétrica cuando su media aritmética, su mediana y su moda son

iguales, en símbolos  Md=Mo

a. Asimetría Positiva o a la Derecha.- Se da cuando en una distribución la

minoría de los datos está en la parte derecha de la media aritmética.

Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la

derecha, es decir, la distribución de los datos tiene a la derecha una

cola más larga que a la izquierda.

b. También se dice que una distribución es simétrica a la derecha o tiene

sesgo positivo cuando el valor de la media aritmética es mayor que la

mediana y éste a valor de la mediana a su vez es mayor que la moda,

en símbolos 

4. Distribuciones simétricas. Fórmula para calcular el coeficiente de

asimetría:

Cabe destacar, que la Universidad de Salamanca (2011) las medidas de

forma de una distribución se pueden clasificar en dos grandes grupos o

bloques: medidas de asimetría y medidas de curtosis. Cuando al trazar una

vertical, en el diagrama de barras o histograma, de una variable, según sea

esta discreta o continua, por el valor de la media, esta vertical, se transforma

en eje de simetría, decimos que la distribución es simétrica.

Por lo tanto, se dice que es simétrica, cuando a ambos lados de la media

aritmética haya el mismo nº de valores de la variable, equidistantes de dicha

media dos a dos, y tales que cada par de valores equidistantes tiene la

misma frecuencia absoluta. En caso contrario, dicha distribución será

asimétrica o diremos que presenta asimetría.

Para calcular la asimetría, una posibilidad, es utilizar el llamado coeficiente

de FISHER que representaremos como g1 y responderá a la siguiente

expresión matemática:

SIMÉTRICA ASIMÉTRICA A DERECHA

ASIMÉTRICA A IZQUIERDA

SIMÉTRICA ASIMÉTRICA A DERECHA

ASIMÉTRICA A IZQUIERDA

g1=∑ ( xi−x )

3 nins3

Según sea el valor de g1, se dice que la distribución es asimétrica a

derechas o positiva, a izquierdas o negativa, o simétrica, o sea:

Si g1 > 0 la distribución será asimétrica positiva o a derechas

(desplazada hacia la derecha).

Si g1 < 0 la distribución será asimétrica negativa o a izquierdas

(desplazada hacia la izquierda).

Si g1 = 0 la distribución será simétrica.

g1<0

Otra posibilidad de calcular la asimetría, es por medio del coeficiente de

PEARSON (Ap), el cual responde a la siguiente expresión.

Aunque en la práctica este coeficiente sería más fácil de calcular que el

anterior, casi no lo utilizaremos ya que solo es cierto cuando la distribución

tiene las siguientes condiciones:

Unimodal

Campaniforme

Moderada o ligeramente asimetrica.

Si Ap > 0 la distribución será asimétrica positiva o a derechas

(desplazada hacia la derecha).

Si Ap < 0 la distribución será asimétrica negativa o a izquierdas

(desplazada hacia la izquierda).

Si Ap = 0 la distribución será simétrica.

Además, otro coeficiente es el coeficiente de asimetría de Bowley, menos

utilizado. El cual está basado en la posición de los cuartiles y la mediana,

para lo cual los relacionaremos de acuerdo con la siguiente expresión:

Ap=X−MoS

Ab=C3+C1−2MeC3+C1

5. Estadístico de curtosis:

Para Mateu (2004): “el concepto de curtosis o apuntamiento de una

distribución surge a comparar la forma de dicha distribución con la forma de

la distribución Normal. De esta forma, se clasifican las distribuciones según

sean más o menos apuntadas que la distribución Normal” (p. 4). En tal

sentido, el Curtosis: coeficiente de Fisher, para calcularlo se utiliza la

expresión:

Si g2 > 0 la distribución será leptocúrtica o apuntada

Si g2 = 0 la distribución será mesocúrtica o normal

Si g2 < 0 la distribución será platicúrtica o menos apuntada que lo normal.

6. Tipos de curtosis:

Para Oliva (2003), los tipos de curtusis, son las siguientes:

Distribución leptocúrtica: Una distribución de frecuencias es

leptocúrtica si está más apuntada que la distribución normal.

g2=∑ ( x i−X )4 ni

ns4−3

Distribución mesocúrtica: Una distribución de frecuencias es

mesocúrtica si está igual de apuntada que la distribución normal.

Distribución platicúrtica: Una distribución de frecuencias es platicúrtica

si está menos apuntada que la distribución normal.

CONCLUSIÓN

Después de la investigación efectuada, se concluye lo siguiente:

Las medidas de forma permiten comprobar si una distribución de

frecuencia tiene características especiales como simetría, asimetría,

nivel de concentración de datos y nivel de apuntamiento que la

clasifiquen en un tipo particular de distribución.

La etimología de la palabra simetría Es la unión de dos palabras ∑YN

que significa CON y METPO que significa MEDIDA.

Los tipos de asimetría, son: Asimetría Negativa o a la Izquierda,

Simétrica y  Asimetría Positiva o a la Derecha.

La curtosis o apuntamiento de una distribución surge a comparar la

forma de dicha distribución con la forma de la distribución Normal.

Los tipos de curtosis, son tres: leptocúrtica, mesocúrtica y platicúrtica.

REFERENCIAS

Angelaki, T. (2006) Simetría axial. V Festival Internacional de Matemática. Universidad de Costa Rica y de la Universidad Nacional. [Documento en línea] Disponible en: http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P-Teodora.pdf. [Consulta: 2013 Mayo, 13]

Eumed (2010) Estadística Básica con Excel [Libro en línea] Disponible en: http://www.eumed.net/libros-gratis/2007a/239/7.htm [Consulta: 2013 Mayo, 13]

Lafarga, F. (2010) Diccionario etimológico de términos geométricos [Libro en línea] Disponible en: http://www.ua.es/personal/SEMCV/Actas/IIIJornadas/pdf/Part64.PDF [Consulta: 2013 Mayo, 11]

Mateu, J. (2004) Medidas de forma y concentración [Documento en línea] Disponible en: www3.uji.es/~mateu/tema4-d37.doc . [Consulta: 2013 Mayo, 9]

Oliva, J. (2003) Medidas de forma: asimetría y Curtosis. Momentos. Estadística [Documento en línea] Disponible en: http://www.euosuna.org/zonaalumnos/materiales/C03/230.pdf [Consulta: 2013 Mayo, 11]

Suárez, M. (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática, Ed. Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador.

Universidad de Salamanca (2011) Estadística I. Curso 2010/2011 [Documento en línea] Disponible en: http://212.128.130.23/eduCommons/ciencias-sociales-1/estadistica-i/contenidos/Tema5.pdf . [Consulta: 2013 Mayo, 10]