TRABAJO COLABORATIVO No.1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Presentado por

ANA MILENA RIVERA LAGUNA

NEILA DEL CARMEN RODRIGUEZ GARZON

GRUPO 100412_180

Presentado a

CRISTINA MORALES

Tutora

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

2014

INTRODUCCION

El contenido de esta unidad pretende dar a conocer todo lo que tiene que ver con las ecuaciones diferenciales de primer orden, en las que aparece una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada, esto hace que también lleven el nombre de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Estas son muy importantes para el estudio de algunos problemas que se presentan en la ingeniería ya que es una de las estructuras que nos brinda las matemáticas.

Con el desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primer orden podemos darle solución a aspectos de gran importancia para la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la identificación y solución de problemas estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasificación, tipo, orden, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas.

OBJETIVOS

Desarrollar por medio de ejercicios las temáticas planteadas en la primera unidad.

Evaluar las teorías estudiadas en el curso.

Crear habilidades de desempeño frente a un equipo colaborativo

Solucionar problemas mediante los temas vistos en el curso

ACTIVIDAD No.1

1. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

A.d2 ydx2

+sen ( y )=0 → De segundo orden, no lineal.

B. y ´ ´−2 y ´+ y=0 → De segundo orden, lineal

C.d2 ydx2

+ dydx

−5 y=ex+ y → De segundo orden, lineal

D. ( y−x ) dx+4 xdy=0 → De primer orden, no lineal

2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

dydx

=x2 y+x2dx

Se integra en ambos lados

∫ 1y

dy=∫ 2x2dx

ln|y|2x3

3Se aplican propiedades

y=e23

x3+c

Propiedades de potenciación

y=e23

x3

∗ec → ec=kFinalmente:

y=e23

x3

∗k

y=k . e23

x3

3. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

dydx

=e2x+ y−1

La ecuación es de la forma M (X,Y) dx + N (X,Y) dy =0

(e2x+ y−1 )+ (−dy )0

Como M ( X ,Y )dx=(e2x+ y−1 ) → ∂ m∂ x

=1

N ( X , Y ) dx=−1→∂ n∂ x

=0

Como ∂ m∂ y

≠∂ m∂ x

=0

Esta no es una ecuación diferencial exacta.

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

dydx

+2 xy=x

p ( x )=2x → e∫2x dx

→ ex2

El factor integrante = ex2

ex2( dydx

+2xy )=x . ex2

ddx

(ex2 . y )=xe x2 dx

ex2 . y=∫ xex2dx

ex2 . y= ex2

2+c

y= ex2

2+c . ex2

5. Resuelva por método de homogéneas la siguiente ecuación diferencial:

2 x3 ydx+( x4+ y 4 ) dy=0

M (x , y )→2 x3 ydx → M=f ( tx , ty )=2 ( tx )3 ty=2 ( t3 x3 ) ty t 4(2x3 y)

N=f (tx , ty )=( x4+ y4 )=(tx )4+ (ty )4→ (t 4 x4+ t4 y 4 )=t 4 ( x4+ y 4 )

Correspondería a una función homogénea de cuarto grado

Se resolverá por separación de variables, para lo cual se realiza una sustitución:

y=ux → dy=(udx+xdu )

2 x3 (ux ) dx+ (x4+(ux )4 ) (udx+xdu )=02ux4dx+ ( x4+u4+ x4 ) (udx+xdu )=03u x4dx+ x5du+u5 x4dx+u4 x5du=0

6. Se coloca la suma de $100 a interés del 5% anual con la condición de que los intereses podrán sumarse al capital en cualquier momento. ¿Cuántos años se necesitan para que la calidad colocada sume $200?

Se utilizará la fórmula para interés:

S=M (1+r )n

Donde S=saldo M=monto r=interes n=tiempo

Entonces:

200=100¿

200100

=1 ,05n→2=1.05n

log 2=nlog1,05

n= log 2log1,05

→ n≅ 14,2

7. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

dydx ( 1x )=−1

x2

Se sustituye en la ecuación original

dydx

+ y2+ yx− 1

x2=0

−1x2

+¿

8. Encuentre la ecuación diferencial de la familia dada de curvas

y=C1 e−x

Se aplica la función logaritmo a la ecuación

ln y=ln (C1¿e− x)¿

ln y=lnC1+ lne− x

ln y=ln e−x=lnC1

ln y−e−x=lnC Se aplica lasderivadas parciales

1y

dy+e− x dx=0

dxy

+e−x dx=0ecuacion diferencial

CONCLUSIONES

Se llevó a cabo el desarrollo de la actividad correspondiente al trabajo colaborativo de la Unidad 1 del curso Ecuaciones Diferenciales.

Al darle solución a los diferentes ejercicios se identificaron diferentes estrategias que se deben seguir para sacarle el mejor provecho a la unidad, explicando los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales, su estructura y sus aspectos básicos.

En esta unidad se trataron y desarrollaron los diferentes aspectos que son importantes para la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución, es decir el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasificándolas, anotando su orden, tipo, linealidad y diferentes métodos de solución para las variables separadas y homogéneas.